2025年粤教版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教版高一数学上册阶段测试试卷895考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知非负实数x，y满足条件则z=6x+8y的最大值是（）

A.50

B.40

C.38

D.18

2、已知是夹角为60°的两个单位向量，则=2+和=3-2的夹角是（）

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

3、【题文】已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱底面且则该四棱锥的体积是（）A.288B.96C.48D.1444、如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、下列函数中，在区间（﹣1，）上单调递减的函数为（）A.y=B.y=C.y=D.y=﹣sinx6、如果一条直线与一个平面平行，那么就称此直线与平面构成一个“平行线面对”，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由任意两条棱的中点确定的直线与平面ACC1A1构成的“平行线面对”的个数是（）A.4B.8C.12D.16评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、如果函数f（x）=（3-a）x，g（x）=logax它们的增减性相同，则a的取值范围是____．8、已知函数f（n）对任意实数n都满足条件：若f（1）=8，则f（2009）=____．9、若函数在上的最大值与最小值之差为2，则____.10、【题文】若函数f(x)＝ex－2x－a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是________．11、【题文】已知偶函数上单调递增，且则x的值等于____。12、【题文】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为____．13、【题文】[2014·金版原创]设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(2)＞1，f(2014)＝则实数a的取值范围是________．14、已知sin娄脕+cos娄脕=23

则cos2娄脕=

______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、解答题(共4题，共16分)23、(13分)已知函数（1）当时，求的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.24、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数，并指出相应的单调性．25、(本题满分10分)甲乙两地相距km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度km/h的平方成正比,比例系数为固定部分为元.(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?26、已知=（1，0），=（2；1）．

（Ⅰ）求|+3|；

（Ⅱ）当k为何实数时，-k与+3平行．评卷人得分五、计算题(共3题，共6分)27、若⊙O和⊙O′相外切，它们的半径分别为8和3，则圆心距OO′为____．28、Rt△ABC中，若∠C=90°，a=15，b=8，则sinA+sinB=____．29、文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践；为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：

。运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师；家长与学生各有多少人？

（2）由于各种原因；二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．

（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)30、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？31、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3；0）；B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D；求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

画出可行域。

又z=6x+8y可变形为直线

所以当该直线经过点A时z取得最大值；

且解得点A的坐标为（0；5）；

所以zmax=0+8×5=40．

故选B．

【解析】【答案】先画出可行域，然后把z=6x+8y变形为直线（即斜率为在y轴上的截距为），再画出其中一条最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．

2、B【分析】

已知是夹角为60°的两个单位向量，∴=1×1×cos60°=

又∵==6--2=4-=而==

==∴=∴．

故选B．

【解析】【答案】由题意利用已知是夹角为60°的两个单位向量，求出的值，再利用向量的夹角公式求出即可．

3、B【分析】【解析】【解析】【答案】B4、C【分析】解答：∵AC＜0，且BC＜0,直线Ax+By+C=0可化为y＝−又AC＜0；BC＜0

∴AB＞0，∴−

∴直线过一；二、四象限；不过第三象限．

分析：本题主要考查了直线的一般式方程与直线的性质，解决问题的关键是根据所给条件将直线一般式化为斜截式进行分析位置关系.5、D【分析】【解答】解：A．y=x2在（﹣1，）上没有单调性；∴该选项错误；

B．y=3x在R上单调递增，∴y=3x﹣1在R上单调递增；∴该选项错误；

C．y=log2（x+1）在（﹣1，）上单调递增；∴该选项错误；

D．y=sinx在（﹣1，）上单调递增，∴y=﹣sinx在（﹣1，）上单调递减；∴该选项正确．

故选：D．

【分析】根据二次函数、指数函数、对数函数，以及正弦函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，）上的单调性，从而找出正确选项．6、C【分析】解：如图，设E，F，M，N分别为A1B1，AB，BC，B1C1的中点；

则平面EFMN∥平面ACC1A1，则EF，EM，EN，FM，FN，MN分别平行平面ACC1A1；共6对；

同理可可得；其它边的中点的连线也有6对；

故由任意两条棱的中点确定的直线与平面ACC1A1构成的“平行线面对”的个数是12个。

故选C．

根据线面平行的判定定理即可得到．

本题考查了线面平行的判定定理，解题的关键是看清题目的线面之间的关系，注意在面上不要漏掉对角线，即做到不重不漏．【解析】【答案】C二、填空题(共8题，共16分)7、略

