高考数学二轮复习专项训练：平面向量（含答案及解析）

2025二轮复习专项训练n

平面向量

［考情分析］1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答

题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及

向量共线、数量积等2常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难度;

平面向量在解答题中一般为中等难度.

【练前疑难讲解】

一、平面向量的线性运算

常用结论：

(1)己知。为平面上任意一点，则A,B,C三点共线的充要条件是存在s,3使得庆=sG

且s+/=l,s,

(2)在△ABC中，AD是8C边上的中线，则泰=/矗+/).

(3)在△A8C中，。是△A8C内一点，若G+而+又=0,则。是△ABC的重心.

二、平面向量的数量积

1.若a=(x,y),则|a|=^^=勺y+丫2.

2.若A(xi，yi),8(x2，J2)，则|A8|=N(X2—制)2+32—>1)2.

3.若a=(xi，yi),b=(x2,yi),。为a与的夹角，则cos

三、平面向量的综合运算

解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问题

及图形的几何性质.

一、单选题

1.(2023・全国•高考真题)已知向量商,5忑满足同=忖=1,同=&,且及+方+”0,贝1|

COS〈M—0,万一C〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

jI—*—*

2.（2024•吉林延边•一模）如图，在VABC中，ZBAC=-,AD=2DB,P为CD上一点,

S.AP=mAC+^AB,AC|=3,|AB|=4,则Q.①的值为（）

c

二、多选题

3.（2024・广东•一模）已知向量方=（1，石），b=（cosa,sin6Z）,则下列结论正确的是（）

A.若商/区,则tana—下>

B.若&，贝Utano=—@

3

JT

C.若方与方的夹角为贝狙-5|=3

D.若N与5方向相反，则B在。上的投影向量的坐标是（-g,-日）

7T

4.（2022•广东•二模）如图，已知扇形。48的半径为1,NA03=5，点C、。分别为线段

。4、。8上的动点，且CD=1,点E为A8上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.a.通的最小值为0B.丽.丽的最小值为1-0

C.反.应5的最大值为1D.反.而的最小值为0

三、填空题

5.（2022•上海虹口•二模）已知向量2，B满足同=2邛卜1,忖+、=代,则

|«4|=—.

6.（2023•上海杨浦・三模）对任意两个非零的平面向量1和方,定义々。£=驾，若平面

P'P

向量巨、方满足同邓|>0,。与5的夹角且和石01都在集合仁“eZ

中，贝！］<J05=

【基础保分训练】

一、单选题

1.(2024•山西朔州•一模)已知同=2,方且打5,则|"2%()

A.2应B.2道C.4D.275

2.(2023•广东茂名•一模)在VABC中，AB=c>AC=b，若点〃满足白2=2激，则

AM=()

12-21-5-221-

A.—b7+—cB.—b7——cC.—c——rbD.—b7+—c

33333333

3.(2023•安徽•一模)在三角形A3C中，AC=3,AB=4,ZG4B=120°,贝U

+()

A.10B.12C.-10D.-12

4.(2024,广东江苏,高考真题)已知向量苕=(0,1),石=(2,x),若B_L(5-4M),贝！)尤=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023・重庆•模拟预测）在正方形ABC。中，动点E从点B出发，经过C,D,到达

A,AE=AAB+^AC,则彳+〃的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

6.（2023•浙江温州•二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了

一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F-S（其中W是功，7?是

力，M是位移）一物体在力耳=（2,4）和耳=（-5,3）的作用下，由点A（L0）移动到点

8（2,4）,在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

7.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）如果向量Z，石的夹角为6,我们就称ZxB为向量

£与区的“向量积"，还是一个向量，它的长度为|"耳=问..sin。，如果同=10,

W=2,a-b=-12,则麻q=（）

A.-16B.16C.-20D.20

8.（2023・福建福州•二模）已知忖=2问，若£与石的夹角为120。，则在■上的投影向

量为（）

一3-1-一

A.—3bB.——Z?C.——Z?D.3万

二、多选题

9.（2023•河北•模拟预测）下列命题不正确的是（）

A.若a>b,则a/〉）。？

B.三个数。也。成等比数列的充要条件是〃=砒

C.向量以万共线的充要条件是有且仅有一个实数4,使

丫Y

D.已知命题p：V无>0时，—>0,则命题P的否定为：土;>0时，—0

e*e'

