广东省惠州市2023-2024学年高一年级上册1月期末质量检测 数学试卷

第一学期期末质量监测

局一数学

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1cos780°=()

RA/3N6

A.--B.3Vz.----U.------

2222

2.设集合A={R—3<x<2},B=|x|/(x)=lg(x+l)+lg(l-x)J,则AD5=()

A.{小<2}B.^x|-3<x<21

C.{x|-2<xv2}D.1x|x>-3}

3.“Z?2-4ac<0”是“一元二次不等式依2+云+°>0的解集为尺”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

4.方程lgx—4=-x的解所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D,(3,4)

5已知幕函数=—则〃-1)=()

A.-1B.1C.-2D.2

6.已知a=e%Z7=O,8e.C=logle，则()

2

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

7.已知函数八力是R上的减函数，A(-l,l),5(3,—1)是其图象上的两点，那么—1)|>1的解集是

()

A.(-OO,0)<J(4,-H»)B.(^»,0)U(2,-H»)

C.(0,4)D.(-oo,0)

8.中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小.用声强/(单位：W/m2)

表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级（（单位：dB）与声强I的函数关系式为

L,=101g—.若普通列车的声强级是95dB,高速列车的声强级是45dB,则普通列车的声强是高速列车

100

声强的（）

A.6倍B.IO,倍C.5倍D.IO,倍

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

2x+l,%<0，/、

9.已知函数y（x）=＜—,x>。'若/（"）=2,则x=（）

A.0B.2C.4D.6

10.角。为第二象限角的充要条件是（）

sin6〉0sin6^>0

A.<B.<

cos<9<0tan<0

cos6<0cos^<0

C.<D.《

tan。<0sin6<0

a

11.已知a为第二象限角，那么一是（）

3

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

12.定义在（0,+“）上的函数满足“2〃：）：：/伍）＜0,且/［卜3,/（3）=9,则下列结论中正确

的是（）

A.不等式/（尤）＞3］的解集为（3,+8）

B.不等式〃x）＞3x解集为（0,3）

C.不等式/（x）＜6x的解集为

D.不等式〃力＜6无的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y=loga（x—2）+2（。＞0且awl）的图象恒过定点

14.函数〃％)=优(a>0且a/l)的图象经过点(1,10),则函数“X)的反函数g(x)=.

15.函数/(x)=ln(x—a+1)的图象经过一、三、四象限，则°的取值范围是.

16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点尸为正

六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点P走过的路程为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17计算：

(1)o,2,16

+乃+log2T-log4y

(2)10cos270°+4sin00+9tan600+15cos(-360°)

18.已知sina=2也且a为第二象限角.

3

(1)求cose和tana的值；

sintzcos>0+3sin—+asin^

(2)若tan£=后，求__________12J的值.

cos(7t+tz)cos(-^)-3sincrsin(3

19.(1)已知函数/(x)=2',求函数的值域；

2

(2)解关于x的不等式：loga(x+1)<logfl(3-x)(a>0且awl).

20.已知二次函数满足"0)=1,且/(x+1)—〃x)=2x—1,g(x)为偶函数，且当x20时,

g(x)=/(%).

-2

(1)求/(X)的解析式；

(2)在给定的坐标系内画出g(x)的图象；

(3)讨论函数/z(x)=g(x)T(/eR)的零点个数.

3'-3-x

21.已知函数/(%)=

3'+3r

⑴判断函数/(%)的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数/(%)在R上的单调性，并用单调性定义证明.

22.已知函数/(x)=21

(1)当尤«0,8］时，不等式+［(尤+4］总成立，求a的取值范围；

⑵试求函数G(x)=/(x+l)+</(2x)(awR)在xe(fo,0］最大值H(a).

2023-2024学年度第一学期期末质量监测

局一数学

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.cos780°=()

A.--B.1C.—D.走

2222

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.

解析】cos780°=cos(360°x2+60°)=cos60°=；.

故选：B

2.设集合A={R—3<x<2},B=1x|/(x)=lg(x+l)+lg(l-x)J,则AD5=()

A.{x|x<2}B.{x|-3<x<2}

C|x|-2<x<2}D.{x|x>-3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据真数大于0列不等式组求出集合3,然后由集合并集运算可得.

【解析】由<c解得3={x—1<X<1},

l-x>0*'

所以Au3={x1-3<x<2}.

