2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷391考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、【题文】若函数则（其中为自然对数的底数）（）A.B.C.D.2、【题文】下列各组中的两个函数是同一函数的为。

①

②

③

④

⑤A.①②B.②③C.④D.③⑤3、【题文】不等式log2(1-)＞1的解集是（）A.B.C.D.4、已知全集集合则为（）A.B.C.D.5、当时，函数取得最小值，则函数是（）A.奇函数且图像关于点对称B.偶函数且图像关于点对称C.奇函数且图像关于直线对称D.偶函数且图像关于点对称6、下列对应关系：

①A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，f：x→±

②A=R，B=R，f：x→

③A=R，B=R，f：x→x2-2

④A={-1；0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数平方。

其中是A到B的映射的是（）A.①③B.②④C.③④D.②③7、下列函数是幂函数的是（）A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知函数y=f（x+1）定义域为[0，3]，则函数y=f（2x）定义域____．9、已知函数在区间[m，n]上的值域是[3m，3n]，则m=____n=____．10、如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4，BC=6，CC1=3．则这个多面体的体积为____．

11、α是第四象限角，cosα=则sinα=____．12、在锐角中，则的取值范围为____.13、【题文】已知命题p:“不等式的解集为R”命题q:“是减函数.”若“p或q”为真命题,同时“p且q”为假命题,则实数的取值范围是_______.评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)14、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．15、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．21、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．22、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、解答题(共4题，共40分)23、一空间几何体的三视图如图所示；求该几何体的体积．

24、已知点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记求数列的前项和．25、(13分)已知且为锐角．(1)求的值；(2)求的值．26、设，，若，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】【解析】

试题分析：由已知，．所以，

故选

考点：分段函数【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】定义域为与解析式相同但定义域不同；①不符合；

定义域为而定义域为两者解析式相同但定义域不同，②不符合；

与解析式不同；③不符合；

定义域为R，与解析式相同定义域也相同；④符合；

定义域为与解析式相同但定义域不同；⑤不符合。

故选C【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D4、C【分析】【解答】由题意所以所以选C.5、C【分析】【解答】因为，当时，函数取得最小值，所以，=其为奇函数且图像关于直线对称；故选C。

【分析】简单题，正弦型函数图象的对称轴，恰好经过图象的最高点、最低点。6、C【分析】解：根据映射的概念；对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应；

对于①；集合中的1，4，9在集合B中都有两个的元素与它对应，故不是映射；

对于②；集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故不是映射；

对于③，集合A中的元素x∈R，在集合B中都有唯一的元素x2-2与它对应；故是映射；

对于④；集合A中的-1，0，1在集合B中都有唯一的元素与它对应，故是映射；

其中是A到B的映射的是③④．

故选C．

根据映射的概念；对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，观察几个对应，得到只有对于①②，A中有元素在象的集合B中有两个或没有元素与之对应，它们不是映射．

本题考查映射的概念及其构成要素，考查判断一个对应是不是映射，本题还考查一些特殊的数字的特殊的特点，本题是一个基础题．【解析】【答案】C7、D【分析】解：由函数的定义知：

A是二次函数；

B是三次函数；

C是指数函数；指数函数系数必须是1；

D是幂函数；幂函数x前面的系数必须为1．

故选D．

A是二次函数；B是三次函数，C是指数函数，D是幂函数．

本题考查函数的定义，解题时要认真审题，仔细解答．【解析】【答案】D二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】

因为函数y=f（x+1）定义域为[0；3]，所以x∈[0，3]，则x+1∈[1，4]，即函数f（x）的定义域为[1，4]；

再由1＜2x＜4，得：0＜x＜2，所以函数y=f（2x）的定义域为[0；2]．

故答案为[0；2]．

【解析】【答案】根据题目给出的函数y=f（x+1）定义域，求出函数y=f（x）的定义域，然后由2x在f（x）的定义域内求解x即可得到函数y=f（2x）定义域。

9、略

【分析】

∵函数的对称轴为x=1；在区间[m，n]上的值域是[3m，3n]；

∴m＜n≤1，且．

解得m=-4；n=0；

故答案为-4；0．

【解析】【答案】由二次函数的性质，得到m＜n≤1，且由此求得m；n的值．

10、略

【分析】

从三视图知，顶点B1，D1已被截去；

所以这个多面体如上图；

求解体积时需要用长方体的体积减去两个三棱锥的体积；

其体积为．

故答案为：48

【解析】【答案】从三视图知，顶点B1，D1已被截去；所以这个多面体如上图，求解体积时需要用长方体的体积减去两个三棱锥的体积，做出长方体的体积和三棱锥的体积，相减得到结果．

11、略

【分析】

因为α是第四象限角；所以sinα＜0；

则sinα=-=-=-．

故答案为：-

【解析】【答案】根据α是第四象限角得到sinα小于0；然后根据同角三角函数间的基本关系求出sinα的值即可．

12、略

【分析】在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴且0＜2A＜∴＜A＜故＜cosA＜．由正弦定理可得∴b=2cosA，∴＜b＜故答案为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：命题p为真时，命题q为真时，由题意得，命题p、q一真一假，所以

考点：命题真假判断【解析】【答案】三、证明题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．15、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．21、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．22、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；