高考数学专项复习：阿基米德三角形【六大题型】（学生版）

麴基杲檐县鲁彬

------------------------------------------------------------O（题型归纳）O

1弦长与弦所在方程问题...................................................................1

2定点问题................................................................................4

3切线垂直问题...........................................................................9

4切线交点及其轨迹问题..................................................................13

5面积问题...............................................................................18

6最值问题...............................................................................21

（命题规律）O

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容，圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，阿基

米德三角形的考查频率变高，在各类题型中都有可能考查，复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

Q［方法与技巧总结］O

【知火点1阿基米德三角形】

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.

性质1阿基米德三角形的底边力B上的中线MQ平行于抛物线的轴.

性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线,该直线

与以。点为中点的弦平行.

性质3若直线Z与抛物线没有公共点，以Z上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点（若直线I

方程为：£12+如+。=0,则定点的坐标为（，

性质4底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为“.

性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小,

最小值为犷.

Q［举一反三）o

【题型1弦长与弦所在方程问题】

1.（23-24高二下•河南开封•期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数

学家、天文学家,不仅在物理学方面贡献巨大,还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点48处的

切线交于点P,称为“阿基米德三角形”,当线段经过抛物线焦点尸时，口具有以下特征：

⑴P点必在抛物线的准线上；⑵为直角三角形，且尸氏⑶PFLAB.已知过抛物线靖=

169焦点的直线I与抛物线交于A,B两点，过点A,B处的切线交于点尸，若点P的横坐标为2,则直线

的方程为（）

A.x+2y—8=0B.x—2y+8=0C.a?—4y+16=0D.必+40一16=0

2.（2024•陕西西安・二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天

文学家，不仅在物理学方面贡献巨大,还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点4B处的切线交

于点P,称三角形E48为“阿基米德三角形”.已知抛物线。：靖=89的焦点为F,过4B两点的直线

的方程为遮力-3y+6=0,关于“阿基米德三角形”下列结论不正确的是（）

A.\AB\=^-B.PA±PB

o

C.PF±ABD.点P的坐标为（声,—2）

3.（23-24高二上•重庆・期末）阿基米德（公元前287年~公元前212年）是古希腊伟大的物理学家，数学家

和天文学家，并享有''数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理.在该定

理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.若抛物线上任意

两点处的切线交于点尸，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点尸时，

具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（3）0斤，48.若经过抛物线炉=

8T的焦点的一条弦为“阿基米德三角形”为△&LB,且点P在直线x-y+6=Q±.,则直线AB的方

程为（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2=0C.x+y—2=0D.x+2y—2=0

4.（2024高三・全国・专题练习）人8为抛物线d=2加（「＞0）的弦，虫如仇），纺）分别过AB作的抛物

线的切线交于点M（xo.yo），称4AMB为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.若弦AB过

焦点尸，则下列结论错误的是（）

A.Xi+x2=2x0B.底边AB的直线方程为gc—p（u+“o）=0；

C.是直角三角形；D.面积的最小值为2P2.

0

【题型2定点问题】

5.（23-24高二下•安徽•开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德

三角形”.对于抛物线C：y=a"给出如下三个条件:①焦点为网0《）；②准线为夕=—/；③与直线

2y-l=0相交所得弦长为2.

（1）从以上三个条件中选择一个,求抛物线C的方程；

（2）已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线。在弦两端点处的两条切线的

交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线是否过定点？如果是，求出定点坐标;如果不是，

请说明理由.

6.（2024.湖南.三模）已知抛物线E:y2=2Px（p>0）的焦点为尸，过F且斜率为2的直线与E交于A,B两

点，|AB|=10.

（1）求E的方程；

（2）直线Z:c=—4,过/上一点P作E的两条切线尸尸M切点分别为求证:直线MN过定点，并

求出该定点坐标.

7.（2024.甘肃兰州.一模）已知圆。过点P（4,l）,M（2,3）和N（2,—1）,且圆。与4轴交于点F,点、F是抛物

线E：X2=2py（p>0）的焦点.

（1）求圆。和抛物线E的方程；

（2）过点P作直线Z与抛物线交于不同的两点4,8,过点4,8分别作抛物线E的切线，两条切线交于点

Q,试判断直线QM与圆。的另一个交点。是否为定点，如果是，求出。点的坐标;如果不是，说明理由.

8.（2024•辽宁•三模）设抛物线C的方程为必=4/，/为直线l-.x=-m（m>0）上任意一点；过点河作抛物

线。的两条切线MA,MB,切点分别为8（4点在第一象限）.

