高考数学一轮专项复习知识清单-等差数列性质归类 （含解析）

等差数列性质归类

望盘点•置击看詈

目录

题型一：定义法判断等差数列......................................................................1

题型二：定义法求通项............................................................................4

题型三：等差中项................................................................................6

题型四：等差数列的“中点”性质..................................................................8

题型五：an与sn的关系’........................................................................10

题型六：双等差数列sn比值型....................................................................12

题型七：等差数列型函数和.......................................................................14

题型八：奇数项与偶数项和型.....................................................................16

题型九：等差数列的函数性质：单调性.............................................................18

题型十：等差数列的函数性质：sn最值............................................................20

题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型.....................................................22

题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参.....................................................26

题型十三：等差数列的函数性质：范围型...........................................................28

题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型....................................................31

题型十五：等差数列与三角函数...................................................................33

题型十六：等差数列思维第19题型综合............................................................35

更突围・楣耀蝗分

题型一：定义法判断等差数列

指I点I迷I津

等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差

数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母4表示，定义表达式为（常数）（〃eN*,«>2）.

1一6房白匕朝薪三瓶■「市国甚€戒星豪蓟疗一吊三痂金2嬴福，一金询石定血菽百1否

三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所

成的锐二面角依次为4,%,仇，则（）

C.cos。1+COS”=2cos0,D.tan0X+tan03=2tan02

【答案】D

【分析】连接。尸，过边4月的中点£作EGLO尸，垂足为G,则NGFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二

面角的一个平面角，记为6,设漏壶上口宽为。，下底宽为6,高为鼠在Rt/XEPG中，根据等差数列即可

求解.

【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底

宽和深度也依次递减1寸，

如图，在正四棱台4BCD-44GA中，。为正方形/BCD的中心，尸是边的中点，

连结。尸，过边4片的中点E作£G，O尸，垂足为G,

则/GEE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为。，

设漏壶上口宽为〃，下底宽为6,高为6,

在RtZXEFG中，GF=^-,tang=^-,

2a-b

因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等，

所以。-6为定值，

又因为三个漏壶的高人成等差数列，所以tanq+tanq=2tan4.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基

础上考查等差数列的相关知识.

2.(23-24高三下・上海浦东新一期中)设/卜)=。/'"+%1_17"1+--+平+%(0-0,〃7210,机€2),记

工(x)=AG)("=L2，L令有穷数列，为工(x)零点的个数("=1,2,…，加-1),则有以下两个结论:

①存在力(x),使得，为常数列；②存在力(无)，使得，为公差不为零的等差数列.那么()

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

【答案】C

【分析】对于①，列举力(x)=x?佥证，对于②，列举_/o(x)=(x-l)(x-2)…(尤-")验证.

【详解】当/(耳=/时，

工(x)=%'(x)=，止匕时4=1,

m1

f2[x)=f[[x]=m(m-1)x~,此时仇=1.

x

fm-A)=fm-2(x)=m(m-l)(m-2)---x2xx,此时超_=1,

故存在/o(x)，使”为常数列；①正确；

设工)(无)=(尤T(x-2)…(x-加)，则/)(x)有m个零点1,2,3,…，加,

则工(力在(1,2),(2,3),…依-1,加)的每个区间内各至少一个零点,故工(力至少有*1个零点,

因为是一个刃-1次函数，故最多有m-1个零点，因此工(x)有且仅有用-1个零点，

同理，力(X)有且仅有加-2个零点，L,《(X)有且仅有机-七个零点，

故b,,=m-n,所以｛0｝是公差为T的等差数列，故②正确.

故选：C.

3.(23-24高三上•北京海淀•阶段练习)斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有

应用.斐波那契数列｛%｝满足/=。2=1，an=+。"-2(力23,〃eN).给出下列四个结论：

①存在zweN*,使得，。,”+1,。”,+2成等差数列；

②存在加eN*,使得am,5,am+2成等比数列；

③存在常数"使得对任意〃eN*，都有氏，3+2，%+4成等差数列；

④存在正整数强，…4，且力气〈…〈数，使得4+%+…+”=2023.

其中所有正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由递推公式得｛%｝性质后判断，

【详解】对于①，由题意得。2=1，%=2,&=3,故%，。3，。4成等差数列，故①正确，

对于②，由递推公式可知5，%1，册+2中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，

对于③，4+4=4+3+4+2=为“+2+«„4=弭+2一册，

故当f=T时，对任意〃eN*,an,|«„+2,%+4成等差数列；故③正确，

对于④,依次写出数列中的项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,…，

可得2023=1597+377+34+13+2,故④正确，

故选：C

4.(21-22浙江金华•阶段练习)已知各项均不为零的数列｛皿｝,定义向量c,=(%,%)也=(〃,”+l),〃eN*.

