函数的性质及应用-2025年高考数学考试易错题（新高考解析版）

专题03函数的性质及应用

目录

题型一：函数的性质

易错点01复合函数定义域的理解不当致错

易错点02使用换元法忽略新元的范围

易错点03研究单调性、奇偶性时忽略定义域

易错点04对分段函数的理解不到位出错

题型二函数与方程

易错点05忽略函数零点存在定理的条件

易错点06二次函数零点分布问题考虑不全

题型一：函数的性质

易错点01：复合函数定义域理解不当致错

易错陷阱与避错攻略

典例(23-24高二下.黑龙江.期末)己知函数〃力=石二，则函数g(x)=〃2x)+/(x2)的定义域为()

A.|^—A/2A/2JB.^—oo,5/2J

C.[1,V2]D.[-A/2,1]

【答案】D

【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.

【详解】由题可知/(力=AM的定义域为(-8,2],

则为使g(x)=〃2x)+/(Y)有意义必须且只需，

解得-72<x<l,

所以g(x)的定义域为卜应』].

故选：D

【易错剖析】

在求解过程中，根据函数解析式求出/(九)的定义域为(Y0,2],然后由=然后错误的由xW2分别求出

X2,2X的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.

【避错攻略】

1复合函数的概念：

若函数产/⑺的定义域为A,函数尸g(x)的定义域为D,值域为C,则当时，称函数产丹gCO]

为了⑺与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,/为中间变量，尸g(x)叫做内层函数，y=/•①叫做外层

函数.

2抽象函数或复合函数的定义域：

(1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数八尤)的定义域是指x的取值范围，函数y?[g(x)]

的定义域也是指X的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

(2)/(/),fix),f\_(p(x)],/四个函数中的t,x,夕⑴，力(无)在对应关系了下的范围相同，在同

一函数/作用下，括号内整体的取值范围相同.

(3)己知7U)的定义域为A,求。夕(分]的定义域，其实质是已知°(x)的取值范围(值域)为A,求x

的取值范围.

(4)已知/[夕⑴]的定义域为2,求五x)的定义城，其实质是已知力p(x)]中尤的取值范围为2,求p(x)

的取值范围(值域)，这个范围就是於)的定义域.

易错提醒：已知的定义域求解/[g(x)]的定义域，或已知/[g(x)]的定义域求了⑺的定义域，

遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则』下，括号内式子的范围相同，另外对于实

际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

举一反三

〃尤+1)

1.(2024高三.全国•专题练习)已知函数的定义域为[-2,2],则函数尸(x)=的定义域为()

1g同

A.[-3,1]B.[-3,0)u(0,l]

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意可知，要使F（x）有意义，

—2Wx+1W2-3<x<l

只需要无>。，解得产。

%%。一1,且力。1

所以xe[—3,—1)3-1,0)50,1),

所以函数F（x）的定义域为[-3,-1）5—1,0）。（0,1）.

故选：D.

2.（24-25高三上•四川南充•开学考试）已知函数y=/（x+D的定义域为[-2,3],则>=以谷。的定义域为

VX-1

（）

A.[—5,5]B.（1,5]C,^1,—D.—5,—

【答案】C

【分析】由题意求出y=f（x）的定义域，结合函数y=，（；夫+1）列出相应不等式组,即可求得答案.

A/X-1

【详解】由题意可知函数，=/（》+1）的定义域为卜2,3],gp-2<x<3,

®-l<x+l<4,贝|y=/(x)的定义域为[-1,4],

则对于y=—/（2x+l），需满#足[f-il<>2x。+l<43

即y=/詈1）的定义域为[1,；],

y/x-1I2_

故选：C

3.（24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习）已知函数〃2x-3）的定义域为[2,3].记的定义域为集合

41（2£-1）的定义域为集合反则小€4”是。€2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先利用抽象函数的定义域求得集合4B,再利用充分条件、必要条件的定义判断.

【详解】•."（2尤-3）的定义域为[2,3].

当24xV3时,lW2x-3W3,；"(x)的定义域为[1,3],即4=[1,3].

令142—143,解得14“42,:"(2*-1)的定义域为[1,2],即3=[1,2].

•.・BqA.JxeA”是的必要不充分条件，

故选：B.

