高考数学压轴题专项训练：一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）含答案及解析

专题04一元函数的导数及其应用

(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)

目录

①构造p(x)=x"(x)或砥%)=等(〃eZ,且〃wo)型........................1

X

②构造R(x)=<f(x)或/(%)=登(〃eZ,且"0)型........................3

③构造尸(x)=/(x)sinx或网x)=/^型...................................4

sinx

④构造尸(x)=/(x)cosx或F(x)=幺2型...................................5

COS九

⑤根据不等式(求解目标)构造具体函数................................6

P(x\=/(X)

①构造R(x)=x"(x)或"x"”ez,且"0)型

1.(2023春•四川成都•高二校考阶段练习)函数“X)是定义在区间(0,+8)上的可导函数，其导函数为了'(X),

且满足了'(x)+2〃x)>0,则不等式(X+2°23)〃X+2023)<2〃2)的解集为()

x2%+2023

A.{x[x>—2021}B.{x|x<—2021}

C.(x|-2023<x<0}D.{x|-2023<x<-2021)

2.(2023春・云南楚雄・高二统考期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为了'(X),对任意的x>0,

都有/。)+#'。)>0,且八2)=。，则不等式/(x)>0的解集是()

A.(-«>,-2)U(2,+8)B.(―2,0)U(2,+«)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(-2,0)U(0,2)

3.(2023春•广东梅州,高二统考期末)已知73是定义在R上的偶函数，当x>0时，有矿(x)+2f(x)<0恒

成立，贝!1()

A."⑴>巾B.*〈与

C.D.9/(-1)

4.(2023春•广东东莞•高二统考期末)已知函数〃x)的定义域为(-应0)淇导函数/‘(X)满足

9G)-2/(x)>0,贝U不等式/(x+2023)—(x+2023)2f(-l)<0的解集为()

A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)

C.(-a),-2023)D.(f,-2024)

5.(2023春・陕西宝鸡•高二统考期末)已知函数“X)为定义在R上的奇函数，若当尤>0时，xf'(x)+f(x)>0,

且/(2)=0,则不等式/(x)>0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+«))B.(-2,0)U(0,2)

C.(-00,-2)U(2,+oo)D.(2,+00)

6.(2023,全国•高三对口高考)已知AM是定义在(0,+S)上的非负可导函数，且满足4G)-〃尤)40,对

任意正数a、b,若a〈b,则必有()

A.af(b)<bf{a)B.bf(a)<af(b)

C.af(a)<f(b)D.<f(a)

7.(2023春•江西南昌•高二校联考阶段练习)若定义域为(。,+“)的函数满足2/(x)+矿(x)>0,则

f⑴

不等式/(X+1)<六=的解集为_____.

(X+1)

8.(2023・全国•高二专题练习)已知定义在(0,+e)的函数满足任意x>0,矿(力-/(x)<0成立，且

41)=2,则不等式〃x)<2x的解集为.

9.(2023春•陕西延安•高二陕西延安中学校考期中)定义域为R的奇函数/■(*),当xe(—,0)时，

〃x)+矿(力<0恒成立，若。=3〃3),6=7•⑴，c=-2/(-2),则a,。,c的大小关系为.

10.(2023春・新疆伊犁・高二奎屯市第一高级中学校考期中)设/'(x)是定义在R上的偶函数，/(x)为其导

函数，/(2)=0,当x>0时，有矿(x)>〃x)恒成立，则不等式^(x)<0的解集为.

p（x\=/（-

②构造"x）=e"（x）或-）浮（“eZ,且"0）型

1.(2023春•安徽合肥•高二合肥工业大学附属中学校联考期末)设函数〃x)的定义域为R，其导函数为尸(x),

且满足了(》)>广(力+1,40)=2023,则不等式「〃力>b+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是

()

A.(2022,+30)B.(^»,2023)C.(0,+oo)D.(-oo,0)

2.(2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末)设函数〃戈)的定义域为R,/'(x)是其导函数，若

f(x)+f'(x)>0,/(1)=1,则不等式/(x)>ei的解集是()

A.(0,+co)B.

