二次函数与几何图形综合题（与角度问题）（解析版）

专题18二次函数与几何图形综合题（与角度问题）

1.（2022•江苏省苏州市）如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+l（m是常数，且m>0）的图象与x

轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC

交于点E,与x轴交于点F.连接AC,BD.

（1）求A,B,C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求/0BC的度数；

（2）若NACONCBD,求m的值；

（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+l（m是常数，且m>0）的图象上，始终存在

备用图

【解析】解：(1)当y=0时，-x2+2mx+2m+l=0,

解方程，得X[=-l,x2=2m+l,

:点A在点B的左侧，且m>0,

AA(-1,0),B(2m+L0),

当x=0时，y=2m+l,

AC(0,2m+l),

.'.0B=0C=2m+l,

VZB0C=90°,

.•.Z0BC=45°；

（2）如图1中，连接AE.

.,.D(m,(m+1)2),F(m,0)，

・・・DF=(m+1)2,OF=m,BF=m+l,

VA,B关于对称轴对称,

・・・AE=BE,

・・・NEAB=N0BC=45°，

VZACO=ZCBD,NOCB=NOBC,

NACO+NOCB=NCBD+NOBC,BPZACE=ZDBF,

VEF/70C,

.,/AEBEBF1

..tanZACE~^^~—~m+1,

CECEOF

・m+i_1

>•------m+1,

m

m=l或—1,

Vm>0,

・・111=1；

(3)如图，设PC交x轴于点Q.

当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时NCQA>/CBA,即NCQA>45°,

VZACQ=75°,

.\ZCA0<60°,

2m+l<V3，

2

2

2.(2022•四川省达州市)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax?+bx+2的图象经

过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接BC,在该二次函数图象上是否存在点P,使/PCB=NABC?若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,直线1为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函

数图象上一动点，过点Q作直线AQ,BQ分别交直线1于点M,N,在点Q的运动过程中，EM+EN

的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

J八

yy：y

ry才要r\V

图I图2备用图

【解析】解：(1):抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(3,0),

・[a—b+2=0

'-l9a+3b+2=0,

解得：)43,1:

该二次函数的表达式为y=-|x2+|x+2；_

(2)存在，理由如下：

如图1,当点P在BC上方时,

图1

VZPCB=ZABC,

；.CP〃AB,即CP〃x轴，

点P与点C关于抛物线对称轴对称，

24

y-——x2+—x+2,

4

・•・抛物线对称轴为直线x二―『1,

2x(-|)

VC(0,2),

AP(2,2)；

当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D(m,0),

则0D=m,DB=3-m,

ZPCB=ZABC,

CD=BD=3-m,

在RSCOD中，OC2+OD2=CD2,

22+m2=(3-m)2,

解得：m=|,

6

ADG，0),

6

设直线CD的解析式为y=kx+d,则［k+d=°

(d=2

解得：Ik=~—

5，

d=2

，直线CD的解析式为y=-9x+2,

-y=-y12x+,2„

联立，得

y=-fX2+gx+2,

・22

{"}舍去），X2=T

解得:214,

V产F

214、

AP(y,

综上所述，点P的坐标为（2,2）或（春-翌）；

（3）由⑵知：抛物线丫=-9+3+2的对称轴为直线x=l,

AE(1,0),

设Q(t,-ft吗t+2),且

设直线AQ的解析式为y=ex+f,贝4te+f=_々2+3t+29

解得:仁HU

13

工直线AQ的解析式为尸(-|t+2)x-|t+2,

当x=l时，y=-1t+4,

4

AM(1,-1t+4),

同理可得直线BQ的解析式为y=x+2t+2,

当x=l时，y=1t+1,

•■•N(1，孑+a,

.-.EM=-^t+4,EN=1t+p

.,.EM+EN=』4t+4+g4t+会41拼6

故EM+EN的值为定值?

3.(2021•江苏连云港市•中考真题)如图，抛物线歹=侬？+(加2+3卜-(6加+9)与x

轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知3(3,0).

(1)求m的值和直线8C对应的函数表达式；

(2)P为抛物线上一点，若S&BC=S&ABC，请直接写出点P的坐标；

(3)Q为抛物线上一点，若N/CQ=45。，求点Q的坐标.

