函数与线段、面积等最值问题【考点精讲】（解析版）

专题18函数与线段、面积等最值问题

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，方法技巧

1.二次函数与线段的和差

在X轴上是否存在点P,使P3+P4最短？若存在求出点尸的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。

【方法技巧】（将军饮马模型）在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经

过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连，那么此直线与在x轴上的交点既是点P。

2.二次函数与周长

在y轴上是否存在点P,使△尸/D的周长最小？若存在，求出点尸的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。

注意到是定线段，其长度是个定值，因此只需产4+尸。最小。

3.二次函数与距离

在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P,使点尸到直线BD的距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离;

若不存在，请说明理由.

因为BD是定线段，点P到直线BD的距离最大，意味着△8DP的面积最大

4.二次函数与面积

①三角形面积最值：找公共边、平移、表小面积

②四边形面积最值：设出P点坐标，采用公式法或割补法表示四边形面积

（1）在直线30下方的抛物线上是否存在点尸，使S△板的面积最大？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由。

过点尸作y轴的平行线，将△P5D分割成2个同底的三角形，贝SAPBO=/上动-y下动）（x右电-x专电）

（2）在直线3。下方的抛物线上是否存在点尸，使四边形DOBP的面积最大？若存在，求出点尸的坐标，并求出四边形面积

的最大值；若不存在，请说明理由。

四边形。?是不规则图形，通常用割补法求解，则：S四边形=SADOB+SADB尸，或S四边形£>OBP=S/VBOP

（3）在抛物线上是否存在点尸，使&PBL2s3。？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

设出动点尸的坐标为QF-2L3）后，把到图形A43。的面积算出，借助于动点坐标把动三角形P8C的面积表示出来，再代入已

知中的面积等式求解即可。

B题型精讲

题型一：函数与最值问题

【例1】（2021•山东）在平面直角坐标系中，抛物线〉=/+2必+2/-加的顶点为/.

（1）求顶点/的坐标（用含有字母加的代数式表示）；

（2）若点2（2,%）,。（5,人）在抛物线上，且无〉无，则加的取值范围是;（直接写出结果即

可）

（3）当时，函数歹的最小值等于6,求加的值.

【答案】（1）顶点/的坐标为（-加，加2-加）；（2）加〈一二；（3）加=-1+可或_2

24

【分析】

（1）将抛物线解析式化成了=（》+加r+/-加的形式，即可求得顶点/的坐标；

（2）将8（2,%）,C（5/c）代入抛物线中求得先和儿的值，然后再解不等式即可求解；

（3）分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小

值，进而求出m的值.

【详解】

解：（1）由题意可知：

抛物线y-X2+2mx+2m2-m—（x+m）2+m2-m,

J.顶点A的坐标为（-加，加2-m）；

22

（2）将B（2,yB）代入y-x+2mx+2m-加中，

222

得至（JyB=2+2mx2+2m-m=Im+3加+4,

将C（5,”•）代入y-x2+2mx+2m2-加中，

222

得至!Jyc=5+2mx5+2m-m=2m+9m+25,

由已知条件知：yB>yc>

2m2+9m+25<2m2+3加+4,

整理得到：6m<-21,

7

解得：加<一1，

,一7

故机的取值范围是：m<---

2

（3）二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为-加，

分类讨论：

①当—m<1,即加>—1时，

x=l时二次函数取得最小值为>=心+2m+2m2-m-2m2+m+1,

又已知二次函数最小值为6,

•••2加之+机+1=6,解得加=一］+或加=--,

44

又加＞-1,故加=-1+符合题意;

4

②当一加＞3,即加＜一3时，

x=3时二次函数取得最小值为y=32+2mx3+2m2-m=2m2+5加+9,

又已知二次函数最小值为6,

3、

••・2加2+5加+9=6,解得机=一］"或加=一1,

3

又加＜-3,故加=-］或相=-1都不符合题意；

③当1£-加£3,即一3V加0—1时，

x=加时二次函数取得最小值为y=/+2m2+2m2-m=m2-m,

又已知二次函数最小值为6,

・•・冽2一冽=6,解得加=3或加二一2,

又-3W掰工-1,故加=-2符合题意；

综上所述，m=］+或-2.

