广东省中山市2023-2024学年高一年级上册期末统一考试数学试题

广东省中山市2023-2024学年高一上学期期末统一考试数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.%>y是/>y2的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.将海•鱼化成分数指数幕的形式是（）

71715

A.26B.2石C.23D.26

3.已知全集[/={1,2,3,4,5},4nB={2,4],4UB={1,2,3,4},则()

A.2"且2WBB.3"且3"C.4"且4£BD.且5WB

4.已知函数/（、）=/—4%+5在［m，间上的值域是［1,10］,则九一TH的最大值是（）

A.3B.4C.6D.8

5.函数/（%）=log2（，一4汽+3）的单调递增区间是（）

A.[2,+oo)B.[3,+oo)C.(3,+oo)D.(—oo,2]

6.已知数/（町=瓷7-2是奇函数，则实数。的值是（）

A.1B.-2C.4D.-4

7.已知a>b>c>d,则下列不等式一定成立的是（）

A.ac>bdB.aec>bed

C.ea-ec>eb-edD.aln(c—d)>bln(c—d)

8.如图，在半径为2cM的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点4（1,0）出发，按逆时针匀速爬行，设红

蚂蚁每秒爬过a弧度，黑蚂蚁每秒爬过。弧度（0<a<6<兀），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒

时又都回到点A.若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆

时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm

1

1215r15n137r

AA--g-7TnB.万RC.彳兀D・—g—

二'多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，既是奇函数，又是7?上的增函数的是()

A.y=x—1B.y=x\x\C.y=x3D.y=x2

10.已知正数x,y满足x+y=2,贝U(

A.同的最大值为1B./+y2的最大值为2

C.«+77的最小值为2D.,+：的最小值为景+企

11.给定函数/(久)=奇，贝I()

A./(%)的图象关于原点对称B./(%)的值域是［―1,1］

C./(%)在区间［1,+8)上是增函数D./(久)有三个零点

％1，+00),12,

12.设偶函数/(%)的定义域为(一8,0)U(0,+8),且满足/(2)=0,对于任意x2e(0,久。久

都有二您叱受92<0(neN)成立则()

%2-勺I)

A.不等式“2X+D〉o的解集为己,+oo)U(-10)

B.不等式f(2：+l)>o的解集为+00)0(-1，1)

C.不等式卷室>°的解集为(—8，-2)U(2,+oo)

D.不等式背2>°的解集为(一2,0)U(0,2)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算：联2+窕8=.

14.已知函数/(久)，给出三个性质：

①“无)定义域为(—8,+8)；②/(%)是奇函数；③fO)在(0,+8)上是减函数.

写出一个同时满足以上三个性质的函数解析式/(%)=.

15.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个

人所得税(简称个税).2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为:

2

个税税额=应纳税所得额X税率一速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额一基

本减除费用一专项扣除一专项附加扣除一依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000

元.税率与速算扣除数见下表.

级数全年应纳税所得额所在区间税率（％）速算扣除数

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144000,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

6(660000,960000]3585920

7(960000,+oo)45181920

假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比

例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，如果小王全年的综合

所得为249600元，那么他全年应缴纳综合所得个税为元.

16.已知函数/（%）=X+芋一10,%G（0,+co）,则/（久）的零点之和为；若方程1/（久）|=巾（巾＞0）

有四个不相等的实根%1，%2＞久3，则久1+%2+%3+%4=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知tana=/求下列各式的值.

（j）sina—2cosa

2sina—cosa'

(2)sinacosa+2.

3

18.若集合A={x\x2+5x—6=0],B={x\x2+2(m+1)%+m2—3=0}

(1)若77i=0,写出ZUB的子集个数：

(2)若ACB=B,求实数冽的取值范围.

19.函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等.已知〃无)=力

(1)研究并证明函数y=外町的性质;

(2)根据函数y=/(%)的性质，画出函数y=/(久)的大致图象.