・易错题通关

1.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)y=lg(tanx-1)的定义域为()

I71兀77

A.\x-+k7n>x>—+ku,KeZ>

I24

II兀77177”,

B.jx+w,+E,左£Z

C.“卜+左EZ

7iku,“

D.yx\x>—I,keZ\

[|42J

【答案】A

【分析】复合函数定义域问题，分解函数，分别求定义域再求交集.

【详解】令y=lg/,r=tanx-l

函数t=tanx—1的定义域为：jx|x^-|+fot,^ez|,

函数y=lgf的定义域：f>0,贝Utanx-l>0,即,xg+E>x>：+E,kez1,

所以V=lg(tanx-l)的定义域为|xg+E>x>：+E,左eZ,

故选：A

2.(24-25高三上・福建宁德•开学考试)已知函数y"(2x-D的定义域是，则y=的定义域是()

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[—1,3]D.[-2,5]

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得.

【详解】由函数y=/（2x-l）的定义域是[-1,3],得一3W2X—1W5,

f（x）f-3<x<5

因此在函数y=中，c八，解得-2<x45,

yJx+2[x+2>0

所以所示函数的定义域为（-2,5].

故选：A

3.（24-25高三上•山东烟台・期中）若函数y=/（2，）的定义域为{x|x<2},则函数y=/（x-l）的定义域为（）

A.{.r|0<x<4}B,{x|x<4]C.{x|x<5}D.{x[l<x<5}

【答案】D

【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解.

【详解】由久<2,得2*<4，且2*>0,所以0<x-l<4,因此l<x<5,

故函数y=/（x-D的定义域为{x[l<x<5}.

故选：D.

4.（24-25高三上•山东荷泽・期中）已知函数〃2x+l）的定义域为[1,2],则函数的定义域为（）

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D,[3,7]

【答案】B

【分析】对于函数/（2x+l）,先由xe[l,2]求出（2x+l）e[3,5],而对于函数/（x—1）,应使（x-1）e[3,5],

解出xw[4,6],即得函数的定义域.

【详解】因为函数f（2x+l）的定义域为[1,2],由xe[l,2]可得2x+le[3,5],

对于函数/（比一1）,由3（尤一1W5可得4WxW6,

即函数/0-1）的定义域为[4,6].

故选：B.

5.（23-24高一上.四川成都.期中）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且

炮弹距地面的高度。（单位：m）与时间f（单位：s）的关系为/7=130f-5『.该函数定义域为（）

A.（0,+e）B.（0,845]C.[0,26]D,[0,845]

【答案】C

【分析】根据实际意义分析即可.

【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了26s,

所以04/426,即函数人130/-5产的定义域为[0,26].

故选：C

6.(24-25高三上•河南新乡•期中)已知函数了(天卜万^+白，则函数了(炉)的定义域是()

X—1

A.(fl)u(l,2]

B.[-2,-l)U(-l,l)U(l,2]

c.卜⑸)U(i,伺

【答案】D

【分析】根据的表达式，即可结合根式以及分式的性质求解.

【详解】/(炉)=7^=7+工，

'/X-1

由2—f之0且炉—1wo,得W%<V2且xw±1,

所以函数/任)的定义域是[-应,T)U(T，I)U(I，亚].

故选：D

7.(2024•山东•一模)函数5尤-1|-3的定义域是()

A.[4,+oo)B.(TO,-2]

C.[-2,4]D.(-oo,-2]u[4,+<»)

【答案】D

【分析】先由函数有意义得旧-1|-320,解该不等式即可得解.

【详解】要使函数有意义，®|x-l|-3>0,BP|x-l|>3,

所以%—123或九一1<—3,解得％之4或xW—2,

所以函数的定义域为(-8,-2]口[4,+«»

故选：D.

8.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知〃无）的定义域为[0,2],则函数gG）=的定义域为

【答案】（1,6]

【分析】根据函数成立的条件，建立条件关系即可.

【详解】因为的定义域为[0,2],

0<X2-1<2

则,

'log1(x-l)>0

、2

1<X2

，解得1<X46,

0<x-l<l

所以g（x）定义域为（1,石].

