高考数学压轴题专项训练：一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）含答案及解析

专题06一元函数的导数及其应用

（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）

目录

①已知函数Ax）在区间。上单调........................................1

②变量分离法........................................................2

③最值法............................................................4

④变更主元法........................................................5

⑤双变量问题/（%）*区）型...........................................6

①已知函数人幻在区间。上单调

1.（2023春•内蒙古阿拉善盟•高二阿拉善盟第一中学校考期中）若函数g（x）=Y+alnx+—在［L2］上是减函

X

数，则实数。的取值范围是.

2.（2023春•内蒙古兴安盟•高二乌兰浩特市第四中学校考期中）若函数/（力=9+班-"在区间［L2］上单

调递增，则实数。的取值范围是.

3.（2023春•山东烟台•高二统考期末）若函数〃x）=x2-x+alnx在（1,+口）上单调递增，则实数。的取值

范围为.

4.（2023春・甘肃酒泉•高二统考期末）已知函数“x）=6+xe*在（—,”）上单调递增，则。的取值范围

是.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=（x-a）cosx在［og内单调递增，则实数。的取值范围为一

②变量分离法

1.(2023春•吉林白城•高二校考期末)已知函数/(力=廿+依在(0,〃0))处的切线与直线/：x-2y+4=0

垂直.

⑴求“X)的单调区间；

⑵若对任意实数x,/(%)2-%2-3+%恒成立，求整数6的最大值.

2.(2023・全国•高二专题练习)已知”尤)=_rlnx,g(x)=x3+ax2+尤+2.

(1)讨论函数y=/(元)在(0,m)(加>0)上的单调性；

⑵对一切实数xe(O,-),不等式2/(x)Wg'(x)+2恒成立，求实数”的取值范围.

3.(2023春・山东德州•高二德州市第一中学校考期末)已知函数/(尤)=《(e为自然对数的底数),函数

X

g[x)=mx.

(1)求函数的单调区间；

⑵若不等式/(x)+g(x)>0在(0,+⑹上恒成立，求实数机的取值范围.

4.(2023春•陕西咸阳•高二统考期末)已知函数〃x)=("l)liu+x+}其中acR.

⑴若a=l,求曲线y=〃x)在点(2,〃2))处的切线方程;

⑵若对于任意xw(l,e],都有/(尤)-q>0成立，求。的取值范围.

X

5.(2023春・山东德州•高二统考期末)已知函数〃无)=xe*-g/-依，aeR.

⑴若x=0是〃x)的极值点，求函数“X)的极值；

⑵若x<0时，恒有/(x)V0成立，求实数。的取值范围.

6.(2023春•福建宁德•高二校联考期中)已知函数/(x)=aln(x—1)—x+1,h{x}=--3x+\.

⑴求函数的单调性；

(2)设函数g(x)=〃x)-/z(x),对于任意的士,务e[2,5]都有5g上省区>2成立，求实数。的取值范围.

③最值法

1.(2023春•江苏镇江•高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习)已知函数/(x)=xlnx.

(1)求在点(1,。)处函数的切线方程；

⑵若对任意尤＞0,都有xln(以)2尤-a成立，求正数。的取值范围.

2.(2023春•湖北武汉•高二校联考期中)已知函数”x)=-2x+lnx,g(x)=xe工

⑴求函数的极值点；

⑵若/(x)Vg(x)恒成立，求实数机的取值范围.

3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=lnx+a,若对任意的xe口]],无)恒成立，求实

数。的取值范围.

4.（2023春•陕西渭南•高二合阳县合阳中学校考阶段练习）已知函数/（x）=ex-Mnx-e（aeR）,其中e

为自然对数的底数.

（1）若在*=1处取到极值，求a的值及函数〃尤）的最值；

（2）若/（x）有极值点，求。的取值范围.

⑶若当xw[l,+8）时，外力20恒成立，求a的取值范围.

5.（2023春•西藏日喀则•高二统考期末）设函数/（x）=e，-冰，x»0且awR.

⑴求函数的单调性；

（2）若/（x）2/+1恒成立，求实数。的取值范围.

④变更主元法

1.（2023・全国•高三专题练习）若不等式V+px＞4x+p-3,当0Vp＜4时恒成立，则x的取值范围是（）

A.[-1,3]B.