故选：B

3.“廿-4ac<0”是“一元二次不等式依2+法+00的解集为R”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C,充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

利用充分条件、必要条件的定义结合一元二次不等式在R上恒成立的等价条件判断即可.

【解析】充分性：若“<0,/=4衣<0,一元二次不等式以2+法+°>。的解集为。，

即充分性不成立；

a>0

必要性：若一元二次不等式依2+bx+c>0的解集为R,贝叫C，即必要性

A=Zr-4ac<0

成立.

因此，—4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的必要非充分条件.

故选：B.

【小结】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了一元二次不等式在R上恒成立的

等价条件的应用，考查推理能力，属于基础题.

4.方程Igx—4=—x的解所在的区间为（）

A.（0,1）B,（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数/（x）=lgx+x-4,根据零点存在性定理和单调性可解.

【解析】解：构造函数/（x）=lgx+x—4,

因为〃3）=lg3—1<0,/（4）=lg4>0,

故〃3）/（4）<0,所以函数在（3,4）内有零点，

因为函数/（%）是增函数，所以函数有唯一零点.

故选：D

5.已知幕函数=—则〃―1）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数为塞函数得到方程，求出m=2,得到解析式，代入求值即可.

【解析】因为〃尤）=（"2—1）/j是幕函数，所以加—1=1,即777=2,

所以/（尤）=*3,/（—1）=（—1）=-1.

故选：A.

6.已知a=e%^=0.8%C=logle，则（）

2

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数单调性及中间值比较出大小.

【解析】函数y=e"在R上单调递增，故〃=6。8>6°=1，

y=0.8'在R上单调递减，b=0.8ee（0,0.8°）=（0,1）,

>=log]》在（0,+x）上单调递减，c=logje<logj1=0,

故cvbv〃.

故选：c.

7.已知函数〃%）是R上的减函数，A（-M）,5（3,—1）是其图象上的两点，那么

—1）|>1的解集是（）

A.（-co,0）U（4,+oo）B.（^»,0）|J（2,+<»）

C.（0,4）D.（-oo,0）

【答案】A

【解析】

【分析】利用单调性去掉函数符号即可求解.

【解析】解：由—得/（X—1）〉1或/（九一1）<一1,

因为函数/（%）是R上的减函数，/（-1）=1，/（3）=-1,

所以有x—1<—1,%—1>3,

所以xvO或x>4.

故选：A.

8.中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小.用声强I

（单位：w/n?）表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级。（单位：

dB）与声强I的函数关系式为乙=101g—，一.若普通列车的声强级是95dB,高速列车的声

100

强级是45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的（）

A.6倍B.倍C.5倍D.1（）5倍

【答案】D

【解析】

【分析】得到lg/=L*，故32=5,得到答案.

10h

【解析】设普通列车和高速列车的声强分别为八，

由乙=101g」一得坨/=上出,/j,r,z95+2045+20

，则lg[=lg，—lg4=J。=5,

1001010

所以?=101

A

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

z\2'+1,九00（、

9.已知函数y（x）=J,若〃x）=2,贝”=（）

log,JC0

A.0B.2C.4D.6

【答案】AC

【解析】

【分析】分两种情况，得到方程，求出答案.

/、x<0fx>0

【解析】由〃尤）=2,得…，°或<解得x=。或工=4,

7

'2,+1=2[log2x=2

故选：AC

10.角。为第二象限角的充要条件是（）

sin9〉0sin9〉0

A.1

cos0<0tan8<0

cos0<Ocos0<O

C<D.<

tan8<0sin"0

【答案】ABC

【解析】

【分析】。为第二象限角时，sin。〉。，cos6><0,tanScO,结合切弦之间的关系即可

得解.

sin8〉0

【解析为第二象限角时，sin6>0,cos6<0,tanOvO,所以排除D；《

cos0<0

为第二象限角，A正确;

sin8〉0cos0<0

为第二象限角，B正确；\o。为第二象限角，C正确.

tan6><0tan8<0

故选:ABC

a

11.已知a为第二象限角，那么一是（）

3

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】ABD

【解析】

OL

【分析】根据4的范围得到一的范围，分左=3"，左=3〃+1和左=3〃+2,三种情况,

3

求出答案.