C.(-8,0)D.(0,1)

3.(2023春•广东潮州•高二统考期末)已知函数/(x)(xeR)的导函数为「⑺，且/(%)>/'⑺>0,则()

A.eA(2)>/(l),〃2)>歹⑴B.ef(2)>f(l),/(2)<ef(l)

C.ef(2)</(l),/(2)<e^(l)D.♦⑵</⑴,/(2)>ef(l)

4.(2023春•陕西汉中•高二校联考期末)已知可导函数“X)的导函数为尸(x),若对任意的xeR,都有

且/'(0)=2022,则不等式/(x)+l>2023e、的解集为()

A.(-8,0)B.(0,+ao)C.(-co,l-e)D.(-8,1)

5.(2023春•河南洛阳•高二统考期末)设尸(无)是定义在R上的函数〃x)的导函数，且/(*)>尸(尤).若

e2a-7(«+l)>/(3«)(e为自然对数的底数)，则实数。的取值范围为()

A.B.C.D.

6.(2023春•福建漳州•高二统考期末)6知函数〃x)(xeR)的导函数为尸(无),若2〃x)+/'(x)>0,且

7(0)=2023,则不等式/(x)-2023e-2*>0的解集为.

7.(2023春•山东枣庄•高二统考期末)己知定义在R上的函数的导函数为尸⑴，且满足r(x)-/(x)<0,

〃2)=e,则不等式的解集是.

8.(2023・四川泸州・统考三模)已知函数〃尤)及其导函数((%)定义域均为A且/(无)+/。)>0,8⑴=2,

则关于x的不等式fCx)>2e*-x的解集为.

2x)=3

③构造F（x）=于3sin%或sinx型

1.（2023春•四川成都•高二期末）记函数/（x）的导函数为/'（x）,若Ax）为奇函数，且当会卜争0）时恒有

B.

D.

2.（2023春・重庆•高二统考期末）设尸⑺是函数“X）的导函数，当无十宗?时，

cos2x-f(x)+sin2x-f(x)>-f(x),则()

D./(-l)/(l)<0

3.（2023春•内蒙古赤峰•高三校考阶段练习）已知尸（x）是奇函数/⑴的导函数，且当时,

/(x)+//(x)tanx>0,则()

4.（2023,全国•高二专题练习）设了⑺是定义在（-兀,0）U（。，兀）的奇函数，其导函数为了'（X）,且当*e（0㈤时,

八x）sinx-了⑺cosx<0,则关于x的不等式/（尤）<2噌Jsin尤的解集为.

5.（2023•全国•高三专题练习）函数的定义域是（0,兀），其导函数是广⑺，若尸（x）sinx<-"x）cosx,

则关于尤的不等式血/（x）situ</的解集为.

p(x)=/(X)

④构造F(%)="%)cosX或cosX型

1.（2023春•新疆克孜勒苏・高二校考期末）已知函数y=〃x）对于任意的满足

r（x）cosx+/（x）sin%>0（其中尸（x）是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）

D.〃。)>2/百

2.（2023春•陕西西安•高二统考期中）已知广⑺是函数的导函数，/（x）-/（-x）=0,且对于任意的

XG有f(x)cosx+/(x)sinx>0请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定

成立的是（）

C./(-1)<V2/Qcosl

3.（2023春・山东聊城•高二山东聊城一中校联考阶段练习）已知偶函数y=满足

cosx-/'（x）-sinx-”x）>0对恒成立，下列正确的是（）

4.（2023春・陕西咸阳•高二统考期中）已知尸（x）是函数〃x）的导函数〃尤）-〃-无）=。，且对于任意的

有/'（x）cosx+/（r）sinx>0.请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定

成立的是（）

5.(多选)(2023春,江西吉安•高二永丰县永丰中学校考期末)已知函数>=小),彳”,斗尸")是其导

函数，恒有「(x)cosx>〃x)sinx,则下列结论正确的是()

