广东省佛山市顺德区2024-2025学年高三年级上册教学质量检测数学试题（含答案解析）

广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学

质量检测数学试题一

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z满足避二=1+百i,则目=（）

Z

A.2B.1C.V2D.V3

2.已知集合/={xeZ||x-l|<3},5={x|0<x<3},则/口8=（）

A.{0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|-2<x<4}

3.“2">1，log2b>1”是"2"2>4"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知单位向量B满足卜+画=1,则下列说法正确的是（）

A.（瓦0=150。B.归一可=3

C.向量a+B在向量7上的投影向量为D.石，,+；“

5.函数/（x）=cos2x—cosx是（）

A.偶函数，且最小值为一2B.偶函数，且最大值为2

C.周期函数，且在上单调递增D.非周期函数，且在（宗，上单调递减

6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌

子被劈成了两半，一半上写着30,另一半上写着25.这时，他发现30+25=55,55:3025,

即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数

字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92,81,52,40,21,14中随机选择两

个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）

8r3cl八

A.—B.-C.—D.0

1553

-ax+1,x<a

7.已知函数/（尤）=/、2的值域为R,则实数。的取值范围是（）

（X-1）,x>a

试卷第1页，共4页

A.（-吗0）B.（-»,-1]C.[-1,1]D.[-1,0）

8.记正项数列｛aJ的前"项积为（，已知（%-1）北=2%,若见〈黑，则〃的最小值是（）

A.999B.1000C.1001D.1002

二、多选题

9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：再,…，再6；乙组数据为：3%-9,-9,…,3再6-9,

若甲组数据的平均数为加，标准差为〃，极差为。，第60百分位数为6,则下列说法一定正

确的是（）

A.乙组数据的平均数为3加-9B.乙组数据的极差为3a

C.乙组数据的第60百分位数为36-9D.乙组数据的标准差为“

io.在三棱台/8C-44G中，侧面/eq4是等腰梯形且与底面垂直，4G=i,AA1=42,

AC=BC=3,AB=3垃,则下列说法正确的是（）

AABC=BABC

A.AXA.LBCB.^X-^-III

13

c.QTBC=2%一43D.三棱台N3C-4耳G的体积为?

11.已知函数/（尤）及其导函数函（X）的定义域均为R,记g（x）=/'（x）,若

/（尤）+/（2-尤）=2,g（x-l）为偶函数，则下列说法一定正确的是（）

A./(0)+/(1)+/(2)=3B.g(x+4)=g(尤)

C./(x+4)=/(x)

三、填空题

12.若3cosa+4sina=5,贝！Jtana=.

13.已知椭圆。5+，=19>6>0）的左、右焦点分别为耳、F2,过耳且垂直于x轴的直

线交椭圆于A、3两点，若4/片3为等边三角形，则椭圆C的离心率为.

14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、

丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取

法种数是（用数字作答）.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.在VN8C中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且sin8-sinC=sirU,a=2.

⑴求V/BC的面积S；

⑵若〃+C2=12,求A.

16.如图，四棱锥尸-/BCD的底面是正方形，且NB=2,尸/_LP5.四棱锥P-4BC。的体

4

积为1.

P

(1)证明：平面尸48_L平面/BCD；

(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

17.已知函数/"(X)=e21-2(a+l)eA+2ar+2(z+l(a>0).

⑴求函数/(x)在x=0处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

⑶若函数/(》)存在两个零点为，x2,且西+%>0,求实数。的取值范围.

18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏,现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏,

其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的

概率均为g；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为g,求在该游戏环节中，

获胜者为甲的概率；

(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号

分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门(每个门都可以双向开)，甲在每个密室随

机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出

的密室号为X(X=1,2),求X的分布列.

试卷第3页，共4页

/''密室外'、'、、、

/ac

19.已知数列｛。J的前〃项和为S",且s“=2%+"-3.

⑴求数列｛与｝的通项公式；

[k,n=a,—I

⑵设「后eN*

[4_]+2k,ak-l<n<ak+l-1

(i)当上22,〃=勺+「1时，求证：bn_x>｛ak-\\bn.

(ii)求

i=l

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BAADBCDCABCABD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】依题意可得z=§i,再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.

1+V3i

【详解】因为3二1=1+百i,

Z

所以Z-3二一叵止包一一1

所以1+后一（1+匈（1-烟一'

所以目=1.

故选：B

2.A

【分析】首先解绝对值不等式求出集合A,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由年一1|<3,即-3<x-l<3,解得-2<x<4,

所以/={xeZ||x-1|<3}={xeZ|一2Vx<4}={一1,0,1,2,3},

又2=1x|0<x<3},

所以/口8={0」,2,3}.

故选：A

3.A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.