4

题型二：函数与线段、周长问题

【例2】(2021・四川)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与1轴分别交于4、5两点，与歹轴交于点。

(0,6),抛物线的顶点坐标为£(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断△BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以。为圆心，血为半径作。C,在。。上是否存在点尸，使得尸的值最小，若存在,

请求出最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2

【答案】(1)尸-葭2+2/6；(2)直角三角形，见解析；(3)存在，业也

22

【分析】

(1)用待定系数法求函数解析式；

(2)分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；

(3)在CE上截取CF="(即C/等于半径的一半)，连接8尸交OC于点P,连接EP,则8尸的长即为

2

所求.

【详解】

解：(1)•.•抛物线的顶点坐标为E(2,8),

・••设该抛物线的表达式为尸。(x-2)2+8,

与y轴交于点C(0,6),

二把点C(0,6)代入得：＜7=——,

•••该抛物线的表达式为尸-*2+2x+6；

(2)ABCE是直角三角形.理由如下：

••,抛物线与x轴分别交于/、8两点，

二当y=0时，-g(x-2)2+8=0,解得：xi=-2,X2=6,

■.A(-2,0),B(6,0),

2222222

.•.JBC=6+6=72,2=(8-6)+2=8,B®=(6-2)+8=80,

:.BE^BO+CE2,

；/BCE=90°,

.•.△BCE是直角三角形；

(3)如图，在CE上截取。尸="(即C/等于半径的一半)，连接AF交OC于点尸，连接EP,

2

则3尸的长即为所求.

y

CFCP1

'CP~CE~2)

又•：乙FCP=4PCE,

:△FCPFPCE,

CFFP1FP=+EP,

CPPE2

：.BF=BP+^EP,

由“两点之间，线段最短”可得：3尸的长即BP+gEP为最小值.

■■-CF=-CE,E(2,8),

【例3】（2021•黑龙江）如图，抛物线y=ax2+fcc+c与x轴交于除原点。和点A,且其顶点8关于x轴的

对称点坐标为（2,1）.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）抛物线的对称轴上存在定点尸，使得抛物线y=a/+6x+c上的任意一点G到定点厂的距离与点G到

直线了=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点尸的坐标；

②过点尸的直线/与抛物线了="2+区+。交于MN两点.证明：当直线/绕点尸旋转时，上+占是定

值，并求出该定值；

（3）点C（3,⑼是该抛物线上的一点，在x轴，了轴上分别找点尸,0,使四边形尸。8c周长最小，直接写出

己。的坐标.

【答案】⑴y=^x2-x；（2）尸（2,0）；»=1,证明见解析（3）哈0）,。/-.）

【分析】

（1）先求出顶点B的坐标为（2,-1）,在设抛物线的解析式为y=a（x-2『-1,根据抛物线过原点，即可求

出其解析式；

（2）①设点尸坐标为（28），点G坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系

②设直线/的解析式为了=后（尤-2）,直线/与抛物线交于点直线方程与抛物线联立得出

22

yM+yN=4k,yM-yN=-4k,在结合①的结论，分别表示出许,酒的值，即可求解；

（3）先求出点C的坐标，分别作点C关于x轴的对称点C,点B关于了轴的对称点*,连接B'C',交x轴

于点P,交了轴于点。，则点尸，。即为所求

【详解】

解：（1）•.•点B关于x轴对称点的坐标为（2,1）

，点B的坐标为（2,-1）

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1

•••抛物点过原点

;.0=«（0-2）2-1

解得。4

11

二抛物线解析式为：y=a（x-2）92-l即歹=彳/一工

（2）①设点尸坐标为（2,6）,点G坐标为（a,；/-]