下列命题中正确的是

A.若任意ndN*总有成立，则数列｛an｝是等比数列

B.若任意"GN*总有cn〃b"成立，则数列｛an｝是等比数列

C.若任意"GN*总有成立，则数列｛。。｝是等差数列

D.若任意"6N*总有cn〃bn成立，则数列｛an｝是等差数列

【答案】D

【详解】分析：利用平面向量垂直或平行的判定条件得到数列的递推公式，再利用累乘法求出通项，进而

利用等差数列和等比数列的定义进行判定.

详解：若任意〃eN*总有C"，b"成立，

贝!]"%+(〃+1)。什1=0,

a,,,,n

即但:——7,

a”77+1

aa.%

即为=A-1...

旦

a[a77-2、

n-ln-2n-3

-(7),(-----

n-------n-\n-2

(T)i

=------Q],

n

则｛%｝不是等比数列，也不是等差数歹u；

若任意“eN*总有gII，成立,

贝lj"%+I-("+l)a“=0,

即，4z±L=—n+\,

«„n

aaia,

即为=-■--2..q

an-lan-2刍

nn-12

・了％

n-\n-2

=nax,

即｛风｝是等差数列.故选D.

点睛：(1)熟记平面向量垂直和平行的判定条件：

已知。=区,必)[=(工2/2)，

则a〃g<=>再％―/必=0，a-LZ5<=>xxx2+y]y2=0

(2)已知数列｛。“｝的递推公式也=/(〃)求通项时，往往采用累乘法;

已知数列｛%｝的递推公式。向-。“=/(〃)求通项时，往往采用累加法.

5.（浙江•高考真题）如图，点列{An},{BJ分别在某锐角的两边上，且|44/=|4+/局，4产4+2，〃eN*,

阿纥/=禺+12I，3产纥+2，"eN*.（尸/。表示点尸与前重合）

若"”=|4闯,其为“屹出用的面积，则

A.3,}是等差数列B.{S：}是等差数列

C.{d“}是等差数列D.{4}是等差数列

【答案】A

【详解】s,表示点4到对面直线的距离（设为"）乘以四月J长度的一半，

即5,纥2角|,由题目中条件可知属纥」的长度为定值，

那么我们需要知道儿的关系式，

由于4,4和两个垂足构成了直角梯形，

那么%=%+|4/Jsin。，

其中6为两条线的夹角，即为定值，

那么斗=：〃+|44「山。）|凡纥」，

S“M=g（A+|44jsin。）同凡」，

作差后：5„+1-S„=|（|4^„+1|-sin0）|5A+1|.都为定值，所以S“M-S”为定值.故选A.

题型二：定义法求通项

指I点I迷I津

方法解读适合题型

定义法«„-a„-1（/7>2,”eN*）为同一常数={%}是等差数列

解答题中的证明问题

等差中项法2%_i=%+an_2(n>3,neN*)成立Q{an}是等差数列

a“=pn+q（p,q为常数）对任意的正整数〃都成立

通项公式法

={%,}是等差数列

选择、填空题中的判

验证$"=//+由7（/,2为常数）对任意的正整数〃都成立定问题

前“项和公式法

={an}是等差数列

1.（23-24高二下•贵州•阶段练习）已知数列｛%｝满足q=3,%“+1=%?…%，数列低｝满足

bn=ata2an-a[—a\----a"n,则40=（）

A.-13B.-14C,-15D.-16

【答案】C

【分析】根据已知条件求解判断｛〃｝为等差数列，求出通项a，得解.

【详解】由“=q•tz2L—（"+4+L+4），

aL（a：+~L+

'1=ax-2an-。用-a++喙）,

则“+i一"=an（a„+1-1）一生匕，又。同+1=%Lan,

•也+1-2=T，乂4=《-a；=3-3?=-6,

所以数列也｝为等差数列，则，=一6+（〃一1卜（一1）=一〃一5,

.・狐=-15.

故选：C.

2.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知数列｛g｝各项为正数，抄“｝满足6也…«„+«„+1=2bn+l,若％=2,

111

4=1,贝！］一+—+•••+----=()

a\”242024

1012101120242023

A.------B.------C.—D.—

1013101220252024

【答案】C

【分析】由端=贴用，得a,=四瓦；，再结合%+-=2%，可得豆+麻；=2匹，进而可得数列｛m｝

是等差数列，即可求出｛%｝的通项，从而可求出数列｛%｝的通项，再利用裂项相消法求解即可.

