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文档简介
广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学
质量检测数学试题一
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知复数Z满足避二=1+百i,则目=()
Z
A.2B.1C.V2D.V3
2.已知集合/={xeZ||x-l|<3},5={x|0<x<3},则/口8=()
A.{0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|-2<x<4}
3.“2">1,log2b>1”是"2"2>4"的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知单位向量B满足卜+画=1,则下列说法正确的是()
A.(瓦0=150。B.归一可=3
C.向量a+B在向量7上的投影向量为D.石,,+;“
5.函数/(x)=cos2x—cosx是()
A.偶函数,且最小值为一2B.偶函数,且最大值为2
C.周期函数,且在上单调递增D.非周期函数,且在(宗,上单调递减
6.印度数学家卡普列加在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,他看到路边写有3025的一块牌
子被劈成了两半,一半上写着30,另一半上写着25.这时,他发现30+25=55,55:3025,
即将劈成两半的数加起来,再平方,正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数
字称之为雷劈数(或卡普列加数).则在下列数组:92,81,52,40,21,14中随机选择两
个数,其中恰有一个数是雷劈数的概率是()
8r3cl八
A.—B.-C.—D.0
1553
-ax+1,x<a
7.已知函数/(尤)=/、2的值域为R,则实数。的取值范围是()
(X-1),x>a
试卷第1页,共4页
A.(-吗0)B.(-»,-1]C.[-1,1]D.[-1,0)
8.记正项数列{aJ的前"项积为(,已知(%-1)北=2%,若见〈黑,则〃的最小值是()
A.999B.1000C.1001D.1002
二、多选题
9.现有甲、乙两组数据,甲组数据为:再,…,再6;乙组数据为:3%-9,-9,…,3再6-9,
若甲组数据的平均数为加,标准差为〃,极差为。,第60百分位数为6,则下列说法一定正
确的是()
A.乙组数据的平均数为3加-9B.乙组数据的极差为3a
C.乙组数据的第60百分位数为36-9D.乙组数据的标准差为“
io.在三棱台/8C-44G中,侧面/eq4是等腰梯形且与底面垂直,4G=i,AA1=42,
AC=BC=3,AB=3垃,则下列说法正确的是()
AABC=BABC
A.AXA.LBCB.^X-^-III
13
c.QTBC=2%一43D.三棱台N3C-4耳G的体积为?
11.已知函数/(尤)及其导函数函(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若
/(尤)+/(2-尤)=2,g(x-l)为偶函数,则下列说法一定正确的是()
A./(0)+/(1)+/(2)=3B.g(x+4)=g(尤)
C./(x+4)=/(x)
三、填空题
12.若3cosa+4sina=5,贝!Jtana=.
13.已知椭圆。5+,=19>6>0)的左、右焦点分别为耳、F2,过耳且垂直于x轴的直
线交椭圆于A、3两点,若4/片3为等边三角形,则椭圆C的离心率为.
14.现有甲、乙、丙等7位同学,各自写了一封信,然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、
丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信,则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取
法种数是(用数字作答).
试卷第2页,共4页
四、解答题
15.在VN8C中,内角A,B,C所对的边分别为。,b,c,且sin8-sinC=sirU,a=2.
⑴求V/BC的面积S;
⑵若〃+C2=12,求A.
16.如图,四棱锥尸-/BCD的底面是正方形,且NB=2,尸/_LP5.四棱锥P-4BC。的体
4
积为1.
P
(1)证明:平面尸48_L平面/BCD;
(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
17.已知函数/"(X)=e21-2(a+l)eA+2ar+2(z+l(a>0).
⑴求函数/(x)在x=0处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
⑶若函数/(》)存在两个零点为,x2,且西+%>0,求实数。的取值范围.
18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏,现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏,
其中3名资深玩家,4名新手玩家,甲为新手玩家.
(1)在某个游戏环节中,需随机选择两名玩家进行对抗,若是同级的玩家对抗,双方获胜的
概率均为g;若是资深玩家与新手玩家对抗,新手玩家获胜的概率为g,求在该游戏环节中,
获胜者为甲的概率;
(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏:如图,有两间相连的密室,设两间密室的编号
分别为①和②.密室①有2个门,密室②有3个门(每个门都可以双向开),甲在每个密室随
机选择1个门出去,若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①,设其挑战成功所出
的密室号为X(X=1,2),求X的分布列.