故答案为：（1,抬']

9.（23-24高三上•福建莆田•开学考试）已知函数外”的定义域为。，”），则函数*x）=/（2―3）+万I的

定义域为.

【答案】（2,3]

【分析】利用给定的函数有意义，列不等式求解作答.

【详解】函数的定义域为（L+⑹，则由尸（x）=/（2=3）+V^有意义，

2工一3>1x>2

,解得BP2<x<3,

3-xx<3

所以函数/（无）=/（2*-3）+^/^的定义域为（2,3].

故答案为：（2,3]

]

10.（24-25高三上•青海西宁•阶段练习）函数>=+（2x-3）°的定义域为.

Jl°go,5(尤一2)

【答案】（2,3）

【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.

1

+（2>3）。有意义,

【详解】由函数了=/°瓦5。-2）

log05(x-2)>0x-2<lx<3

贝U满足—2>。,可得<x〉2,即<x>2,解得2vxv3,

2x—3w033

I212

所以函数的定义域为(2,3).

故答案为：(2,3).

易错点02：使用换元法忽略新元的范围

，易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高一上•吉林•阶段练习)已知了(4-l)=x-26，则F(x)的解析式为()

A.f(x)=x2-}B./(x)=x2+l(x>-l)

C./(x)=x2-l(x>-l)D./(x)=x2+l

【答案】C

【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可.

【详解】令r=

由=X-26=-1,

贝U/«)=厂一L，2—1，BPf(x)=x~—l(x>—1).

故选：C.

【易错剖析】

本题求解时设，=石-1,换元后要注意f之-1这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.

【避错攻略】

1.换元法

换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解

题方法,叫做换元法,又称变量代换法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对

象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根

式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.

2.常见的换元方法

(1)根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整体代换：将所求表达式整体换元；

(3)三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的

过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元

二次方程的问题。

易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量

的取值范围被扩大了，则在求解之后要加以检验.

举一反三

1—丫2

1.(24-25高三上•江西上饶•阶段练习)已知函数=则/'(%)=()

44

C.7一币*Ta*。)D.7—U-1(尤力1)

(xT)(1)

【答案】B

【分析】利用换元法求函数/(x)的解析式.

【详解】令,=1-尤，贝！Jx=l-且xwO,则，wl,

所以〃句=7^7-1(尤Xi).

(1)

故选：B.

2.(24-25高一上•重庆•阶段练习)函数y=x+0二I的值域为()

(9]r9

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.-oo,-D.二，+8

【答案】C

【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可.

【详解】根据题意知函数定义域为(-叫2],令/=万1»0,

所以y=x+J2—x=—t2+1+2=—]/—；]+：,

19(9

当时，ymax=(，所以函数的值域为18]

故选：C.

3.(2024.四川遂宁.模拟预测)下列函数满足〃1嗝3)=-〃log32)的是()

A./(%)=l+lnxB.f(x\=x+—

x

C./(x)=x-D.f(x)=l-x

【答案】C

【分析】令f=log23>l,贝叶=1。氏2,结合各选项代入验证，即可判断答案.

【详解】令f=logz3,。>1,则;=log32e(0,l),由〃1。823)=-/(10832)可得/«)=-/

对于A,/(j)=l+lnj=l-ln^-/(f),故A错误；

对于B,/(；)=*=加)，不满足/(/)=-/1，B错误；

对于C,=；—'=即/⑺=-/(；)，即/(1吗3)=-了(32),C正确；

对于D,即〃1。43)=-/(032)不成立，D错误.

故选：C.

■易错题通关

1.(24-25高三上•全国•随堂练习)函数〃尤)―^(xeR)的值域是()

人十乙X十乙

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.

【详解】令/=f+2x+2=(尤+1)2+121,

函数g(f)=：,在此1时，单调递减，因此g(rL=g(i)=i,

当时，g(0=->0,

所以〃x)=2；。(尤eR)的值域是(0』,

-

人"IN人"T乙

故选：C

2.(2024高三•全国・专题练习)函数y=x+Jl-x2的值域为()

A.[-V2,V2]B.[-1,72]C.[-2,2]D.[1,72]

【答案】B

TT7T

【分析】4"A:=sin,,运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.