由题意可得:J（a-2/=+2_。+2

（2\

整理得：6K■-2"/J=0

:.b=0

二点尸的坐标为（2,0）

②设直线/的解析式为J=MX-2）,直线/与抛物线交于点M,N

f12

y=­x-x

<4

y=k^x-2）

-4（左Jk

整理得：>2-4左2y一4左2=0

2

yM+yN=4已加•％=-4k

由①得MF=%+2,湎=%+2

...--1-1---1=---1--1----1

MFNFyM+2yN+2

11yM+yN+4

MFNF加6+2（%+%）+4

114r+4,

----1---=--5-----=1

MFNF4抬+4

（3）二.点。（3,加）在抛物线y=%上，

1一3

m=—x9-3=——

44

如图：作点。关于1轴的对称点C,点3关于〉轴的对称点9

则点C：3，，点连接"c',交X轴于点尸，交y轴于点。，则此时四边形P08C周长最小

设直线B,C的解析式为y=kx+b

-2k+b=-l

3k+b=-

4

73

b=----

10

解得

kJ

20

73

直线B'C的解析式为了=Ax-A

点尸坐标为［"l，。］,

点Q坐标为而

题型三：函数与三角形面积

【例4】(2021•湖南)如图，在平面直角坐标系xQy中，平行四边形48CD的48边与y轴交于£点，F是

的中点，B、C、。的坐标分别为(-2,0),(8,0),03,10).

(2)试判断抛物线的顶点是否在直线所上；

(3)设过尸与42平行的直线交y轴于0,M是线段之间的动点，射线期与抛物线交于另一点P,当

△网。的面积最大时，求尸的坐标.

13

【答案】(1)了=-^/+5%+4；(2)顶点是在直线跖上，理由见解析；(3)P点坐标为(9,

一口).

4

【分析】

(1)先求出/点坐标，再求出直线N3的解析式，进而求得E的坐标，然后用待定系数法解答即可；

(2)先求出点尸的坐标，再求出直线环的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判

定即可；

(3)设尸点坐标为5-；(p+2乂。-8)),求出直线8尸的解析式，进而求得"的坐标；再求尸。的解析

式，确定0的坐标，可得|"0|=；(p-8)+6,最后根据&PB2=S&WB°+SA™。列出关于0的二次函数并根据

二次函数的性质求最值即可.

【详解】

解：⑴,•,平行四边形/BCD,B、C、。的坐标分别为(-2,0),(8,0),03,10)

：.A(3,10),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

10=3k+bk=2

则0=-2k+b,解得

b=4'

直线AB的解析式为尸2x+4,

当尸0时，y=4,则E的坐标为(0,4),

设抛物线的解析式为：y=a^+bx+c,

1

a=—

0=Q(-2『+(—2)b+c4

0—82,67+8b+c,解得＜b=-

z

4=c

c=4

1,3

.•.过8、E、C三点的抛物线的解析式为尸-二+]X+4；

(2)顶点是在直线跖上，理由如下：

•.F是40的中点，

-.F(8,10),

设直线EF的解析式为尸蛆+”,

r,f3

则sQ，解得人

i=4

3

・,・直线EF的解析式为尸]x+4,

13/

y=——x2+—x+4,

42

25

・•・抛物线的顶点坐标为(3,—),

4

253

•・•一=—x3+4,

44

••・抛物线的顶点是否在直线£尸上；

1Q11

(3)・・・昨—52+：x+4=・?x+2)(x—8),则设尸点坐标为(p,--(p+2)(^-8)),直线8尸的解析式为

y=dx+e9

)

0=—2d+ed=T°_8

则V1解得

Z(P+2)(P-8)=，d+ee=g(p-8)

二直线EF的解析式为尸-；(p-8)x+；(p-8),

当x=0时，产;(p-8),则Af点坐标为(0,—(/?-8)),

■：ABHFQ,

・•・设/0的解析式为产2x”则10=2x8”解得户6

:・FQ的解析式为y=2x-6,

・・©的坐标为（0,-6）,

••.MQ=g（P-8）+6,

SAA〃Q+S4MQ

=^QM-OB+^QM-PN

=^QM（OB+PN）

=gg（0_8）+6（2+0

19。

=--P~2+-P+^

.•.当〃=9时，△尸8。的面积最大时，

二尸点坐标为（9,）.