试卷第3页,共4页
/''密室外'、'、、、
/ac
19.已知数列{。J的前〃项和为S",且s“=2%+"-3.
⑴求数列{与}的通项公式;
[k,n=a,—I
⑵设「后eN*
[4_]+2k,ak-l<n<ak+l-1
(i)当上22,〃=勺+「1时,求证:bn_x>{ak-\\bn.
(ii)求
i=l
试卷第4页,共4页
参考答案:
题号12345678910
答案BAADBCDCABCABD
题号11
答案ABD
1.B
【分析】依题意可得z=§i,再根据复数代数形式的除法运算化简,最后再计算其模.
1+V3i
【详解】因为3二1=1+百i,
Z
所以Z-3二一叵止包一一1
所以1+后一(1+匈(1-烟一'
所以目=1.
故选:B
2.A
【分析】首先解绝对值不等式求出集合A,再根据交集的定义计算可得.
【详解】由年一1|<3,即-3<x-l<3,解得-2<x<4,
所以/={xeZ||x-1|<3}={xeZ|一2Vx<4}={一1,0,1,2,3},
又2=1x|0<x<3},
所以/口8={0」,2,3}.
故选:A
3.A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】由2">1可得。>0,由bgz6>l可得6>2,由2"%>4可得。+6>2,
所以由“2">1,1吗6>1”推得出“29>4”,故充分性成立;
由“2人">4”推不出“2">1,
如a=0,b=3,满足2*>4,但是2"=1,故必要性不成立;
所以“2">1,bg?6>1”是“2a+b>4”的充分不必要条件.
答案第1页,共13页
故选:A
4.D
【分析】根据数量积的运算律求出限6,即可求出〈海勺,从而判断A,再根据
|"川=,卜_可判断B,根据投影向量的定义判断C,计算+即可判断D.
【详解】单位向量&,[满足向
―\2-frr1
(G+b)=a2+2a-b+b2=1,所以。0二一务,
所以cos@,B)=m^=-1,又0。4扇而《180。,所以/豆=120。,故A错误;
|5-61=yj^a-b^=-2a-b+^b=^l2-2x+12=V3,故B错误;
因为(万+B)-5=52+B•万=/+,
\a+b\ai
所以向量之+B在向量方上的投影向量为—a=^-a,故C错误;
同2
因为石[〃+万石)=彼.<J+2=—^~+/I2=0,所以6J_1a+]6),故D正确.
故选:D
5.B
【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A,B;根据周期性判断,结合复
合函数的单调性判断C,D.
【详解】/(a=<:0$2%-8亚定义域为口,关于原点对称,
f(-x)=cos(-2尤)-cos(一龙)=cos2尤-cosx=/(x),
所以/(x)为偶函数,又/(X)=cos2x-cosx=Zcos?x-cosx-l,
令cosx=t,-1<Z<1,y(z)=2z2-t-1,
当/=;时,即cosx=;,f(x)有最小值,最小值为-
当/=-1时,即cos尤=-1时,/(X)有最大值,最大值为2,故A错误,故B正确;
因为/(X+27T)=COS2(X+2TI)—COS(X+27:)=COS2X—COSX=/(X),所以/(x)为周期函数,
答案第2页,共13页
因为片cosx在"向上单调递减,在仁,兀]上单调递减,
当,/(x)=2cos2x—cosx—l,令cos%=£,0<Z<1,f[t^=2t2-t-1,/(。在[(),;]
单调递减,在单调递增,
当^©(泉兀],/(x)=2cos2x-cosx-1,令cosx=f,-1<;<0,/(Z)=2Z2-Z-l,/«)在
(-1,0)单调递减,
由复合函数的单调性知,/(X)在(0,鼻上先减后增,在上单调递增;
故C,D错误,
故选:B.
6.C
【分析】找出这6个数中的雷劈数,结合组合数公式求相应的概率.
【详解】因为(8+1『=9?=81,所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.
记:“从6个数中随机选择两个数,其中恰有一个数是雷劈数”为事件A,
c151
则尸⑷=莅一二
故选:C
7.D
【分析】分段求函数值域,根据原函数值域为R,求实数。的取值范围.