【分析】

函数f（x）=（3-a）x，g（x）=logax它们的增减性相同；

当函数是增函数时，解得1＜a＜2；

当函数是减函数时，无解；

所以a的范围是1＜a＜2．

故答案为：（1；2）．

【解析】【答案】通过指数函数与对数函数的单调性；求出a的取值范围即可．

8、略

【分析】

因为函数f（n）对任意实数n都满足条件：∵f（n+1）=

∴f（n+1+1）==f（n）

即∴f（n+2）=f（n）

∴f（x）是以2为周期的函数。

∴f（2009）=f（1+2×1004）=f（1）=8

故答案为：8．

【解析】【答案】根据已知中函数f（n）对于任意实数n满足条件f（n+1）=得出函数f（n）的周期是2；进而根据周期函数的性质，求出f（2009）．

9、略

【分析】【解析】试题分析：因为函数在是单调函数，所以其最大值与最小值必在区间端点取到。由最大值与最小值之差为2，得=2，即=2，解得a为考点：本题主要考查对数函数的性质。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：令则当时当时，所以在区间上单点递减，在区间上单调递增。因为函数在R上有两个零点，所以故

考点：导数的应用及函数与方程.【解析】【答案】(2－2ln2，＋∞)11、略

【分析】【解析】

试题分析：因为偶函数上单调递增，所以其在是减函数；又

所以=f(-1),故lgx=1或lgx=-1，解得x=10或x=

考点：本题主要考查函数的奇偶性；对数函数的性质。

点评：典型题，以常见函数为载体，综合考查函数的奇偶性、单调性等，是高考常常用到的考查方式。利用数形结合思想及转化与化归思想，问题易于得解。【解析】【答案】10或12、略

【分析】【解析】

试题分析：画出函数当时的图像，当函数过点（2,1）时，a=2,所以不等式恒成立，则实数的取值范围为

考点：二次函数的性质；对数函数的性质。

点评：数形结合是做本题用到的主要的数学思想也是做此题的关键。属于中档题。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】∵f(2014)＝f(1)＝f(－2)＝－f(2)＜－1；

∴＜－1，解得－1＜a＜【解析】【答案】(－1，)14、略

【分析】解：隆脽sin娄脕+cos娄脕=23隆脿1+sin2娄脕=49隆脿sin2娄脕=59

隆脿cos2娄脕=隆脌1鈭�sin22娄脕=隆脌2149

故答案为：隆脌2149

．

利用同角三角函数的基本关系；求得要求式子的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．【解析】隆脌2149

三、证明题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、解答题(共4题，共16分)23、略

【分析】试题分析：（1）由二次函数的图象易得的最大值和最小值；（2）根据二次函数的性质，区间应在对称轴的一侧，这样易得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，又因为二次函数开口向上，且对称轴为所以当时，当时，（2）函数的图像的对称轴为因为在区间上是单调函数，所以或考点：二次函数的图象和性质.【解析】【答案】（1）（2）24、略

【分析】【解析】⑴当时函数图象对称轴-⑵对称轴当即时，在上单调递增当即时，在上单调递减考点：本题考查利用函数单调性求最值【解析】【答案】（1）（2）当即时，在上单调递增当即时，在上单调递减25、略

【分析】解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为全程运输成本为y=a·+bv2·=s(+bv).故所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈(2)依题意知s,a,b,v都是正数,故有s(+bv)≥2s当且仅当=bv,即v=时上式中等号成立.①当≤c时,则当v=时全程运输成本最小;②当>c时,则当v∈时有s(+bv)-s(+bc)=s[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv).∵c-v≥0且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,∴s(+bv)≥s(+bc),当且仅当v=c时等号成立.即当v=c时全程运输成本最小.综上知,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度为v=当>c时,行驶速度为v=c.【解析】【答案】（1）所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈（2）为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度为v=当>c时,行驶速度为v=c.26、略