C.⑴D./dAZcosL”。

⑤根据不等式(求解目标)构造具体函数

1.(2023•江苏南京•统考二模)已知函数/(X)是定义在R上的可导函数，其导函数为尸(x).若对任意xeR

有广(力〉1,/(l+x)+/(l-x)=0,且〃0)=-2,则不等式的解集为()

A.(0,+ao)B.(l,+oo)C.(2,+00)D.(3,+00)

2.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R的可导函数〃X),对于任意实数x都有了(-x)=〃x)-2x成

立，且当xe(-s,0]时，都有了'(x)<2x+l,若/(2加)</(根-1)+3双加+1),则实数机的取值范围为()

A.口JB.(-1,0)C.D.—，+[

3.(2023春•吉林白城高二校考期中)已知函数为定义在R上的偶函数，当尤e(O,y)时，/'(x)>2x,

/(2)=4,则不等式犷(8-1)+2/>彳3+》的解集是.

4.(2023・上海嘉定・上海市嘉定区第一中学校考三模)设函数y=〃x),xeR的导函数是尸(x),

/(-x)+f(x)=x2,当x>0时，f\x)>x,那么关于。的不等式〃2-〃)一〃a)Z2—2a的解是.

5.(2023・全国•高三专题练习)已知/(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时，f(x)=ex-cosx,则不等式

/(^-D-l<en的解集是.

专题04一元函数的导数及其应用

(利用导函数研究不等式问题)(选填压轴题)

目录

①构造p(x)=x"(x)或砥%)=等(〃eZ,且〃wo)型........................1

X

②构造R(x)=<f(x)或/(%)=登(〃eZ,且"0)型........................3

③构造尸(x)=/(x)sinx或网x)=/^型...................................4

sinx

④构造/(x)=/(x)cosx或F(x)=幺2型...................................5

COS九

⑤根据不等式(求解目标)构造具体函数................................6

P(x\=/(X)

①构造％x)=x"(x)或"x"”ez,且"0)型

1.(2023春•四川成都•高二校考阶段练习)函数〃尤)是定义在区间(0,+8)上的可导函数，其导函数为了'(X),

且满足:(无)+号(尤)>0,则不等式(x+2023)〃x+2023)<2〃2)的解集为()

x2%+2023

A.{x[x>—2021}B.{x|x<-2021}

C.(x|-2023<x<0}D.{x|-2023<x<-2021)

【答案】D

【详解】根据题意，g(x)=x2f(x),x>0,则导函数5(X)=%Y(X)+24(X),

函数“X)在区间(0,+8)上，满足((x)+：〃x)>o,则有f/，(x)+2#(x)>0,

所以g'(x)>0,即函数g(x)在区间(0,+8)上为增函数,

(%+2023)/(x+2023)2〃2)=

<(x+2023)2f(x+2023)<22/(2)

2x+2023

所以g(x+2023)<g(2),

则有0<x+2023<2,

解得-2023<x<-2021,

即此不等式的解集为｛x|-2023<x<-2021).

故选：D

2.(2023春•云南楚雄•高二统考期中)已知Ax)是定义在R上的奇函数，其导函数为/'(x),对任意的x>0,

都有『。)+犷’(尤)>0,且"2)=0,则不等式/(无)>。的解集是()

A.-2)U(2,+s)B.(-2,0)U(2,+«5)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(-2,0)U(0,2)

【答案】B

【详解】••・函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(-x)=-/(x)

令g(尤)=xf(x),

，g(-x)=g(x)是定义在R上的偶函数，

又"2)=0,

2)=-"2)=0,

:/2)=g(-2)=0

又；当x>0时，f(x)+.xfr(x)>0,

即当x>0时，g'(x)>0,

即g(x)在(0,+8)上是增函数，在(一*0)是减函数,

...若x>0且了。)>0,即g(x)>0=g(2),解得：%>2

・・・若x<0且/(x)>0,即g(x)<0=g(-2),解得:-2<x<0,

当x=0时，/(0)-0,不合题意；

二不等式/(x)>0的解集为：(-2,0)。(2,+功，

故(一2,0)D(2,+s)

故选：B.