【详解】由2">1可得。>0，由bgz6>l可得6>2,由2"%>4可得。+6>2,

所以由“2">1，1吗6>1”推得出“29>4”，故充分性成立；

由“2人">4”推不出“2">1，

如a=0,b=3,满足2*>4，但是2"=1，故必要性不成立；

所以“2">1，bg?6>1”是“2a+b>4”的充分不必要条件.

答案第1页，共13页

故选：A

4.D

【分析】根据数量积的运算律求出限6,即可求出〈海勺，从而判断A,再根据

|"川=,卜_可判断B,根据投影向量的定义判断C,计算+即可判断D.

【详解】单位向量&,［满足向

―\2-frr1

(G+b)=a2+2a-b+b2=1,所以。0二一务，

所以cos@,B)=m^=-1，又0。4扇而《180。，所以/豆=120。，故A错误；

|5-61=yj^a-b^=-2a-b+^b=^l2-2x+12=V3,故B错误；

因为（万+B）-5=52+B•万=/+,

\a+b\ai

所以向量之+B在向量方上的投影向量为—a=^-a,故C错误；

同2

因为石[〃+万石）=彼.<J+2=—^~+/I2=0,所以6J_1a+]6）,故D正确.

故选：D

5.B

【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A,B；根据周期性判断，结合复

合函数的单调性判断C,D.

【详解】/(a=<：0$2%-8亚定义域为口，关于原点对称，

f(-x)=cos(-2尤)-cos(一龙)=cos2尤-cosx=/(x),

所以/(x)为偶函数，又/(X)=cos2x-cosx=Zcos?x-cosx-l,

令cosx=t,-1<Z<1,y(z)=2z2-t-1,

当/=；时，即cosx=；,f(x)有最小值，最小值为-

当/=-1时，即cos尤=-1时，/(X)有最大值，最大值为2,故A错误，故B正确；

因为/(X+27T)=COS2(X+2TI)—COS(X+27：)=COS2X—COSX=/(X),所以/(x)为周期函数，

答案第2页，共13页

因为片cosx在"向上单调递减，在仁,兀］上单调递减，

当,/(x)=2cos2x—cosx—l,令cos%=£,0<Z<1,f［t^=2t2-t-1,/(。在［(),；］

单调递减，在单调递增，

当^©(泉兀］,/(x)=2cos2x-cosx-1,令cosx=f,-1<;<0,/(Z)=2Z2-Z-l,/«)在

(-1,0)单调递减，

由复合函数的单调性知，/(X)在(0,鼻上先减后增，在上单调递增；

故C,D错误，

故选：B.

6.C

【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.

【详解】因为(8+1『=9?=81,所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.

记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A,

c151

则尸⑷=莅一二

故选：C

7.D

【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R,求实数。的取值范围.

【详解】若。<0,在(Y,a)上，函数y=-ax+l单调递增，所以ye(-巩1-/)；

此时，函数尸(x-l>在］。川上单调递减，在(L+⑹上单调递增，无最大值，所以ye［0,+s)；

因为函数/(x)的值域为R,所以1-/NO,结合.<0得-1W”O.

l,x<0

若0=0,则/(x)=2八的值域为［0,+8);

(x-1),x>0

若在(f,。)上，函数>1单调递减，所以ye(l-1,+ao)(1_/>0)；

在上，函数y=(x-l>单调递减，在(1,+s)上单调递增，无最大值，所以”［0,+8);

所以函数/(x)的值域不可能为R；

答案第3页，共13页

若则函数在(-叫。)上，函数y=-"+l单调递减，所以ye(l-/,+s)(1-«2<0);

在[a,+<»)上，函数y=(尤-单调递增，”[(.-I)，+8),

此时函数/(x)的值域不可能为R.

综上可知：当-lWa<0时，函数/'(x)的值域为R.

故选：D

8.C

【分析】由数列的前项积满足(%-1)1=2%,可求得｛1｝是等差数列，并求得Z,的通项,

进而得到｛6｝的通项，再由凡<芸5,即可求得正整数〃的最小值•

【详解】为正项数列｛%｝的前"项积，(％-1)[=2%，

...当〃=］时，（4—1）［=27］,q=北=3

“22时，%=广，又（%-1）北=2%,

1n-l

•..｛%｝是首项为3,公差为2的等差数列，且北=3+2(〃-1)=2〃+1.

、（、,712w+l

由⑵一2）a“=（,得°“=4_2=

1001,2«+11001.2001

若对<,贝nU-------<——，•.n>-------

10002«-110002

所以，正整数〃的最小值为1001.

故选：C.

9.ABC

【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.