【分析】

（1）求出A,B的坐标，用待定系数法计算即可;

（2）做点A关于BC的平行线/片，联立直线/片与抛物线的表达式可求出《的坐标，设

出直线么片与y轴的交点为G,将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线

P3P2,联立方程组即可求出P；

（3）取点。，连接CQ,过点A作C。于点。，过点。作轴于点尸，过

点。作于点£,得直线CZ）对应的表达式为y=；x-3,即可求出结果；

【详解】

（1）将5（3,0）代入y=mx1+（加之+3）%_（6加+9）,

化简得加2+加=o,则加=0（舍）或加=-1,

m=—1,

得:y=-x2+4x-3,则。（0,—3）.

设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b,

将8（3,0）、。（0,-3）代入可得｛_3_6，解得左=1，

则直线BC对应的函数表达式为y=x-3.

（2）如图，过点A作4f；〃BC,设直线/片与y轴的交点为G,将直线BC向下平移GC个

单位，得到直线写鸟，

由（1）得直线BC的解析式为y=x—3,2（1,0）,

直线AG的表达式为y=x-i,

解得x=］舍），或］x尸=2］

・・•6(2,1),

由直线AG的表达式可得G（-1,0）,

/.GC=2,CH=2,

，直线的表达式为y=x—5,

联立《

y=-x2+4x-3

3+V17[3-717

(3)如图，取点。，连接C。，过点A作于点。,

过点。作。尸J_x轴于点尸，过点。作C£J_。/于点E,

ZACQ=45°,

；.AD=CD,

又：//。。=90。，

ZADF+ZCDE=90°,

,：ZCDE+ZDCE=90°,

：.ZDCE=ZADF,

又：ZE=ZAFD=90°,

\CDE^\DAF,则4/=O£,CE=DF.

设DE=AF=a,

•：OA=1,OF=CE,

CE=DF=a+1.

由。C=3,则。尸二？—a,即Q+1=3—a,解之得，a=\.

所以。（2,—2）,又。（0,-3）,

可得直线CD对应的表达式为＞=-3,

设0］机，；机—3）,代入＞=—Y+4x—3,

1,1,7

得一加一3=一加+4m-3,—m=-m~+4m,m2——m=0,

222

又7〃R0,

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键.

4.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，抛物线y=（x+l）（x-a）（其中。＞1）与x轴交

于A、B两点，交y轴于点C.

（1）直接写出NOC4的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为4/台。的外心，且与△NC。的周长之比为屈：4,求此抛物线

的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y=（x+1）0-。）上是否存在一点P，使得

NC4P=NDB4?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】（1）Z0CA=45°,AB=a+l；（2）y=x-x-2-（3）存在，Pt（,

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出0A=0B=a,

OB=L即可证明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作AABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC="z，利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得/D=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCs^ocA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值

即可得答案；

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OGLAC于

G,连接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根

据NCAP=NDBA,ZBHD=ZACE=90°可证明△BHDs^ACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1)•.,抛物线y=(x+l)(x—。)(其中。>1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

・••当x=0时,y=-a,

当y=0时，(、+1)(%—。)=0,

解得：再=_],%=a，

AA(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

OB=1,OA=OC=a,

•••△OCA是等腰直角三角形，

Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图,作△ABC的外接圆。D,

・••点D为△48。的外心，

.\DB=DC,

:△OCA是等腰直角三角形，0A二a,

/.Z0AC=45°,AC=V2(z>

VZBDC和NBAC是BC所对的圆心角和圆周角，

AZBDC=2ZBAC=90°,

ZDBC=45°,

JNDBC=NOAC,

.'.△DBC^AOCA,

・・・八BCD与△4C。的周长之比为丽：4，

.BCV10日「J"1Vio

••---=----,即—j=——----，

AC441a4

解得：a=+2,

经检验：a=±2是原方程的根，

,/a>1,

a=2,

•••抛物线解析式为：y=(x+l)(x_2)=J_X_2.

(3)如图，过点D作DHJ_AB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作0GLAC于

G,连接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2万

VZ0CA=45°,

Z0CF=45°,

/.△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

-2k+b=0

\b=-2

k=-1

解得：<

b=—2

直线CF的解析式为y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

...0G所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

•••点D为A/BC的外心，

.•.点D在直线0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

/.G(1,-1),

设直线0G的解析式y=mx,

・・Ul=-1,

直线0G的解析式丫=­,

•.•点D为4ABC的外心，

.•.点D在AB的垂直平分线上，

-1+21

•••点D的横坐标为------

22

把X=y代入y=-x得y=-；,

D(一,),

22

・113

・・DH=一,BH==一,

222

ZCAP=ZDBA,ZBHD=ZACE=90°,

ABHD^AACE,

13

DHBH--

-------...........>BonP2_2，

CE近=电

解得：CE二巫,

3

•.•点E在直线CF±,

，设点E坐标为（n,-n-2）,

・・・CE=荷+(_〃_2+2)2=,

2

解得：n=±—,

3

厂24厂2

1・E1(—,—),E2(一,

333

设直线AE]的解析式为y=k1x+b"