3.(2023春・广东梅州•高二统考期末)已知了⑺是定义在R上的偶函数，当x>0时，有对■'(x)+2f(x)<0恒

成立，贝I()

A.4mB.胃〈胃

【答案】D

【详解】设g(x)=^/(x),!^Jg'(x)=2#(x)+x2jr(x)=x[2F(x)+V〈x)],

因为当x>0时，有W'(x)+2/(x)<。恒成立，所以x>0时，g'(x)<0,

所以g(x)在(O,+e)单调递减；

又了(无)是定义在R上的偶函数，则g(-x)=x2/(-x)=x2/(x)=g(x),

故g(x)为偶函数，

贝U8(；)>g(1)n⑴n4/⑴A选项错误；

g(2)>g(3)n4/(2)>9/(3)n吟>牛，B选项错误；

g(；)<g0=gHm卜/匕19m<"一1,C选项错误；

^(-D=gW<g[j=g[-；]==9/(一1)</1.，D选项正确;

故选：D.

4.(2023春广东东莞•高二统考期末)已知函数〃x)的定义域为(-8,0),其导函数/(X)满足

V'(x)-2/(尤)>。,贝U不等式/(x+2023)-(x+2023)2f(-L)<0的解集为()

A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)

C.(-oo,-2023)D.(^>,-2024)

【答案】A

【详解】由题意知,当xe(-oo,0)时,xf'(x)-2f(x)>0,

设g(x)=/^,

贝UgG)="(X『(X)=^(x)：2/Xx)<o,

所以g(x)在(一j0)上单调递减，

/(x+2023)/(-I)

不等式/(%+2023)-(x+2023)2/(-I)<0等价于汽+2023)2<商，

f.x+2023>-l

即为g(x+2023)<g(-l),所以，

[x+2023<0

解得-2024cx<-2023.

故选：A.

5.(2023春•陕西宝鸡•高二统考期末)已知函数/(x)为定义在R上的奇函数，若当尤>0时，xf\x)+f(x)>0,

且/(2)=0,则不等式/(x)>0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-00,-2)u(2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】A

【详解】令g(x)=#(x),可得g，(x)=〃x)+4，(x),

因为x>0时，xf'(x)+f(x)>o,可得g<x)>0,所以g(x)为单调递增函数,

又由Ax)为定义在R上的奇函数，可得=

则g(-X)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数，

所以函数g(x)在(-叫。)上单调递减，

又因为/(2)=0,可得为2)=0,

则对于不等式/(无)>0,当无>0时，等价于不等式g(x)>0,解得x>2；

当尤<0时，等价于不等式g(x)<0,解得-2<x<0,

所以不等式/W>0的解集为(-2,0)U(2,y).

故选：A.

6.(2023•全国•高三对口高考)已知Ax)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足46)-/(尤)40,对

任意正数a、b,若a<b,贝！J必有()

A.af(b)<bf{a)B.bf(a)<af(Jb)

C.af(a)<f(b)D.bf⑻Wf(a)

【答案】A

【详解】由十(x)_/(x)W0=[#]Jx)[x)w0

若工区不是常函数，则/⑻在(0,+⑹上单调递减，又。<a<b,则/@>迪=/⑷>4(6)；

xxab

若牛1为常函数，则上产妙g)=w伍).综上，af{b)<bf{a).

故选：A

7.(2023春•江西南昌•高二校联考阶段练习)若定义域为(0,+“)的函数满足2/(x)+矿(x)>0,则

f⑴

不等式F(x+1)<厂飞的解集为_____.

