方程的实际应用模型-2025年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

专题11方程的实际应用模型

授筌建摸I摸一的速,I通—

题吧.选

一元一次方程的应用

二元一次方程组的应用

方程的实际应用模型

分式方程的应用

一元二次方程的应用

本专题主要对初中阶段的方程应用题型进形总结分析，收集汇总各地市常考的方程应用题型，主要分

为一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，一元二次方程几大题型。考试中我们可以看出二元一次方

程组和分式方程考试频率较高。一元一次方程相对基础较为简单，应用题型中出现较少，一元二次方程的

应用综合性较高除了在应用题型中有所体现，在二次函数的应用中也经常出现。本专题根据考试题型分类

归纳总结。

模型01一元一次方程的应用

一元一次方程的应用题型

1.行程问题

路程=时间乂速度，时间=路程:速度，速度=路程+时间；

（单位：路程一米、千米；时间一秒、分、时；速度一米/秒、米/分、千米/时间）

2.工程问题：

工作总量=工作时间x工作效率，工作总量=各部分工作量的和

3.利润问题：

利润=售价一进价，利润率=禾1」润一进价，售价=标价又折扣

4.等积变形问题

长方体的体积=长义宽义高；圆柱的体积=底面积又高；锻造前的体积=锻造后的体积

5.利息问题

利息和=本金+利息；利息=本金义利率x时间

模型02二元一次方程组应用

二元一次方程组应用：

1.行程问题：速度x时间=路程

顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度一水流速度

2.配套问题：实际数量比=配套比

3.商品销售问题：利润=售价一进价；售价=标价x折扣；利润率=利润;进价X100%

4.工程问题：工作效率x工作时间=工作总量；甲乙合作效率=甲的效率+乙的效率

模型03分式方程应用

分式方程的应用解法步骤及题型：

列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、歹!］、解、验、答

六步进行.

（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式

方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.

（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水

航行这一类型.

模型04一元二次方程应用

一元二次方程的应用主要有以下几种题型：

1.数字问题：个位数为a,十位数是6,则这个两位数表示为10b+a.

2.增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长

后为a（1+x）；第二次增长后为。（1+x）2,即原数x（1+增长百分率）2=后来数.

3.形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯

形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系，列

比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

4.运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，

可运用直角三角形的性质列方程求解.

5.利润（销售涧题

利润（销售）问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价（成本）

总利润=每件的利润X总件数

是结•牌型的建

模型01一元一次方程的应用

考I向I预I测

一元一次方程的应用该题型近年主要以应用题形式出现，一般为应用题型的第一问，难度系数较小，

在各类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意设未知量、列方程、解方程，其中列方

程是解题的核心，一般需要我们很好的理解题意。

答I题I技I巧

第一步：审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系

第二步：设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量

关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程；

第三步：解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是

否符合题意，是否符合实际意义。

I题型三例

例1.（2023•上海）一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入

合做，还需几天完成这项工程？设还需x天完成这项工程，由题意列方程是（)

*%%1%+3x—31

A.----F—=1B.——+——=1

106106

一尤+3元“

cD.------+-=1

a』106

【答案】D

【详解】解：由题意知，甲在这项工程中做了（尤+3）天,

尤+3x1

则得方程:+6=1；

10

故选：D.

例2.（2023.吉林长春）列方程解应用题

劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7人，并且每名学

生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面.

(1)男生有人，女生有人.

(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好

配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？

②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此

问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案.

【答案】(1)19,26

(2)①分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面.

【详解】(1)解：设男生有x人，则女生有(45-力人，

根据题意，得x=45-x-7,

解得x=19,

45-尤=26,

故答案为：19,26；

(2)解：①设分配机名学生制作鼓身，则(45--)名学生剪鼓面,

由题意,得212%=6(45-回,

解得x=27,

贝"45-x=18,

答：应分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；

②由①知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓27x2=54个，还需制作

78-54=24个小鼓，

所以应再加入制作鼓身24+2=12人，制作鼓面24x2+6=8人.

贝U新力口入12+8=20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面.

模型02二元一次方程组应用

考I向I预I测

二元一次方程组应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。

掌握二元一次方程组的解法是考试的重点，二元一次方程组的解法主要采用消元法，在应用题型中，

根据题意列二元一次方程组相对简单，该题型设两个未知量，两个条件两个方程，相对直观，只要我

们在解方程组的过程中不出现失误，一般不会失分。

答I题I技I巧

第一步：“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关

系，寻找等量关系；

第二步：“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为X,但有时也可以间接设未知数；

第三步：“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是

同一类量，单位要统一；

第四步：“解”就是解方程，求出未知数的值；

第五步：“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.