C.[3,+oo）D.L（3,+＜»）

2.（2022秋・江西抚州•高一金溪一中校考阶段练习）已知函数/（x）=2023^-2023-'+x2023,对任意的左g-3,3],

f（依-2）+/（尤）＜0恒成立，则x的取值范围为.

3.（2023•高一课时练习）不等式2x-l＞的对满足0＜相＜1的一切实数机的取值都成立，求x的取值范围.

⑤双变量问题/心)〃(％)型

1.(2023•全国•高三专题练习)已知〃”=111任+1)，8(%)=[曰-加，若对％e[0,3],V%e[l,2],使得

/(%1)>g(x2),则实数"z的取值范围是.

2.(2023春・海南海口•高一海口一中校考期中)VxeR,都有/(f)=/(x),且=log?(2,+1)+田，

2

g(x)=/(x)+x,/z(^)=x-2Ax+l,%e[0,3],Bx2e[l,3],使得8(西)2，々)成立,则%的范围是.

3.(2023•全国•高三专题练习)设函数/⑺=e0G+a)(。©区).g(x)=X+_L_1,若对任意的

gxx+i3

77e[0,2],存在mw[0,2],使得/O)2g(〃)成立，求。的取值范围.

4.(2023•黑龙江佳木斯・佳木斯一中校考模拟预测)已知/(x)="；=+c是定义在[—2,2]上的函数，若

满足〃x)+〃f)=0且/⑴=(.

(1)求〃尤)的解析式；

(2)设函数g(尤)=d-2〃优+4(〃zwR),若对任意西，we[l,2],都有g(/)<〃为)恒成立，求力的取值范围.

5.(2023春・湖北荆门•高一统考期末)已知"无)=bg/+—7

2X-1

⑴求“2)+(£|+〃3)+4£|的值；

⑵求证/(X)有且仅有两个零点小电，并求再超的值；

(3)若g(x)=x2一ox+9,对任意的西目2,+8),々e[l,4],不等式/(%)<g(%2)恒成立，求。的取值范围.

专题06一元函数的导数及其应用

（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）

目录

①已知函数/⑺在区间。上单调........................................1

②变量分离法........................................................2

③最值法............................................................4

④变更主元法........................................................5

⑤双变量问题/&）2g（%）型...........................................6

①已知函数”幻在区间。上单调

7

1.（2023春•内蒙古阿拉善盟•高二阿拉善盟第一中学校考期中）若函数g（x）=f+alnx+二在［1,2］上是减函

x

数，则实数。的取值范围是.

【答案】（—,一7］

【详解】由题可知：g'（x）=2x+--^<0,在区间［1,2］恒成立，

XX

得—2/恒成立，即2炉］,XG［1,2］

%5Anin

设〃无）=,-2尤2,xe［l,2］,尸（x）=£-4x<0在区间［1,2］恒成立，

则函数〃x）的最小值为〃2）=1-8=-7,

所以。〈―7.

故答案为：（-0,-7］

2.（2023春•内蒙古兴安盟•高二乌兰浩特市第四中学校考期中）若函数/（Mnf+lnr-依在区间［L2］上单

调递增，则实数。的取值范围是.

【答案】S3］

【详解】因为函数/(x)=d+lnx-6在区间［L2］上单调递增，

所以在区间［1,2］上函数:(x)=2x+L-a20,所以。<2彳+士

XX

，(%)=2%T,Q«f，t\x)—2—>0,

函数r(x)=2x+1在区间［1,2］上单调递增，f(无)而“=2+1=3

X

所以只需a«3即可.

故答案为：(-叫3］.

3.(2023春•山东烟台•高二统考期末)若函数/(x)=x2r+，lnx在(1,+8)上单调递增，则实数。的取值

范围为•

【答案】［—I,y)

【详解】因为/(工)=%2—x+alnx,x>l,

所以广⑺=21+3=2fx+a,

XX

又函数〃X)在。,内)上单调递增，

所以广⑴=2/1+&0在X«］,+8)上恒成立,

即a2-2/+X在xe(1,-H»)上恒成立,

令g(无)=-2x?+x,对称轴为直线x=；,

所以函数g(x)在。,内)上单调递减，

所以g(x)<g⑴=T，

所以〃2—1,

即实数a的取值范围为卜1,也).