【详解】因为a；=b“be,所以a,=因也+i,

因为4+%=2%,所以，＞0,J她+i+J"+i或+2=24,

即R+师=2匹,

所以数列｛收｝是等差数列，

又％=2,4=1,所以4=4,

所以数歹计西｝的公差为何-M=1,首项为扬=1,

所以也=n，所以〃=/，

所以%=标二="（〃+1），则1=丽包二一一T

一11111111112024

所以1-----F…H--------=1------1--------F*—F--------------=1-------=------

m/qa2«20242232024202520252025.

故选：C.

3.（202牛山西・三模）已知数列｛。"｝，也”｝对任意〃€]\*均有。"+1=。"+，也+1=，+2.若%=4=3,贝1]&4=（）

A.530B.531C.578D.579

【答案】C

【分析】根据等差数列可得〃=2〃+1,再利用累加法求为4・

【详解】因为鼠尸4+2,可知数列论,｝是以首项4=3,公差d=2的等差数列，

所以%=3+2（〃-1）=2〃+1,

a„=a„

又因为+Ian+bn,即+1-an=bn,

可得。2—％=b1,a3—a2=b2,a4-a3=&•••,24—%3=砥,

累加可得出4一%=4+V+4/-----\-b23,

则”3=230+47）=575，所以。?4=578.

2

故选：C.

4.（2024•全国•模拟预测）己知见”,左eN*,数列｛6｝中，4=2,am+n=am+an,为数列｛。,｝的前"项和，

Sk+2-Sk^26,贝！］后=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据4+“=（+%，令%=1,根据等差数列的定义和通项公式可得%=2”，再由等差数列前〃项

和与通项关系即可得结论.

【详解］在限=%+4中*令加=1,可得。用=%+%,所以a”+i-a“耳2,又q=2,

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公差的等差数列，则。“=2〃，

所以Sk+2—Sk=ak+i+ak+2=2（后+1）+2（k+2）=4左+6=26,所以左=5.

故选：C.

5.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知数列｛%｝的前"项和为n，且满足%=2,--2=2,则耳。=（）

n+1n

A.110B.200C.65D.155

【答案】B

【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可.

【详解】因为1=2，

所以，，，是以2为公差的等差数列，

qc

又心=4=2,所以—^=2+2（〃-1）=2〃，

1n

故S"=2",所以品=200,

故选：B

题型三：等差中项

:指I点I迷I津

.等差中项的概念

若三个数a,A,6成等差数列，则N叫做。与6的等差中项，且有/=*.

1.（19-20高一下•黑龙江齐齐哈尔•期中）S”是公比不为1的等比数列｛%｝的前。项和，£是星和E,的等差

中项，S⑵是$6“和九儿，的等比中项，则4的最大值为（）

488025

A.—B.-C.—D.—

376321

【答案】D

【分析】由品是邑和$6的等差中项，可得又由品"是$6,和彳儿,的等比中项，同时令

/=!（0<品3,^A=1+~T~（0<t-^,由此即可得到本题答案.

t

【详解】设｛与｝的公比为4,由于4工1,所以S3=%,_/）,$6=%产6）,S，**，

1-q1-q\-q

又品是邑和X的等差中项，所以2s9=$3+久，即2v)=%,_/)+”-/)

\—ql-q\-q

化简得屋(g3_D(2q3+l)=0,由于“Rl,所以2/+1=0,q3=~^,

所以一%(14")_%(|■—」(1-产)_」(1一菽),

a,(l---)

_%(1-产)_八64"'

___；012n_；一；

l-q1-q1-q1-q18n\-qi-q

因为几“是$6"和九与"的等比中项，

所以%：=无•犯8,,，

ill

即[”一方所以a-+)2=41一少(1一小,令"：(0<七小，

\-q1-ql-q：

2

i(I—r)？/+2/+1t[1/n1.

则(17)(1-/)t2+t+lt2+t+l"1+1a

t

125

当一,即〃=1时，％取得最大值，最大值为三.故选：D

421

【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题.

2.(2022•黑龙江哈尔滨•一模)已知》2+产=4,在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差

数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为

A.-y/10B.V10c.-VioD.2而

【答案;c

【分析】根据题意，用X,丁表示这个等差数列后三项和为史型,进而设x=2cos0,y=2sin。，利用三角

4

函数的性质能求最大值.