10.（2023•广东汕头•二模）在VABC中，已知AB=2,AC=5,ZBAC=60a,BC,AC边

上的两条中线AM,BN相交于点P,下列结论正确的是（）

A.AM=^-B.BN=­

22

,,人…一、r、历TUUULUULU11

c./MPN的余弦值为D.PA+PB+PC=0

11.（22-23高一下•浙江衢州•阶段练习）已知向量商=。,-2）,则正确的是

（）

A.若机=1,贝1］卜-后卜JimB.若以区，贝|J〃7=2

C.若4与5的夹角为钝角，则加>-1D.若向量是。与苕同向的单位向量，则

2

三、填空题

12.（2023•广西•模拟预测）已知向量a=（f-2,3）,5=（3,-1）,且（a+2b）〃5,则

13.（22-23高三下•湖南长沙•阶段练习）设平面向量B的夹角为60。，且，=忖=2,则

日在另上的投影向量是.

14.（21-22高一下•北京•阶段练习）如图，四边形ABCZ）为平行四边形，

AE=AB,DF=FC,AF=AAC+/uDE,则彳—〃的值为.

F

D.C

【能力提升训练】

一、单选题

1.（2023・陕西铜川•一模）已知单位向量至的夹角为（，向量碗区,

n=ex-Ae2^mLn，则X的值为（）

B.-1C.±1

2.（2022・全国•一模）如图，在团A5C中，点M是AB上的点且满足加=3初，N是AC

上的点且满足前=近，CM与BN交于P点、,设通=2蔗=5,则丽=（）

55

—a+—b

42

3.（2022・山东烟台•三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，尸为圆。上任一

点，若再^^加+丫林，则2尤+2y的最大值为（）

4.（2023・四川绵阳•模拟预测）在VABC中，点DE满足丽=成，通=2或，BE与AD

交于点尸，若Q=x旗+yAT,则移=（）

5.（2023・湖北•模拟预测）己知平面非零向量商,B满足展B=|2t?+5|,则|可的最小值

为（）

A.2B.4C.8D.16

6.（23-24高三上•河南•阶段练习）在VABC中，点。是边3c的中点，且AO=4,点E满

足赤=sin?夕丽+gcos2夕交（，eR）,则（而+反•丽的最小值为（）

A.—10B.—8C.—6D.—4

7.（2024・山西长治•模拟预测）平面上的三个力片,区,工作用于一点，且处于平衡状态.若

闿=1N,|工卜书史N,月与尸?的夹角为45。，则歹3与片夹角的余弦值为（）

A/6+A/2A/6+A/2A/6—A/2A/6—A/2

A.-------------D.-------------------L.-------------U.------------------------

4444

—.1―,

8.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知VABC是边长为1的正三角形，AN=3NC,P是BN上

一点且而=加砺+:/，贝UN?.丽=（）

212

A.-B.—C.-D.1

993

二、多选题

9.（2023・全国•模拟预测）已知卿同=2,|西/2,且两，两的夹角为三，点P在以

O为圆心的圆弧上运动，若丽=工两+'两，无，7>0,则工+>的值可能为（）

3J5

A.2B.-C.—D.1

22

10.（2023・福建・一模）平面向量而石满足|疝=|疝=1,对任意的实数3m-^n<\m+tn\

恒成立，则（）

A.而与方的夹角为60°B.（石+病）2+而_戒）2为定值

-一11--

C.I"-077I的最小值为］D.机在反上的投影向量为5（"?+〃）

11.（2023•福建•模拟预测）已知向量Z=（l,2）,5=（-4,2）,则（）

A.（a-B）_L（a+B）B.|a-5|=|a+5|

c.石-£在£上的投影向量是工D.々在Z+9上的投影向量是（-3,4）

三、填空题

12.（2023•广东广州•一模）已知向量2=（-2,）石=（1,1）,则4=，

各在方方向上的投影向量的坐标为.

13.（2023•山东荷泽•一模）已知夹角为60。的非零向量日N满足忖=2忖，,则

t=.

14.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知向量Z,五满足同=3,忖=2,（2万+5）石=1,则

12商+可=.