故答案为：

4.(2023春・甘肃酒泉•高二统考期末)已知函数〃％)=办+m”在(F,+O>)上单调递增，则〃的取值范围

是.

【答案】g+f

【详解】/(x)=av+xex,f^x^=a+ex+xex,

又/(%)在(YO，+°°)上单调递增,

所以尸(x)上。在(T»,+00)上恒成立，

即。N-(e*+xe')在(-oo,+oo)上恒成立.

令g(x)=e*+xe*,g,(x)=eT(x+2),

由g'(x)>0得尤>-2,g'(x)<0得为<-2,

所以g(x)在(F,-2)上单调递减，在(-2,y)上单调递增，

所以g(xLn=g(-2)=e-2-2e-2=-5,

所以-(e“+%e，)有最大值-,

e

所以。之二.

e

故答案为：

5.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃%)=(%-〃)cosx在内单调递增，则实数。的取值范围为.

-...71—yfi

【答案】---，+8

_了)

【详解】因为/(X)=(X—〃)COSJV,所以，/'(x)=cosx-(x-a)・sinx,

因为函数/'(X)在(0,：内单调递增，则((x)Z0在(0,：内恒成立，

gpcosx-(x-tz)sinx>0,解得atx—Cos%.

sin%

令g(x)=x_^^,xe[o,g,则g'(x)=l+—>0,

sinx13」smx

故8⑴在(og内单调递增，则8⑺鹏二81.7L故此与巫，

/7)

即实数。的取值范围为2手―，+8.

②变量分离法

1.(2023春•吉林白城•高二校考期末)已知函数/(x)=e、+ar在(0,〃0))处的切线与直线/：x-2y+4=0

垂直.

⑴求〃尤)的单调区间；

⑵若对任意实数x,_3+%恒成立，求整数匕的最大值.

【答案】⑴单调递减区间为(Y,ln3),单调递增区间为(ln3,4w).

(2)1

【详解】(1)由/'(尤)=e'+a,得k=r(O)=l+a,又切线与直线/：x-2y+4=0垂直，所以％=—2,即

a=—3.

所以r(x)=e、一3,令八x)=0,得x=ln3,

当x<ln3时，/'(力<0,/(尤)单调递减；

当尤>ln3时，/^)>0,f(x)单调递增.

所以/(x)的单调递减区间为(f,In3),单调递增区间为(In3,y).

(2)对任意实数x,恒成立，

即对任意实数x,e*+f-3x+322｝恒成立.

设g(x)=/+x2-3x+3,QpZ?<|g(x)m,n.

g'(x)=e*+2x-3,令〃(x)=g'(x)=e"+2x-3,

所以/i'(x)=e、+2〉0恒成立，所以g'(x)=e、+2x—3在R上单调递增.

又g'出=五-2<0,g")=e-l>0,所以存在不［；」)，使得小)=0,

即1。+2无o-3=O,所以e%=3-2%.

r

当X£(HO,尤0)时，g(x0)<0,g(x)单调递减；当不£(%,收)时,g(x0)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)min=g(Xo)=e"+x；-3xo+3

=3-2x0+X；-3x0+3=X：—5x()+6=1%()一|^一:，

当升*［耳'I时'2Vx：—5玉)+6v?,

所以5g(%)£(1，亚"］,由题意知0W；g(%o)且

所以即整数人的最大值为1.

2.(2023・全国•高二专题练习)已知/(x)=xlnx,g(j;)=x3+dx2+A：+2.

⑴讨论函数y=〃x)在(0,m)(根>0)上的单调性；

⑵对一切实数xe(O,y)，不等式2〃x)Wg，(x)+2恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)［-2,+co)

【详解】(1)解：因为〃x)=xlnx,x>0,贝lj/'(x)=lnx+l,令7(%)=0,可得x=(,

①当。<相V，时，对任意的xe(O，W，r(x)<0,此时函数的减区间为(0,加)；

②当加■时，令/'(x)<0可得0Vx<!，令/,x)>0可得1cxe加，

此时函数的减区间为［。，口，增区间为

综上所述，当时，函数〃x)的减区间为(0,〃。；

当机时，函数〃尤)的减区间为1J,增区间为g,0.