’24

—k+b=—

：.<3}11]3,

2kl+4=0

k[=一

解得：\2,

4=T

直线AE|的解析式为y=—1,

同理：直线AE?的解析式为y=2x—4,

1,

V--X-1

联立直线AE|解析式与抛物线解析式得《2

y=x2-x-2

1

rx=2

解得:'c（与点A重合，舍去），

〔必=。

1

P1(-----

24

联立直线AE°解析式与抛物线解析式得[y尸=2入x-4一

X]—1x-2

解得：<<2_（与点A重合，舍去），

Ji=-2'〔歹2=°

/.P2(1,-2).

综上所述：存在点P,使得NC4P=NZ)A4,点P坐标为巳,P(1,

242

~2).

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关

键.

5.(2021•辽宁中考真题)己知函数了==5苫+IX+m(X<m),记该函数图像为G.

x2-mx+m(x>m)

(1)当冽=2时，

①已知在该函数图像上，求n的值；

②当0WxW2时，求函数G的最大值；

(2)当m>0时，作直线x=g加与x轴交于点P,与函数G交于点Q,若立尸。。=45。时，求

m的值；

(3)当加W3时，设图像与x轴交于点A,与y轴交与点B,过B做血交直线工=加与点

C,设点A的横坐标为a,C点的纵坐标为c,若“=-3c,求m的值.

【答案】(1)①〃=10,②函数G的最大值为*；(2)5=6；(3)加=”或%=-1|

【分析】

——x+2(x<2).、

(1)由题意易得歹=22①把点M(4/)代入求解即可；②根据二次函

x2-2x+2(x>2)

数的性质可进行求解;

（2）由题意可得如图所示，然后可得△尸。。是等腰直角三角形，则有

L进而代入求解即可；

（3）由题意可得如图所示，则有C（加,。）,/（。,0）,8（0,加），然后可得

OB=OE=m,OA=-a,设直线工=机与x轴的交点为E,过点C作CD_Ly轴于点D,进而易证

△AOB咨ABDC,然后根据全等三角形的性质可求解.

【详解】

解：（1）-：m=2,

—x~H—龙+2（x<2）

{22'',

x2-2x+2（^x>2）

①在该函数图像上，

二〃=4?-2x4+2=10；

②由题意得：当x<2时，函数G的解析式为y=+当xZ2时，函数G的解析

式为y=x2-2x+2,

0<x<2,

当0Vx<2时，贝=一工％2+]_工+2=一工（%一工]+—,

22212）8

117

・・・当、=时，函数G有最大值，即为右；

2o

当x=2时，则有函数G的最大值为》=2?-4+2=2,

••士>2,

8

17

.•.当0WxW2时，函数G的最大值为丁；

O

（2）由当俏>0时，作直线x=g机与x轴交于点P,与函数G交于点Q,可得点Q必定落在

y=+；x+"?的函数图象上，如图所示：

,/APOQ=45°,

­,•△尸。0是等腰直角三角形,

PQ=OP=；

mm

：.Q

一；x：加2+；x；"?+"?=g"?,化简得：m2-6m=0,

解得：mx=0,m2=6,

m>0,

・•.根=6；

(3)①当0〈加W3时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E,过点C作CD,

y轴于点D

yx=m

：.ABDC=NAOB=ZCEO=90°,

令y=0,则有0=-+冽，解得：x=l±Jl+也,

222

Vm<3,

.l-Vl+8m

••Cl---------------<0,

2

由题意得：。（私c）,4（。,0）*（0,加），四边形D0EC是矩形,

ADC=OB=OE=m,OA=-a,OD=CE=|c|,

•・・BCLBA,

ZABC=90°f

/ABO+ZDBC=/DBC+/BCD=90°,

AABO=/BCD,

.・.小AOB会八BDC（ASA）,

BD=OA=—a,

a=-3c,

a<0,c>0f

：.OD=CE=c,

4

OB=OD+BD=—a+。=—a=m,

3

BPx------1+8加=皿，化简得：9加2-20加=0,

32

解得：mx=—,m2=0（不符合题意，舍去），

②当加＜0时，设直线-加与x轴的交点为E,过点C作CD_Ly轴于点D,如图所示:

m+ylm1-4m

・,•令y=0，贝!J有0=工2一7nx+加，解得:x=------------

2

.m+yim1—4m

••a=-------------

2

4

同理可得OB=OD+BD=Q-C=§Q=—m,

3

——m=-------------，化间得：21机+16加=0,

42

当，加2=。（舍去）；

解得：m=-

x21

综上所述：加=当或加=一雪

921

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

6.（2021•江苏中考真题）如图，抛物线y=-；/+bx+c与x轴交于A（T,0）,B（4,0）,

与了轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.