【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：西,程…

则乙组数据从小到大排列为：3网-9,3无2-9,…,3玉6-9,

因为甲组数据的平均数为折，标准差为"，极差为。，第60百分位数为6,

则。=玉6—再，又16x60%=9.6,所以6=占0，

答案第4页，共13页

所以乙组数据的平均数为3加-9,故A正确；

乙组数据的极差为3再6-9-（3再-9）=3（网6f）=3a,故B正确；

乙组数据的第60百分位数为加。-9=36-9,故C正确；

乙组数据的标准差为3”，故D错误.

故选：ABC

10.ABD

【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A的真假；根据两个同高的

三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC的真假；根据台体的体积公式求出台

体体积，判断D的真假.

【详解】如图：

对于A：在V/8C中，AC=BC=3,AB=36，所以44c5=90。，即/C_LBC.

由平面_L平面48C,平面/CC/n平面NBC=/C,8Cu平面

所以8C,平面NCG4,又4/U平面NCG4,所以故A正确；

对于B：因为4G=1,AC=3,且△44GSV/5C,所以S“闽

又三棱锥4-/3C和B-44G的高相同，所以QTBC=9/一4“，故B正确；

对于C：因为NC=34G，所以工河=3%"，所以％MC=374GC，即匕,-ABC=3唳—4cq，

故C错误；

对于D：因为三棱台的高为1,所以三棱台/3C-4且G的体积为：

’19

--1--,故D正确.

322

故选：ABD

11.ABD

答案第5页，共13页

【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.

【详解】对A：令x=l,则/(1)+/(1)=2=/(1)=1；令x=0,则/'(())+/•⑵=2.所以

/(0)+/(1)+/{2)=3,故A正确;

对B：因为/(x)+/(2-x)=2,

两边求导，得g(x)-g(2-x)=0即g(x)=g(2-x)；

因数g(x-l)为偶函数，所以g(-l+x)=g(-l-无)=g(2-x)=g(-4+x),

所以g(x)=g(-4+x),故g(x+4)=g(x)成立，故3正确;

对C：因为g(x+4)=g(x),

所以/(x+4)+S=/(x)+C2=/(x+4)=/(x)+c,c未必为0,故C错误;

对D：因为g(x)=g(2-x),令x=:，则g[g]=gL，故D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：若/⑺，g(无)的定义域均为R,且gO)=f'(x),则:

(1)若/(x)为奇函数，则g(x)为偶函数；若;'(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，反之未必

成立.

(2)若/(X)为周期函数，则g(x)也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.

【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得sin/costz,进而可得解.

.4

sma=—

3cosa+4sina=55e”sin。4

【详解】联立cos26z+sin2«=l'得',因止匕tana=----=—

3cosa3

cosa=—

5

4

故答案为：—

13.—

3

【分析】由已知及是等边三角形即可求得：AF2=^C,AFX=^C,利用椭圆定

义列方程可得：/工+4片=¥<+*=如，整理得：、瓦=。，问题得解.

答案第6页，共13页

【详解】由题可得：F\F[=2C,又△/月5为等边三角形,

TT

由椭圆的对称性可得：=j又4BLFFZ

计算可得：AF2=^C,AF^

由椭圆定义可得：/乙+/月=

整理得：V3c=a

所以e，=@

a3

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆

的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题.

14.134

【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,对A、B、C取到的个数分四种

情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.

【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,

若A、B、C都没有取到，则有A：=24种不同的取法；

若A、B、C取到一个，则有C；A；A；=72种不同的取法；

若A、8、C取到两个，则有C；(A；A；+C；)=36种不同的取法；

若A、8、。取到三个，则有C；=2种不同的取法；

综上可得一共有24+72+36+2=134种不同的取法.

故答案为：134

15.(1)2

吒

2

【分析】(1)利用正弦定理得到6-sinC=〃=2,从而得到sinC=不，再由面积公式计算可

得；

(2)由余弦定理得到6ccos4=4,从而得到加cos4=/,再由正弦定理将边化角，即可求

出tan4,从而得解.

【详解】(1)因为sin5・sinC=siih4,a=2,

答案第7页，共13页

2

由正弦定理可得6-sinC=〃=2,所以sinC=7,

b

112

所以SARr=—absinC=—x2bx—=2；

皿22b

(2)因为/二62+。2-2bccos/，又b2+02=12,4=2,

所以4=12—26ccos力，所以bccos4=4,贝Ibccos/u/,

由正弦定理可得sin8sinCeos4=sin?A,又sin5•sinC=siib4,

所以sin4cosZ=sin2z,显然sin/〉0,所以cos/=sin/,则tan/=l,

又/e(O,7i),所以/=：.

