2025年浙科版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年浙科版高一数学下册月考试卷209考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2、已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，且f（x）=x2-2x；则g（x）=（）

A.x2-2

B.x2+2

C.-x2+2

D.-x2-2

3、【题文】已知集合则（）A.B.C.D.4、【题文】设a、b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是A.若a//b，a//则b//B.若⊥a//则a⊥C.若⊥a⊥则a//D.若以a⊥b，a⊥b⊥则⊥5、若函数f（x）=则f（2010）=（）A.4B.5C.506D.5076、已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A.[0，]B.[]C.[]D.[]7、若向量a鈫�b鈫�

满足：|a鈫�|=2|b鈫�|=2

且(a鈫�鈭�b鈫�)隆脥a鈫�

则a鈫�

与b鈫�

的夹角是(

)

A.娄脨6

B.娄脨4

C.娄脨3

D.512娄脨

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、数列{an}中，a1=2，且an+1+2an=3，则an=____．9、【题文】已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B=____10、【题文】圆x2+y2+2x+6y-19=0与圆x2+y2-6x+2y-10=0的两圆心之间的距离是____11、【题文】已知直线则直线与的夹角是____．12、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且点E为棱AB上任意一个动点．当点B1到平面A1EC的距离为时，点E所有可能的位置有几个____13、设是两个不共线的向量，已知若A，B，C三点共线，则实数k的值是____．14、已知a＞0，设函数的最大值为M，最小值为N，那么M+N=______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共2题，共18分)22、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．23、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、解答题(共2题，共4分)24、已知sinα-cosα=（0≤α≤π）．

（1）求tanα的值；

（2）求sin（2）的值．

25、若不等式ax2+5x-2＞0的解集是{x|＜x＜2}；

（1）求a的值；

（2）求不等式ax2+5x+a2-1＞0的解集．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)26、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．27、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．28、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【分析】本题可分4种情况分别讨论，解出此时的代数式的值，然后综合得到所求的值．【解析】【解答】解：由分析知：可分4种情况：

①a＞0，b＞0，此时ab＞0

所以++=1+1+1=3；

②a＞0，b＜0，此时ab＜0

所以++=1-1-1=-1；

③a＜0，b＜0，此时ab＞0

所以++=-1-1+1=-1；

④a＜0，b＞0，此时ab＜0

所以++=-1+1-1=-1；

综合①②③④可知：代数式++的值为3或-1．

故选A．2、B【分析】

由题意可得：关于y轴对称的两个函数x互为相反数；y不变．

因为函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称；

所以f（x）=x2-2x的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数；y不变．

所以可得g（x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x．

故选B．

【解析】【答案】直接根据平面直角坐标系中；点关于x轴；y轴轴对称的特点得出答案．

3、C【分析】【解析】

试题分析：集合M=[-3,3],N=R,所以故选C.

考点：1.椭圆方程的性质；2.集合的运算.【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】解：选项A中，直线b可能在平面内。

选项B中，一条直线平行于一个平面，则不一定垂直于与该平面垂直的平面错误。

选项C中，同上。只有选项D，成立。【解析】【答案】D5、C【分析】【解答】解：∵函数f（x）=

∴f（2010）=f（4×502+2）=f（2）+502×1=22+502=506．

故选：C．

【分析】由2010＞1，且2010=4×502+2，由分段函数得f（2010）=f（4×502+2）=f（2）+502×1，再求出f（2），由此能求出结果．6、D【分析】解：||=∴A点在以C为圆心，为半径的圆上；

当OA与圆相切时对应的位置是OA与OB所成的角最大和最小的位置。

OC与x轴所成的角为与切线所成的为

所以两个向量所成的最小值为最大值为

故选D

利用CA是常数；判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．

本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．【解析】【答案】D7、B【分析】解：因为|a鈫�|=12|b鈫�|=2

且(a鈫�鈭�b鈫�)隆脥a鈫�

所以(a鈫�鈭�b鈫�)?a鈫�=0

即a鈫�2鈭�a鈫�鈰�b鈫�=0

所以2鈭�2隆脕2cos<a鈫�,b鈫�>=0

解得cos<a鈫�,b鈫�>=22

所以a鈫�

与b鈫�

的夹角是娄脨4

故选B．

利用向量垂直，数量积为0

得到(a鈫�鈭�b鈫�)?a鈫�=0

展开得到夹角的余弦值的等式解之．

本题考查了向量垂直的性质以及向量的数量积公式的运用求向量的夹角，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