【详解】设中间三项为Ac,则2Z)=x+y,所以6=守，，=审=三亚，

所以后三项的和为6+。+了=中+三亚+了=之詈，

244

又因为炉+/=4,所以可令x=2cose,y=2sin。,

g、i3x+9y3/八c.八\3、3Vo-

所以——-——=—(cos9+3sin——sin(0+cp)<———

故选。

【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质.

3.(23-24高二下•四川成都・期末)若等比数列｛与｝的各项均为正数，且3%，：%，2a6成等差数列，则巴詈1

Z.V»Q-ICt'y

()

A.3B.6C.9D.18

【答案】c

【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.

【详解】若等比数列｛4｝的各项均为正数，所以公比9>0，

且3“5」。7,2〃6成等差数列，可得2x；“7=2%+3%，47=2。6+3。5，=2。闷5+3%’,

即得q?~2q+3,q?-2q—3=0,(g—3)(g+1)=0,

可得9=3,

93

。10+。4_%q_2_O

一7r一q一"

私+出a\Q+%q

故选：C.

4.（2024・全国•模拟预测）已知等差数列｛%｝满足〃臼+%%+%%+=10°，则%=（）

5f5

C.5或一5D.—BK--

22

【答案】C

【分析】根据式子％/+/%+%%+%%=100的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质

和等差中项公式不断简化式子即可得解.

【详解】由题4的+。2。7+。3a9+。7a8=%（%+%）+%（如+为）=2a5a3+2%%=2a5（a3+%）=4a；=100,解得

21

5.（2022•全国•模拟预测）设。>0,b>0,若Ing是ln3"与ln9"的等差中项，则一+7的最小值为（）

【答案】B

【分析】先由等差中项的概念得到。+26=1,然后由基本不等式求解最小值即可.

【详解】因为山6是ln3"与hi货的等差中项，

所以21n石=ln3°+ln9J即ln3=ln（3。xy）=In3H+勾皿3,

a+2b=1,又。>0,b>0,

.21<21Y。cla4bo

ab\ab）ba\ba

当且仅当?=竺，即。=<，时等号成立.

ba24

故选：B.

题型四：等差数列的“中点”性质

指I点I迷I津

等差数列“中点”性质

若｛aj为等差数列，且m+n=p+q,贝Ua"+"〃一"p+%

ak+m9。攵+2加，…仍是等差数歹九公差为md（k,meN*）.

4.S〃，S2-Sn,83〃一§2“，…也成等差数列，公差为小d.

L（2024•新疆二模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，若&=-1,贝!］品=（）

as

A.SiB.S5C.S6D.S］

【答案】A

【分析】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简岳。即

可.

【详解】因为生=T,所以%+。8=0，所以。6+%=。5+%0=0.

%

因为工0-邑=。5+。6+〃7+。8+。9+%0=0，所以百0=§4.

另解：设等差数列｛%J的公差为d,

由之■=一］,得％+%=0,

13

所以％+6〃+%+7〃=0,即2%+13〃=0,得％=---d,

10x91-f+45d=-20d,

所以Ho=104+(一d=10x

4x3(1

因为S4=4%+—^—d=4x1--^-d\+6d=-20d,

5x4|45

—5%+-^―a=5x]+10(7=---d,

2

6x5|

S6~6%+—-—d—6xJ+15</=-24c/,

7x67r

S7—7%+----a—7xf]+2ld=--d,

2

所以EO=S4

故选：A.

2.（23-24高二下•河南信阳,期末）数列｛%｝满足。“+2+%-24+1=0,已知。7+%i=&，则｛%｝的前19项和

儿=（）

A.0B.8C.10D.19

【答案】A

【分析】由等差中项得到数列｛%｝为等差数列，再由等差数列的性质由+%1=心+%0得到〃=0，由等差

数列前«项和公式结合等差中项得到岳9

【详解】因为氏+2+%-2°同=0即2a用=%+2+.“，所以数列｛%｝为等差数列，

因为。7+%1=%+%0且07+%1=。8，所以。8+%0=08，得%0=0，

所以鸟9=（%+?xl9=2%;19=1也。=0.

故选：A.

3.（23-24高二下・湖北武汉・阶段练习）设凡为等差数歹£4｝的前〃项和，若〃8+%0—3〃9=%—2,贝1]5（）=（）

25

A.5B.10C.——D.15

2

【答案】B

【分析】利用等差中项性质得。8+。10=2。9,再利用等差数列的下标和性质求解即可.

