湖北省沙市某中学2024-2025学年高三年级上册9月月考 数学试题（含解析）

2024—2025学年度上学期2022级

9月月考数学试卷

考试时间：2024年9月25日

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.集合M={xeN,<i5},若/uN={x|0Kx<5},则集合N可以为（）

A.{4}B.1x|4<x<C.{x"<x<5}D.{x卜|<5}

2.若复数z=l—i+i2—j3+…+j2022—12。23+12。24,则目=（）

A0B.V2C.1D.2

3.已知同=2同，若4与3的夹角为60。，则2N-不在B上的投影向量为（）

1r1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

4.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求

的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车

的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的

容量C、放电时间。和放电电流/之间关系的经验公式：C=/力，其中彳为与蓄电池结构有关

的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为

60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则该蓄电池的Peukert常数几约为（参考数据：

lg2ao.301,lg3®0.477）（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

5.已知a,"e(0,兀)，且cosa=-^-,sin(tz+/3)=,则。一夕=()

6.已知函数/（%）=（》2+ax+6）lnx20恒成立，则实数。的最小值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.函数/（x）=ln卜|—“与函数g（x）=sin]x的图象交点个数为（）

A.6B.7C.8D.9

8.斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定

义：设{%}为斐波拉契数列，％=lg=l,a,=%+%_2（"N3,"eN*）,其通项公式为

iPfi+VsYfi-VsYl

设«是log2[(l+V5y-(l-V5r]<x+4的正整数解,则n的最

目〔丁JJ]

大值为（）

A.5B.6C.7D.8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.给出下列命题，其中正确命题为（）

A.已知数据再、/、工3、…、X1O,满足：X,.-^=2（2<z<10）,若去掉匹、/后组成一组新数

据，则新数据的方差为168

B.随机变量X服从正态分布N（l,cr”尸（x>1.5）=0.34,若尸（x<a）=0.34,贝|a=0.5

66

C.一组数据（x"J（i=l,2,3,4,5,6）的线性回归方程为i=2x+3,若»>=30,则»,=63

1=11=1

D.对于独立性检验，随机变量/的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小

10.如图，棱长为2的正方体NBC。-48cA中，E为棱的中点，

厂为正方形GCO2内一个动点（包括边界），且用尸//平面43E,则

下列说法正确的有（）

A.动点/轨迹的长度为近

B.瓦F与48不可能垂直

c.三棱锥用-R跖体积的最小值为:

D.当三棱锥瓦-DQ厂的体积最大时，其外接球的表面积为年兀

11.已知抛物线。：产=2”5>0）的焦点为产，准线交X轴于点。，直线/经过尸且与C交于

A,B两点，其中点”在第一象限，线段/尸的中点M在>轴上的射影为点N.若

\MN\=\NF\,贝I］（）

A./的斜率为&B.是锐角三角形

C.四边形MVDb的面积是6/D.忸尸卜照|>|如『

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若“*oe［1,4］使x；-+4>0”为假命题，则实数a的取值范围为.

13.在A48C中，BC=6^A=~,D为线段AB靠近点幺的三等分点，E为线段CD的中

3

点，若丽==衣,则赤•力的最大值为

4--------

14.将123,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为q（i=l,2,…,7）,若%=7,

%+/+/<%+。6+%，则这样的数列共有个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知△45C的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,若4sirk4-加irtS=csin(Z-B).

(1)求a的值;

(2)若△ZBC的面积为,求△/BC周长的取值范围.

4

16.已知正项数列｛4｝的前〃项和为E，且"=2g.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设4=2%—1,若数列｛c“｝满足c“=&L，且数列｛%｝的前"项和为北，若

bn，bn+i

恒成立，求X的取值范围.

(〃+2)

17.如图所示，半圆柱。9与四棱锥N-2COE拼接而成的组合体中，尸是半圆弧8C上(不含

及C)的动点，尸G为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内,

0B=2。。］=2,AB=AC=2s/2.