I题型三停I

例1.(2023•黑龙江哈尔滨)一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共

装76瓶.大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得()

3x+2y=76J3x+4y=76j3x+4y=108J3x+2y=76

BCD

3%+4y=108'[2%+3y=108'12x+3y=76'(2尤+4y=108

【答案】C

3尤+4y=108

【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为:

2x+3y—76

故选：C.

例2.(2023•安徽)某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，己知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满

载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车相

辆，乙型客车〃辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？

(2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？

(3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最

省钱的租车方案.

【答案】(1)1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生

(2)甲型客车2辆、乙型客车6辆

(3)最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆.

【详解】(1)解：设1辆甲型客车满载时可坐尤名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，

x+2y=165

由题意得:

2x+y=150

答：1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生;

(2)解：由题意可知45加+60〃=450,

整理，得：3m+4n=30,

所以〃二型券.

4

因为孙〃都为正整数，且乙型客车数量多于甲型客车数量，即九>加，

所以m=2,n=6,

答：甲型客车2辆、乙型客车6辆；

(3)解：结合(2)可知〃=22,〃=6；m=6,71=3；

当加=2,”=6时，200x2+250x6=1900<2000；

当〃?=6,”=3时，200x6+250*3=1950<2000.

又因为1900<1950,

所以最省钱的租车方案为甲型客车6辆，乙型客车3辆.

模型03分式方程的应用

考I向I预I测

分式方程的应用该题型近年在方程的应用题型中考试较多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可

化为一元一次方程的分式方程的解法，让学生体会解分式方程过程中的化归思想是本节内容的重心。分式

方程及其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题，并要求会用增根

的意义解题，考题常以解答透折考纲题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。该题型主要难点在

于设、歹h解，属于应用题型的第一问，难度系数不是很大，属于容易得分项。

答I题I技I巧

第一步：根据题意设未知量，分式方程只设一个未知量，用一个量表示另一个量；

第二步：解分式方程；

第三步：检验分式方程的解，看是否为增根，注意不检验会扣分；

第四步：答：即写出答案，注意答案完整.

I题型三例

例L（2023•山西）我县文化宫向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离

活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同

学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是每分钟了米，则下列方程正确的是（）

x1.2%1.2xX

A.-------------=4B.=4

800400~800~400

-400800800400

C.-------------=4D.=4

1.2xx1.2xX

【答案】D

【详解】解：设乙同学的速度是x米/分，可得：

8004004

---------二4

1.2xx

故选D.

例2.（2023•河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一.某茶叶专卖店经销A,B两

种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：

品牌AB

进货（元/袋）Xx+16

销售（元/袋）7090

（1）第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进8品牌毛尖，且两种品牌所购得的

数量相同，求x的值.

（2）第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，8品牌毛尖每袋上涨6元.该茶叶专卖店计划购进A,8两种

品牌毛尖共180袋，且2品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍.销售时，A品牌毛尖售价不变，

8品牌毛尖售价提高5%,则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利

润是多少？

【答案】（l）x的值为50

（2）购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元

【详斛】（1）解：由意思得，-----二7，

解得X=50,

经检验x=50是原方程的解,

的值为50.

（2）解：设A为〃2袋，则B为（180—7九）袋，

由题知：180-根42根，

解得m>60,

设总利润为卬元，w=（70-50-5）m+[90（l+5%）-（50+16）-6]（180-m）=-7.5/M+4050,

V-7.5<0,

随,"的增大而减小，

当m=60时，卬最大=3600,

购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元.

模型04一元二次方程应用

考I向I预I测

一元二次方程应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者与二次

函数相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。掌握一元二次方程的解法是解答本题的基础和关键。

一元二次方程中根的判别式的应用也需要我们重点理解和熟练应用。一元二次方程的解法及根的判别式及

其应用是中考的必考内容之一，一般着重考查解一元二次方程及列方程解应用题。

答I题I技I巧

第一步：审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；

第二步：设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

第三步：歹（根据题目中的等量关系，列出方程）；

第四步：解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；

第五步：验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

第六步：答（写出答案，切忌答非所问）.

|题型学.