【详解】4^=sin,0e，贝!jy=sine+cose=0sin[8+：),

4

八兀兀

,.,。£——一*+*，

22

~~~-sin(6+；)W1,

.•.-l<V2sin<9+^<72,

故选：B.

3.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)若函数/(cos^)=cosx+cos2x,则/=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.

【详解】因为/(cosx)=COSX+cos2x=cosx+2cos2%-1

所以〃X)=—,(—1WE),

贝咱:/义六也

所以,=/(o)=-i.

故选：B.

5.(2024.四川.模拟预测)已知为定义在R上的单调函数，且对VxeR,f(/(x)-e')=2+ln2,则

“In3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.In3

【答案】B

【分析】根据题意，设/(%)-e*=，，用/⑺求/的值，进而可得的解析式，从而可得〃ln3).

【详解】设〃力-e-,则〃%)=炉+%

所以/(，)=e'+%=2+ln2,即e'+Ine'=2+ln2，

设g(%)=x+lnx(x>0),易知g(x)在(。,+8)上单调递增，

所以e'=2,即f=ln2,

故/(x)=e*+ln2,所以y(ln3)=eln3+ln2=3+ln2.

故选：B.

6.(2024.陕西•模拟预测)函数"x)=7iQ+J装的最大值为()

A.1B.72C.CD.2

【答案】D

【分析】令二五力=A，则/+；=1,设。=sinab=6cos6(0wew]),再结合三角函数的性质

即可得解.

【详解】函数=+A的定义域为[05，

令a=J-x,b=,贝!Ja?=1(04a41,04646)，

设a=sinO,b=石cos0(O<9可得a+b=2sin[o+]],

当。时，a+6有最大值为2,

O

所以函数〃x)=>/r7+技的最大值为2.

故选：D.

7.(23-24高一上•浙江宁波•开学考试)函数k2尤2：：：+4(尤*°)的最大值为-

【答案】7/0.25

4

【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值.

1

x+lx+i=a

【详解】y=

2九2+4x+42（龙+1）一+2（尤+i）+3

设x+l=/21,而〉=/+；在［1,+8)上单调递增,

所以y=f+32,当且仅当f=l时等号成立，

t

1

2

贝Uy=

X+1）H———

7X+1

所以函数的最大值为;.

故答案为：；

8.(24-25高三下•重庆•阶段练习)若〃2x-l)=2f_%,则的解析式为.

【答案】/(x)=—+-

v722

【分析】直接利用换元法求函数解析式即可.

【详解】令r=2x—l,贝"=?，因为/(2x—l)=2f—%,

所以/■⑺=2(詈)-^X=L+L,故〃x)=5+?

故答案为：/(x)=y+|.

5—Y

9.(23-24高三上.广东江门•开学考试)函数/(x)=7二=的值域为.

【答案】［2g,+s)

【分析】令/=厅7尤=2-〃,/>(),将原函数转化为/(/)=/+：,利用基本不等式即可求解.

【详解】/(x)的定义域为(一,2),令公厅1户2-r,/>0

^.2.0QO

y(r)=L±^=z+!,v?>0j+|>2V3,当且仅当/=若，即x=—1时取“等号”

.•"(X)的值域为［2"+”).

故答案为：［24,+“)

10.(23-24高二下•辽宁本溪・期末)已知函数满足2/1号=则〃x)=

【答案】可'（"1）

【分析】利用解方程组法和换元法即可求解.

【详解】由-一:1=x①，

得2/11--（1+]=-尤②，

由①②得341+£|=X,则（1+[=卜（"0）,

令Id=t,则尤=（tW1）,

Xt-l

所以“A-g，

故〃X）=ED（*I）.

故答案为：式二D（XRI）.

11.（2024高三•全国•专题练习）已知函数y=2x-3-Ja-4x的值域为（一双g,则实数。的值为

【答案】13

【分析】令人-4』（止0）,则、=一1一/+_|一3,结合二次函数的性质即可求解.

【详解】由题意可得4-4x2。可得xwf,

4

______.22

令五-4%=《/20）,则2%=^^—,y=一•-+-^-3,

.••当/=T时取得最大值，

但由于C20,故当f=O即x=?时，y=|-3=|,解得。=13.

故答案为：13.

易错点03：研究单调性、奇偶性时忽略定义域

易错陷阱与避错攻略

典例（2024高三.全国.专题练习）函数y=匚百瓦的单调递减区间是（）

A.(-co,l)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,+co)

【答案】C

【分析】令t=-d+2x,再根据复合函数单调性的判断方法求解出y=的单调递减区间.

【详解】由-d+2x20可得0〈x<2,所以函数y=J—x2+的定义域为[0,2],

令r=-f+2xe[0,l],利用复合函数单调性判断方法来分析了=+2x的单调性，如下表:

Xt=—%2+2xty=«y=yl-x2+2x

(0,1)单调递增(0,1)单调递增单调递增

