广东省清远市连州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷（含答案）

连州市2024-2025学年度第一学期期中核心素养展示活动

九年级数学试卷

本试卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己

的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和

“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形

码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答

在试题上.

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列方程：x°+—=1,x2-2x-3=0,x2+y-l=0,ax2+bx+c=Q（其中a、b、c为

尤

常数，且awO）是一元二次方程的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

2.轴对称图形和中心对称图形是我们生活中常见的几何图形，下列图形是中心对称图形，

但不是轴对称图形的是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

3.在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇

均匀，随机摸出一个球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频

率稳定在0.3,则袋中黑球约有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.下列是一元二次方程/+2》一3=0的解的是（）

A.x=}B.x=—1C.x=2D.x=—2

试卷第1页，共6页

5.一元二次方程，+4六1=0经过配方后可变形为（）

A.（x-2）2=3B.（X-2）2=5

C.（X+2）2=3D.（X+2）2=5

6.关于x的一元二次方程/+3x+2=0的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

7.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

8.如图，在菱形48CD中，对角线NC,8。相交于点O,£为/。的中点，且OE=3,则

菱形/BCD的周长为（）

A.9B.12C.18D.24

9.如图，矩形/08C的边NO,2。分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且49=3,

AB=5,则点C的坐标为（）

C.（4,5）D.（3,4）

10.如图，正方形ABCZ1的周长为16,是等边三角形，点E在正方形ABCD内部,

点尸是对角线/C上的动点，连接尸E、PD,则PE+尸。的最小值为（）

A.272B.2后C.4D.472

试卷第2页，共6页

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.一元二次方程2/-3x+l=0的二次项系数为—，一次项系数为—，常数项为—.

12.若x=l是关于x的一元二次方程X2+7MX-3=0的一个根，则机的值是.

13.如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分

割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇

14.如图，菱形的两条对角线/C、5。相交于点。，AC=S,BD=6,则菱形的面

积为.

15.如图，将矩形48。沿着对角线5。折叠得到A&DC',若3c=8,CD=6,则力。。与

矩形/BCD重叠部分ABE。的面积为.

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.请用适当的方法解方程：x?+6x+9=2（x+3）.

17.如图，2。是矩形的一条对角线.

（1）作的垂直平分线EF,分别交4D,BC于点、E,F,垂足为点O；（要求用尺规作图,

保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）中，连接和。R求证：四边形DE8厂是菱形

试卷第3页，共6页

18.如图，口ABCD,BE平分/4BC,CE平分/BCD.BF//CE,CF//BE.求证：四

边形BEC尸是矩形.

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.根据以下素材，探索完成任务.

材料1：打印机碳粉盒和碳粉是常用的消耗品，需要定时更换，某公司统一购买打印机碳粉

盒和碳粉.

材料2：该公司后勤部准备补进打印机碳粉盒和碳粉共400件.批发市场上碳粉盒的单价为

80元，碳粉单价为30元.商家为了促销且保证有一定的利润，当碳粉盒购买数量超过80

件时，每多购买1件，所有碳粉盒的单价下降1元，但单价不低于50元.

问题解决

(1)任务1：若补进碳粉盒90件，求公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花元(直接写出

结果)

(2)任务2：设补进碳粉盒x件，若804x4110,则补进的碳粉盒单价为元，补进碳粉

的总价为元(用含有x的代数式表示，直接写出结果)；

(3)任务3：在任务2的条件下，若该公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花了15000元，求补进

碳粉多少件？

20.有四张反面完全相同的纸牌/,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形，将四

张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上.

试卷第4页，共6页

(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是.

(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回.再由小亮从

剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则

小亮获胜，否则小明获胜.这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由.

21.综合与实践

【实践操作】

步骤1：准备一张矩形纸片；

步骤2：按如图所示方式操作：将A/BE沿BE翻折，使点/落在对角线8。上的点“处；

步骤3：按如图所示方式操作：将△€*£1尸沿DF翻折，使点C落在对角线50上的点N处.

nF('

【实践探索】

(1)用你所学数学知识说明：四边形5即尸是平行四边形；

(2)当四边形BE。尸是菱形时，且/8=2,求菱形尸的面积.

五、解答题(三)：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14,共27分.

22.【材料阅读】

十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间

存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理.韦达定理:

有一元二次方程形如办2+加+C=0(a,b,C是常数，且。工0)的两根分别为X1，尤2则有

bc

Xj+%2=--，X|X=一•

a2a

【问题解决】

(1)若加，〃是关于x的一元二次方程/-5x+6=0的两个实数根；求■1■+■的值.

mn

试卷第5页，共6页

(2)若占，%是关于x的一元二次方程%2-2(左+l)x+l+2=0的两个实数根，且

(X1+1).(X2+1)=8,求人的值.