⑴当M的坐标为（―吟）时，求过河，人，B三点的圆的方程；

（2）求证:直线恒过定点；

（3）当m变化时,试探究直线I上是否存在点M，使ZWAB为直角三角形,若存在，有几个这样的点，说

明理由;若不存在，也请说明理由.

【题型3切线垂直问题】

9.（23-24高二上•安徽蚌埠•期末）已知抛物线C的方程为炉=44,过点P作抛物线C的两条切线,切点分

别为48.

（1）若点P坐标为（0,-1），求切线PA,PB的方程；

（2）若点P是抛物线C的准线上的任意一点,求证:切线P4和PB互相垂直.

10.（23—24高二上•河南驻马店•期末）已知P是抛物线。:婿=4x的准线上任意一点，过点P作抛物线C的

两条切线切点分别为

（1）若点P纵坐标为0,求此时抛物线C的切线方程；

（2）设直线PA,PB的斜率分别为瓯M，求证：自•自为定值.

11.（23-24高二上•安徽蚌埠•期末）已知抛物线C的方程为"=甸,点P是抛物线C的准线上的任意一点,

过点P作抛物线。的两条切线，切点分别为A8,点河是的中点.

（1）求证:切线上4和P8互相垂直；

（2）求证:直线PM马y轴平行；

（3）求△出口面积的最小值.

12.（23-24高三下•江西景德镇•阶段练习）已知椭圆C1：4+4=1，抛物线5与椭圆C］有相同的焦点，

抛物线G的顶点为原点，点尸是抛物线G的准线上任意一点，过点P作抛物线G的两条切线PA.PB,

其中人、口为切点,设直线PA,PB的斜率分别为自，防

⑴求抛物线&的方程及自履的值;

⑵若直线AB交椭圆G于。两点，&、$2分别是△B4B、AFCD的面积，求黑的最小值.

【题型4切线交点及其轨迹问题】

13.(2024.辽宁沈阳.模拟预测)已知抛物线后：/=29，过点T(U)的直线与抛物线E交于人，B两点，设抛

物线E在点4口处的切线分别为h和①已知。与刀轴交于点M，，2与立轴交于点N,设。与12的交点

为P.

(1)证明：点P在定直线上；

(2)若△PMN面积为掾，求点P的坐标：

(3)若P,河，N,T四点共圆，求点P的坐标.

14.(24—25高三上•云南•阶段练习)已知点P(g,%)是抛物线娟=2pt(p>0)上任意一点,则在点P处的切

线方程为“oU=p(x+g).若A,B是抛物线Co：y2=a1c(a>0)上的两个动点，且使得在点A与点B处

的两条切线相互垂直.

(1)当a=6时,设这两条切线交于点Q,求点Q的轨迹方程；

(2)(i)求证：由点A,B及抛物线&的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线G；

(ii)对a再重复上述过程,又得一抛物线6，以此类推,设得到的抛物线序列为G，G，a，…，a，试

求Gz的方程.

°

15.(2024.广西.二模)已知抛物线。:d=4,过点E(0,2)作直线交抛物线。于4,8两点，过4,3两点分别

作抛物线C的切线交于点P.

(1)证明：P在定直线上；

(2)若斤为抛物线C的焦点，证明：=

16.(2024.上海.三模)已知抛物线「靖=2"的焦点为F,过点7(1,1)的直线，与「交于A、B两点.设「在

点入、8处的切线分别为。，如。与多轴交于点M，。与多轴交于点N,设。与。的交点为P.

(1)设点A横坐标为a,求切线h的斜率，并证明FM工

(2)证明：点P必在直线y=c—1上；

⑶若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标.

...........日

【题型5面积问题】

17.（23-24高三上•河南濮阳•阶段练习）我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点处的两条切线所围成

的三角形△JR4B（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角

形”，当线段经过抛物线的焦点R时，具有以下性质：

①P点必在抛物线的准线上；

②24,尸B；

③

已知直线l：y=fc（s-l）与抛物线婿=4必交于人，口点，若M3=8,则抛物线的“阿基米德三角形”

的面积为（）

A.8V2B.4V2C.2V2D.V2

18.（2024.山西.模拟预测）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过

抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于4,8两点，分别过两点作抛物线的切线小力相交于

点尸，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性:①点P必在抛物线的准线上;②/XPAB为直角三角形，

且/为直角；③PRLAB,已知P为抛物线92=*的准线上一点，则阿基米德三角形R48面积的

最小值为（）

A.4-B.4-C.2D.1

24

19.（2024•河北秦皇岛•二模）已知抛物线石：d=2y的焦点为F,点P是*轴下方的一点,过点P作E的两条

切线"心，且，14分别交工轴于M,N两点.