(1,2)单调递减(0,1)单调递增单调递减

由表知，y=J—d+2x的单调递减区间为（1，2）.

故选：C.

【易错剖析】

本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为（1,y0）而致错.

【避错攻略】

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，

函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧

途。

1.函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨

论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

（1）单调区间区间/是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.

（2）如果函数y=/（x）存在多个单调区间，应当用2”或“和”连接.

（3）单调性是函数的局部性质，增（减）函数是函数的整体性质.

（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层

函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函

数是减函数.

2.函数奇偶性与定义域

偶函数的定义：如果对一切使尸（x）有定义的尤，F（一尤）也有定义，并且F（一尤）=网无）成立，则称尸（无）为

偶函数.

奇函数的定义：如果对一切使刀(无)有定义的尤，网一X)也有定义，并且F(一x)=—E(x)成立，则称内尤)

为奇函数.

(1)奇偶函数定义的等价形式.

奇函数㈡八一X)=—於)㈡八—x)+/)=0,偶函数小一x)=/(x)管A-%)-»=0.

(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称.

一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是

偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数.例如y=",定义域为[0,十8),不具有奇偶性.

易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.

叁举一反三

1.(23-24高三上•浙江绍兴•期末)函数y=ln(d-2x)的单调递减区间是()

A.B.C.(-<»,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性可求得函数的单调递减区间.

【详解】由y=ln(Y-2x),

/.x2—2x>0f解得xv0或%>2,

所以函数y=ln(d-2x)的定义域为(F,0)U(2,y),

令”=尤2-2%，则函数"=f-2x在(—,。)上单调递减，在(2,y)上单调递增，

而函数y=In”在(0,+8)上为增函数，

由复合函数单调性可得，=ln(Y-2X)的单调递减区间为(3,0).

故选：C.

2.(24-25高三上•福建福州•期中)已知定义在「3,3]上的函数/(乃=e-J2x-1,若

f(m2)+f(m-2)+2?0,则优的取值范围是()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,73]D.[-5/3,1]

【答案】B

【分析】根据/(x)=g(x)T的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为g(/)?g(2m),即可求解.

【详解】t己g(%)=e"—eT—2%,贝1]/(%)=g(%)—l

所以所求解不等式为了（加2）+f（m-2）+2=g（m2）+g（m-2）?0,

,/g(-x)=ex-ex+2x=-(ex-ex-2x)=-g(x),「.gO)是奇函数

vg^x)=ex+ex-2熠Je"8"-2=0,一•g。)在[-3,3]上是增函数

由g5?)+g(m-2)?0得g(/)?g(m-2)=g(2-m)

-3<m2<3-^3<m<A/3

化简得'解得：_1#m1,

v-3<2-m<3,

m2<2-m-2<m<1

所以加的取值范围是［-M］,

故选：B.

3.（24-25高三上・上海•期中）函数/00=7513+忑）的奇偶性为.

【答案】非奇非偶函数

【分析】先求得函数的定义域，然后根据奇偶性的定义来求得正确答案.

【详解】由《一厂解得-LMxcl,所以的定义域是［T1）,

1—x>0

由于/（X）的定义域不对称，所以/（X）是非奇非偶函数.

故答案为：非奇非偶函数

易错题通关

1.（23-24高三上.山东荷泽•阶段练习）函数^^的单调增区间为（)

O—JX—X

A.--,+coB.[-6,-

C._天1和

D.(一8,一6)U|一6,一

【答案】C

【分析】令,=—f―5%+6,根据二次函数的性质求出/的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的

单调增区间.

【详解】设方=一%2一5%+6,则有xw-6且xwl.

（49

--/+6=_('+汾+”,则，£（-°°,0）U［。,彳,