∵an+1+2an=3，∴an+1-1=-2（an-1）；

又a1-1=2-1=1，∴数列{an-1}是以1为首项；-2为公比的等比数列．

∴即．

故答案为1+（-2）n-1．

【解析】【答案】由已知an+1+2an=3，可得an+1-1=-2（an-1）；利用等比数列的通项公式即可得出．

9、略

【分析】【解析】根据题意可得文恩图如下：

所以【解析】【答案】{1，4}10、略

【分析】【解析】x2+y2+2x+6y-19=0的圆心为（-1，-3），x2+y2-6x+2y-10=0的圆心为。

（3，-1），两圆圆心之间的距离为=2【解析】【答案】211、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____12、2【分析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系；

设E（a，0，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），B1（1；0，1）．

则

设平面A1EC的一个法向量为

由取z=a；则x=1，y=a﹣1．

∴．

由

∴E所有可能的位置有2个．

故答案为：2．

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设出E点坐标，利用B1到平面A1EC的距离为求得a的值得答案．13、-6【分析】【解答】解：因为是两个不共线的向量，已知A，B，C三点共线；

所以所以2

所以所以k=﹣6；

故答案为：﹣6．

【分析】利用A，B，C三点共线得到结合向量相等得到k．14、略

【分析】解：∵

∴设g（x）=

则g（x）==2009-

∵2009x是R上的增函数；∴g（x）也是R上的增函数．

∴函数g（x）在[-a；a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．

∵函数y=sinx是奇函数；它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．

∴函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）

=2009-+2009-第四项分子分母同乘以2009a

=4018-[+]

=4018-2=4016．

故答案为4016．

要求f（x）的最大值与最小值之和，可分解为求的最大值与最小值之和sinx的最大值与最小值之和；利用它们的单调性，求解即可．

本题通过求函数的最值问题，综合考查了有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性，正弦函数的单调性，难度比较大．【解析】4016三、证明题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、作图题(共2题，共18分)22、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．23、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、解答题(共2题，共4分)24、略

【分析】

（1）∵sinα-cosα=（0≤α≤π）平方可得sinα•cosα=故α为锐角．

∴sinα=cosα=解得tanα=．

（2）sin（2）=sin2αcos-cos2αsin=2sinα•cosα-（2cos2α-1）

=-=．

【解析】【答案】（1）把sinα-cosα=（0≤α≤π）平方可得sinα•cosα=故α为锐角，可得sinα=cosα=从而得到tanα的值．

（2）由两角和差的正弦公式sin（2）=sin2αcos-cos2αsin再利用二倍角公式求得结果．

25、略

【分析】

（1）根据根与系数的关系即可求出a的值；

（2）把a的值代入不等式化简；解一元二次不等式即可．

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．【解析】解：（1）依题意，可知方程ax2+5x-2=0的两个实数根为和2；（2分）

由韦达定理得：（4分）

解得：a=-2；（6分）

（2）不等式ax2+5x+a2-1＞0化为-2x2+5x+4-1＞0；

即2x2-5x-3＜0；

即（x-3）（2x+1）＜0；

解得-＜x＜3；

故不等式的解集为{x|-＜x＜3}．（12分）六、综合题(共3题，共21分)26、略

【分析】【分析】（1）由直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，列方程组求k、m的值，再把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式求a、b；c的值；

（2）存在．根据O、A、B三点坐标求△OAB的面积，再由S△OCD=2S△OAB=12，求D点纵坐标，代入抛物线解析式求D点纵坐标．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=kx+4过A（1；m），B（4，8）两点；

∴，解得；∴y=x+4；

把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，；

∴y=-x2+6x；

（2）存在．设D点纵坐标为h（h＞0）；

由O（0，0），A（1，5），B（4，8），可知S△OAB=6；

∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12；解得h=4；

由-x2+6x=4，得x=3±；

∴D（3+，4）或（3-，4）．27、略

【分析】【分析】（1）直接利用抛物线的顶点公式即可得出D点的坐标；

（2）结合题意；可知可得出B点；C点和点D点的坐标，即可分别得出三个线段的长度，利用向量关系易得，BC⊥CD，即△BCD为直角三角形；

（3）假设存在这样的点P，经分析，有以下几种情况：①连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，②过A作AP