(3)己知：a,B(a>〃)是一元二次方程V-x-l=O的两个实数根，设用=a+/3,

22

s2=a+/3,求1，S2的值.

23.问题背景：

如图1,在正方形4BCD中，点E、尸分别在边3C、上，ZEAF=45°,

图1图2图3

(1)延长FD到点尸使。尸=8E,连接4尸，求证：EF=BE+DF；

(2)迁移应用：如图2,在正方形48co中，。/、QB交CD于点、G、H,过点/作

交BC于M,交BH于I,连接GM,若N4QB=45。,CH=3,GH=l,求NG的长；

(3)联系拓展：如图3,在矩形/BCD中，点E、尸分别在边BC、C。上，ZEAF=45°,分别

取42,/£的中点M,T,连接"T并延长交CD于N,连接7F,若

DF-.AD:AB=\-.2-A,直接写出BE与CE的数量关系.

试卷第6页，共6页

1.B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

【详解】解：工2+±=1含有分式，不是一元二次方程，

X

无2+>一1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，

X2-2X-3=0,ax2+bx+c=0(其中。、b、c为常数，且。片0)是一元二次方程，

故选：B.

2.A

【分析】此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形

的定义是解决此题的关键.根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】A.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意.

B.菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C.矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D.正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选择：A

3.C

【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率

可以估计事件的概率.在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概

率附近，再根据概率进行计算即可.

【详解】解：•••通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.3,

二摸到黑球的概率为0.3,

袋中黑球约有10x0.3=3(个)，

故选：C.

4.A

【分析】本题考查解一元二次方程、一元二次方程的解.利用因式分解法求出*+2x-3=0

的解，即可得出答案.

【详解】解：x2+2x—3=0,

因式分解得(x+3)(x-l)=0,

可得x+3=0或、一1=0,

答案第1页，共14页

解得占=-3,x2=l,

观察四个选项可知，只有选项A符合要求，

故选：A.

5.D

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可

得答案.

【详解】解：,•-x2+4x-1=0,

.1•x2+4x=L

贝ijN+4x+4=l+4,即（x+2）2=5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

6.B

【分析】本题考查了根的判别式，先计算出根的判别式的值得到A>0,然后根据根的判别

式的意义判断方程根的情况.

【详解】解：,•,A=32-4xlx2=l>0,

二有两个不相等的实数根.

故选：B.

7.B

【分析】此题主要考查的是三角形的中位线性质和菱形的判定.根据等腰梯形的性质及中位

线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形.

【详解】解：如图，等腰梯形/3CD中，AD//BC,AB=CD,E、F、G、a分别是各

边的中点，连接/C、BD,

E、尸分别是48、2c的中点,

答案第2页，共14页

同理尸6=工8。,6〃=l/。,即=工8。，

222

又；四边形NBC。是等腰梯形，

/.AC—BD,

：.EF=FG=GH=HE,

四边形EFGH是菱形，

故选：B.

8.D

【分析】由菱形性质结合题意可得出为A/。中位线，即得出CD=2OE=6,进而由菱

形的周长公式求解.

【详解】解：,•・菱形NBCD中，对角线NC,5。相交于点O,

二点0为AC中点，

.•.OE为"C。中位线，

CD=20E=6,

二菱形ABCD的周长为4CD=24.

故选D.

【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理.掌握三角形的中位线平行于第三边并且

等于它的一半是解题关键.

9.B

【分析】本题考查了坐标平面内的点的坐标特征，同时也考查了矩形的性质，勾股定理，熟

练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键.先由勾股定理得到

0B=4,结合矩形的性质及点C所在象限即可得解；

【详解】•••四边形NOBC是矩形，

.-.OA=BC,OB=AC,NAOB=90°,

•・・/。=3,48=5,在直角三角形中，由勾股定理得：

OB=>]AB2-OA2=552-32=4，

又点C到了轴的距离为4C的长度4,到X轴的距离为NO的长度3.

又因为点C在第一象限，所以点C的坐标为（4,3）.

故选择：B

10.C

答案第3页，共14页

【分析】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，由于点8与。关于NC对称，所以连接

BD,与/C的交点即为P点.此时尸。+尸石=8£最小，而3E是等边“BE的边，

BE=AB,由正方形/BCD的周长为16,可求出48的长，从而得出结果.