20.对于函数〃尢)，若在定义域内存在实数x,满足K)=〃£)，则称人龙)为“局部偶函数”，

(1)已知函数/(久)=必+久+i,试判断/(%)是否为“局部偶函数”，并说明理由；

(2)若/•(无)=%[4，+(2加—1)-2,+3]为定义在区间(—8,0)U(0,+8)上的“局部偶函数”，求实数小

的取值范围.

21.已知函数/(%)的定义域为R,值域为(0,+oo),且对任意加，nER,都有/(zn+n)=/(m)/(n),(p(x)=

f(x)T

7WT-

(i)求y(o)的值，并证明奴久)为奇函数；

(2)当%>0时，/(x)>1,且63)=4,证明f(%)为灭上的增函数，并解不等式0(久)>居

22.已知函数g(x)=sin?%-cos%+a,xE兀)有两个零点.

(1)求实数Q的取值范围.

(2)设%1，%2是9(%)的两个零点，证明：％1+久2<当

5

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：当工=0,y=—2时，满足%>y,但是/=0<产=4,故充分性不成立；

当％=-3,y=1时，满足/=9>y2=1,但是x<y,故必要性不成立，

所以为>y是/>y2的既不充分也不必要条件.

故答案为：D.

【分析】根据充分必要条件的概念取特殊值即可判断结论.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：^4'V2=4?X2^=(22)^X2*=2V=2幺

故答案为：A.

【分析】根据分数指数幕的意义及运算化简即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：因为4CB={2,4},则2GB,2EA,30/lnB,故A、B错误；

因为4nB={2,4},4EAOB,故C错误；

因为4UB={1,2,3,4},所以504UB,故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据集合交集和并集中的元素进行推理，结合选项判断即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：函数/(无)=/—4久+5=(£―2)2+1,开口向上，对称轴为久=2,当％=2时，函数

fMmin=/(I)=1，

当对称轴两边距离越大时，区间的长度越大，故令f(x)=10,解得％=-1或%=5,

所以当n=5,TH=—1时，(n—m)max=6.

故答案为：C.

【分析】根据二次函数图象特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边的距离越大，区间长度越大求解即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：函数/'(无)=，。。2(/—4无+3)是由y=/og23t=/—4无+3复合而成，

由于函数y=log2t在定义域内单调递增，t=一4%+3在(2,+8)上单调递增，

2

故由复合函数的单调性可知：f⑸=log2(x-4x+3)的单调递增区间需要满足产一>0>解得x>3,

6

故f(x)=2。92(/—4x+3)的单调区间为(3,+00).

故答案为：C.

【分析】根据对数型复合函数的单调性求解即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：要使函数外乃=备—2有意义，则1一/70,解得尢00,所以函数f(x)的定义域

是｛%|%W0),

因为函数/(久)是奇函数，所以/(%)+/(—久)=0,即缶—2+厂4r—2=昌+名—4

a—aexa(l-ex)

—4=a—4=解得a=4.

l-exl-ex0,

故答案为：C.

【分析】根据奇函数得定义列式求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：A、当a=9>b=3>c=—1>d=—3时，ac=bd,故A错误；

B、当a——1>b——2>c——3>d=—4,止匕时ae，——』——<be。——故B错误;

C、因为y=e8单调递增，且a>b〉c>d,所以6。〉a〉0,ec>ed>0>所以e。■e。〉於•e%故C正确;

D、若c=d+l,则ln(c—d)=0,此时aln(c-d)=bln(c—d)=0,故D错误.

故答案为：C.

【分析】根据已知条件结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系即可.

8.【答案】A

(0<a<p<n

【解析】【解答】由题意可得：七<2"26<兀’解得与<a<6(去

则竽<15a<150〈苧，由于第15秒时又都回到点A,

所以15a=4兀，15/3-6TT,所以a=罂，。=罂，

设t秒后两者第二次相遇，则(罂+票)t=27TX2,解得t=6秒，故黑蚂蚁爬过的路程为

/7tx1=罂x6=

故答案为：A.