(2)解：因为g(x)=/+。%2+兀+2,可得g<x)=3%2+2〃x+l,

由对一切实数x«O,y),不等式2〃%)(5(%)+2恒成立，

即2xlnx<3x2+2ox+l怛成立，可得20r22xlnx-3f-1,

即2a>21nx一3%一!在%£(0,+oo)恒成立，

令/z(x)=21n尤一3九一，,其中％>0,

则〃3=2_3+3=-3/一｝一1=-3+1)产一%

XXXX

当0cx<1时,//(x)>0,此时函数网x)单调递增,

当x〉l时,//(x)<0,此时函数/?(%)单调递减，

所以/心心=可1)=7,则2a2⑺由=^，解得a2—2，

所以°的取值范围为［-2,+8).

3.(2023春・山东德州•高二德州市第一中学校考期末)已知函数/(x)=《(e为自然对数的底数)，函数

X

g(x)=〃优.

(1)求函数“X)的单调区间；

⑵若不等式/(X)+g(X)>0在(0,+8)上恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】⑴单调递减区间为(-8,0),(0,1);单调递增区间为(1,内)

ce

(2)m>--

4

【详解】⑴函数定义域为(f,0)(0,—),又:。)=史==注3

XX

令尸(刈=也等=0,解得x=l,

X

所以X、/(X)与/(X)的关系如下所示:

X(一叫0)(0,1)1(1,+8)

1(x)——0+

“X)单调递减单调递减极小值单调递增

所以“X)的单调递减区间为(-8,0),(0,1)；单调递增区间为(1,E).

(2)不等式〃力+8(力>0在(0,+8)上恒成立，等价于不等式《+蛆>0在(0,+s)上恒成立,

X

故不等式山〉-马在(0,+8)上恒成立，

令6(无)=-马，无e(0,+s),则/⑺JR/),

XX

当x«0,2)时，〃(%)>0,所以网力在(0,2)上为增函数；

当X£(2,+CO)时，/⑴<0,所以h[x)在(2,+8)上为减函数；

22

所以/?(X)max=〃(2)=-~»所以用〉一-—.

4.(2023春•陕西咸阳•高二统考期末)已知函数/(1)=(1-1)10%+I+9,其中a$R.

⑴若〃=1,求曲线y=/(%)在点(2,〃2))处的切线方程；

(2)若对于任意xe(l,e],都有〃句_2>。成立，求。的取值范围.

【答案】(l)3Iy+4=0

(2)a>l-e

【详解】(1)/(x)=x+1(x>0),/(2)=|,

13

r(x)=i--7(x>o),r(2)=-,

产/(同在",，处切线方程为3;-3=；(无一2),3苫一”+4=0.

(2),/Vxe(l,e］,有-0>0恒成立,则x+(。一l)lnx>。，即〃一1>行，

令尸⑺二三,当％£(l,e］时，a-l>F(x),k(%)二%一口，

v7lux'」-max(Inx)

•・•当％«l,e］时,F(x)>0,所以尸(力在(l,e］上单调递增,

••/(x)max=尸(。)=一e・••〃>l-e.

5.(2023春•山东德州•高二统考期末)已知函数/(%)=屁"-：％2一以，acR.

⑴若元=0是/(力的极值点，求函数/(力的极值；

(2)若xvO时，恒有了(%)4。成立，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴极大值为极小值为o

2e

(2)^-oo,-+-In2

【详解】(1)F(x)=(x+l)e=x-a,因为x=0是〃x)的极值点，

所以/''(。)=1-4=。，所以。=1，

所以/'(x)=(x+l)e*-(x+l)=(x+l乂e*-l)

当x>0或x<—l时，/^x)>0；

当一l<x<0时，f'(x)<0.

所以函数〃x)的单调递增区间为(f,T),(。,+巧，单调递减区间为(-1,0).

所以极大值=极小值为F(0)=0

2e

(2)若xvO时，恒有了(力(。恒成立，即/(入)=疣"一；九2—火(0,^ax>xex-^

因为xvO,所以——x,

2

令人(x)=e*,贝！J“(％)=e%—g,

贝！Jx£[-oo』n1)时，”(力<0,元£。11；,0)时，/f(x)>0

所以h(x)在(一*In；)单调递减，在fln|,Oj单调递增,

所以网力的最小值为dln；］=；1+；1ln2,所以1+j1n2.