24

所以函数一_r的定义域为：{xlxw-6且XN1},

O—DX-X

5-卜口（L+00）;

由二次函数的性质可知方的单调递增区间为：（-8,-6）,-6,一彳;单调递减区间为:

2

又因为y=；在区间（-8,0）和（0,+旬上单调递减，

由复合函数的单调性可知：函数丁=―中的单调增区间为:-2，0和(1,+°°).

故选：C.

2.（2024高三•全国•专题练习）函数-x-3的单调递增区间为（）

A.100，；）B.C.T，+0°jD.；，+°°

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.

【详解】由题意可得2d—%—320,BP（2x-3）（x+l）>0,解得xW-1或九",

^t=2x2-X-3（X<-1^CX>-）,则y=〃，

因为，=2f_%—3的对称轴为X

所以f=2f-x—3在（一s，T］上递减，在■|,+s］上递增，

因为y=〃在定义域内递增，

所以/（%）=也32一>3在y，T］上递减,在1+②］上递增.

故选：C

3.（24-25高三上•陕西渭南•阶段练习）若函数”x）=log°.5（依-巧在区间（T,O）上单调递增，则。的取值

范围是（）

A.(0,2]B.[—2,0)C.[2,+co)D.(—co,—2]

【答案】D

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.

【详解】由于y=iog*在（0，+8）上单调递减，令仁-f+依，XG（-1,O）,

因为y=logo/为减函数，又"力=iogft5（"-V）在区间（-1,0）上单调递增,

由复合函数的单调性法则可知，1=-尤?+"在上单调递减，

且r=—X2+依>0在(-1,。)上恒成立，

因为y-必+依为二次函数，开口向下，对称轴为了=^|,

由在(T,O)上单调递减，可得gvT,解得。<_2,

由r=—尤？+依>0在(―1,。)上恒成立，即依>必，xe(—1,0),

可得a<x在(-1,0)上恒成立，则aW-1,

综上，实数。的取值范围为(-8,-21

故选：D

4.(24-25高三上•陕西汉中•期中)设函数〃x)=J+3X+4,则下列函数中为奇函数的是()

'7X2+2X+3

A.f(x+1^+1B./(x+1)-1

C./(x-l)+lD./(x-l)-l

【答案】D

【分析】运用奇函数的定义证明即可.

【详解】小)=芸二=/^+1,则小表，

定义域为R,且*r)=7为=-FW，则/(xT)T是奇函数.

故选：D.

5.定义在(。,+◎上的函数/(元)满足V无］,X?e(0,+8)且国片超，有［/'(菁)一/(*2)］(%一%2)>°，且

2

/(孙)=/(尤)+/(>),/(4)=：,则不等式，(2天)一『(*一3)>1的解集为().

A.(0,4)B.(0,+oo)C.(3,4)D.(2,3)

【答案】C

【详解】解："(孙)=/(x)+/(y)

?1

.•./(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=-,即〃2)=屋

•.•〃8)=〃4x2)=〃4)+〃2)=3〃2)=3x；=l,

/(2x)-/(x-3)>l,可转化为：/(2x)-/(x-3)>y(8),

即/（2x）>/（8）+/（x-3）,

即/（2尤）>f［8x（x-3）］=〃8x-24）,

・・・/（X）满足V%,尤2€（°，+°°）且无1*工2，有［/（占）-〃尤2）］（不一无2）>°，

\〃R在（0,+功上单调递增，

2x>0

即<X—3>0,解得：3<x<4,

2x>8x-24

即不等式/（2x）-/（x-3）>l的解集为：（3,4）.

故选：C.

l,x<2

6.已知函数/（%）=%—l,2Wx<3,且/（%）=2,则与=（）

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

l,x<2

【详解】因为/（无）=X-1,24X<3,且〃%）=2,

X2-7,x>3

2气<3］尤（）23

则解得玉）=3.

x0—1=2［尤；-7=2

故选：C

7.已知是定义在［T1］上的增函数，且/（》-1）>〃1-3力，则x的取值范围是.

【…答心案.】（"121

12

【详解】由题意可得，-1<1-3X<1,解得彳.

1c23

x-1>l1-13x

所以X的取值范围是g,|.

0Mg二（12一

故答案为：I-.

8.（2024高三.全国•专题练习）己知函数〃x）=—xW，xe（-l,l）,则不等式“1-咐<f（历-1）的解集

为.

【答案】(0,1)

【分析】先把函数/(X)写成分段函数的形式，利用二次函数的性质分析函数单调性，把函数不等式转化为

代数不等式，求解即可.

【详解】由已知得〃力=卜

则“X)在(-M)上单调递减，

-1<1-m<1

.*.<-l<m2-l<l解得0<机<1,

所求不等式的解集为(0,1).

答案：(0,1).

9.若函数人是偶函数，定义域为[a—1,2a],则。=,b—.

【答案】;0

【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以。-1=一2a,解得