【分析】先求得a,B，再列方程来求解借即可.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：A、函数y=久一1的定义域为R,7(-%)=-%-1所以/(久)=久一1不是奇

函数，故A不符合；

7

D、函数y=/的定义域为R,满足/（一x）=/（久），所以函数y=/是偶函数，故D不符合;

%，fx>0

:一，-%)=-x\-x\=-x\x\-g{x},所以y=尤因是奇函数，且在R

{一久z,%<o

上是增函数，故B正确；

C、函数了=炉定义域为R,且满足/（-久）=-/（久），在R上是增函数，故C正确.

故答案为：BC.

【分析】根据幕函数，可以直接判断CD即可；利用奇函数和偶函数的定义判断A；B选项先化为分段函数,

再利用函数的奇偶性定义判断即可.

10.【答案】A,D

【解析】【解答】解：A、因为尤＞0,y＞0,且满足K+y=2,由基本不等式得2=%+y22d区

解得回W1,当且仅当x=y=1时等号成立，故A正确;

由产要之燮2恒之击，可得『2产？/=1，故/+产？2,

B、

当且仅当久=y=l时等号成立，故/+产的最小值为2,故B错误;

C、由J乃罗/中♦同力击可得:厚之竺鱼，解得依+近＜2,当且仅当x=y=l时等号成立,

所以G+近的最大值为2,故C错误;

Dy>O

13

+-+

y-2-V2

当且仅当2=今即久=4一2金，y=2鱼一2时等号成立，故D正确.

九y

故答案为：AD.

【分析】直接利用基本不等式求出同41即可判断A；利用户史2字2同N章即可判断BC；利用

%'y

基本不等式“1”的妙用求出最小值即可判断D.

11.【答案】A,B

【解析H解答】解：A、函数八久）的定义域为R,定义域关于原点对称，且满足/（-久）=奇击=-磊=-

/（%）,所以函数了（%）是奇函数，所以fO）的图像关于原点对称，故A正确；

B、当x=0时，f（%）=0,当久＞0时，/（%）=口，又无+人工2,所以0＜/（%）＜1,因为函数/（久）为奇

X-T-X

函数，

所以函数/'（久）的值域为[-1,1],故B正确；

8

C、由B选项，因为t=K+J在［1,+8）单调递增，所以函数/（久）在区间［1,+8）上是减函数，故C错误；

D、令/（久）=0,即若^=0,解得x=0,所以函数/（%）只有一个零点，故D错误.

故答案为：AB.

【分析】A选项，先求函数得定义域，再利用奇偶性得定义判断即可；当尢=0时，/（%）=0,当％>0时，/（无）=

211

口，由久+工22求得0</（%）<1,结合函数/（久）为奇函数即可求函数得值域判断B；根据B选项由t=x+工

%十五1%

在［1,+8）单调递增可判断C；令/（久）=0,解方程求零点即可判断D.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：当九=0时，4叭々I沙（久2）<°=〃吗）一/（久2）<0,

x2-xlx2~xl

即二，；2）>0,故/（无）在（0,+8）上单调递增，

因为函数/■（>）为定义在（一8,0）U（0,+8）上的偶函数，所以fO）在（一8,0）上单调递减,

又/'（2）=0,故人—2）=0,

当%>0时，"2：+1）>°=f业+1）〉0=/（2）,所以2久+1>2,解得%>1,

当％<0时，/爷山>°=/（2久+1）<0，it匕时2%+1。0,即无力一小

当—・<x<0时，2久+1>0,由于/（久）在（0,+8）上单调递增，

故f(2久+1)<0=/(2),故2%+1<2,解得久<去故一★<久<0；

当％时，2%+1<0,由于/（久）在（—8,0）上单调递减,

故/(2久+1)<0=/(—2),故2久+1>-2,解得%>—|,故一|<X<—去

上，—2<久<一,或一］<%<0或x>2"»