4

题型四：函数与四边形面积

【例5】（2021・四川）如图，抛物线7=办2+/+°（。/0）与x轴交于4、2两点，与〉轴交于C点,

AC=410,OB=OC=3OA.

(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P,使四边形PA4c的面积最大.求出点尸的坐标

(3)在(2)的结论下，点"为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点。.使点P、B、M、。为顶点的四

边形是平行四边形，若存在.请直接写出0点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=—x~—2x+3；(2)(——-,—)；(3)(——,—)或,——)或

242424

,-2+用15.

24

【分析】

(1)WOB=OC=3OA,AC=sJlQ,利用勾股定理求出CM,可得02和。C,得到/,B,C的坐标，用J用

待定系数法求出抛物线的解析式；

(2)判断出四边形8/C尸的面积最大时，48尸C的最大面积，过点尸作y轴的平行线交8c于点“，求出

39

直线8c的表达式，设点尸(x,-/-2x+3),利用三角形面积公式-5X,即可求出右肛面积最

小时点尸的坐标；

(3)分类讨论，一是当为平行四边形对角线时，二是当8P为平行四边形一边时，利用平移规律即可

求出点Q的坐标.

【详解】

M：(1)■■-OB=OC=3,OA,AC=y/lQ,

OC2+OA2=AC2,即(3O4)2+CM?=(项2,

解得：04=1,OC=OB=3,

■•■A(1,0),B(-3,0),C(0,3),代入y=办2+bx+c中,

0=a+b+ca-—1

贝ljv0=9Q-36+c,解得：＜b=-2,

3=cc=3

・•・抛物线的解析式为y=--一2、+3；

(2)如图，四边形尸R4C的面积=A5C4的面积+△尸5C的面积，

而A4BC的面积是定值，故四边形PA4C的面积最大，只需要△5PC的最大面积即可,

过点。作歹轴的平行线交BC于点H,

，:B(-3,0),C(0,3),设直线5C的表达式为严以x+〃，

・•・直线BC的表达式为y=x+3,

设点P(x,-N-2x+3),则点〃(x,x+3),

1I/O\309

尸x=5x(一1_2x+3-x-3)x3=一万%——Xf

3

•---<0,故S有最大值，即四边形尸加。的面积有最大值,

315

止匕时广一大，代入y=—工2一21+3得^=二，

24

(3)若30为平行四边形的对角线,

贝IJPQI山河，PQ=BM,

则尸、。关于直线--1对称，

如图，QP\\BM,QP=BM,

•••点。的纵坐标为-彳，代入k*-2x+3中,

解得一=T或.11（舍），

如图，BPWQM,BP=QM,

•••点0的纵坐标为一了，代入＞=—/一21+3中,

解得：A?（舍）或"三江

综上：点0的坐标为（J,9）或（"t弋）或（七回，中）.

41提分训练

1.（2021・甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=；/+bx+c与坐标轴交于/（0,-2）,3（4,0）两点,

直线8C:y=-2x+8交了轴于点C.点。为直线下方抛物线上一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为

G,0G分别交直线于点E,尸.

(1)求抛物线>=(/+8+。的表达式；

(2)当G尸=；,连接8。，求AAD尸的面积；

(3)①7/是V轴上一点，当四边形8E7/F是矩形时，求点7/的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点P,满足尸H=PC+2,求周长的最小值.

【答案】⑴夕后(2)⑶①“(0,3)；②4石+7

【分析】

(1)直接利用待定系数法即可求出答案.

0AGF

(2)由题意可求出。8=4,04=2.利用三角函数可知在及△BQ4和放厂中，tanZABO=——=——,

OBGB

由此即可求出G8=l,从而可求出0G=3.即可求出。点坐标，继而求出G£>=2.再根据GP=g,即可

求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案.

(3)①连接8”,交跖于点N.根据矩形的性质可知2"=9=；出/=；即，HF//BC.由斯〃NC,

可推出要=空=空=「由HF"BC,可推出*=空=1.再根据直线8C的解析式可求出C点坐标,

OGCEAFAHAF

即可得出OC的长，由此可求出/C的长，即可求出C"的长，最后即得出Ob的长，即可得出“点坐

标.