例1.（2023•安徽）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投

入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是（）

A.3(1+尤＞=5B.3炉=5C.3(1+x%)2=5D.3(1+为+3(1+以=5

【答案】A

【详解】解：根据题意，得3(1+力2=5,

故选：A.

例2.(2023•山东济南)某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到

原来的64%,则这两个月价格平均每个月降低的百分率为.

【答案】20%

【详解】解：设初始价格为。，平均每个月降低的百分率为尤，

则根据题意可得，G(l-x)(l-x)=ax64%,

即(1-%)2=0.64,

解得西=0.2,々=1.8,

x为下降率，故

x=0.2,即20%.

故答案为：20%.

例3.(2023•四川成都)如图1,用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩

(D分别用含x的代数式表示8c与S；

(2)若S=54,求尤的值；

(3)如图2,若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门(无需篱笆)，当x为何值时，S取最大

值，最大值为多少？

【答案】(1)3C=33-3x,S=-3x~+33%

(2)9

(3)当x=8时，S有最大值,最大值为-3x(8-6)2+108=96.

【详解】(1)解：由题意，BC=33-3x,

则矩形A3CD菜园的面积为S=x（33-3x）=-3x2+33%；

（2）解：当S=54时，由54=-3尤2+33尤得/—nx+lgnO,

解得为=2,x2=9,

•••墙长为12米，

/.0<33-3x<12,贝!]7Wx<ll,

x=9,

答：x值为9；

（3）解：由题意，SC=33+2xl.5-3x=36-3x,

S=x（36-3x）=-3x2+36x=-3（x-6）2+108,

•・,墙长为12米，篱笆长为33米，

A0<36-3x<12,

A8<x<12,

V-3<0,

・•・当%=8时，S有最大值，最大值为—3x（8—6）2+108=96.

京嶷・强化钿缘、

1.（2023•山东）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是120元，若按进价计，其中一件

盈利20%,另一件亏本20%,则两件上衣的进价之和为（）

A.230元B.240元C.250元D.260元

【答案】C

【详解】解：设盈利20%的那件进价为龙元，亏本20%的那件进价为y元，则

（1+20%）x=120,（1-20%）y=120

解得尤=100,y=150

故两件上衣进价之和为：100+150=250（元）.

故选：C.

2.（2023•福建）甲、乙二人分别从相距40km的A,8两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发lh,那么

乙出发后2h,他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5h后，两人相距5km,则甲由A地到B地需要

A.%

B.20hC.lOh或20hD.1h或lOh

3

【答案】D

【详解】解：设甲、乙二人的速度分别为xkm/h,ykm/h,

分两种情况：当同时出发2.5h后，两人相遇前相距5km时,

龙+2x+2y=40

40-5

x+y=-------

2.5

x=12

解得

y=2

当同时出发2.5h后，两人相遇后相距5km时,

x+2x+2y=40

<40+5，

x+y=--------

I2.5

x=4

解得

y=14

当甲的速度为12km/h时，由A地到2地需要时间为：40^12=y（h）,

当甲的速度为4km/h时，由A地到2地需要时间为：40-4=10（h）,

故选D.

3.（2023・四川）已知从甲站到乙站的高铁线路长2200千米，自驾从甲站到乙站的路线长约1700千米，开

车的平均行驶速度是该高铁设计时速的且从甲站乘坐高铁到乙站比自驾用时少6小时.设该高铁的设

计时速为x千米/时，则可列方程为（)

毕2-也=61700220122001700

=6c22001700

A.1尤B.------------C.1xD.---------=6

—Xx2x—xx2x

2

【答案】A

【详解】解：由题意，得

17002200,

-j--------------=6

—X

2

故选A.

4.（2023・广东）某兴趣小组组织一次围棋比赛，参赛选手每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行28

场比赛，设比赛组织者应邀请X人参与比赛，则可列方程为（

A.1x（x+l）=28B.1x（x-l）=28C.x（x-1）=28D.2x（x-l）=28

【答案】B

【详解】解：设参赛的人数为尤，

依题意，得：尤-1）=28

故选:B.

5.（2023・山东）A,B两地相距80千米，一船从A出发顺水行驶4小时到达3,而从8出发逆水行驶5小

时才能到达A,则船在静水中的航行速度是千米/时.

【答案】18

【详解】解：设船在静水中的航行速度是x千米/时，水流速度为y千米/时，根据题意得：

4（x+y）=80

'5（x-y）=80，

答：船在静水中的航行速度是18千米/时.