（1）求证：F,P,M,N四点共圆；

（2）过点F作V轴的垂线Z,两直线分别交Z于4口两点，求△上4B的面积的最小值.

20.（2024.河南.模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知4=（4,y）,6=（力,—g）,且4•日=0.

（1）求点河⑶9）的轨迹「的方程；

（2）由圆22+g2=R2上任一点N®,yo）处的切线方程为XQX+yQy=1,类比其推导思想可得抛物线C:

y1=2px（p>0）上任一点N（g,%）处的切线方程为讥。=0（/（）+力）.现过直线化=一3上一点P（不在力轴

Q

上）作r的两条切线，切点分别为QR若分别与立轴交于Q,R1，求詈％的取值范围.

b"QR

【题型6最值问题】

21.（23-24高三•云南昆明•阶段练习）过抛物线靖=2pc（p>0）的焦点尸作抛物线的弦，与抛物线交于4

B两点，分别过人，8两点作抛物线的切线4，L相交于点又常被称作阿基米德三角形.

的面积S的最小值为（）

A.£B.C.p2D.V2p2

22.（23—24高三上.湖南长沙.阶段练习）48为抛物线〃=2pg（p>0）的弦，A（g,%）,3（狈纺）分别过AB

作的抛物线的切线交于点河（&,坊），称△/MB为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若

弦过焦点F,则下列结论正确的是（）

A.Tj+T2=2ic0B.底边AB的直线方程为ga;—p（y+uo）=0；

C.A4MB是直角三角形；D.△⑷V阳面积的最小值为2P2.

_________亩

23.（2024.云南曲靖.一模）已知斜率为1的直线。交抛物线民〃=2";他>0）于两点，线段48的中点

Q的横坐标为2.

（1）求抛物线E的方程；

（2）设抛物线E的焦点为尸，过点F的直线12与抛物线石交于M、N两点,分别在点M、N处作抛物线E

的切线，两条切线交于点P，则△PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的

直线的方程;若不存在，请说明理由.

24.（2024.河北.模拟预测）已知抛物线C:x2=2py（p>0）,过点F（O,2）的直线I与。交于人归两点，当直线I

与沙轴垂直时，04,08（其中。为坐标原点）.

（1）求。的准线方程；

（2）若点A在第一象限，直线I的倾斜角为锐角，过点4作。的切线与y轴交于点T,连接交。于另

一点为。，直线AD与y轴交于点Q,求与△AZZT面积之比的最大值.

...........由

1过关测试）

一、单选题

1.（2024•吉林白山"二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如

在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆傕曲线中，称圆锥曲线的弦与过

弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线。:媛=8c的焦点为F,顶点为

O,斜率为A的直线I过点F且与抛物线。交于M,N两点，若△PMN为阿基米德三角形，则\OP\=

O

（）

A.VHB.2V3C.V13D.V14

2.（2024•青海西宁•二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.

阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为

定值.设抛物线y2=2Pxe>0），弦AB过焦点,/\ABQ为阿基米德三角形，则的面积的最小值

为（）

12

A.yB.pC.2pD.4P2

3.（23-24高二"全国•课后作业）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米

德三角形,其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点

的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px[p>0）,弦过焦点尸，AABQ为阿基米德三角

形，则△人8。为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随着点4,8位置的变化,前三种情况都有可能

4.（2024.河北.三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发

展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质.已知抛物

线才=4为过焦点的弦的两个端点的切线相交于点则下列说法正确的是（）

A.河点必在直线①=—2上，且以48为直径的圆过M点

B.河点必在直线必=-1上，但以48为直径的圆不过河点

C.河点必在直线®=—2上，但以48为直径的圆不过河点

D.河点必在直线必=—1上，且以4B为直径的圆过河点

5.（23-24高三上•河南濮阳•阶段练习）我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点处的两条切线所围成

的三角形△ELB（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角

形”，当线段经过抛物线的焦点F时，4PAB具有以下性质：

①P点必在抛物线的准线上；：

②弘,服

...................................由

③尸FLAB.

已知直线l-.y=fc（x-l）与抛物线才=4n交于4口点，若\AB\=8，则抛物线的“阿基米德三角形”

顶点P的纵坐标为（）

A.±1B.±2C.±3D.±^-

6.（23-24高三•云南昆明•阶段练习）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点斤作抛物线的弦与抛物线交于A、B

两点，河为AB的中点，分别过A、B两点作抛物线的切线1卜h相交于点P△上又常被称作阿基米德

三角形.下面关于的描述：

①P点必在抛物线的准线上；

②AP_LPB；

③设A（x1,y1）＞B（x2,y2）,则ARIB的面积S的最小值为%；

®PF±AB；

⑤PAf平行于刀轴.