【详解】解：连接8。，与/C交于点E

•.•点8与。关于NC对称,

•••PD=PB,

■.PD+PE=PB+PE>BE,

PD+PE=BE最小，

•.・正方形48C。的周长为16,

AB=4,

又是等边三角形，

*'•BE=AB=4,

故尸E+PD的最小值为4.

故选：C.

11.2-31

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，直接根据题意作答即可.

【详解】一元二次方程2尤2一3》+1=0的二次项系数为2,一次项系数为-3,常数项为1.

故答案为：2；-3；1.

12.2

【分析】把x=l代入方程Y+加x-3=0,得出一个关于俄的方程，解方程即可.

【详解】解：把x=1代入方程f+W/X-3=0得：1+机一3=0,

解得：m=2.

故答案为：2

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于

机的方程.

答案第4页，共14页

【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图展示所有12种等可能的结果，两个指针

所指区域的数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式计算.

【详解】解：画树状图为：

开始

123412341234

和345645675678

共有12种等可能的结果，两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果数为6种，

所以两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是二=4.

故答案为：—.

14.24

【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的性质解答即可求解，掌握菱形的面积等于对角

线积的一半是解题的关键.

【详解】解：•・•四边形/BCD是菱形，4c=8,BD=6,

A

・••S菱形ABCD=；C・BD=1X8X6=24,

故答案为：24.

175

15.—

4

【分析】此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，S.BED=；DE-AB,所以需求DE的

长.根据NC'BD=NDBC=NBDA得DE=BE,设。E=x,则4E=8-x,根据勾股定理求

BE即DE的长.

【详解】解：•••ABCD为矩形，

AD//BC,

ZDBC=ABDA,

•••将矩形/BCD沿着对角线折叠得到ABOC',

ZC'BD=ZDBC,

答案第5页，共14页

・•.ZCBD=ABDA,

*'•DE=BE,

设DE=x,则AE=8-x,

在RtZ\48E中，BE2=AB2+AE2,

.-.x2=62+(8-X)2.

解得％=」25，

4

c=1”5=125,=75j

•••SADBE22V

75

故答案为：.

4

16.X[=—3,%2=-1

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，灵活运用提取公因式法分解因式是解题的

关键.

先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，可以得到两

个一元一次方程，进而求解.

【详解】解：J+6x+9=2(x+3)

(x+3)2=2(x+3)

(X+3)2-2(X+3)=0

(x+3)(x+3-2)=0

(x+3)(x+l)=0

x+3=0或x+l=0

..——3,x?=一1

17.(1)作图见解析；(2)证明见解析.

【详解】(1)分别以B、D为圆心，以大于1田的长为半径四弧交于两点，过两点作直线

即可得到线段BD的垂直平分线；(2)利用垂直平分线证得三aBFO即可证得

EO=FO,进而利用菱形的判定方法得出结论.

本题解析:⑴如图所示：EF即为所求；

答案第6页，共14页

(2)证明：如图所示：•・•四边形ABCD为矩形，.・.AD||BC,「ZADB2CBD,

•・・EF垂直平分线段BD,・・.BO=DO,

在△口£()和三角形BFO中，

/ADB=ZCBD

v{BO=DO

/DOE=ZBOF

/.ADEO=ABFO(ASA),・・.EO=FO,

•••四边形DEBF是平行四边形，又・・・EF1BD,

••・四边形DEBF是菱形.

18.见解析

【分析】根据题意可证明四边形2ECF"是平行四边形，根据角平分线可得=

ZECB=^ZBCD,根据平行四边形得48〃。，可得43C+N8S=180。，贝!]

EBC+ZECB=90°,根据三角形内角和定理得/BEC=90。，即可得.

【详解】证明：-.-BF/ZCE,CF//BE,

四边形8E3是平行四边形，

•；BE平分NABC,CE平分NBCD,

ZEBC=-ZABC,ZECB=-ZBCD,

22

•.•四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,

ZABC+ZBCD=1^0°,

EBC+ZECB=1(ZABC+ZBCD)=NEBC+ZECB=90°,

:.NBEC=90°,

・•.平行四边形8EC尸是矩形.

答案第7页，共14页

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，解题的关键是理解

题意，掌握这些知识点.

19.(1)15600元

⑵(160-x)；(12000-30^)

(3)300件

【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用.