②在RQ03H中，利用勾股定理可求出773的长，再根据。/物=「〃+必+的结合H/=PC+2可推出

C"=PC+PB+7,即要使QPKB最小，就要PC+P2最小，由题意可知当点尸在BC上时，PC+PB=BC

为最小.即求出5C长即可.在MAOBC中，利用勾股定理求出5c的长，即得出△尸/汨周长的最小值为

BC+7.

【详解】

解：(1),・,抛物线＞过/(0,一2),8(4,0)两点,

Jc=-2

18+4b+c=0'

b=--

解得，2,

c=-2

123c

..y=­x—x—2.

22

(2)•••2(4,0),

:.OB=4.

同理，OA=2.

又尸J_x轴，O/_Lx轴，

••・在和MABG厂中，tanZABO=—=—,即2_昼,

°BGB4=GB

:.GB=\,

OG=OB-GB=4-1=3.

i3

当x=3时，＞0=5x32--x3-2=-2,

。(3,—2),即GZ)=2.

13

:.FD=GD-GF=2——=-,

22

(3)①如图，连接交EF于点、N.

•・・四边形族HF是矩形，

:.EF=BH,BN=NH=-BH.

2

又•：EF"AC,,

BN_BF

,•而一万一’

.BGBE_BF

''OG~~CE~^F~'

•・・四边形是矩形,

/.HF//BC.

CHBF1

-----=——=I,

AHAF

•・,当x=0时，%=8,

・・.OC=8,

•・・4C=OC+/O=8+2=l0,

CH=5,

:.OH=OC-CH=8-5=3,

.-.7/(0,3),

②在Rt.OBH中,HB=y]OH2+OB2=732+42=5,

♦;PH=PC+2.

:.C4fPtHitR5=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7

要使C*PHB最小，就要尸c+PB最小.

PC+PB>BC,

.•.当点尸在3c上时，PC+P8=8C为最小.

在比AOBC中，BC=Sc2+OB?=荷+片=46.

周长的最小值是4石+7.

2.(2021•福建)已知抛物线＞=ox2+6x+c与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点求6的最小值；

(2)已知点々(-2,1)/(2,-1)出(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线/：»=履+1与抛物线交于M,N两点，点N在直线了=-1上，且/M4N=90。，过点/且与x轴

垂直的直线分别交抛物线和于点2,C.求证：△跖^与△AffiC的面积相等.

【答案】⑴-1；(2)@y=^x2-②见解析

【分析】

(1)先求得c=l,根据抛物线y=a/+6x+c与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=(),从而构造二次函

数求解即可；

(2)①根据抛物线y=af+6x+c与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判

断即可；②证明N5=8C即可

【详解】

解：因为抛物线歹=办2+瓜+。与1轴只有一个公共点，

以方程a/+for+c=0有两个相等的实数根，

所以A=〃-4〃。=0,即〃=公。.

(1)因为抛物线过点尸(0,1),所以c=l,

A2

所以〃二公，BPa=—.

4

所以Q+b=Lb」(b+2)2—l,

44

当b=-2时，a+6取到最小值-1.

(2)①因为抛物线丁="2+/+。与工轴只有一个公共点，

所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧.

又点＜(-2,1),鸟(2,-1),4(2,1)中恰有两点在抛物线的图象上，

所以只能是＜(-2,1)出(2,1)在抛物线的图象上，

由对称性可得抛物线的对称轴为x=0,所以6=0,

即QC=O,因为QWO,所以C=O.

又点<（-2,1）在抛物线的图象上，所以4a=1,。=；,

故抛物线的解析式为了=J-.

4

②由题意设M（x”M）,N（X2,%）,/（%,T），则必=g+1,”=近2+I.

记直线>=T为加，分别过M,N作ME1m,NF1m,垂足分别为£,F,

即NMEA=ZAFN=90°,

因为/MZN=90°,所以/M4E+/M4尸=90°.

XZMAE+ZEMA=90°,所以/EMA=/NAF,所以AAMES^NAF.