故答案为：18

6.（2023•河北）某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表:

胜一场平一场负一场

积分310

奖金（元/人）15007000

当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场.

（1）试判断A队胜、平各几场？

（2）若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场

费的和是多少？

【答案】（1）4队胜4场，平8场

（2）出场费加奖金一共17600元

【详解】（1）解：设A队胜利x场，

•••一共打了12场，

，平了12-x场，

3x+(12—x)—20,

解得：x=4；

12—x—8,

，A队胜4场，平8场；

(2)解：1•每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，

赢了4场，奖金为1500*4=6000元，

平了8场，奖金为700?85600元，

，奖金加出场费一共17600元；

答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元.

7.(2023•广西)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.

活动一：所购商品按原价打八折；

活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；

所购商品原价为600元，可减160元，需付款440元)

(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；

(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健

身器材的原价；

(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一

件这种健身器材的原价为。元，求出。的取值范围.

【答案】(1)活动一更合算

(2)这种健身器材的原价是400元；

(3)当300Va<400或600Wa<800时，活动二更合算

【详解】(1)解：购买一件原价为450元的健身器材时，

活动一需付款：450x0.8=360元，活动二需付款：450-80=370元，

•••活动一更合算；

(2)解：设这种健身器材的原价是x元，

贝lj0.8x=x-80,

解得x=400,

答：这种健身器材的原价是400元；

(3)解：这种健身器材的原价为。元，

则活动一所需付款为：0.8a元，

活动二当0<。<300时，所需付款为：。元，

当300Va<600时，所需付款为：（。-80）元，

当600Vo<900时，所需付款为：（。-160）元，

①当0<。<300时，a>0.8a,此时无论。为何值，都是活动一更合算，不符合题意，

②当300Va<600时，a-8O<O.8a,解得300Va<400,

即：当300Va<400时，活动二更合算，

③当600Va<900时，a-160<0.8a,解得6004a<800,

即：当6004a<800时，活动二更合算，

综上：当300Va<400或600Wa<800时，活动二更合算.

8.（2023•云南）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性

运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）

大货车620700

小货车400550

（1）求大、小两种货车各用乡少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为。辆，前往甲、乙两地的总运

费为w元，求出w与。的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费.

【答案】（1）大货车用8辆，小货车用12辆.

（2）w=70a+10850（且为整数）.9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地.最少运

费为10850元.

【详解】（1）设大货车用无辆，则小货车用（20-司辆，根据题意得

16x+10（20-x）=248,

解得x=8,

20-.r=20-8=12.

答：大货车用8辆，小货车用12辆.

（2）设前往甲地的大货车为。辆，则前往乙地的大货车为（8-。）辆，前往甲地的小货车为（9-。）辆，前往

乙地的小货车为（3+a）辆，

w=620a+700（8-a）+400（9-o）+550（3+a）=70a+10850,

w=70a+10850（0WaW8且为整数）.

Vw=70a+10850,k=70>0,

随a的增大而增大,

,?0<a<8

.•.当4=0时，w最小，最小值为w=70a+10850=10850.

.♦.使总运费最少的调配方案是：9辆小货车前往甲地；8辆大货车、3辆小货车前往乙地.最少运费为

10850元.

9.（2023・山东）在国道202公路改建工程中，某路段长4000m,由甲、乙两个工程队拟在30天内（含

30天）合作完成.已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队

内每人每天的工作量相同）.甲工程队1天、乙工程队2天共修路200m；甲工程队2天、乙工程队3天共

修路350m.

（1）试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米?

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费

用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？

【答案】（1）甲队每天修路100m,乙队每天修路50m

（2）甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元

【详解】（1）解：设甲队每天修路xm,乙队每天修路ym,

尤+2y=200

2x+3y=350

x=100

解得

y=50

答：甲队每天修路100m,乙队每天修路50m.

（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做6天,

100a+506=4000,

6=80—2。，

'：0<b<30,

A0<80-2a<30,

解得254a440.

XV0<tz<30,

・•・25<6Z<30.

设总费用为W万元，依题意，得

W=0.6。+0.35b=0.6a+0.35（80-2a）

——0.+28.

V-0.1<0,

.・・当〃=30时，％小=-0.1x30+28=25（万元）,

：.b=S0-2a=20（天）.

二甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元

10.（2023•贵州）运输公司要把120吨物资从A地运往8地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的

车辆的运载量和运费如表所示.