又函数/(x)=¥+b尤+b+l为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0.

易错点04：对分段函数的理解不到位出错

易错陷阱与避错攻略

_丫2।丫1

二--，--在R上是增函数，则。的取值范围

alnx+5,x>l

为()

A.[l,+oo)B.[1,6]

C.(-co,l]u[6,+oo)D.(0.1]U[6,-H»)

【答案】B

【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.

【详角星】设g(x)=—彳2+2依一6,x<l-"(x)=alnx+5,x>l.

为使/(x)在R上递增，则g(x)在(-8,1］上递增，/z(x)在(1,+°0)上递增,

a>\

且g⑴</7⑴，即<a>0^>l<a<6.

2a-7<5

故选:B

【易错剖析】

本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而

错选A.

【避错攻略】

1.分段函数的定义

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫做分段函数.

【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.

(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系.要注

意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集.

2.分段函数的题型

(1)分段函数图象的画法

①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图

象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分

段函数，然后分段作出函数图象.

(2)分段函数的求值

①确定要求值的自变量属于哪一段区间.

②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.

(3)求某条件下自变量的值(或范围)

先对龙的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否

在所讨论的区间内.若题目是含有多层，了的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.

(4)根据分段函数的解析式解不等式

①对变量分类讨论代入相应的解析式求解.

②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解.

(5)求分段函数的最值

分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值

(6)根据单调性求参数

从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.

易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自

变量的值，切记代入检验.

(2)已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条

件如下：

类型1：函数/。)=(野)'无，在R上单调增递，则/(元)满足两个条件：

[f2(x),x>a

⑴工(X)在(-8㈤上单调增递增；

(2)；2(x)在(a,+«)上单调增递增；

(3)力⑷4人(力

类型2：函数/a)=1个x)，I,在R上单调增递减，则/(无)满足两性个条件：

[f2(x),x>a

⑴工(x)在(-8,a]上单调增递减；

⑵力口)在(a,+w)上单调增递减；

(3)/；(«)>/.(a)

举—反三

1.(2024.吉林.模拟预测)已知〃x)=«若则实数。的值为()

——,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【分析】分。<1和。21,求解/(。)=1,即可得出答案.

【详解】当。<1时，/(a)=2"T=l,则。一1=0,解得：a=l(舍去)；

当时，f(a)=^~=l,则y=2,解得：a=4.

故选：B.

2x+4,x<«

2.(24-25高三上•江苏南京•期中)已知函数〃x)=2;在R上单调递增，则实数。的取值范围是().

x+\,x>a

A.(-1,3]B.(-oo,3]C.[3,+oo)D.(-e,T]u[3,+(»)

【答案】C

【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.

2x+4,x<a

【详解】已知函数〃》)=21，当％工。时,

x+l,x>a

/(x)=2x+4单调递增，所以最大值为2a+4；

当尤>。且。>0时，〃尤)=d+1在(。,+«)上单调递增，最小值为1+1;

/、[2x+4,x<a

所以要使函数〃%=2;在R上单调递增，

[x+l9x>a

贝!Ja?+122a+4,解得〃之3或aW一1(舍去).

故选：C.

QX1>0

3.(2024•浙江温州•一模)已知函数〃尤)=3'°八的值域为R，则实数。的取值范围为()

x-3x+a,x<0

A.[-1,-K»)B.[3,+co)

C.