I乙)乙22乙z22，

所以a的取值范围为\s,；+；ln2

6.(2023春•福建宁德•高二校联考期中)已知函数"x)=aln(x—l)-x+l,/i(x)=-^-3x+l；

⑴求〃尤)函数的单调性；

(2)设函数g(x)="x)-/7(x),对于任意的占W［2,5］都有近%)：-%)>2成立,求实数。的取值范围.

X］尤2

【答案】⑴答案见解析

4

(2)a>-

e

【详解】(1)f(元)的定义域为贝厅(》)=上7-1=业二牛叫，

x-lX-L

当〃+1<1时，即时，/(%)在。,+8)上单调递增，

当。+1>1时，即〃〉0时，贝(Jf(x)=0即/=a+l,

令用X)>。得1<%<4+1，令/'(%)<。得x>a+l,

则/(%)在(1,。+1)上单调递增,在(。+1,+8)上单调递减,

综上所述：当〃<0时，/⑴在(l,y)上单调递增；

当〃〉0时，则在(1,。+1)上单调递增，在(。+1,+巧上单调递减；

XX

(2)依题得g(x)=/(%)-h(x)=aln(x—1)-x+1H---i-3x-l=aln(x—l)d---b2x

exex

因为对于任意的目2,5］总有8区)18区)>2成立,不妨设士

玉x2

由>2,得g(X|)-2X|>8(%)-2%

设0(x)=g(x)-2x=aln(xT)+5,可得。⑺在［2,5］单调递增；

。'⑺=合+子20在［2,5n亘成立；

二a2在［2,可恒成立；

设/(无)=(1)一,尸，(x)=2(1)-(尤-1)-=《Til)

v7exv7exex

令尸(x)>0,得l<x<3,因为xe［2,5］,所以尸(x)在(2,3)单调递增;

同理，尸(X)在(3,5)单调递减，所以爪X)的最大值为砥3)=3，

e

4

所以。2—.

e

③最值法

1.(2023春•江苏镇江•高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习)已知函数/(x)=xlnx.

(1)求在点(1,0)处函数的切线方程；

(2)若对任意尤>0,都有成立，求正数。的取值范围.

【答案】(i)y=x-i

⑵[1，+8)

【详解】(1)因为〃x)=xlnx,所以_f(x)=lnx+l

所以/")=1,所以切线的方程为1=尤-1：

(2)设g(x)=xln(av)-x+a,则g，(x)=ln(ox),

令g'(x)=0,即ln(ar)=0,解得x=L

a

当xe(0,£|时，g[x)<0,g(x)单调递减；

当时，g,(x)>0,g(x)单调递增，

所以当x=，时，^(x)>gf-|=<7--,

a\a)a

由对任意x>0,都有X皿6)2》-。成立，所以解得

a

所以实数。的取值范围是[1,+8).

2.(2023春•湖北武汉•高二校联考期中)己知函数/(x)=-2x+lnx,g(x)=xe、-3x-

(1)求函数的极值点；

⑵若〃x)Wg(x)恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】①极大值点为无极小值点；

11_7Y

【详解】(1)函数〃X)=-2x+lnx的定义域为(0,+8),求导得尸⑺=_2+：=一，

当0<x<；时，f<^x)>0,当时，/(x)<0,

因此函数“X)的单调递增区间为(o,£|，单调递减区间为

所以/(X)的极大值点为9无极小值点.

(2)^/i(x)=f(x)-g(x)=lnx+x-xex+m,XG(0,+OO),依题意，Vxe(0,+oo),/z(x)<0,

求导得〃(x)=L+l_(x+l)e*=(尤+l)p；_e1，令(x)=，_ex,xe(0,^o),

XyXJx

显然函数e]在(O,+8)上单调递减，又(；)=2-五>0,《1)=1-e<0,

A()

则天()£(彳,1],使得'(%())=e与=0,即一二e*,有In—=Ine,gp—lnx0=x0,

I2J%o/

因此当0<x<x°时,?(x)>0,即〃(x)>0,则/z(龙)单调递增，

当X〉4时,r(x)<0,即〃(x)<0,则/i(x)单调递减,

从而/z(x)1mx=/?(^0)=ln^0+x0-x^+m-0-l+m<0,解得〃£zl,

所以实数机的取值范围是机£L

3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=lnx+a,若对任意的xe[1]],〃尤)恒成立，求实

数。的取值范围.