【详解】若。<0,在(Y,a)上,函数y=-ax+l单调递增,所以ye(-巩1-/);
此时,函数尸(x-l>在]。川上单调递减,在(L+⑹上单调递增,无最大值,所以ye[0,+s);
因为函数/(x)的值域为R,所以1-/NO,结合.<0得-1W”O.
l,x<0
若0=0,则/(x)=2八的值域为[0,+8);
(x-1),x>0
若在(f,。)上,函数>1单调递减,所以ye(l-1,+ao)(1_/>0);
在上,函数y=(x-l>单调递减,在(1,+s)上单调递增,无最大值,所以”[0,+8);
所以函数/(x)的值域不可能为R;
答案第3页,共13页
若则函数在(-叫。)上,函数y=-"+l单调递减,所以ye(l-/,+s)(1-«2<0);
在[a,+<»)上,函数y=(尤-单调递增,”[(.-I),+8),
此时函数/(x)的值域不可能为R.
综上可知:当-lWa<0时,函数/'(x)的值域为R.
故选:D
8.C
【分析】由数列的前项积满足(%-1)1=2%,可求得{1}是等差数列,并求得Z,的通项,
进而得到{6}的通项,再由凡<芸5,即可求得正整数〃的最小值•
【详解】为正项数列{%}的前"项积,(%-1)[=2%,
...当〃=]时,(4—1)[=27],q=北=3
“22时,%=广,又(%-1)北=2%,
1n-l
•..{%}是首项为3,公差为2的等差数列,且北=3+2(〃-1)=2〃+1.
、(、,712w+l
由⑵一2)a“=(,得°“=4_2=
1001,2«+11001.2001
若对<,贝nU-------<——,•.n>-------
10002«-110002
所以,正整数〃的最小值为1001.
故选:C.
9.ABC
【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.
【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为:西,程…
则乙组数据从小到大排列为:3网-9,3无2-9,…,3玉6-9,
因为甲组数据的平均数为折,标准差为",极差为。,第60百分位数为6,
则。=玉6—再,又16x60%=9.6,所以6=占0,
答案第4页,共13页
所以乙组数据的平均数为3加-9,故A正确;
乙组数据的极差为3再6-9-(3再-9)=3(网6f)=3a,故B正确;
乙组数据的第60百分位数为加。-9=36-9,故C正确;
乙组数据的标准差为3”,故D错误.
故选:ABC
10.ABD
【分析】根据面面垂直证明线面垂直,再证线线垂直,可判断A的真假;根据两个同高的
三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比,可判断BC的真假;根据台体的体积公式求出台
体体积,判断D的真假.
【详解】如图:
对于A:在V/8C中,AC=BC=3,AB=36,所以44c5=90。,即/C_LBC.
由平面_L平面48C,平面/CC/n平面NBC=/C,8Cu平面
所以8C,平面NCG4,又4/U平面NCG4,所以故A正确;
对于B:因为4G=1,AC=3,且△44GSV/5C,所以S“闽
又三棱锥4-/3C和B-44G的高相同,所以QTBC=9/一4“,故B正确;
对于C:因为NC=34G,所以工河=3%",所以%MC=374GC,即匕,-ABC=3唳—4cq,
故C错误;
对于D:因为三棱台的高为1,所以三棱台/3C-4且G的体积为:
’19
--1--,故D正确.
322
故选:ABD
11.ABD
答案第5页,共13页
【分析】根据奇函数和偶函数的定义,结合函数的周期性和对称性,即可判断.
【详解】对A:令x=l,则/(1)+/(1)=2=/(1)=1;令x=0,则/'(())+/•⑵=2.所以
/(0)+/(1)+/{2)=3,故A正确;
对B:因为/(x)+/(2-x)=2,
两边求导,得g(x)-g(2-x)=0即g(x)=g(2-x);
因数g(x-l)为偶函数,所以g(-l+x)=g(-l-无)=g(2-x)=g(-4+x),
所以g(x)=g(-4+x),故g(x+4)=g(x)成立,故3正确;
对C:因为g(x+4)=g(x),
所以/(x+4)+S=/(x)+C2=/(x+4)=/(x)+c,c未必为0,故C错误;
对D:因为g(x)=g(2-x),令x=:,则g[g]=gL,故D正确.