所以==弁，所以七即5+1）（%+1）+（再一%）5-/）=0.

jy/rAr>2十1%2—%0

所以（应+2）（狂2+2）+（再-%）（%2-%）=o,

即（左之+1）匹%2+（2左一%0）（%+乙）+焉+4=0.①

把夕=丘+1代入y=；/,得/一4fcc-4=0,

4

解得xx=2k-2A/F+1,x2=2k+21k2+1,

所以国+工2=4左，石马二一4.②

将②代入①，得一4（〃+1）+4乂2左一X。）+焉+4=0,

即（/-2人『=0,解得毛=2左，即/（2后,-1）.

所以过点/且与x轴垂直的直线为x=2k,

将x=2左代入>=得了=/,即3（2左,〃），

将x=2上代入y=kx+\,得＞=2k2+1,

即C（2后,2r+1）,

所以/3=F+1,8C=左？+1,因此/5=8C,

所以4MAB与AMBC的面积相等.

3.（2020•衡阳）在平面直角坐标系xQy中，关于x的二次函数y=x2g+4的图象过点（7,0）,（2,

0）.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当-2。勺时，y的最大值与最小值的差；

（3）一次函数>=（2-m）x+2-m的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b,

且a<3<6,求机的取值范围.

【分析】（1）由二次函数的图象经过（-1,0）和（2,0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的

表达式；

（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当尤=-2,函数有最大值4；当x=T是函数有最小值-（

进而求得它们的差；

（3）由题意得X2-%-2=（2-m）x+2-tn,整理得x2+（m-3）x+m-4=0,因为aV2V叶b,△—

（m-3）2-4x（m-4）=（m-5）2>0,把x=3代入（2-加）x+2-m>x2-x-2,解得加V—万.

【解析】（1）由二次函数的图象经过（7,0）和（2,0）两点，

,',fi/zp+qi0,解得仁二』

・••此二次函数的表达式歹=N-x-2；

（2）•••抛物线开口向上，对称轴为直线工=手=9

.•.在-2。勺范围内，当x=-2,函数有最大值为：尸4+2-2=4；当x=g是函数有最小值：>=>2

9

——不

・••的最大值与最小值的差为：4-(4)=生

4-4

(3)'：y—(2-m)x+2-m与二次函数y=N-x-2图象交点的横坐标为a和b,

•••x2-x-2—(2-m)x+2-m,整理得

x2+(m-3)x+m-4=0

-a<3<b

:.a丰b

・•・△=(m-3)2-4x(m-4)=(m-5)2>0

•••*5

“V3Vb

当x=3时，(2-冽)x+2-m>x2-x-2,

把x=3代入(2-"力x+2-m>x2-x-2,解得m<—~

■■m的取值范围为m<—

4.(2021・天津)已知抛物线y=a/-2"+c(a,c为常数，aH0)经过点。,顶点为D

⑴当。=1时，求该抛物线的顶点坐标;

(II)当。＞0时，点£(0,1+。)，若DE=2&DC，求该抛物线的解析式;

(III)当时，点尸(0/-。)，过点C作直线/平行于X轴，”(加⑼是X轴上的动点，N("?+3,-l)是

直线/上的动点.当。为何值时，,+。N的最小值为2同，并求此时点M,N的坐标.

13

【答案】⑴抛物线的顶点坐标为(1,-2)；(II)了=江-1或尸产-31；(III)点河的坐标为

-：,o],点N的坐标为

【分析】

(I)结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得到

答案

(II)根据题意，得抛物线的解析式为＞-21；根据抛物线对称轴的性质，计算得点。的坐标为

13

过点。作。轴于点G,根据勾股定理和一元二次方程的性质，得q=：,出=：,从而得

到答案；

(III)当。＜-1时，将点。向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得。(-2,-0；作点尸

关于x轴的对称点尸'，当满足条件的点“落在线段正。上时，根据两点之间线段最短的性质，得FM+DN

最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得％=-(，从而得直线歹0'的解析式，通过计算即

可得到答案.