,兀c,c,,,_、/口兀2klia兀2kn,,、

【解析】由—K2ATI<。<兀+2ATI,(keZ),倚—I---<•—<—I---(%eZ),

263333

JIocTIa

当左二3〃时，1-2/771<一<—1~2〃兀，(ZZGZ),一为第一^象限角；

6333

5兀aa

当左=3〃+1时，---F2〃兀<一<兀+2〃兀，(nGZ)>一为第二象限角;

633

37r57r（7

当左=3〃+2时，——+2〃兀＜一＜——+2〃兀，（〃GZ）,一为第四象限角.

2333

故选：ABD

12.定义在（0,+8）上的函数满足（Z）＜0,且/3,/⑶=9,则

下列结论中正确的是（）

A.不等式/（x）＞3%的解集为（3,+8）

B.不等式/（x）＞3x的解集为（0,3）

C.不等式/（x）＜6x的解集为

D.不等式〃无）＜6x的解集为

【答案】BC

【解析】

【分析】先得到g（x）=/区的单调性，AB选项，/（x）＞3x变形得到工区〉3,故

XX

g（x）＞g（3）,根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由“无）＜6无得

以上<6,故g(x)<g

,根据函数单调性得到不等式，求出解集.

X

【解析】（㈤＜0,不妨设故//（%）—%/（七）＜0,

%一工2

即"J,令g(x)=/(x),贝I]g(%J<g(%),

%]%2%

故g（x）=/⑷在（0,+8）上单调递减,

AB选项，f（x）＞3x,不等式两边同除以X得：工^〉3,

X

因为"3）=9,所以8⑶二坐^,即g（x）＞g（3）,

根据g(x)在(0,+8)上单调递减，故1<3,综上：0<x<3,A错误，B正确;

CD选项，由〃无)<6尤得/H<6，

X

因为=所以—^—=6,即g(x)<g]|J,

2

因为g(x)在(0,+。)上单调递减，所以无>；,C正确，D错误

故选：BC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y=log0(％-2)+2(。>0且awl)的图象恒过定点

【答案】(3,2)

【解析】

【解析】试题分析：X=3时，j=logal+2=2,图象恒过点(3,2).

考点：对数函数的性质.

14.函数八%)="(a>0且awl)的图象经过点(1,10)，则函数了(%)的反函数

g(x)=-

【答案】Igx

【解析】

【分析】代入求出a=10,得到/(x)=101进而求出反函数.

【解析】函数/(九)="(a>0,且awl)的图象经过点(1,10),贝Ua=10,

所以/(x)=10*,故/(x)的反函数g(x)=Igx

故答案为：Igx

15.函数/(x)=ln(x—a+1)的图象经过一、三、四象限，则a的取值范围是.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】根据题意得到〃龙）的图象与y轴交点（0』n（-a+1））在y轴的负半轴上，则

ln（-a+l）<0,求出答案.

【解析】函数/（x）=ln（x—。+1）在定义域内单调递增，图象经过一、三、四象限，

所以函数〃％）的图象与y轴交点（O,ln（—a+1））在y轴的负半轴上，则ln（—a+l）<0,

故0<-〃+1<1,解得Ovavl.

故答案为：（0,1）

16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动

翻滚，点P为正六边形的一个顶点，当点P第一次落在桌面上时，点尸走过的路程为

【答案】［1+用乃

【解析】

【分析】根据已知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为（，可得点P第一次落

在桌面上时，点尸走过的路程为：分别以为圆心，为半径，圆心角为q

的弧长和，求出三段弧长，即可得出结论.

由正六边形的关系可得，AP=2,BP=5

正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为事,

点尸第一次落在桌面上时，点P走过的路程为:

故答案为：（1+

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

17.计算:

2

o।2।16

(1)+乃+1。82§-1吗3,

(2)10cos2700+4sin00+9tan600+15cos(-360°).

4

【答案】(1)-

9

⑵9^+15

【解析】

【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则，换底公式计算出答案;

（2）利用特殊角的三角函数值进行计算即可.

【小问1解析】

原式

—

+1+1log23—2+21og43

log?3

2

log22

4i0clog3

=--10§23+2><^^?

_4

-9；

【小问2解析】

原式=0+0+93+15=96+15

18.已知sina=2也且a为第二象限角.