【答案】f_co,_^-2

【详解】解法一',由〃x)V—在xe[1,e?]上恒成立，得—FInx+aV0在xe[1,e,]上怛成立，即aV----Inx

在xe[l,e[上恒成立

2

令g(%)=----Inx,xG|_1,e2^|

71_2—x

贝(Jg'(x)=二—

XXX2

当lKx<2时，g"(x)>0,当2<%〈e2时，g'(%)<0,

所以g(x)在[1,2)上单调递增，在(2,e2]上单调递减，所以g(x)mm=min{g⑴,g(e?)}

因为g⑴=-2,^(e2)=--^--lne2=---2<-2,所以屋%僵=g(4)=—/_2,

2(2

所以“V*-2,即实数。的取值范围为-2

解法二，由/'(x)V-2在xe[i,e2]上恒成立，得_|+inx+av0在xe[l,e〔上恒成立.

令g(x)=j+lnx+a,xe[l,e2],则g(x)满足且⑴晔(。即可

9ix—9

g，(x)=-彳+已=一，当1VX<2时,g'(x)<o,当2<xVe2时,g'(x)>0,

XXX

所以g(x)在［1,2)上单调递减，在(2,e2］上单调递增，所以g(无⑴,g(e)}.

222

因为g(1)=2+〃，g^e2^=—+1ne2+a=—+2+a>2+a,所以g(x)max=且(")=方+2+4V。,

所以aV-±-2,即实数。的取值范围为1-8,-之-2.

e-Ie」

4.(2023春•陕西渭南•高二合阳县合阳中学校考阶段练习)已知函数/(x)=er-alnx-e(aeR),其中e

为自然对数的底数.

⑴若“X)在尤=1处取到极值，求。的值及函数〃x)的最值；

⑵若了(无)有极值点，求。的取值范围.

⑶若当xe［l,+e)时，〃x)20恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)a=e,/(x)rin=0,无最大值

(2)tz>0

(3)a<e.

【详解】⑴(1)由题知-⑺=e-1(尤>0),/(l)=e-a=0,

=a=e.经检验a=e满足，

当xe(O,l)时，((%)<0,即〃尤)在(0,1)上单调递减，

当xe(l,+a>)时，片x)>0,即外力在。,内)上单调递增，

"同神="1)=0,函数无最大值•

(2)由题知/'(x)=e-4在(0,+功有变号零点,

X

即"=ex在(0,+8)有解.即y=a与，=位在(0,+8)有交点，

a〉0；

(3)法一：由题意可知，"力疝n20在xe［l,+”)时恒成立,

当?4I即a<e,r（x”0,二〃x）在［1,+口）单调递增,

S=〃1）=°N°，

/.a<e,

当?>1叩a>e时，仆)在上单调递减，在已+，|上单调递增,

・••小)而""闫<〃1)=。，

〃>e,不符合题意，

综上，a<e.

法二：由ex—alnx—e/O恒成立，XG［1,+O?),

当x=l时，显然0>0恒成立，,

当X>1时，原式等价于4W电二。恒成立，

Inx

令g(x)=SD,即awg(x)恒成立，

Inx

易得g'(x)=

1y_1

令/z(x)=lnx+——1,贝U〃(x)=—厂>0在［1,+oo)成立,

,/i(x)在口,物)上单调递增,

故〃(尤)>/7⑴=0,

g'(x)>0,g(x)在［l,+oo)上单调递增,

g(x)>g⑴,

又g(l)=e,

a<e.

5.(2023春•西藏日喀则•高二统考期末)设函数〃x)=ex-⑪，x>OM«eR.

(1)求函数的单调性；

(2)若““Nd+1恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)a<e-2

【详解】(1)f,(x)=ex-a,x>0,

当at时，r(x)ZO恒成立，则/'(X)在［0,+句上单调递增；

当°>1时，xe［O,lna)时,/(%)<0,则〃x)在［0,Ina)上单调递减；

xe(如a,”)时,f'(x)>0,则在［0,Ina)上单调递增.

（2）方法一：e"-赤在％之o恒成立，则

当x=0时，121,显然成立，符合题意；

x_2_1，3%_九2_],

当尤>0时，得a4一无一恒成立,即4V—:—

xI尤

构造函数y=e*-x-1,%>0,则y'=eX—l>0,故y=e”-元一1为增函数，则匕"一%—1>匕°一0—1=0.