16.(1)证明见解析

⑵f

【分析】(1)取的中点O,连接。尸，即可得到PO=1,设P到平面/BCD的距离为A,

根据锥体的体积公式求出〃=1,即可得到尸。，平面ABC。，从而得证；

(2)取CD的中点，连接。£,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)取48的中点O,连接。尸，因为/8=2,PA1PB,

所以尸。=』/8=1,

2

又四棱锥尸-/BCD的底面是正方形，所以邑ms=22=4,设P到平面/BCD的距离为〃，

114

则/TBC0=§x〃x4=§,所以〃=1,

所以尸。=〃，即尸。_L平面/BCD,又尸Ou平面P/5,所以平面尸Z3_L平面4BCD；

(2)取CZ)的中点，连接OE,则。E//8C,即。£_L/8,

如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,l),C(l,2,0),£>(-1,2,0),

所以皮=(2,0,0),PC=(1,2,-1),

,、nDC—2x=0,、

设平面PCD的法向量为万=xj,2,贝!]—,取万=0,1,2,

n-PC=x+2y-z=0

答案第8页，共13页

又平面尸的一个法向量为行=(0,1,0),

\m-n\1J5

设平面尸48与平面尸CD夹角为6,贝！|cos6=昂3=；；—『=二，

网•网lx755

所以平面尸与平面PCD夹角的余弦值为YS.

5

17.(1)^=0

(2)答案见解析

⑶(1,+8)

【分析】(1)求出/(o),再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；

(2)由⑴可得4(x)=2(e-a)(e-l),再分a=1、〃>1、0<。<1三种情况讨论,分

别求出函数的单调区间；

(3)由/(。)=0,可得/'(x)必有一个零点为0,再结合(2)讨论可得.

【详解】(1)因为/(x)=e2，—2(a+l)e，+2ax+2a+l(a>0),

所以〃0)=0,/(x)=2e2-2(a+l)e工+2a,则/(0)=0,

所以函数/(“在x=0处的切线方程为y=0；

(2)函数/(x)=e2*-2(a+l)e*+2ax+2a+l(a>0)的定义域为R,

且/'(司=262工_2(。+1)/+20=23_4,_1),

当“=1时，/(x)=2(e、-l)220恒成立，所以“X)在R上单调递增；

当0>1时，贝！|当x>Ina或x<0时/'(x)>0,当0<x<Ina时/'(x)<0,

所以/(无)在(-甩0),(Ina,舟)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减；

当0<a<l时，贝！］当x>0或x<Ina时/''(X)>0,当ln“<x<0时/''(x)<0,

所以在(f,Ina),(0,+8)上单调递增,在(Ina,0)上单调递减；

综上可得，当”=1时，/(x)在R上单调递增；

当a>l时，/(无)在(-<»,0),(Ina,+co)上单调递增，在(0,Ina)上单调递减；

答案第9页，共13页

当0<°<1时，〃可在（-00,111。），（0,+e）上单调递增，在（Ina,0）上单调递减.

（3）因为/（0）=0,/（x）必有一个零点为0,

由（1）可得，当。=1时/（可只有一个零点，不符合题意；

当a>l时，/（无）在（-8,0）,（Ina,+00）上单调递增，在（0,Ina）上单调递减，

显然/（lna）<〃0）=0,

当尤>In[2（a+1）]时e">2（a+1）,贝j]e"—2（a+l）>0,e*>0,2ax>0,

所以/（x）=e2x-2（a+l）e*+lax+2a+1=[e*-2（a+l）]e*+lax+2a+\>0,

所以f（x）在（Ina,+8）上存在一个零点，

此时/"（x）有两个零点X],x2（不妨令无心忆），且玉=0,x2e（lna,+co）,即％>0,满足

再+9>0；

当0<°<1时，在（-co,lna）,（0,+8）上单调递增，在（Ina,0）上单调递减，

所以/'（无）在（0,+e）不存在零点，且一个零点为0,则另一零点不可能大于0,

此时不满足X]+%>0,故舍去；

综上可得实数。的取值范围为（1,+8）.

5

18.（1）—

v742

（2）分布列见解析

【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，

甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜

的概率，相加即可；

（2）设月为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，6为甲在密室②，

且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出耳从而得到

打X=1）=1和尸（》=2）=歹得到分布列.

【详解】（1）7人中随机选择2人，共有C”21种情况，其中含甲的情况有C；=6种，

答案第10页，共13页

6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，

311

则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为三x§=三，

和同级的玩家对抗并获胜的概率为三3乂；1=三3，

21242

故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为士1+=3=三5；

(2)设耳为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，

心为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，

考虑4,需考虑甲直接从。号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室,

故4c①，

考虑鸟，则甲从b号门进行密室①，且从密室①走出密室，

故巴=;片②,

3

联立①②，可得《二丁

332

所以尸(X=l)=4=不，故尸(X=2)=l—,=1，

故分布列如下：

X