【详解】若为+。10—3%=。2—2,由等差中项性质得殁+"10=2%，

故一。9=。2一2,即〃2+。9=2,易知Ro=号（%+%0）=5（。2+。9）=10-

故选：B

4.（2024・全国•模拟预测）已知邑为等差数列｛4｝的前〃项和，的+。2。+%6=30,贝IJ%=（）

A.100B.250C.500D.750

【答案】B

【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差

数列的性质公式简化运算.

【详解】解法一：设等差数列｛%｝的公差为%则%+2d+%+19d+%+15〃=30,BP3+126/）=30,所

以q3=10，故邑$=（%+；）*25=25二=250,

故选：B.

解法二：因为%+%。+%6=30,所以3&=30,得％3=10，故$25=（%+；）乂25=25q=250,

故选：B.

5.（2021全国模拟）等差数列｛%｝的前〃项和为邑，若的+〃9+〃21的值为常数，则下列各数中也是常数的

是（）.

A.S2lB.S?2C.S23D.$24

【答案】A

【分析】求出a3+ag+a2l=3an,故知的值是常数，进而利用等差下标性质可知4+%=2%代入前21项的

和的公式中求得星1=21g,进而推断出取为常数，有此可判断A,同理可判断BCD.

【详解】设等差数列｛%｝的首项和公差分别为4/,

a

因为%+%+%i=\+2d+q+8d+q+20d=3(a,+10(/)=3an,

所以知的值是常数，

对于A,s,|=21(q+.J=21x2孙=2%也是常数,故A正确；

2122

又寸于B,S?2=---------=11(%+%?)=11(qj+%J=1K<7]|+%]+4=22a”+11“故$22不为定值，故B

错误；~

对于c,s23=23(%；/)=23'=2%=2%+23d,

故S23不为定值，故C错误；

对于D,524=^lpl=12(fl[2+an)=12+d+an+2,>242[1+3&/‘

故邑4不为定值，故D错误.故选：A.

题型五：an与sn的关系'

r-----------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I点I迷I津

ISn,S2n—Sn,83〃一S2”，…也成等差数列，公差为〃2d.

;等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S〃，邑S，,S3〃-S2〃成等差数列

1.(2021•云南昆明三模)已知数列｛0｝的前〃项和为S“，a,=l,S“+ET=4/("22,"eN*),贝1]%。=()

A.414B.406C.403D.393

【答案】B

【分析】利用两式相减得见+i+a”=8〃+4,再利用两式相减可得%+2-。“=8(”22),由此可得。2“=即+6,

进一步可得答案.

S+S=4n2

【详解】由"/、2，两式相减得邑+「5,1=8力+4,即4用+4=即+4.

同|+邑=4(〃+1)-

仿“口+〃“=8〃+4/、

再由向"。〜两式相减得。升2-%=8〃22,由S2+S1=16,得的=14,

&+2+%+1=即+12

故｛2“｝为以14为首项，8为公差的等差数列，故出“=14+(〃-1卜8=8"+6,

故4oo=8x50+6=406.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列｛%｝的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解

题的关键，属于较难题目.

2.(22-23高三上海金山•模拟)对于实数X,卜]表示不超过x的最大整数.已知正数数列｛/｝满足

1C一111

S"=5。"+7J，〃eN*，其中已为数列｛•"｝的前〃项和，则网+及^+…+瓦]=

232352415171

280

【答案】B_

【分析】由已知数列递推式可得数列｛S/｝是首项为1,公差为1的等差数列，求得S〃=6,由此可求

111

同*闪*…*闲

【详解】由%+，］,令〃=1,得%=：%+」，・・・%>0,得4=1.

21an）21ax）

当〃22时，S”;1）,即s；—S；_］=l.

21

因此，数列｛S〃2｝是首项为1,公差为1的等差数列，

：.S：=n,即.

11111_J_

贝肉+函+「瓦r司+阿…十询

=1x3+—x5+—x7+—x9+—xll+—xl3+—xl5+—xl7

2345678

280

故选B.

【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题.

2

3.（23-24高三上•安徽•阶段练习）已知数列｛%｝的前"项和Sn=pn+qn+r（.P，4/为常数，且°片0,〃eN*）,

贝h｛。“｝是等差数歹『'是"厂=0"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［答案］A

【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可.