(1)求抛物线的表达式；

⑵如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，SZCAQ=ZCBA+45°时，求点P

的坐标；

(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F,过点P作x轴的垂线交BC于点H,

当APFH为等腰三角形时，求线段PH的长.

131s

【答案】(1)夕=一彳/++2；()(6,-7)；(3)PH=3括一5或L5或M

222o

【分析】

(1)根据待定系数法解答即可；

(2)求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断/ACB=90°,继而可得/ACO=/CBA,

在x轴上取点E(2,0),连接CE,易得AOCE是等腰直角三角形，可得/0CE=45°,进一

步可推出/ACE=/CAQ,可得CE//PQ,然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，

再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；

(3)设直线AP交y轴于点G,如图，由题意可得若APFH为等腰三角形，则4CFG也为等

腰三角形，设G(0,m),求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，

然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题

可求解.

【详解】

解：(1)把A(-l,0),B(4,0)代入y=—+bx+c,得

1Lnf,3

-----b+c=0「,b=—

<2,解得：,2,

-8+4/?+c=0c=2

iQ

・•・抛物线的解析式是y=--x2+^x+2；

(2)令x=0,则y=2,即C(0,2),

V^C2=l2+22=5,5C2=22+42=20,AB2=25,

・•・AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

ZAC0+ZCA0=ZCBA+ZCA0=90

・・・ZAC0=ZCBA,

在x轴上取点E(2,0),连接CE,如图,

则CE=0E=2,

Z.Z0CE=45°，

：.ZACE=ZAC0+45°=ZCBA+45°=ZCAQ,

・・・CE〃PQ,

VC(0,2)，E(2,0)，

・•・直线CE的解析式为y=-x+2,

设直线PQ的解析式为尸-x+n,把点A(-1,0)代入，可得n=T,

・・・直线PQ的解析式为y-x-1,

13)

y=---X2H—X+2x--1x=6

解方程组，22，得y=0或

y=-x-l'=—7

・••点P的坐标是(6,-7)；

(3)设直线AP交y轴于点G,如图,

：PH〃y轴,

；./PHC=/OCB,ZFPH=ZCGF,

.♦.若^PFH为等腰三角形，则4CFG也为等腰三角形,

VC(0,2),B(4,0),

，直线BC的解析式为〉=一;x+2,

设G(0,m),VA(-1,0),

；・直线AF的解析式为y=mx+m,

4—2机

1cx=

y=——x+22m+1

解方程组2得V

5m

y=mx+m片

2m+1

4-2m5m

・••点F的坐标是

2m+1'2m+1

222

4-2m5m-2^,FG2=4-2m5m

CG2=(2-,CF2I+I+----------m

2m+12m+12m+12m+1

当CG=CF时，(2、1盖:+〔妥解得：噜存1(舍去负值),

此时直线AF的解析式为

22

13c

y=—x2-\—x+2(x=5-y[5

小；得X=-1

解方程组昨0或'7指-11，

V=-----XH-------尸~2-

22

・••点P的坐标是(5-6，7#T1),此时点H的坐标是(5-51二b,

22

APH=TA/S-II_V51=3^_5.

22

4-2mV4-2mV2]

5m25m|，解得m=；或nF-5（舍）

当FG=FC时,2m+1J2m+1J-------m

2m+12m+1

或m=2（舍），

此时直线AF的解析式为x+/,

y=--X2+—x+2

22彳曰x=-lx=3

解方程组，倚y=0或

11夕=2'

y=—x+—

22

・••点P的坐标是（3,2）,此时点H的坐标是（3,y）,

・・・PH=2-9=1.5；

2

4-2m5m

当GF二GC时，（2—机/二I+-----m|，解得加=、或m=2（舍去），

2m+12m+1

33

此时直线AF的解析式为y『+“

5

y=--X2+—X+2x=—

22x=-12

解方程组,得或,

33y=021

>=—x+—y=一

448

点p的坐标是（g,21）,此时点H的坐标是（|,

T

._213_15

・・rPHtl---------——

848

综上，PH=3指-5或L5或

O

【点睛】

本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点

的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度,

熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.