【分析】

（I）由题意可得+3的坐标；由模长公式可得；

（II）同理可得-k=（1-2k；-k），由平行关系可得-7k=3-6K，解方程可得．

本题考查平面向量的数量积和向量的平行关系，属基础题．【解析】解：（I）∵=（1，0），=（2；1）；

∴+3=（1；0）+3（2，1）=（7，3）；

∴|+3|==

（II）∵=（1，0），=（2；1）；

∴-k=（1；0）-k（2，1）=（1-2k，-k）；

又∵-k与+3平行；

∴-7k=3-6K，解得k=-3五、计算题(共3题，共6分)27、略

【分析】【分析】由两圆的半径分别为8和3，这两个圆外切，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得它们的圆心距．【解析】【解答】解：∵两圆的半径分别为3和8；这两个圆外切；

∴3+8=11；

∴它们的圆心距等于11．

故答案为：11．28、略

【分析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再分别求出∠A，∠B的正弦值，然后求出它们的和即可．【解析】【解答】解：由勾股定理有：c===17；

于是sinA=；sinB=；

所以sinA+sinB=．

故答案是：．29、略

【分析】【分析】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，根据题意得到方程组；求出方程组的解即可；

（2）有两种情况：①当180≤x＜210时；学生都买学生票共180张，（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票，得到解析式：y=51×180+68（x-180）+81（210-x），②当0＜x＜180时，一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张，得到解析式是y=-30x+17010；

（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y=-13x+13950和当0＜x＜180时，y=-30x+17010，分别讨论即可．【解析】【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：；

解得；

则2m=20；

答：参加社会实践的老师；家长与学生分别有10人、20人、180人．

（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人；其中学生有180人；

①当180≤x＜210时；最经济的购票方案为：

学生都买学生票共180张；（x-180）名成年人买二等座火车票，（210-x）名成年人买一等座火车票．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51×180+68（x-180）+81（210-x）；

即y=-13x+13950（180≤x＜210）；

②当0＜x＜180时；最经济的购票方案为：

一部分学生买学生票共x张；其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210-x）张；

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y=51x+81（210-x）；

即y=-30x+17010（0＜x＜180）；

答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y=-13x+13950（180≤x＜210）或y=-30x+17010（0＜x＜180）．

（3）由（2）小题知；当180≤x＜210时，y=-13x+13950；

∵-13＜0；y随x的增大而减小；

∴当x=209时；y的值最小，最小值为11233元；

当x=180时；y的值最大，最大值为11610元．

当0＜x＜180时；y=-30x+17010；

∵-30＜0；y随x的增大而减小；

∴当x=179时；y的值最小，最小值为11640元；

当x=1时；y的值最大，最大值为16980元．

所以可以判断按（2）小题中的购票方案；购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元；

答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．六、综合题(共2题，共16分)30、略

【分析】【分析】（1）根据若方程为一元一次方程；求出m的值即可，再根据若方程为一元二次方程，利用根的判别式求出即可；

（2）分别从当m-2=0，以及当m-2≠0时分析，得出若方程有两个不等的实根，以及若方程有两个相等的实根，利用根的判别式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程为一元一次方程；则m-2=0，即m=2；

若方程为一元二次方程；则m-2≠0；

∵关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m≤3；

∵m-2≠0；

∴m≠2；

∴m≤3且m≠2；

综上所述；m≤3；

（2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

即为y=2x+1；

y=0，x=-；即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点；

②当m-2≠0；即m≠2，函数为二次函数，依题意有；

a．若方程有两个不等的实根；

此时二次函数与x轴两个交点，根据函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点；

得出x=1和2时对应y的值异号；

则f（1）•f（2）＜0；

∴（m+1）（4m-3）＜0即-1＜m＜；

当f（1）=0时；m=-1；

方程为3x2-2x-1=0，其根为x1=1，x2=-；

当f（2）=0时，m=；

方程为3x2-8x+4=0，其根为x1=x2=；

∴-1≤m＜；

b．若方程有两个相等的实根；

则△=4-4（m-2）=0，m=3，方程为x2+2x+1=0，其根为x1=x2=-1；

此时二次函数与线段AB无交点；

综上所述，方程①所对应的函数的图象与线段AB只有一个交点的实数m的取值范围是：-1≤m＜．31、略

【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