⑴求证：CG_L3F；

(2)若DFII平面ABE,求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值;

⑶求点G到直线OD距离的最大值.

18.已知双曲线E的中心为坐标原点，渐近线方程为y=±#x,点(-2,1)在双曲线E上.互相垂

直的两条直线岛均过点尸⑵⑼(外〉血，且”eN*),直线丸交E于42两点，直线乙交

E于C,。两点，分别为弦N3和CD的中点.

⑴求E的方程；

(2)若直线交x轴于点。&⑼(〃eN*),设外=2".

①求匕；

2n

②记4=|尸。|,"=2〃-lg*),求£[初一(-1)飞上.

k=\

19.如果函数FQ)的导数为〃(x)=/(x),可记为J/(x)dx=*x),若/(x)>0,则

b

]73公=尸㈤-尸(")表示曲线y=f。)，直线x=a,x=6以及无轴围成的“曲边梯形”的

a

2

面积.如：J2xdx=/+c,其中C为常数；f2xfifc=(22+C)-(O+C)=4,则表

0

x=0,x=1,y=2x及x轴围成图形面积为4.

⑴若/(x)=f(eI+l)dx,/(0)=2,求的表达式；

(2)求曲线y=x2与直线y=-x+6所围成图形的面积；

(3)若/(x)=ex-l-2mx,xe[O,+a)),其中加cR,对\/a,6e[0,+o)),若a>b,都满足

ab

f/(x)<k>//(x)dx,求机的取值范围.

00

1.c

1/.\2024+l

ITl-i2024x(-z)1+z,

23202220232024

2.C【详解】Z=l-i+i-i+---+i-i+i---------------------------二---------=1

I-(-i)1+i1+i

3.B

4.D【详解】由题意矢口。=7.5/tx60=25“xl5,

2510|=2=4,两边取以10为底的对数，得Nlg/=21g2,

所以

7J

21g22x0.301

ffr以2—x^11.15

l-lg31-0.477

5.C【详解】因为c°sa=*,,所以/(却)，则sm*当,

2

所以sin2a=2sinacosa=2x^^x^^=\,cos2a=l-2sin2a=l-2x3

=—<0,则,

5

71371,又0<sin(a+£)=舟〈等

因为/e(0,n),所以a+£w

了万，贝+

所以cos(a+2)=-Jl-sin2(a+0=-^y-,故sin(a-。)=sin(2a-(a+4))=sin2acos(a+夕)-cos2asin(a+fj)

=51妥一(3落一条因为(：，今，*(。，初所以加公,利)则一加十

解法二sin(6r+，)<sin(a+餐=cosex,-，:•兀>)3>]>a,**•一~~—/?<0,故选C

6.B【详解】:/(x)>0恒成立，设g(x)=%2+Q%+b,则当％>1时g(x)>0,0<%<1时

g(x)<。，g(D=°1+a+Z?=0a=—1—b

，即《,二・a2—1

[g(0)<0b<0

7.A【详解】设/(x)=%(x),g(x)=1(x),/(X)的定义域为次|国片1},

①当24时，/(x)=ln||x|-l|>ln3>l>g(x)=sin^x,此时的图象与g(x)的图象没有交

点，

②当2<%v4时，/(x)=ln||x|-1|>Ini=0>g(x)=sin^x,此时两图象没有交点，

③当x=2时，/(x)=ln||x|-1|=In1=0=sinii=g(x)=sin^-x,此时两图象有一个交点，

④当0<x<2时，/(%)=ln||x|-l|<lnl=O<g(x)=sin^x,此时两图象没有交点，

⑤当％=0时，/(%)=|n||x|-1|=Ini=0=sinO=g(x)=sin^x,此时两图象有一个交点，

⑥当一1<%<0时，/(x)=ln||x|-l|=ln(x+l),g(x)=sin^x,设〃(x)=/(x)—g(x)

1717r7T

h'(x)=--------cos—x在(一1,0)上单调递减，/z'(o)=/,(o)-g,(o)=l——<0,且X趋于-I

x+1222

时，〃'(X)趋于正无穷，，存在%€(-1,0)使得〃'(%)=0,且xe(Xo,O)时力'(x)<0,二〃(x)