(1)根据题意“当碳粉盒购买数量超过80件时，每多购买1件，所有碳粉盒的单价下降1

元，但单价不低于50元”列出算式即可求解；

(2)设补进碳粉盒x件，根据题意列出代数式即可求解；

(3)根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：依题意，碳粉盒补进90件，则

[80-(90-80)xl]x90+(400-90)x30=15600^,

.•・若补进碳粉盒90件，公司后勤部补进碳粉盒和碳粉共花15600元，

故答案为：15600；

(2)解：设补进碳粉盒x件，若80VXV110,刚补进碳粉盒的单价为80-(x-80)xl=160-x

(元)，

补进碳粉的总价为：(400-x)x30=12000-30x(元)，

故答案为：(160-x),(12000-30x);

(3)解：依题意，(160-x)尤+(12000-30x)=15000,

解得：%=30,x2=100,

•■-80<x<110,

=100,400-100=300,

答:补进碳粉300件.

3

20.(1)-

(2)游戏不公平，理由见解析

【分析】(1)直接根据概率公式计算即可.

(2)首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的

答案第8页，共14页

结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平.

【详解】（1）解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，

3

从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是了;

4

3

故答案为：—；

4

（2）游戏不公平，理由如下：

列表得：

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中

心对称图形的结果有2种，

._2__1

:，P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）=五二不，

••・小亮获胜的概率为六，小明获胜的概率为

••・游戏不公平.

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注

意此题是放回试验还是不放回试验.正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区

分中心对称图形是要点.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.（1）证明见解析；

Q呼.

【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握

相关知识是解题的关键.

（1）根据折叠和矩形的性质以及平行四边形的判定证明即可；

（2）根据折叠的性质、菱形的性质和面积解答即可.

答案第9页，共14页

【详解】(1)证明：•••四边形/BCD是矩形，

AD//BC,48||C。，则乙48。=,

由折叠性质可得：

ZEBD=-ZABD,ZFDB=-ZCDB,

22

ZEBD=ZFDB,

BE//DF,

又；AD\\BC

.•.四边形BEDF是平行四边形；

(2)解：•••四边形ABCD是矩形，

N4=NABC=90°,

••・四边形8项)E是菱形，

ZEBD=ZDBF,BF=BE,

由折叠性质可知NABE=ZEBD,NBME=ZA=90°,

ZABE=ZEBD=ZDBF=30°,

又；AB=2,

设/E=x,贝i|BE=2x,

由勾股定理得：/+2?=(2x『，

解得：x=空,

3

.RF_即_4石

..Dr—JDJD------------，

3

；・S菱WBEDF=BF•AB=空.

交形3

5

22.(1)-

(2)1

(3)1；3

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程的解等

知识点，

(1)根据根与系数的关系求解即可；

(2)先由根的判别式求出发的范围，根与系数的关系求出发的值，然后取舍即可得解；

(3)先将根代入原方程进行恒等变形再结合两根和代入计算即可得解；

答案第10页，共14页

熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决此题的关键.

【详解】(1)"是关于X的一元二次方程一一5x+6=0的两个实数根

:.m+n=5fmn=6,

11m+n5

—I——----=—•

mnmn6

⑵",々是方程、-2(左+1)无+1+2=0的两个实数根

.­.A=4(^+l)2-4(^2+2)>0,

解得：A->—,

2

由根与系数的关系可知：西+迎=2住+1),X1x2=k+2,

又；（国+l）（x2+1）=x}x2+（X]+x2）+l=8,

.,.左？+2+2（左+1）+1=8,

整理得：k2+2k-3=0,

解得：左=-3（不合题意，舍去），h=\,

■■k的值为1.

（3）ra、夕是方程/一工-1=0的两个根，

a+（3=\,a?=a+l,=/3+\,

sx=cc+/3=\.

21

s2=oc+p=a+l+/7+l=3.

23.（1）证明见解析

（2）2710

⑶BE=2EC

【分析】（1）先由。P=证明RtA48EgRtA4D尸（SAS）,得到AE=AP,

NBAE=ND4P,推出NPAF=ZEAF=45°,再证明“EF2AAPF(SAS),得到EF=PF,

即可由尸产=9+。尸，得至！JE尸厂；

（2）先由得至U,即可证明咨ABCH(ASA),得到

CH=3=BM,再根据NQ=NCW=45。结合(1)中结论得到GM=3M+Z)G,设。G=a,

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则+=0+GM=BM+DG^a+3,在Rt^MCG中，利用

GM1=GC-+CM。列方程求解即可；

(3)先证明/脑VD是正方形，即可根据NE/尸=45。，由(1)知，FT=DF+TM,设

DF=m,BE=2x,贝！J/。=2加，DC=AB=4m,MT=BE=x,FT=DF+TM=x+m,再

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在Rtz^FTN中，由/72=网2+川2得至|J3E=