(X+1)

【答案】(一1,。)

【详解】由x«0,4w)时,函数“X)满足2/(力+矿(力>0,可得2M■(力+炉/(力>0,

设A(X)=X2/(X),X>0,则〃(x)=2V(x)+x2r(x)>0,故从力在(0,+e)上单调递增,

/⑴

由/(尤+l)<^jT,即(尤+l)2/(x+l)</(l),即〃(X+1)</7(1),

所以0<x+l<l,解得-l<x<0,所以/(x+1)—的解集为(T,。).

(x+1)

故答案为：

8.(2023・全国•高二专题练习)已知定义在(0,+8)的函数/(X)满足任意/(x)<0成立，且

/⑴=2,则不等式〃x)<2x的解集为.

【答案】(1,+s)

【详解】令/7(x)=2,(x>0),则仆人小？*0,所以网力在(0,+e)减函数，又

XX

/，(1)=/(1)一2=0,由代%)<0=硝)，可得》>1,故不等式〃x)<2尤的解集为(1,+8),

故答案为：。,+8)

9.(2023春•陕西延安•高二陕西延安中学校考期中)定义域为R的奇函数/■(%),当X«F,0)时，

〃尤)+疗'(力<。恒成立，若。=3〃3),6=〃1),c=—2〃—2),则。也c的大小关系为.

【答案】a>c>b

【详解】设g(x)=4(x),其定义域为R,关于原点对称，

因为“X)为奇函数，可得g(—x)=一疗

所以函数g(x)为偶函数，

当xe(F,0)时，可得g,x)=/(x)+矿(尤)<。，所以g(x)单调递减，

则函数g(x)在(。,+功单调递增，

又因为4=3/⑶=g(3),b=/(1)=g(l),c=-2/(-2)=g(—2)=g⑵，

因为3>2>1,所以g(3)>g(2)>g⑴,所以a>c>6.

故答案为：a>c>b.

10.(2023春・新疆伊犁・高二奎屯市第一高级中学校考期中)设/'(X)是定义在R上的偶函数，尸(无)为其导

函数，/(2)=0,当天>0时，有矿(x)>/(x)恒成立，则不等式(“<。的解集为.

【答案】(f,-2)U(0,2)

【详解】设g(x)=3,x=0,贝I]g，(x)=矿⑴-7⑺

XX

,当X>0时，有xf'(x)>/(x)恒成立，

二当X>0时,g'(x)>o,g(x)在(0,+8)上单调递增，

•・"(无)是定义在R上的偶函数，

，g(T)=S=^=-g(x)，

-X—X

即g(x)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的奇函数,

.1g(X)在(-8,0)上也单调递增.

又/'(2)=0,，g(2)=^=0,.•.g(-2)=0.

不等式对(X)<0的解可等价于即g(尤)<0的解，

，0<尤<2或》<-2,

・.•不等式的解集为(-8,-2)U(0,2).

故答案为：(f,-2)U(0,2).

F(x)=/(X)

②构造R(x)=e'"/(x)或"浮(”eZ,且"0)型

1.(2023春•安徽合肥•高二合肥工业大学附属中学校联考期末)设函数的定义域为R，其导函数为了'(X),

且满足〃x)>/'(x)+l,f(0)=2023,则不等式葭〃力>。+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是

()

A.(2022,+x>)B.(^»,2023)C.(0,+ao)D.(-<»,0)

【答案】D

【详解】定义在R上的函数〃元)的导函数为尸(x),f(x)>f'(x)+l,

令函数g(x)=△^二1,求导得/(无-/⑴+1<0,即函数g(x)在R上单调递减，

ee

由/(O)=2023,得g(0)="°管=2022，不等式e-xf(x)>院+2022等价于g(x)>g(0),解得x<0,

所以不等式e-V(x)>6一*+2022的解集是(-。,0).

故选：D

2.(2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期末)设函数“幻的定义域为R,/'(X)是其导函数，若

f(X)+f(X)>0,则不等式“x)>ei的解集是()

A.(0,+oo)B.