在(x(),0)上单调递减，〃(x)〉〃(0)=0,即/(x)>g(x),

结合以上分析，画出门式)应(为在(-1,0)上的函数图象可知，两图象在(-1,0)上有一个交点，

⑥当-24<-1时，由对称性可知，两图象在(-2,-1)上有一个交点，

⑧当x=-2时，/(x)=In||x|-1|=In1=0=sin(-71)=g(x)=sinx,此时两图象有一个交点，

当一4<x<-2时，/(x)=ln||x|-l|=ln(-x-l),g(x)=sin|-x,注意至

/(-3)=ln2<g(-3)=l,

画出/(x),g(x)在(-4,-2)上的函数图象可知，两图象在(-4,-2)上有一个交点，

⑨当了4-4时，/(x)=ln||x|-l|>ln3>1>g(x)=sin|-x,此时两图象没有交点；

综上所述，函数/(力=川忖-1|与函数g(x)=sin］x的图象交点个数为6.

8.A【详解】由题知"是1限［。+石)'-(1-回［。+4的正整数解，

+4

故log2［(l+V5)--(l-V5)"］<«+4,取指数得(1+⑸-(1-V5)"<2",

r=ii7人,曰\+1—v5|7缶1(1+v5|\—\5104口口,1<)4

同除2"侍，［丁］<2，故［MJ『忑X2,即巴〈忑x2,

根据㈤｝是递增数列可以得到｛端｝也是递增数列，于是原不等式转化为4<gx2'<52.

而出=5,4=8可以得到满足要求的〃的最大值为5,故A正确.

9.BD【详解】对于A选项，去掉占,再。后的平均数为一十%:…+―=眄>=%+9,

8o

方差为(X2-X「9)2+(W9)2+...+(W9)2=21，故A选项错误；

8-

对于B选项，由于随机变量X服从正态分布N(l,/),p(x>1.5)=0.34,

则尸(X<“)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5关于1对称，则a=0.5故B选项正确；

6

对于C选项，因为»,=30,所以夏=5,又因为回归方程为i=2x+3,

1=1

_6

所以3=2x5+3=13,所以2>=13x6=78,故C选项错误；

Z=1

对于D选项，对于独立性检验，随机变量/的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，

故/越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确.故选:ABD.

10.ACD【详解】对A,如图，令CC］中点为中点为N,连接

又正方体/3C。-481G2中，E为棱。〃的中点，可得

.♦.5眼//平面84吗加//平面84£，又B、MCMN=M,

且B、M,MN<=平面B、MN,二平面B.MN〃平面B&E,

又用尸〃平面/田£,且平面二.乌尸u平面印团V,

又尸为正方形GCDA内一个动点(包括边界)，，尸e平面及平面GC。。，而MN=平面

片"NCI平面GCDD1,.•.尸即b的轨迹为线段MN.

由棱长为2的正方体得线段跖V的长度为血，故选项A正确；

对B,当尸为线段中点时，由4M=4N可得与尸，MV,又C。中点为中点为N,

：.MNIIDXC,而48/AD。，，乌尸，48,故选项B不正确;

19

对c,由正方体侧棱片G，底面qc。。,三棱锥瓦-。即体积为％=6.。此=§邑*£,

所以△■£)］尸E面积5必必最小时，体积最小，如图，•./€可,易得尸在N处时邑比E最小，

此时邑印总叫毋=；,所以体积最小值为:，故选项C正确；

对D,如图，当户在M处时，三棱锥片-。。尸的体积最大时，

由已知得此时FD=FD、=g=6,所以尸在底面用。2的射影为底面外心，

DD1=2,=2V2,DBi=2V3，所以底面BXDDX为直角三角形，

所以尸在底面8QA的射影为片。中点，设为Q,如图，设外接球半径为R,

由&=OO；+0^=00^+3,R+OO\=FO\=®，可得外接球半径R=—,

4

75

外接球的表面积为4万尺2=了兀，故选项D正确.故选：ABD.