故4-%-1>0对任意%>。恒成立,则g（x）在（。,1）递减，在。,位）递增，所以g（x）1n^=8。）=©—2

a<e—2.

方法二：'+办+（]在[0,+⑹上恒成立‘即卜'+办+1]<1.

eIVe，/max

记3）=勺2…0,现x）JT）（；+"l）,

当时，/?（“在（0,1）单增，在（1,+8）单减，贝”（x）1mx=7（1）=等41,得aVe-2,舍：

当0<”1时，/i（x）在（0,1-°）单减,在。“,1）单增，在（1,+8）单减，/z（O）=l,"1）=詈，

得0vave-2；

当“=0时，/2（%）在（0,+8）单减，成立；

当a<0时，网力在（0,1）单减，在（1,1—。）单增，在（1一。,也）单减，〃（。）=1,/7。一”）=三，而e-Nl-a+l,

显然成立.

综上所述，a<e-2.

④变更主元法

1.（2023・全国•高三专题练习）若不等式/+px>4x+p-3,当。〈夕《4时恒成立，则无的取值范围是（）

A.[-1,3]B.（-<x）,-l]

C.[3,+oo）D.（Y°,-l）U（3,+°°）

【答案】D

【详解】不等式X2+px>4x+/?-3可化为（％-1）〃+12-4%+3>。，

由已知可得|"（%T）P+%2—4%+3].>0

I—'/-imin

令/（P）=（x-1）p+%2-4%+3,

2

AJ/（0）=X-4X+3>0

^^[/（4）=4（X-1）+X2-4X+3>0

「•%<-1或%>3,

故选D.

2.（2022秋•江西抚州•高一金溪一中校考阶段练习）已知函数于（x）=2023,-2023一，+/。23,对任意的左e[-3,3],

〃区-2）+/（%）<0恒成立，则无的取值范围为.

【答案】卜臼

【详解】/（X）=2023'-2023r+/必，定义域为R,

贝ij/（-x）=2023一,-2023"—/必=_/⑺，可知函数/（x）为奇函数，

又丫=2023工,〉=-2023-工=-（盛），y=/侬均为增函数，所以〃力为增函数,

由〃玄-2）+〃力<0,得一2）<-〃力，即〃心-2）<〃f）,

则kx—2<—x，即kx+x-2<0，

由题意可知，对任意的左式一3,3],辰+九一2V。恒成立,

令g(左)=Ax+x—2,

所以任g(-33)=)-3Lx+x--2<0

解得-1<%<5,

所以工的取值范围为1-I,;1.

故答案为：（―Iqj,

3.（2023•高一课时练习）不等式2%-1>如对满足0W加W1的一切实数机的取值都成立，求工的取值范围.

【答案】{%「Rb>l}

【详解】不等式化为：如-2X+1<0对于任意的0«机<1恒成立，

令/（m）=m¥-2x+l,要使/（加）<0对于任意0Wm41恒成立，

/、|/（0）<0f-2x+l<0

由于函数/（相）是关于根的一条直线，则有廿，<0=[_21+1<0，解得]>L

故工的取值范围为

⑤双变量问题”%)泊区)型

1.(2023•全国•高三专题练习)已知〃x)=ln(x2+l),g(无)=出力，若对VA,«0,3],V”[l,2],使得

“xJZgH),则实数机的取值范围是.

【答案】

【详解】当xe[0,3]时，》=尤2+1单调递增，根据复合函数的单调性可得〃x)=ln，+l)此时也单调递增，

所以“力加"(0)=0；

当xe[l,2]时，g(x)=gj-机单调递减，所以g(x)1n「g⑴

因为对V石40,3],V/41,2],使得〃%)*(%),所以“力布2g(x)max，

即。之工-加，解得相

22

故答案为：

2.(2023春•海南海口•高一海口一中校考期中)VxeR,都有〃—%)=〃％),且/(%)=log?+1)+及，

2

g(x)=f(x)+x,h(x)=x-2kx+lfV%«0,3],玉川1,3],使得g(%)N/z(w)成立,则左的范围是.