车型甲乙丙

运载量（吨/辆）5810

运费（元/辆）450600700

解答下列问题：（假设每辆车均满载）

（1）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？

（2）若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车

分别需要多少辆？此时的总运费是多少？

【答案】（1）甲、乙型车分别需要8辆、10辆

（2）乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元

【详解】（1）设甲、乙型车分别需要。辆、6辆.

5。+86=120

根据题意,

450a+600Z?=9600

Q=8

解得

Z?=10,

答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆;

（2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆,

2+x+y=14

根据题意得

2x5+8x+10y=120

x=5

解得

.y=7

止匕时总运费为450x2+600x5+700x7=900+3000+4900=8800（元）.

答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元.

11.（2023•重庆）某商店要购进A、8两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比8种文

具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买3种文具的数量的1.5倍.

（1）求A、8两种型号文具的单价分别为多少？

（2）学校计划用不超过10000元的资金购买A、B两种文具共40套，为使购买的A种型号的文具尽可能多，

请设计出购买方案.

【答案】（1）购买A种型号文具的单价为300元，购买2种型号文具的单价为200元

（2）购买A种型号玩具20套，购买3种型号玩具20套

【详解】（1）解：设购买B种型号文具的单价为龙元，则购买A种型号文具的单价为（x+100）元

2250010000,=

---------=-------入xJI..J5

尤+100x

解得，x=200

经检验x=200是原分式方程的解，且符合题意

・・・兄+100=200+100=300（元）

答：购买A种型号文具的单价为300元，购买8种型号文具的单价为200元；

（2）解：设购买A种型号玩具小套，则购买B种型号玩具（40-加）套，根据题意得：

300m+200（40-m）＜10000

解得，m^20

的最大值为20,此时40-7/1=40-20=20（套）

答：购买A种型号玩具20套，购买2种型号玩具20套

12.（2023•四川）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫

销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多.

（1）每件衬衫原来的进价是多少元？

（2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就

可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售.要使每天的

销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元?

【答案】⑴50；

(2)80.

【详解】（1）解：设原来衬衫每件进价为X元，则后一批衬衫每件进价为（X+1。）元,

5000060000

依题意得:

xx+10

解得：尤=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意.

答：原来衬衫每件进价为50元.

（2）解：设定价为“元，根据题意得

(G-60)[50+5(100-a)]=3000.

整理得Y_170。+7200=0,

解得4=80,g=90,

.为了尽可能让利给顾客,

a=80,

答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客.

麦夫♦题型逼美

1.（2023•河北）《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各

几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是

多少？设合伙人有无人，物价为y钱，则可列方程组为（）

y=8x-3y=8x+3

A.B.

y-4=7无y+4=Jx

x=8y+3

D.

y+4=lx

【答案】A

7=8x-3

【详解】解：依题意得:

y-4=7x

故选:A.

2.（2024.湖南常德.一模）如图，有一张长30cm,宽20cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为

xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩

形纸板面积的1，则x的值为.

______L

（<I

t<I

'II•

H---------忖

【答案】5

【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为（3。-2力cm,宽为（20-2x）cm,

（30一2尤）（20-2x）=30x20xg,

整理得f-25x+100=0,

解得％=5,马=20（不合题意，舍去），

故x的值为5.

故答案为：5

3.新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就

有128人患上了新冠肺炎，则x的值为.

【答案】7

【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次

方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：依题意得：2（l+xf=128,

解得：%=7,X2=-9（不合题意，舍去）.

故答案为：7.

4.如图，AB=4cm,AC=3D=3cm.=,点尸在线段A3上以lcm/s的速度由点A向点

8运动，同时，点。在线段3。上由点8向点。运动.设运动时间为♦（S）,则当点。的运动速度为

cm/s时，△ACP与V2PQ有可能全等.

【答案】1或1.5

【详解】解：设点。的运动速度是xcm/s,

则有AP=fcm,BP=（4-r）cm,BQ=xtcm,

"?NCAB=NDBA,

.•.△ACP与V5PQ全等，有两种情况：

①AP=3P,AC=BQ,

贝卜=47,

解得t=2s,

则3=2x,

解得x=1.5cm/s；

@AP=BQ,AC^BP,

贝=4—t=3,

解得t=1,x=l.

故答案为：1或1.5.

5.（2024.重庆•一模）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成.已知乙施

工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多g,若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队

单独修建这项工程提前3天完成.