故不等式八2：+D>0的解集为+oo）u（-|,0）,故A正确，B错误;

"铲"巧）一呼叭“2）〈°中,令—io"得反"止驾3<0,

%2-勺I7%2一%1

/（x1）_/（x2）

则**二/茅=零皆需等”所以如二淄在©

设。（乃=春金，+00)

上单调递增,

因为/（%）为（一8,0）U（0,+8）上的偶函数,

故g（%）=、甘2定义域为（-8,o）u（0,+oo）,且g（一%）=（，［产>=令）2）4=。（%），所以g（X）=［程4

为偶函数,

9

因为/(2)=0,所以g(2)=0,则等价于g(x)>03g(|x|)>g(2),

故印〉2,解得x>2或久<—2,故C正确，D错误.

故答案为：AC.

【分析】令n=0,得到/(久)在(0,+8)上单调递增，结合/(久)的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出

解集，即可判断AB；令。(久)=［第，推出g(久)的单调性和奇偶性，结合g(2)=0,解不等式，求出解集即

可判断CD.

13.【答案】2

【解析】【解答】解：lg52+|lg8=lg25+lg(23)3=lg25+lg4=IglOO=2-

故答案为：2.

【分析】利用对数运算性质求解即可.

14.【答案】-x(答案不唯一)

【解析】【解答】解：因为函数f(x)时定义在(-8,+8)上的奇函数，且在(0,+8)上为减函数，所以函数

可以为f(x)=-X.

故答案为：-X(答案不唯一).

【分析】根据函数满足的条件，写出符合条件的一个函数解析式即可.

15.【答案】5712

【解析】【解答】解：由题意可知：专项扣除总额为：249600X(8%+2%+1%+9%)=49920元，

应纳税所得额为：249600-60000-52800-4560-49920=82320元，

个税税额为：82320X10%—2520=5712元.

故答案为：5712.

【分析】先根据已知求出专项扣除总额，再求应纳税所得额，即可求得全年应缴纳综合所得个税.

16.【答案】10；20

【解析】【解答】解：令/■(£)=%+竽-10=0,即/一10久+16=0,解得％=2或x=8,

故函数f(x)在(0,+8)内的零点为2和8,即f(X)的零点之和为10；

方程=血(血>。)有四个不相等的实数根，即y=|/(工)|，£6(0,+8)与y=zn的四个交点的横坐标为

%2，%3，%4，

方程|/(%)|=>0)即|%+竽-10|=TH,%e(0,+00),即|—一10%+16|=771K,

当/(%)>0即/—10%+16>0时，方程可转化为%2—10%+16=mxBP%2—(10+m)x+16=0；

当%2—10%+16<0时，方程可转化为/—10%+16=—mx即％2—(10—m)x+16=0；

10

故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根,

不妨设％1，%4为/一(10+血)久+16=0的两根，则久1+久4=1。+M，

则无2，尤3为/一(10-瓶)尢+16=0的两根，则％2+%3=10-血，

则+x2+x3+X4=10—m+10+m=20.

故答案为：10；20.

【分析】解方程-工)=%+零-10=0,即可求得函数y=f(X>的零点，从而可得函数零点之和；将方程

1/(%)|=m(m>0)四个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论.

17.【答案】⑴解：原式=磊等=5;

sinacosa,otana_23

(2)解:原式=初前为西+21+tcm2a10,

【解析】【分析】(1)根据同角三角函数基本关系式，化弦为切代值求解即可;

(2)利用“1的代换”，结合同角三角函数基本关系式求解即可.

18.【答案】(1)解：力={久|/+5久-6=0}={—6,1},

若小=0,则B={x|/+2%—3=0}={—3,1},止匕时力UB={-6,1,一3},

AUB有3个元素，故子集个数为23个，即8个.

(2)解：因为2CB=B,所以BU4

①若B中没有元素即B=0,则A=4(m+I)2—4(m2—3)=8m+16<0,

此时m<-2；

②若B中只有一个元素，则A=0,此时TH=-2.