【答案】；,+1]

【详解】VxeR,都有〃T)=/(X),所以函数〃x)=log2(2"+l)+及为偶函数，

所以log2(2"+lj—£x—log2(2"+1)—tr=0,

2-*+l

X2+1

即2/x=log2(2一"+lj-log2(2+1)=log2"=-x，

[1

所以"―万，故/(力=1呜(2%+1)—/X,

所以g(x)=/(x)+x=log2(2*+l)+；x，

因为V%«0,3],3X2G[1,3],使得晨为经人仁)成立，

所以函数g(x)在[。,3]上的最小值不小于函数可力在[1,3]上的最小值，

因为函数8(力=1。82(2工+1)+3%在[0,3]上单调递增，

所以当尤=0时，函数8(月=皿2(2'+1)+：%有最小值为8(0)=。2(2°+1)=1,

又/i(x)=x2-2"+1的对称轴为x=3xe［l,3］，

当心1时，函数M%)=<-2村+1在区间口,3］上单调递增,可得用⑺1nhi=硝)=2-2左，

由题意122-2左，且左41,所以

2

当1<左<3时，函数网力=寸一2日+1在区间［1,对上单调递减，在区间快,3］上单调递增，

可得/起以•=M左)=1一%2,由题意121-左2,且1〈人<3,所以1<左<3；

当％23时,函数/z(x)=f-2Ax+l在区间［1,3］上单调递减,可得/z(x)1nhi=/?(3)=10-6%,

由题意1210—6左，且左23,所以左23；

综上可知，实数人的取值范围为

故答案为：g，+°°］

3.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(x)=e(x2"+a)(fleR)^g(x)=x+^_l若对任意的

ne［0,2］,存在相©。2］,使得fg)2g(")成立，求。的取值范围.

【答案】(-»,4-2e］：+8)

【详解】“对任意的［0,2］,存在机e［0,2］,使得/(㈤2g(〃)成立"，等价于

“在［0,2］上，/(%)的最大值大于或等于g(x)的最大值”.

1X2+2x

上，、11g'(%)=l-

由---,得(尤+丁NO,

x+13(x+l>

所以g(x)在［0,2］上单调递增，所以g(X)M=g(2)=2.

2ll2

>e(x-ax+a］-a,、e(2x-«)e-e-e(%-ax+«)

由-2,得/(》)=-----------鬲-----------

e^—x2+ax+2x—2a^e(无一2)(尤一a)

-e"-e"

令广(x)=0,贝！|》=2或x=a

①当aWO时，/'(x)20在［0,2］上恒成立，所以/⑺在［0,2］上单调递增，

所以/(x)1nM=/⑵=(4一。回匕2,解得aV4—2e；

②当0<a<2时，f(x)V0在［0,。］上恒成立，/(x)单调递减，/'(x)20在口,2］上恒成立，73单调递增,

所以Ax)的最大值为/(2)=(4-a)ei或/(0)=ae,

所以(4一。把一1>2a^ae>2,

2

解得a<4-2e或〃之一，

e

2

所以一Va<2；

e

③当[22时，/（x）WO在[。⑵上恒成立，/（九）单调递减，

所以/（X）侬=/（0）=。g2,解得〃2*,所以“22.

e

2

综上所述：a<4—2e或。之一，

e

即。的取值范围为（一s，4—2e]•!，+"

4.（2023•黑龙江佳木斯・佳木斯一中校考模拟预测）已知是定义在L2,2]上的函数，若

满足/（x）+/（—x）=。且/⑴=：.

⑴求/（X）的解析式;

⑵设函数g（尤）=/-2/rcr+4（meR）,若对任意石,々e[1,2],都有义（々）</（占）恒成立，求机的取值范围.

【答案】⑴〃》）=捻

（2）m>y

【详解】⑴xe[-2,2],且/（X）+〃T）=0,所以〃x）为奇函数,

将x=0代入〃X）+〃T）=0可得〃0）=0,即：=0,所以c=0,

a+b1

5-5

即，因为/⑴=巳，所以〃-1）=一"，代入可得<

=；：[¥a-b_1

[a=0x

解得〃1，故/力=1不；

[b=l、74+x

"无）=了土"⑺=石7=一""’函数为奇函数，满足，故〃x）=式？

⑵只要gNLTat,，设』a%。，则/㈤r⑷=/一六=（;1

,/1<X1<x2<2