7.(2021•湖北中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线＞=。/+服+。与x轴交于点

/(T⑼和点8,与V轴交于点C,顶点。的坐标为

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸在抛物线上且满足=求点P的坐标；

(3)如图2,〃是直线2C上一个动点，过点M作轴交抛物线于点N,。是直线

NC上一个动点，当AQWN为等腰直角三角形时，直接写出此时点初及其对应点。的坐标

【答案】⑴y=x2-2x-3；(2)Pi(4,5),8],lj；⑶此[§'—

M(5,2),2(-5,12)；M4(2,-l),04(0,-3)；

%(1,-2),ft(0,-3)；跖(7,4),以(-7,18).

【分析】

(1)由和。(1,-4),且D为顶点列方程求出a、b、c,即可求得解析式;

(2)分两种情况讨论：①过点C作/〃皿，交抛物线于点召，②在8C下方作

NBCF=NBCE交BG于点、F,交抛物线于2；

(3)AQW为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当QM=MN,2QMN=90。；②当

QN=MN,ZQNM=90°；③当QM=QN,4MQN=90°.

【详解】

解：(1)将4(—1,0)和。(1,—4)代入＞=QX2+bx+°

a-b+c=0

a+b+c=-4

又..•顶点。的坐标为(1,-4)

a=l

・・•解得6=-2

。二一3

，抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

(2)•••3(3,0)和。(1,-4)

...直线的解析式为：y=2x-6

:抛物线的解析式为：J=X2-2X-3,抛物线与了轴交于点C,与x轴交于点和点

则C点坐标为(0,-3),B点坐标为(3,0).

①过点C作CPJ/BD,交抛物线于点月，

则直线C片的解析式为y=2x-3,

结合抛物线y=--2x-3可知尤2-2%-3=2尤一3,

解得：%=0(舍)，%2=4,

故4（4,5）.

②过点8作了轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G,

由=0C可知四边形OBGC为正方形，

:直线C召的解析式为广2尤-3

••.C4与x轴交于点

在3c下方作/8CF=/8C£交8G于点尸，交抛物线于2

/.NOCE=ZFCG

又「OCXG,ZCOE^ZG=90°

△OEC/^GFC（ASA）,

：.FG=OE=^,小一，，

又由C（0,—3）可得

直线C尸的解析式为广，-3,

结合抛物线y=x2-2x-3可知*-2x-3=；x-3,

解得％=0（舍），x2=1,

综上所述，符合条件的尸点坐标为：耳（4,5）,

（3）V5（3,0）,C（0,-3）

/.直线8C的解析式为为c=x-3

设M的坐标为（加,m-3）,则N的坐标为（加，m2-2w-3）

MN=^ni-3-^m2-2m-3）|=p??2-3m|

C（0,-3）

直线8C的解析式为"c=-3工-3

V为等腰直角三角形

:.①当QM=MN,NQW=90。时，如下图所示

135

解得：冽i=0（舍去）,rn2=—fm3=-

二此时Q[W；啖

则Q点的坐标为m2-2m-3

3

2

2m-m2m+m

QM=m-

33

2

m+m=|m2-3m|

3

解得：W1=0（舍去），m2=5,m3=2

，此时M（5,2）,ft（-5,12）；a（2,-I）,a（0,-3）；

③当QM=QN,/儿QN=90。时，如图所示

则Q点纵坐标为g（m-3+m2_2加一3）=；（〃/—m—6^=-^m2—^m—3

（11,1,1

/.Q点的坐标为|--m-3

Voo22

1151

；・Q点至!jMN的距离二—m——m9-m=—m+—m9

6666

/.=~|/n2-3m|（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

oo211

解得：加|=0（舍去）,加2=7,加3=1

此时M（L-2）,2（0,-3）；&（7,4）,a（-7,18）.

5_4

综上所述，点及其对应点。的坐标为：

MMx35-3，2一泻；u2

134

;%（5,2）,2（-5,12）；/（2,-1）,0（0,-3）；M（l,-2）,ft（0,-3）；

aV5745

%6（7,4）,ft（-7,18）.

【点睛】

本题主要考查二次函数与几何图形.该题综合性较强，属于中考压轴题.