【详解】若｛%｝是等差数列，设其公差为d（dHO）,则s"="/+与=,

所以T=0,

若尸=0,贝!JS〃=p〃2+4〃（p，o）,

当〃=1时，ax=Sx=p+q,当时，4=一S〃_i=22〃+夕一夕，止匕时〃=1也满足，

所以*=2pn+q-p,于是有=2p,｛a〃｝是等差数列，

所以“｛%｝是等差数列〃是〃r=0〃的充要条件.

故选：A

4.（2023高三・全国•专题练习）设S〃是数列｛4｝的前几项和，且Q=T,Q*=S〃SM，则下列选项错误的是

-l,n=l

B.a

n——>2,«€N

n

为等差数列D.—+—+—=-5050

51°20i1n0n0

【答案】A

【分析】由。用=s“s用可得一一一：=—1,即数列是以［=—1为首项，―1为公差的等差数列可

»〃+i，［3"5

判断C,由S"求出％可判断A,B；由等差数列的前“项和公式可判断D.

【详解】Sn是数列｛4｝的前n项和，且q==S„Sn+l,

则sn+l-s„=snsn+l,整理得一一一J=-1(常数)，

»〃+1%

所以数列是以(=-I为首项，-I为公差的等差数列，故c正确;

所以《=T_("T)=_〃，故s“=-L

3〃n

11

所以当〃22时，％=S〃-3一产士一乙，％=-1不适合上式,

n-1n

一=1

11_*故8正确，A错误;

------------>2,72GN

、〃一1n

所以3十不+不+...+^—=一(1+2+3+...+100)=—5050,故D正确.

3]»2»33100

故选：A.

311

5.(22-23高三重庆沙坪坝模拟)已知数列｛%｝的前"项和5,=彳/-3〃，设a=——Z为数列他,｝的前

22anan+\

〃项和.若对任意的〃eN*,不等式几北＜12〃+4恒成立，则实数彳的取值范围为()

A.(-＜»,64)B.(^»,48)C.(-oo,32)D.(16,+«?)

【答案】A

【分析】根据a“,S”的关系求出数列｛%｝的通项公式，再根据裂项相消法求得7,,从而根据不等式恒成立求

实数4的取值范围.

31「31-

n

【详解】当〃22时，an=Sn-Sn_x=-^~2~一IP--1)二3〃一2,

当〃=1时。i=H=l满足上式，

所以%=3〃一2,〃£N*,

、_1_1_1111)

aa

所以“nn+\的一2)(3〃+1)3\3n-23〃+lJ'

所以％=4+2+…+a+…+;点

3v4)3147)313〃-23n+lJ

所以＜=!卜一不=)=/7,由，北＜12〃+4可得2-＜12"+4,

3«+1)3〃+13〃+1

即X＜4(3"+1'=4x［9〃+L+6］恒成立，因为对勾函数y=4(9x+工+6)在［1,+s)单调递增，

n\n)x

所以当"=1时4x(9“+：+6］有最小值为64,所以彳＜64,故选:A.

题型六：双等差数列sn比值型

【指I点I迷I津：

।

；若｛%｝与也,｝为等差数列，且前〃项和分别为S“与SJ,则?=今工.

I

/7〃+45

1.(23-24高三•甘肃定西•阶段练习)已知两个等差数列｛。"｝和｛4｝的前«项和分别为4和反，且才=，

则鲁=（）

b5

A.5B.6C.9D.11

【答案】C

【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.

47〃+45

【详解】因为等差数列｛%｝和｛4｝的前”项和分别为4和4，且才丁，

a5（%+“9）不（。1+〃9）A7x9+45

所以£1=2-------=2--------=&=/X…，=9

&汾+d）B，9+3.

故选：C

3.（23-24高三•江西抚州模拟）已知等差数列｛%｝与也｝的前〃项和分别为工&且?=黑^,则，^

的值为（）

13211321

A.—B.—C.—D.—

11102220

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可.

【详解】因为等差数列｛叫与｛2｝的前〃项和分别为总工，且背=£丁，

22

所以设=kn（2n+3）=2kn+3kn,Tn=kn（n+1）=kn+kn,

%+"9_勿5_%

所外力十九一跖一小

二工一邑

4o一四

_（50"+15左）一（32"+12左）

一（100N+10N）—（81左+9"）

65-44_21

-110-90-20,

故选：D

S3〃+2

3.（2022高三・全国•专题练习）已知S〃，T〃分别为等差数列｛的｝,｛加｝的前〃项和，-±=~―设点/是

Tn4〃+5

直线外一点，点尸是直线3C上一点，且万=殁方方+2工，则实数2的值为（)

289