C.(-8,。)D.(0,1)

【答案】B

【详解】构造函数g(x)=/(x)C,贝！|g'(x)="'(x)+/(x)]•]>(),

故g(x)在R上单调递增，g(D=e,

f(x)>可化为g(x)>e=g(l),

故原不等式的解集为(1,内),

故选：B

3.(2023春•广东潮州•高二统考期末)已知函数R)的导函数为尸(无)，且/(%)>/⑺>0,则()

A.eA(2)>/(l),〃2)>y⑴B.ef(2)>/(l),/(2)<ef(l)

C.ef(2)</(l),/(2)<ef(l)D.ef(2)</(l),f(2)>ef(l)

【答案】B

【详解】构造函数g(x)=/^ng，(x)=r(x)丁⑶,

ee

因为/(%)>/'(九)，所以g'(x)v。，因此函数g(x)是减函数，

于是有g⑵<g⑴n理<&n/(2)<次1),

ee

构造函数〃(尤)=/W-e'=>h\x)=e'[/(x)+-(x)],因为〃x)>/(x)>0,

所以〃(x)>。，因此〃(x)是单调递增函数，

于是有//(2)>〃⑴=>e2/(2)>叭1)n学\2)>/(I),

故选：B

4.(2023春•陕西汉中•高二校联考期末)已知可导函数“X)的导函数为尸(x),若对任意的xeR,都有

r(x)-/(x)<l,且〃0)=2022,则不等式/•(x)+l>2023e*的解集为()

A.(-8,0)B.(0,+oo)C.(-co,l-e)D.(-oo,l)

【答案】A

【详解】解：令g(x)="R+l,

则g，⑺J*丁)]

因为/'(X)-/(x)<i,

所以g'(x)<0,则g(x)在R上递减,

又不等式2023/,即为J；)+l>2023,

又〃0)=2022,贝ijg(0)=2023即g(x)>g(0),

所以％v0,

故选：A

5.(2023春・河南洛阳•高二统考期末)设广(同是定义在R上的函数的导函数，且"x)>r(%).若

e2-1/(«+l)>/(3a)(e为自然对数的底数)，则实数°的取值范围为()

A.B.C.[-；刁

【答案】A

【详解】设g(x)=glg〈x)Jx)Jx)<0,

所以函数g(元)在R上单调递减，

若e2"T/(a+l)>“3a),则龚国,即g(a+i)>g(3a),

ee

所以a+lv3a,得

2

故选：A

6.(2023春•福建漳州•高二统考期末)已知函数〃x)(xeR)的导函数为/(无)，若2/(x)+/'(x)>0,且

7(0)=2023,则不等式/(x)-2023e-2*>0的解集为.

【答案】(O,+e)

【详解】令g⑺=e2x/(x),贝ljg，⑺=2e2V(%)+e?"，⑺=e2^[2/(x)+/(*)],

因为2〃力+广(尤)>。，所以g'(x)>0,

所以g(x)在R上单调递增，又〃0)=2023,所以g(0)=e°〃0)=2023,

不等式/(%)—2023e-2*>0,即〃力>2023b"，即e?"(x)>2023,即g(x)>g(O),所以尤>0,

即不等式/(x)-2023e^>0的解集为(0,+。).

故答案为：(。,+8)

7.(2023春•山东枣庄•高二统考期末)已知定义在R上的函数〃x)的导函数为尸(x),且满足尸(x)-〃x)<0,

〃2)=e,则不等式”x)》—的解集是.

【答案】(-8,2)

【详解】依题意，令g(x)=J学，求导得g，(x)="x)7⑺<0,因此函数g(x)在R上单调递减，

eex

不等式〃尤)…。与>：,由〃2)=e,得卜一筝=g⑵，

则有g(x)>g(2),解得x<2,

所以不等式/(x)>ei的解集是(-8,2).

故答案为：(-©2)

8.(2023・四川泸州・统考三模)已知函数〃》)及其导函数((%)定义域均为乩且/(幻+广(力>0,/(1)=2,

则关于尤的不等式八x)>2e-的解集为.