11.ABD【详解】由题意可知：抛物线的焦点为尸《,0),准线为x=/,即。!/,0

设/（再,%）,8（%2,%）,乂>0,%<0,

则以5+3与卜［0,三；可得，因为巾=师|,^\MN\=\NF\=\MF\,

可知AAGVF为等边三角形，即/MWF=60。，

且MNIIx轴，可知直线/的倾斜角为60。，斜率为左=tan60。=百，故A正确;

X.3P卜/

联立方程1一3

则直线/:了=61一?x——6

，解得2或

=2Pxy=y5py=---p

(fT\(0、(瓜、

B---p，则"p,—p,NO,——p

63212

\7\7\7

可得口可二),|/必=V?p\BD\=1•夕JE4|=2p,\FB\=gp，|/8|=|0，

在△N3O中，\BD\<\AE\<\AB\,且忸rf+gq2T4靖〈0,

可知//D3为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；

四边形ACVZ)尸的面积为SMNDF=SABDF+SAMNF=；xpx与p+；义斗pxp=g~p。,故C错误;

乙乙乙乙乙

因为I印MaJpZjFDk/,所以阿|MH>|F02,故D正确；

故选：ABD.

12.［5,+oo)【详解】因为“Hi：。e［l,4］使x；-晒)+4>0”为假命题，

所以“Vxe［l,4］,》2一办+440”为真命题，其等价于a»x+士在［1,4］上恒成立,

X

又因为对勾函数/(x)=x+3在［1,2］上单调递减，在［2,4］上单调递增，

X

而/⑴=/(4)=5,所以/(x)max=5,所以。之5,即实数。的取值范围为［5,+8).

14.360【解析］:1+2+3+4+5+6=21,・，.S3«10,

列举可知①(1,2,3)……(1,2,6)有4个②(1,3,4),……,(1,3,6)有3个;③

(1,4,5)有1个④(2,3,4),(2,3,5)有2个故共有10个组合，，共计有10x4；=360

个这样的数列。

15.【解析】(1)设4=出，。〉0),在△ABC中，由正弦定理得Q=2R,siM,

b=27?•sinB,c=2R-sinC,代入已知化简得/si/Z-si/jB=sinCsin(4-5),

又在△ABC中有：sinC=sin(4+5)，BPtsin2A-sin2B=sin(24+5)sin(24-5),

【方法一】丁sin(4+3)sin(4—5)=—;(cos24-cos2_5)=sin2^4-sin2jB,

即《sin2/-sin25=sin2/-sin2jB,所以，=1,所以Q=4.

【方法二】丁sin(/+B)sin(Z-B)=(siib4cosB+cos/siaS)(siiL4cosB-cos/sinS),

sin(/+5)sin(4—5)=sin2^4cos2S-cos27lsin2S=sin27l(1-sin2S)一(1一sin2^)sin2S=sin2/一sin2S

即《sir，-sii^B=sin2/-sin23,所以，=1,所以Q=4.

2221

/、五AA1i.iVJ(Z)+c-a}百(b+/—a?)

(2)在/\ABC中有Sc=—bcs\x\AA,—bcs\x\A=—-------------sin4=-------------------=y/3cosA，

2242bc

A--,由正弦定理得：b=~^=-sinB,c=~^=•sinC,

3x/3V3

因在△ZBC中，A=~,Q<B<—,L<sin(5+工］<1,

332I6J

所以，4<Z)+c<8,当N=8=C时，等号成立，△/BC周长a+6+c的取值范围是

(8,12］.