则B={x\x2-2x+1=0]={1},此时BQA.

③若B中有两个元素，则A〉。，此时小〉—2.

因为4中也有两个元素，且BU4,则必有B=4={—6,1},

由韦达定理得一6X1=小2一3,则血2=一3,矛盾，故舍去.

综上所述，当mW-2时，BQA.

【解析】【分析】(1)解一元二次方程求得集合4B,再利用集合的并集运算求解4UB,从而得4UB子集的

个数；

(2)由4nB=B,得到BU4分B=0,B中只有一个元素和B中有两个元素讨论求解.

19.【答案】(1)解：①函数/(%)的定义域为(—8,一2)U(—2,2)U(2,+8),

11

②因为定义域关于原点对称，又八一吟=4—(,)2=旨=f(x)，所以/(%)是偶函数；

③任取％i，%2e[2,+oo),且<%2,

11

11_年一会_(勺一%2)(%1+刀2)

则/(^l)-/(%2)=

22222；

4—X124—x2(4—X1)(4—X2)(4—X1)(4—%2)

因为久1，久2C[2,+oo),所以(4-xj)(4一久|)>0,xt+x2>0,

又因为久1<%2，所以打一支2<0,所以/Q1)-/(%2)<。，即/(%1)</(久2)，

所以函数f。)在区间(2,+8)上单调递增,

同理可得f(x)在区间(0,2)上单调递增,

又八支)是偶函数，则人支)在(―8,—2)和(—2,0]上单调递减;

④令t=4一则te(—8,o)u(0,4],所以/'(久)=*e(—8,0)u[^,+oo)；

⑤函数没有零点；

(2)解：根据函数的性质，作出其图象如图所示：

【解析】【分析】(1)先求函数的定义域；利用奇偶性和单调性的定义，判断函数的奇偶性以及单调性；再求函

数的值域、即可得函数的零点个数；

(2)根据函数的性质画出函数y=f(肛的大致图象即可.

20.【答案】(1)解：f(-x)=-x3-%+1,令/(―%)=fO),得炉+久=0,解得％=0,

存在久=0满足/(一%)=/(%),故f(%)是“局部偶函数”；

(2)解：由/(—久)=/(%),得4工+4f+(2m-1)(2,+2-x)+6=0

令t=2，+2f(t>2),得将+(2血—l)t+4=0,则1—2zn=t+彼te(2,+8)上有解

t+y>2/t-y=4,1—2m>4>即？《<-■!，故m的取值范围为(—8,—

【解析】【分析】(1)根据局部偶函数得定义，解方程〃-%)=/(%)得出%=0,从而得出f(x)是“局部偶函数”；

(2)由/(—久)=/(久)得出甘+4f+(2m-1)(2X+2T)+6=0,令1=2工+2-x(t>2),得出1—2m=t+}

在te(2,+8)上有解，求出的范围，进而得出实数小的取值范围.

21.【答案】(1)解：令巾=兀=0,得/(0)=/(0)/(0),

12

又函数/(久)的值域为(0,+00),/(0)=1.

1

/(0)=/(-%+%)=/(-%)/(%),/(-%)=悯，

1.1

,0(一%)==:;常=_W(%);•••0(久)为奇函数

7W+i

(2)证明：任取久i<%2，久1，久2eR.

fQl)-/(%2)=f(久1)一f(久2-Xi+%1)=/(%1)-/(%2-(久1)=7■(久2-久1)1

•・•久1<%2，••・%2一%1>0.

:当力>0时,f(x)>1,Jf(冷一%1)>1，・•・1—f(%2—%1)V。・

又函数f(x)的值域为(0,+00),

■-f(x1)[l-f(x2-x1)]<o,即/01)</(K2)，・・•/(%)为R上的增函数.

由W(x)>即„+；>居，化简得/(x)>16.

•."(3)=