故选:ABD
【点睛】结论点睛:若/⑺,g(无)的定义域均为R,且gO)=f'(x),则:
(1)若/(x)为奇函数,则g(x)为偶函数;若;'(x)为偶函数,则g(x)为奇函数,反之未必
成立.
(2)若/(X)为周期函数,则g(x)也是周期函数,且周期相同,反之未必成立.
【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系,求得sin/costz,进而可得解.
.4
sma=—
3cosa+4sina=55e”sin。4
【详解】联立cos26z+sin2«=l'得',因止匕tana=----=—
3cosa3
cosa=—
5
4
故答案为:—
13.—
3
【分析】由已知及是等边三角形即可求得:AF2=^C,AFX=^C,利用椭圆定
义列方程可得:/工+4片=¥<+*=如,整理得:、瓦=。,问题得解.
答案第6页,共13页
【详解】由题可得:F\F[=2C,又△/月5为等边三角形,
TT
由椭圆的对称性可得:=j又4BLFFZ
计算可得:AF2=^C,AF^
由椭圆定义可得:/乙+/月=
整理得:V3c=a
所以e,=@
a3
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,还考查了三角形中的边、角计算,还考查了椭圆
的定义应用,考查方程思想及计算能力,属于中档题.
14.134
【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,对A、B、C取到的个数分四种
情况讨论,按照分类、分步计数原理计算可得.
【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,
若A、B、C都没有取到,则有A:=24种不同的取法;
若A、B、C取到一个,则有C;A;A;=72种不同的取法;
若A、8、C取到两个,则有C;(A;A;+C;)=36种不同的取法;
若A、8、。取到三个,则有C;=2种不同的取法;
综上可得一共有24+72+36+2=134种不同的取法.
故答案为:134
15.(1)2
吒
2
【分析】(1)利用正弦定理得到6-sinC=〃=2,从而得到sinC=不,再由面积公式计算可
得;
(2)由余弦定理得到6ccos4=4,从而得到加cos4=/,再由正弦定理将边化角,即可求
出tan4,从而得解.
【详解】(1)因为sin5・sinC=siih4,a=2,
答案第7页,共13页
2
由正弦定理可得6-sinC=〃=2,所以sinC=7,
b
112
所以SARr=—absinC=—x2bx—=2;
皿22b
(2)因为/二62+。2-2bccos/,又b2+02=12,4=2,
所以4=12—26ccos力,所以bccos4=4,贝Ibccos/u/,
由正弦定理可得sin8sinCeos4=sin?A,又sin5•sinC=siib4,
所以sin4cosZ=sin2z,显然sin/〉0,所以cos/=sin/,则tan/=l,
又/e(O,7i),所以/=:.
16.(1)证明见解析
⑵f
【分析】(1)取的中点O,连接。尸,即可得到PO=1,设P到平面/BCD的距离为A,
根据锥体的体积公式求出〃=1,即可得到尸。,平面ABC。,从而得证;
(2)取CD的中点,连接。£,建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算可得.
【详解】(1)取48的中点O,连接。尸,因为/8=2,PA1PB,
所以尸。=』/8=1,
2
又四棱锥尸-/BCD的底面是正方形,所以邑ms=22=4,设P到平面/BCD的距离为〃,
114
则/TBC0=§x〃x4=§,所以〃=1,
所以尸。=〃,即尸。_L平面/BCD,又尸Ou平面P/5,所以平面尸Z3_L平面4BCD;
(2)取CZ)的中点,连接OE,则。E//8C,即。£_L/8,
如图建立空间直角坐标系,则P(0,0,l),C(l,2,0),£>(-1,2,0),
所以皮=(2,0,0),PC=(1,2,-1),
,、nDC—2x=0,、
设平面PCD的法向量为万=xj,2,贝!]—,取万=0,1,2,
n-PC=x+2y-z=0
答案第8页,共13页
又平面尸的一个法向量为行=(0,1,0),
\m-n\1J5
设平面尸48与平面尸CD夹角为6,贝!|cos6=昂3=;;—『=二,
网•网lx755
所以平面尸与平面PCD夹角的余弦值为YS.