3

(1)求cosa和tana的值；

「sincifcosyff+3sin—+asinB

(2)若tan,=0，求__________(2J'的值.

cos(7i+cr)cos(~13)-3sin«sin/3

1-

【答案】⑴cosa=--,tana=-2^/2-

⑵叵

11

【解析】

【分析】(1)由同角三角函数关系和々的范围得到余弦，进而得到正切值；

(2)解法1：诱导公式化简后，化弦为切，结合(1)知tana=-2应，代入求值；

解法2：诱导公式化简后，利用since=-2j^cosa和sin4=J^cos£,代入求值.

【小问1解析】

由sina=2'^，得cos-cu=1—sin-a=1—=—,

399

2V2

为第二象限角，所以coscr=—三，故tana=H2^=g-=—2后，

3cosa」

-3

【小问2解析】

解法1：由(1)知tano=—2后，

sinocos/+3sin工+osin/.

^2)_sincifcosp+3coscifsinp

cos(7i+or)cos(一月)一3sinosin0cosacos/+3sinosin/?

tana+3tan/3—2^/2+3A/2

l+3tanatan尸1+3义(-2拒、义母H

解法2：由（1）知tana--20，得sina--2A/2cosa，

由tan，=后，得sin£=0cos/?，

sinacosyff+3sin—+6zsin/?.

^2）_sinorcosp+3coscifsinp

cos（7i+a）cos（一尸）一3sinasin[3cosacos/+3sinasin/?

-242COSOfCOS/?+3\/2cOS6ZCOSy5_5/2coscifcos/?_\/2

cosacos/?-12cosacos/?—llcosacos/?11

19.（1）已知函数/（%）=2=xe[1,2],求函数的值域；

（2）解关于X的不等式：log.（x+l）<loga（3—九2）（a>0且awl）.

【答案】（1）（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）利用指数函数单调性求出值域即得.

（2）按。<々<1,4>1分类，结合对数函数单调性求解不等式即得.

【解析】⑴函数/（%）=2'在g,2]上单调递增，则2%2隈22,即及K/（x）K4,

所以函数/（x）=2、，xeI，2的值域为[后,4].

2

⑵当0<”1时，/（%）=1。8“％在（0,+8）上单调递减，ilog„（x+1）<logfl（3-X）,

得q—“>2,解得I<X<G，因此不等式的解集为（1,、石）；

当a>l时，/（力=1。8小在（0,+8）上单调递增，由log〃（x+l）<loga（3—x2）,

x+1>0/、

得1a2,解得一1<%<1，因此不等式的解集为（一1,1）;

x+1<3—x

所以当0<“<1时，不等式的解集为（1,、回）；当时，不等式的解集为（—1,1）.

20.已知二次函数/（九）满足"0）=1,且〃x+l）-〃x）=2x-l,g（x）为偶函数,且

当x20时，g（x）=/（%）.

(1)求/(尤)的解析式；

(2)在给定的坐标系内画出g(x)的图象；

(3)讨论函数/i(x)=g(x)TCeR)的零点个数.

【答案】(1)/(%)=x2-2J;+1

(2)作图见解析(3)答案见解析

【解析】

【分析】(1)设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出”,仇c,得到解析式;

(2)根据函数的奇偶性得到g(x)的解析式，从而画出函数图象;

(3)在(2)的基础上，得到函数零点个数

【小问1解析】

设/(X)=加+法+c("。),则/⑼=c=l

因为/(x+l)-/(x)=[a(x+l『+Z?(x+1)+1]—(ox?+Z?x+1)=2ax+a+b,

故2ax+Q+Z?=2X-1,

2a=2—1

所以解得＜

a+b=-lb二—2

因此/(x)=f-2x+l；

【小问2解析】

当x20时，g(x)=/(x)=x2-2x+l,

当x<0时，—x>0,则g(—%)=(—x)—2(—x)+1=尤~+2x+1,

g(x)为偶函数，故g(-x)=g(x),

故g(x)=f+2x+l,

%2-2%+1,%>0

综上，g(x)=<

%2+2x+1,x<0

画出函数图象如下:

【小问3解析】

由图可知,g(l)=g(-l)=O,g(o)=l,

当f<0时，函数/z(x)没有零点,

当/=0时，函数人(九)只有两个零点,

当0</<1时，函数人⑴有四个零点,

当;1时，函数/©)有三个零点，

当ci时，函数/z(x)有两个零点

3'-3'x

21.已知函数〃x)=

3'+3r

⑴判断函数〃龙)的奇偶性，并说明理由；