【答案】。,+8).

【详解】由题得e"(x)>2e.设g(x)=e"(x),则5(尤)=e'"⑴+((x)]>0,

则函数g(x)为增函数，>g(l)=e-/(D=2e,

则不等式e"(x)>2e即为g(x)>g⑴，所以x>l.

故答案为：(1,+℃)

2x)=3

③构造为》=/(幻sin*或sinx型

1.(2023春•四川成都•高二期末)记函数Ax)的导函数为了'(X),若Ax)为奇函数，且当丫4一/0卜寸恒有

/(无)</'(x)tanx成立，则()

【答案】B

【详解】由，(x)〈广(尤)tanx,得F(x)</'(x).岂竺

COSX

因为所以cos无>0

所以,(尤)cosxv(九)sinx,

所以/'(%)sinx-/(x)cosx>0,

令g(x)=&,闻_利，则g'(x)J⑶sin二—>0,

sinxV27sinx

所以g(x)=△2在Xe上单调递增,

sin%k27

对于c,因为4<-三<-；<0,所以十；j<g

因为,⑴为奇函数，所以-何所以B正确，D错误,

所以D错误，

故选：B

2.（2023春•重庆•高二统考期末）设尸（x）是函数〃尤）的导函数，当时，

cos2x-f(x)+sin2x>—f(x)，贝!J()

B-+/>0

D./(-l)/(l)<0

【答案】B

［详解］cos2x-/(%)+sin2x-f(x)>-/(x),,

(2COS2X-1)-/(x)+2sinxcosx-f(x)+f(x)>0

/.cosx-/(x)+sinx•/'(%)>0

设8(力=5加./(%)送，(%)>0,,8(%)在［-］,|^单调递增,

.•.^rLg(0)=0^/W>0,所以A错误；

•/兀、Z.=9

7171.71r7171711/

g>gnsin—•f>sin(--)/>——f

6O2

所以个+/71

>0,所以B正确;

7171.71r71

g>g>s巾，所以C错误;

g(0)>g(—l)=sin0-/(0)>sin(—l)•/(-!)=0>—sinl・7(—l)n/(—l)>0,,

g⑴〉g(O)nsinl"⑴,sinO"(O)n〃l)>O,所以D错误.

故选：B

3.(2023春•内蒙古赤峰•高三校考阶段练习)已知尸(力是奇函数/⑴的导函数,且当了©［。，3uM时,

【详解】当o<x<］时，cosx>0,贝!I由/(x)+/'(x)tanx>。，得/(x)cosx+/'(x)sinx>0；

当乃时，cosx<0,则由/(%)+/'(x)tanx>0,得/(x)cosx+/'(x)sinx<0.

令g(x)=/(x)sinx,则g'(x)=/(x)cosf'(x)sinx,

故g(x)在"段上单调递增，在仁7t,万)上单调递减.

2

又/(x)是奇函数，所以g(x)=/(x)sinx是偶函数,

7171

>0,g<g

故选：A.

4.(2023•全国•高二专题练习)设了⑴是定义在(F,0)U(。,兀)的奇函数，其导函数为7'(x),且当无©(。㈤时,

71

/'(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于尤的不等式/(x)<2/sin尤的解集为.

【答案】卜利“加

【详解】令g(%)=4^,%£(F,0)D(0,7l),

smx

贝I」,⑺二1'(x)sinx-/(x)cosx,

sin2x

由条件得当。—时，g'(无)<0,

函数g(x)在(。㈤上单调递减.

因为y=〃x)，y=sinx是奇函数，.•.函数g(x)为偶函数，

•••函数g(x)在(-兀,0)上单调递增.

(兀、f(x\/哈)

①当xe(o,7i)时，sinx>0,不等式/(x)<2/7sinx可化为技/<心>,

Sm6

71

一<XV兀；

6

(兀、心)/哈)/(一刍

②当无«一兀,0)时，sinx<0,不等式/(%)<2/工kin%可化为=——

16)S1DXcs.in—兀s.in/(——兀\)

66

71八

—<%<0.