16.［解析］⑴•：^+2an-n=2.Sn,当〃22时，+2anA-(«-1)=25^,

两式相减得：片+2为一片_1-24_1-1=2%，整理得d=(a,i+l)2，……4

分

an>0,an=an_x+l(n>2),当〃=1时，c^+2al-l=2al,

q=-l(舍)或q=l,……6分

••.{4}是以1为首项，1为公差的等差数列，则4="；……7分

⑵由⑴知，b,,=2"-1,c.9分

八〃+2人/、n+2

10分由i-TVa、n42方zp令g(〃)=三zp-11

〃(〃+2)

分

金一上1=-(叱+也<0

则〃22时，g(n)~g(n-1)=13分

2,1+1-12"-1(2,,+1-1)(2"-1)

所以g(〃)<g(〃T),即随着，增大，g(〃)减小,

所以43g(〃)1mx=g(l)=L15分

17.【详解】(1)取弧8C中点“，则W/3C,以。为坐标原点，直线。瓦。",001分别为

x/，z轴建立空间直角坐标系，连接。/,在V48c中，BC=4,AB=AC=2&OB=OC,则

AOIBC,AO=2,于是0(0,0,0),4(O,-2,0),8(2,0,0),C(-2,0,0),。(一2,0,1),

设尸(x,y,O),则G(x,%l),其中/+/=4/>0,否=(x+2,%l),而=(x-2,%0),

因此M•丽=--4+/=0,即江，丽，所以CGLAF.

(2)由BE_L平面48cNCu平面48C,得BE上4C,

XAB2+AC2=BC2,则而4BcBE=B,AB,BEu平面ABE,

则NCL平面/3E,即就=(-2,2,0)为平面/3E的一个法向量，

~DF=(x+1,y,-\),由。尸//平面/BE,^DF-AC=-2x-4+2y=0,

fx—0/

又，+/=4j>0,解得,止匕时尸(0,2,0,G(0,2,l,

[y=2

/、h•OF=2/)=0/、

设为=(Q也c)是平面方8的法向量，贝IJ_,取-1,得为=(1,0,2),

ri-OD=-2a+。=0

/、m-OG=2f+g=O/、

设施=e/g是平面GOD的法向量，贝1J_7,取e=l,得应=1,-1,2,

m^OD=-2e+g=0

则平面FOD与平面GOD夹角的余弦值为|cos4,m)|=小旦=一)=型.

\n\\m\V5x<66

(3)OD=(-2,0,l),OG=(x,y,l),

则点G到直线OD的距离d=2(12X)

IOG-(^^^=J5-~-,

\\OD\V5

当x=g时，即b的坐标为(g,半,0)时，点G到直线OD的距离取最大值为6.

18.【详解】（1）•渐近线方程为二士字x,可设双曲线方程为］=〃XwO）,

丫2

..•点（—2,1）在双曲线E上，.•.2=1,所以£的方程为］-/=］；

（2）①当直线4,4中又一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在是，

直线MN与x轴重合，不符合题意；所以直线4,的斜率均存在且不为0,

解法一：4（%i，yt）,8（X272），M（%M，加），N{xN,yN）,设4的方程为x=叼+2",由

x=my+2”

x2,,得（叼+2"）2—2y2=2=（机2_2）/+2"+1.机J+22"_2=0,

-----y=1

12/

2n+1-mT-m,・・・川••・加=品

・・A>0恒必+y2——

m2-2'"M~~m2-2

+12

:.M（-二2"—，——2".m^），同理N（—^2"~+i•m2"-m

nT—2m~-2l-2m2l-2m~

因为〃、N、。三点共线，所以加（。一心）=6（。一巧/），••"“（/+1）=2向（苏+1）

化简得：乙=2向；

解法二：设4的方程为昨Mx-a）优*0）,4（久0），8。2,灿，"（X时,加），N（xN,yN）,

y^k（x-pn）

由＜/2,得（1-2/卜2+4尸p“x-2左2p；_2=0,则「2^x0,所以内+%=士导

-----y=11—2左

[2'

X；+x_-2k2p一电

所以=2n，则加=人（如-°“）=左

2l-2k21-2公'

（=2k\-kp„]同理可得日言，落

所以M11-2公

因为M、N、。三点共线，所以为（XLXM）=（%-加）（"-"）,

一2左2p“kp“~~2p“-kp“

\-2k-k--2k