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024高三•全国・专题练习）已知抛物线「："=加的焦点为F,直线，与抛物线「在第一象限相切于点

P,并且与直线y=-2和T轴分别相交于A,B两点,直线P9与抛物线r的另一个交点为Q.过点B作

〃/斤交P斤于点。，若|PC|=|QR|,则|P川等于（）

附加结论:抛物线上两个不同的点8的坐标分别为%）,8（如例），以入，8为切点的切线

相交于点P，我们称弦为阿基米德APAB的底边.

定理:点P的坐标为（苦包,笋）；

推论:若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点。（0,m）（巾＞0），则另一顶点P的轨迹方程为

y=­m.

A.V5-1B.2+V5C.3+V5D.5+V5,

8.（2024•云南昆明•模拟预测）阿基米德（公元前287年〜公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家

和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理,并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦

.........由

与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，△Q4B为阿基米德三角形.抛

物线〃=2py（p>0）上有两个不同的点人（如%）,口（狈统），以人，B为切点的抛物线的切线相交

于P.给出如下结论，其中正确的为（）

（1）若弦4B过焦点，则△4BP为直角三角形且ZAPB=90°；

（2）点尸的坐标是（三丁,爷

（3）/\PAB的边AB所在的直线方程为（x1+x2）x—2py—xrx2=0；

（4）ZVMB的边AB上的中线与沙轴平行（或重合）.

A.⑵⑶⑷B.⑴⑵C.⑴⑵⑶D.⑴⑶⑷

二、多选题

9.（2024.山东.模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已

知抛物线C：x2=8y，阿基米德三角形上,弦AB过。的焦点尸,其中点A在第一象限，则下列说法正

确的是（）

A.点P的纵坐标为一2B.。的准线方程为劣=—2

C.若|人m=8,则AB的斜率为V3D.面积的最小值为16

10.（2024•湖南长沙•二模）过抛物线C：d=2py（p>0）的焦点F的直线与抛物线。相交于A,B两点，以

A，B为切点作抛物线。的两条切线L，3设21，L的交点为河，称为阿基米德三角形.则关于阿

基米德三角形人上归,下列说法正确的有（）

A.是直角三角形B.顶点河的轨迹是抛物线。的准线

C.是的高线D.面积的最小值为功2

11.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德

三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线。:d=向上两个不

同的点，以A（g,%）,B（g,纺）为切点的切线交于P点.若弦人口过点F（0,l）,则下列说法正确的有

（）.

A.X1X2=—4：B.若0=2,则A点处的切线方程为①一0一1=0

C.存在点P,使得次•万>0D.面积的最小值为4

....................0

三、填空题

12.（2024高三.全国.专题练习）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.

设抛物线为=4c,弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则的面积的最小值为.

13.（24-25高二上・上海・单元测试）我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点4、口处的两条切线所围成的

△a4B（p为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段

48经过抛物线的焦点斤时，具有以下性质：

①P点必在抛物线的准线上;②上4，P8；③PF，4B.

已知直线Z：V=—1）与抛物线才=42交于48两点，若|人引=8,则抛物线的“阿基米德三角形”

△MB的顶点P的坐标为（-1,2）（-1,-2）.

14.（23—24高三下.江西.阶段练习）圆锥曲线。的弦AR与过弦的端点的两条切线的交点P所围成的

三角形叫做阿基米德三角形，若曲线。的方程为"=4,，弦过。的焦点歹，设4（电,纳），

B（T2,纺），P（g,y°），则有g=*生，%=学，对于。的阿基米德三角形给出下列结论:①点P

在直线y=-1上；②瓯4•=1；③心4+八?=0；④|P*2=|必||尸8|，其中所有正确结论的序号为

四、解

15.（23-24高三上•河北衡水•阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的

面积公式S=a版，（a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆

（i）求。的面积；

（2）若直线Z：rr+2夕—3=0交。于A,B两点，求\AB\.

.............恨

16.（23-24高二下•重氏阶段练习）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为4我们称

为抛物线的阿基米德三角形，弦48与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“冏边形”，且已知

“冏边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二.如图，点P是圆Q-.x2+（y+5）2=4上的动

点，/XPAB是抛物线r：®2=2py（p>0）的阿基米德三角形，尸是抛物线「的焦点，且