5
17.(1)^=0
(2)答案见解析
⑶(1,+8)
【分析】(1)求出/(o),再求出导函数,即可得到切线的斜率,从而求出切线方程;
(2)由⑴可得4(x)=2(e-a)(e-l),再分a=1、〃>1、0<。<1三种情况讨论,分
别求出函数的单调区间;
(3)由/(。)=0,可得/'(x)必有一个零点为0,再结合(2)讨论可得.
【详解】(1)因为/(x)=e2,—2(a+l)e,+2ax+2a+l(a>0),
所以〃0)=0,/(x)=2e2-2(a+l)e工+2a,则/(0)=0,
所以函数/(“在x=0处的切线方程为y=0;
(2)函数/(x)=e2*-2(a+l)e*+2ax+2a+l(a>0)的定义域为R,
且/'(司=262工_2(。+1)/+20=23_4,_1),
当“=1时,/(x)=2(e、-l)220恒成立,所以“X)在R上单调递增;
当0>1时,贝!|当x>Ina或x<0时/'(x)>0,当0<x<Ina时/'(x)<0,
所以/(无)在(-甩0),(Ina,舟)上单调递增,在(0,Ina)上单调递减;
当0<a<l时,贝!]当x>0或x<Ina时/''(X)>0,当ln“<x<0时/''(x)<0,
所以在(f,Ina),(0,+8)上单调递增,在(Ina,0)上单调递减;
综上可得,当”=1时,/(x)在R上单调递增;
当a>l时,/(无)在(-<»,0),(Ina,+co)上单调递增,在(0,Ina)上单调递减;
答案第9页,共13页
当0<°<1时,〃可在(-00,111。),(0,+e)上单调递增,在(Ina,0)上单调递减.
(3)因为/(0)=0,/(x)必有一个零点为0,
由(1)可得,当。=1时/(可只有一个零点,不符合题意;
当a>l时,/(无)在(-8,0),(Ina,+00)上单调递增,在(0,Ina)上单调递减,
显然/(lna)<〃0)=0,
当尤>In[2(a+1)]时e">2(a+1),贝j]e"—2(a+l)>0,e*>0,2ax>0,
所以/(x)=e2x-2(a+l)e*+lax+2a+1=[e*-2(a+l)]e*+lax+2a+\>0,
所以f(x)在(Ina,+8)上存在一个零点,
此时/"(x)有两个零点X],x2(不妨令无心忆),且玉=0,x2e(lna,+co),即%>0,满足
再+9>0;
当0<°<1时,在(-co,lna),(0,+8)上单调递增,在(Ina,0)上单调递减,
所以/'(无)在(0,+e)不存在零点,且一个零点为0,则另一零点不可能大于0,
此时不满足X]+%>0,故舍去;
综上可得实数。的取值范围为(1,+8).
5
18.(1)—
v742
(2)分布列见解析
【分析】(1)先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数,分析得到6种情况中,
甲和资深玩家对抗的情况有3种,和同级的玩家对抗情况有3种,分两种情况,求出甲获胜
的概率,相加即可;
(2)设月为甲在密室①,且最终从密室①走出密室,挑战成功的概率,6为甲在密室②,
且最终从密室①走出密室,挑战成功的概率,分析得到两个方程,求出耳从而得到
打X=1)=1和尸(》=2)=歹得到分布列.
【详解】(1)7人中随机选择2人,共有C”21种情况,其中含甲的情况有C;=6种,
答案第10页,共13页
6种情况中,甲和资深玩家对抗的情况有3种,和同级的玩家对抗情况有3种,
311
则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为三x§=三,
和同级的玩家对抗并获胜的概率为三3乂;1=三3,
21242
故在该游戏环节中,获胜者为甲的概率为士1+=3=三5;
(2)设耳为甲在密室①,且最终从密室①走出密室,挑战成功的概率,
心为甲在密室②,且最终从密室①走出密室,挑战成功的概率,
考虑4,需考虑甲直接从。号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室,
故4c①,
考虑鸟,则甲从b号门进行密室①,且从密室①走出密室,
故巴=;片②,
3
联立①②,可得《二丁
332
所以尸(X=l)=4=不,故尸(X=2)=l—,=1,
故分布列如下:
X
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