【详解】

(I)当。=1时，抛物线的解析式为丁=x?-2x+c.

•••抛物线经过点C(0「l)

•••0-0+c=-1

解得：c--l

••・抛物线的解析式为y=x2-2x-l

y=x—2x-1=(x-1)?-2

••・抛物线的顶点坐标为(1,-2)；

(II)当。＞0时，由抛物线yuax2-ZG+c经过点C(0,T),可知c=-l

••・抛物线的解析式为y=ax2-2ax-l

••・抛物线的对称轴为：龙=1

当x=l时，y=-a-\

••・抛物线的顶点D的坐标为；

过点。作。轴于点G

DE2=DG2+EG?=1+(2。+2)2

在RtADCG中，DG=1,CG=-1—{—a—1)=a,

■■DC2=DG2+CG2=l+a2.

•••DE=2V2Z)C,即DE2=8Z>C2,

.-.l+(2a+2)2=8(l+a2)

13

解得：%=5,%=5

iQ

••・抛物线的解析式为了=5一_工_1或>=_3x_i.

(Ill)当"-1时，将点。(1,-。-1)向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得。'(-2,

作点尸关于x轴的对称点F',得点F的坐标为(0,a-1)

当满足条件的点M落在线段尸〃上时，FM+DN最小,

此时，FM+DN=F'D'=2y/lO.

过点”作。及，V轴于点〃

在MAFD'H中,D'H=2,F'H=-a-（a-l）=l-2a,

F'D'2=F2H2+D'H2=（1-2af+4.

又尸D'2=40,即（l-2ay+4=40.

解得：%=-］5，7（舍）

.••点F的坐标为,点〃的坐标为，2,£|.

7

，直线FfDf的解析式为y=-3x--.

7

当＞=。时,％=一：.

6

7「11

m=——,m+3=一

66

二点M的坐标为,点N的坐标为.

5.（2021•江苏）如图，二次函数y=V-（加+1）无+%（加是实数，且-1＜机＜0）的图像与x轴交于A、B

两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C,己知点。位于第一象限，且在对称轴上，

点£在犬轴的正半轴上，OC=EC.连接瓦＞并延长交V轴于点尸，连接4F.

（1）求A、B、。三点的坐标（用数字或含加的式子表示）；

12

（2）已知点。在抛物线的对称轴上，当△/尸。的周长的最小值等于求加的值.

yy

【答案】(1)5(1,0),,0)(2)m=-1

【分析】

(1)把y=0代入函数解析式，可得m+1卜+加=0,再利用因式分解法解方程可得43的坐标，再求

解函数的对称轴，可得C的坐标；

(2)先证明△COOS^CDB,利用相似三角形的性质求解cr>2=3L,利用三角形的中位线定理再求解

4

O加=4Ca=i一加2.再利用勾股定理求解/尸=i,如图，当点尸、。、8三点共线时，?。+加的长最小,

7

此时△4F0的周长最小.可得8月=W.再利用勾股定理列方程，解方程可得答案.

【详解】

解：(1)令歹=0,贝lj%2一(加+1卜+加=0,

/.=0,

/.%=加,工2=1，

・・.4(加,0),5(1,0),

・•・对称轴为直线X=等，

(2)在放△OQ夕中，CD上OB,OD1BD,

ZODB=ZOCD=90°,

•・•/DOC=/BOD,

△CODs^CDB,

.CDCO

•・•«等,o]g(i,o),

OC=W,2C=l_Ud

222

CD_L%轴，OF_L%轴，

/.CD//OF.

•・•OC=EC,

...OF=2CD.

.•.OF2=4CD2=l-m2.

在瓦△/O厂中，AF2=OA2+OF2,

•*-AF2=m2+l—m2=1>即4F=1.（负根舍去）

•・•点A与点3关于对称轴对称，

：.QA=QB.

・•・如图，当点尸、。、3三点共线时，尸0+4。的长最小，此时的周长最小.

・・・△4F0的周长的最小值为19［，

的长最小值为二12―1=]7,即5/7

49

•••OF2+OB2=BF2,・・・1—9加+1=——.