（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？

（2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施

工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工

作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？

【答案】（1）甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米

（2）共需修建费用149000元

【详解】（1）解：设甲施工队每天修建的长度为了米，则乙施工队每天修建］+米

10801080。

-----；--\-=3

依题意，得X

I3j

解得x=9O

经检验，x=90是原分式方程的解

A^1+^x90=120（米）

二甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米；

（2）解：设甲施工队单独修建y天，

依题意，得1080=90x（y+3）+120x3

角毕得y=5

.•.甲施工队单独修建5天

贝收3000x（5+3）+15000x3=149000（元）

.••共需修建费用149000元.

6.（2024.广东惠州.一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴

取得新成效.某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为0.5万元/吨；因龙眼大

量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为0.4万元/吨，两次龙眼共卖了9万元.

（1）求两次各摘龙眼多少吨？

（2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可

加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的

销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？

【答案】（1）第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨

（2）至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉

【详解】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼（21-力吨，

由题意得：0.5x+0.4（21-x）=9,

解得：元=6,

/.21-x=21-6=15（吨），

答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨；

（2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（20-y）吨龙眼加工成龙眼干，

由题意得：10*0.2y+3x0.5(20-y)236

解得：y»i2,

答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉.

7.小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再

以加米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程，(米)与时间无(分)的关系

如图所示，请结合图象，解答下列问题：

(1)°=分，b=分，m-米/分:

(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分，此时距图书馆的距

离是米：

(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是分.

【答案】(1)10,15,200；

(2)18.75,750；

(3)17.5或20

【详解】(1)解：由题意可知，折线。LBC为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段。。为小明行驶的路

程与时间的关系图，

a=1500+50=10分钟，

b=a+5=15分钟，

(3000-1500)+(22.5-15)=200米/分，

故答案为：10,15,200；

(2)解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，

设3c段的关系式为％=履+3

将点(15,1500)和(22.5,3000)代入，得：

15^+^=1500伏=200

,解得.I

22.5^+6=3000匕=一1500

•■.BC段的解析式为、=200尤-1500,

小明的速度是120米/分，

段的关系式为%=120x,

.X=%，即200%-1500=120%,

解得：x=18.75,即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是18.75分，

此时行驶的路程乂=%=2250,

距图书馆的距离是3000-2250=750米，

故答案为：18.75,750；

(3)解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距100米，

贝[]%-乂=120x-(200x-1500)=100,

解得：x=17.5:

②当爸爸和小明第二次相遇后相距100米，

贝5|yx-y2=200%-1500-120%=100,

解得：x=20,

即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是17.5或20分，

故答案为：17.5或20

8.(2024•湖南长沙•模拟预测)某中学为绿化美丽校园，营造温馨环境，计划购进甲、乙两种规格的花架

放置新购进的绿植，调查发现，若购买甲种花架10个、乙种花架8个，共需资金1584元；若购买甲种花

架5个，乙种花架12个，共需资金1656元.

(1)甲、乙两种花架每个的价格分别是多少元？

(2)若该校计划购进这两种规格的花架共28个，且乙种花架的数量不少于10个，设购买这批花架所需费用

为川元，甲种花架购买。个，求w与。之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的购买方案，写出最少

费用.

【答案】(1)甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元

(2)w=-36a+3024,当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元

【详解】(1)解：设甲种花架每个的价格为x元，乙种花架每个的价格为y元，根据题意得：

10x+8y=1584

5%+12y=1656

答：甲种花架每个的价格为72元，乙种花架每个的价格为108元；

(2)•..甲种花架购买。个，

，乙种花架购买(28-。)个，

•••乙种花架的数量不少于10个，

28—a210,

解得：a<18,

根据题意得：坟=72。+108(28-d)=-36a+3024,

V-36<0,

/.w随。的增大而减小，

...当a=18时，卬取最小值，最小值为卬=-36x18+3024=2376,

...当购买甲种花架18个，乙种花架10个时，所需费用最少，最少费用为2376元.

9.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市

场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的|■倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3

捆.

(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；

(2)菜苗基地每捆8种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A,8两种菜苗共100捆，且A种菜苗

的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对48两种菜苗均提供九折优惠.求本次购

买最少花费多少钱.

【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元

(2)本次购买最少花费2250元

【详解】(1)解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为尤元，则市场上每捆A种菜苗的价格为3%元，

4

300300

由题意得，行一十三

-X

4

解得x=20,

经检验，20是原方程的解,

答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元；

（2）解：设购买A种菜苗〃7捆，总花费为W元，则购买8种菜苗（100-捆,

由题意得，W=2