8.(2021•湖南中考真题)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称

该点为“雁点”.例如(1,1),(2021,2021)……都是“雁点”.

4

(1)求函数>=—图象上的“雁点”坐标；

x

(2)若抛物线了="2+5》+，上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点

(点M在点N的左侧).当。>1时.

①求c的取值范围；

②求的度数；

(3)如图，抛物线了=-，+2丫+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，P是抛物

线y=-«+2x+3上一点，连接AP,以点P为直角顶点，构造等腰小△APC,是否存在点

P,使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(2,2)和(-2,-2)；(2)①0<c<4；②45°；⑶存在，P点坐标为

前，+师3]〔回3]

或1+亏，不或1一-不，"

【分析】

4

(1)根据“雁点”的定义可得尸x,再联立歹=一求出“雁点”坐标即可；

4

(2)根据》=。/+5工+。和y=x可得°x2+4x+c=0,再利用根的判别式得到c=—,再求

a

出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0,求出M的坐标，过E点向x

轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，/EMN的度

数即可求解;

(3)存在，根据图1,图2,图3进行分类讨论，设C(m,m),P(x,y)，根据三角形

全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标.

【详解】

4

y=-

解：(1)联立X,

尸X

x-2x-—2

解得尸2或

,=_2

4

即：函数歹=—上的雁点坐标为(2,2)和(-2,-2).

x

y=x

(2)①联立

y=ax2*4+5x+c

得ax2+4x+c=0

•：这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根,

***A=42-4ac=0

・L-

a

'：a>\

0<c<4

44

②将c二一代入，得ax；+4XH—=0

aaE

2

解得/=-―

a

4

对于y=if+5x+—,令y=°

a

过E点向x轴作垂线，垂足为H点,

22,4、2

EH=-,MH=-------(——)=-

aaaa

：.EH=MH=-

a

・•・为等腰直角三角形，ZEMN=45°

(3)存在，理由如下：

如图所示：过P作直线1垂直于x轴于点k,过C作CH_LPK于点H

设C(m,m),P(x,y)

・・・ZkCPB为等腰三角形，

.'.PC=PB,ZCPB=90°,

：.ZKPB+ZHPC=90°,

VZHPC+ZHCP=90°,

ZKPB=ZHCP,

VZH=ZPKB=90°,

.'.△CHP^APKB,

ACH=PK,HP=KB,

3

y=m—

I2

当x=g时，^=(-1)23+2X|+3=^

图1

如图2所示，同理可得：△KCPgZkJPB

・•・KP=JB,KC=JP

设P(x,y),C(m,m)

KP=x-m,KC=y-m,JB=y,JP=3-x,

3

x=mH--

2

解得

3

蚱5

3

令-Y+2x+3=一

2

解得寸呼，£=子

二雇±普I）或尸占普|

图2

如图3所示，

VARCP^ATPB

ARC=TP,RP=TB

设P(x,y)，C(m,m)

y-m=3-x

即

x-m=y

3

x=mH--

2

解得

3

一

3

令-X?+2x+3=一

2

解得寸子，于等

...此时p与第②种情况重合

综上所述，符合题意p的坐标为（"号或（生叵E）或（三叵二）

242222

图3

【点睛】

本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函

数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键.

9.(2021•四川中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＞="2+/+4(。*0)

经过点幺(-2,0)和点8(4,0).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点尸为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将的面积分成2：1两部分,

求点P的坐标；

(3)点刊从点C出发，以每秒1个单位的速度沿了轴移动，运动时间为f秒，当

=-/。跖4时，求t的值.

【答案】(1)y=-^x2+x+4；(2)点P(6,-8)；(3)当点/从点C出发，以每秒1

个单位的速度沿了轴正方向移动时，片2秒；沿C0方向在V轴移动时，片10秒.

【分析】

(1)根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；

(2)在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q,此时CQ将“BC的面积分成

2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；

(3)先利用图形在/。。3内构造乙4'。3=/。。3-20。，求出tan//'C3,在MAO/N

中由tan/O3=tan/4C3,OA=2,求出0M长即可解答，

【详解】

解：(1)由抛物线了="2+/+4(“*0)经过点/(-2,0)和点8(4,0),得：

\4a-2b+4=0

[16a+4b+4=0'

'_1

解得："二一2

b=\

2

即：条抛物线所对应的函数表达式为：y=~x+x+4;

(2)由(1)可知点C坐标为(0,4)

1♦点4(一2,0)和点8(4,0).

AB=6,

将AB分成2：1两部分的点有原点和