25

：.m=±—.

5

v-1<m<0,

1

m=——.

5

6.（2020•凉山州）如图，二次函数尸"2+6x+x的图象过o（0,0）、N（1,0）、8（|,争三点.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点。，求直

线CD的解析式；

（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点尸，过点尸作尸轴，交直线CD于0,当线段尸0

【分析】（1）将点。、/、3的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）由点2的坐标知，直线30的倾斜角为30。，则中垂线（CD）与无负半轴的夹角为60。，故设

CD的表达式为：y=-^3x+b,而08中点的坐标为《，弓），将该点坐标代入CD表达式，即可求解;

（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H,PH=一岳+V3-（苧x?-等）=—竽x?-争+W,即

可求解.

c=0

【解析】（1）将点。、/、3的坐标代入抛物线表达式得%+Vc=°,解得b=-坦，

^-=-a+-b+c3

、242c=0

故抛物线的表达式为：》=等2一厚;

（2）由点2的坐标知，直线3。的倾斜角为30。，则中垂线（CD）与无负半轴的夹角为60。,

故设CD的表达式为：y——>/3x+b,而。2中点的坐标为（*当），

将该点坐标代入CD表达式并解得：b=W,

故直线CZ）的表达式为：y=—V3x+V3；

（3）设点尸（》,4，则点0（%,—V3x+V3）,

y

•••—竽<0,故尸。有最大值，此时点尸的坐标为（一；，需）.

7.（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数为=X2+6X+Q,y2=ax2+bx+l（Q,b是实数，存0）.

（1）若函数为的对称轴为直线x=3,且函数乃的图象经过点（a,b）,求函数为的表达式.

（2）若函数为的图象经过点。，0）,其中K0,求证：函数”的图象经过点出0）.

（3）设函数为和函数竺的最小值分别为冽和小若切+〃=0,求机，〃的值.

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可.

⑵函数片的图象经过点。，0）,其中厚0,可得八+-+a=0,推出1+§+1=0,即。弓）2+此+

1=0,推出§是方程办2+乐+1的根，可得结论.

（3）由题意a>0,■--m=-a~b~,n=4a~b\根据机+〃=0,构建方程可得结论.

44a

【解析】（1）由题意，得到—9=3,解得6=-6,

,•・函数乃的图象经过（。，-6）,

，层-6a+a=_6,

解得。=2或3,

・•.函数为=12-6x+2或y\=x2-6x+3.

(2)・.•函数为的图象经过点。，0),其中存0,

+br+a=0,

ba

••-1+]+M=0，

即a(-)2+加工+1=0,

rr

《是方程"2+bx+l的根,

即函数”的图象经过点（30）.

（3）由题意a>0,•••冽=丝=>n=4a~b,

44a

•・"+〃=0,

4a—b2.4a-b2八

---4-----F—4—a=0,

（4a-拄）（q+1）=0,

••,a+1>0,

.•.4a-Z>2=o,

■■-m=n=0.

8.（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点/（1,2）,3（2,3）,C（2,1）,直线y=x+%经过点

A,抛物线了=狈2+加+1恰好经过/,B,C三点中的两点.

（1）判断点3是否在直线y=x+/M上，并说明理由；

（2）求a,6的值；

（3）平移抛物线y=aN+6x+l,使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与〉轴交点纵坐标

的最大值.

【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点8（2,3）在直线y=x+m上；

（2）因为直线经过/、8和点（0,1）,所以经过点（0,1）的抛物线不同时经过/、B点,即可判断

抛物线只能经过N、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；

（3）设平移后的抛物线为尸7珈+0其顶点坐标为（|,9+q）,根据题意得出中+«岩+1,由

抛物线y=-xg+g与y轴交点的纵坐标为q,即可得出4=?一3-1=一；5-1）2+*从而得出g的

最大值.

【解析】（1）点8是在直线）；=%+加上，理由如下：

・・,直线y=x+次经过点4（1,2）,

•••2=1+加，解得加=1,

・,・直线为y=x+l,

把x=2代入y=x+l得y=3,

••点B(2,3)在直线y=x