6

综上可得不等式的解集为H，ojugj.

故答案为：(-/。[]/[

5.(2023•全国•高三专题练习)函数〃尤)的定义域是(0,兀)，其导函数是尸(x),若尸(x)sinx<-/(x)cosx,

则关于x的不等式也situ</的解集为.

【答案】

【详解】/'(x)sinx<-/(x)cosx变形为/'(%)sinx+/(x)cosx<0,

V2f(x)sinr</变形为sinx</sin:,

故可令g(x)=/a)sinx,xe(0,7u),

则g'W=f(^)sinx+f(x)cosx<0,

・•・g(x)在(0,乃单调递减，

不等式/(x)sinx<即为g(x)<g(^),

则xe］：,兀J,

故答案为：(：，兀］

砥x）=2M

④构造/⑴=/（x）cosx或COSX型

1.(2023春•新疆克孜勒苏•高二校考期末)已知函数y=/(x)对于任意的xe-5彳)满足

r(x)cosx+/(x)sinx>0(其中广⑺是函数的导函数)，则下列不等式成立的是()

A./（0）B.>/

71

D./（0）>2/

【答案】C

【详解】设g(x)=地，则g，(x)=/'(x)c°sxT(x)sinx>0,则8⑴在71兀

?上单调递增,

cosxcosX22

71

对于A,-〃---<叽---、--.-,，化简得，故A错误;

cosO兀

cos—

4

对于B,,化简得,故B错误;

COScos

71

对于C,j-<一上，化简得，故C正确;

71兀

cos—cos—

43

71

〃。)<、一，71

对于D,,化简得了(。)<2/，故D错误.

cosO^兀

cos—

3

故选：C.

2.(2023春•陕西西安•高二统考期中)已知尸⑺是函数“X)的导函数，/(x)-/(-x)=0,且对于任意的

■)有/'(x)8sx+/(x)sinx>0.

X£请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定

成立的是（）

C./(-1)<72/(^jcosl

【答案】A

【详解】令g(尤)=•，xefo,^,则g'(x)J")8sx：/(x)sinx>o,

cosx<2jcosx

故g(x)在(o£)上单调递增，

而/(x)-/(-x)=0,故g(-x)=X)、=^^~=g(x),故g(x)是偶函数,

cos(-x)COSX

故§（-1）=g（g）＜g（吟=g（s）＜g（_：）=g（a＜g（T=g（i）＜g（q）=g。，

/（-i）〃-勺z（-j）T)

f(-D<

即c°sJ_心变包cosl1

22222

故A正确，BCD错误,

故选：A.

3.（2023春・山东聊城•高二山东聊城一中校联考阶段练习）已知偶函数y=/（x）满足

cosx/（尤）-sin尤一/（x）〉。对卜亘成立，下列正确的是（）

【答案】A

【详解】因为y=/(x)为偶函数,则/(—x)=〃x)，

令g(x)=cos尤"(x),则(-X)=cos(-X)-f(-X)=cosX-y(x),

所以g(x)=cosx"(x)为偶函数，

又g,(x)=cosx-//(x)-sinx-/(x),贝ij当尤e(0，!^g'(x)>。，

所以g(X)在(0,3上单调递增>则g⑼<g]胃<g<g(9]

TV兀71071

所以cos^/<cos—./,即,故A正确;

71兀r

cos/<cos—J,即

则了,故B错误;

兀r711

<cos—J,即

2

则了,故C错误;

V2

COS0/(0)<COS^/R\即/(o)<——

2

则⑸(o)C，即后⑼</卜£|,故D错误;

故选：A

4.(2023春•陕西咸阳•高二统考期中)已知广⑺是函数外力的导函数x)=0,且对于任意的

xe/日有r(x)cosx+/(r)sinx>0.请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定

成立