2025二轮复习专项训练n

平面向量

［考情分析］1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答

题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及

向量共线、数量积等2常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；

平面向量在解答题中一般为中等难度.

【练前疑难讲解】

一、平面向量的线性运算

常用结论：

(1)己知。为平面上任意一点，则A,B,C三点共线的充要条件是存在s,3使得庆=sG

且s+/=l,s,

(2)在△ABC中，AD是8C边上的中线，则泰=/矗+/).

(3)在△A8C中，。是△A8C内一点，若G+而+又=0,则。是△ABC的重心.

二、平面向量的数量积

1.若a=(x,y),则|a|=^^=勺y+丫2.

2.若A(xi，yi),8(x2，J2)，则|A8|=N(X2—制)2+32—>1)2.

3.若a=(xi，yi),b=(x2,yi),。为a与的夹角，则cos

三、平面向量的综合运算

解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问题

及图形的几何性质.

一、单选题

1.(2023・全国•高考真题)已知向量商,5忑满足同=忖=1,同=夜，且0+方+3="贝1|

COS〈M—0,万一C〉=()

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

'Ji--*--*

2.(2024•吉林延边•一模)如图，在VABC中，ABAC=-,AD=2DB,P为CD上一点,

B.AP=mAC+^AB,若|/|=3,|通|=4,则I?•丽的值为()

c

二、多选题

3.（2024・广东•一模）已知向量方=（1，石），b=（cosa,sin6Z）,则下列结论正确的是（）

A.若商/区,则tana—下>

B.若&，贝Utana=—@

3

JT

C.若方与方的夹角为贝狙-5|=3

D.若N与5方向相反，则B在。上的投影向量的坐标是（-g,-日）

7T

4.（2022•广东•二模）如图，已知扇形。48的半径为1,NA03=5，点C、。分别为线段

。4、。8上的动点，且CD=1,点E为A8上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A.a.通的最小值为0B.丽.丽的最小值为1-0

C.反.应5的最大值为1D.反.而的最小值为0

三、填空题

5.（2022•上海虹口•二模）已知向量2，B满足同=2邛卜1,忖+、=代,则

|«4|=—.

6.（2023•上海杨浦・三模）对任意两个非零的平面向量1和方,定义々。£=驾，若平面

P'P

向量巨、方满足同邓|>0,。与5的夹角且和石01都在集合仁“eZ

中，贝IMO5=

参考答案:

题号1234

答案DDABDBCD

1.D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为。+5+济=0,所以』+力=」,

a2+b2+2a-b=c2；BP1+1+2a-/?=2，所以京Z=0.

如图，设瓦=2,砺=反正=K,

由题知,OA=OB=1,OC=A/2,AOAB是等腰直角三角形，

AB边上的高OD=受,受，

22

所以09=09+0。=&+克=逑，

22

tanZACD=—=-,cosZACD=」

CD3亚，

2

cos(a-c9b-c)=cosZACB=cos2ZAC£)=2cosZACD-1

故选:D.

2.D

【分析】结合题意可知P,C,O三点共线,进而得到“=；,利用向量基本定理表示出

.2.

8=§-AC,进而表示出福.国计算即可.

—.2-►

【详解】因为而=2而，所以AD=]A3,

0____r\____r\__i

所以而=江+诟=m+耳通=瓦+§（无一乱）=1丽+]互，

因为=万，所以Q=7〃Ze+—x—NI5=4万，

2224

—.—.3-.

即AP=mAC+-AD,

4

因为P,C,少三点共线，所以租+[3=1,解得加=了1，

44

—.1—.1—.

所以AP=—AC+—A3,

42

TTnCD=|cB+1c4=|^+104=|（AB-AC）-1AC=|AB-AC,

所以Q.前

_>__.1_.21______1_216913

^APCD=-AB——ABAC——AC=——2--=—

3343412

故选：D.

3.ABD

【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运

算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.

【详解】向量商=(1,6)，b=(cosa,sina),

对于A,由商/区，得sina=J5cosa，因此tancr=6，A正确；

对于B,由Ml5，得Gsina+cosi=0,因此tani=.....-,B正确；

3

对于C,值与方的夹角为g|=2,|B|=1,a・B=2xlxg=l,

因止匕|万一51=J”?-2万万=y/3，C错误；

对于D,6与石方向相反，贝!I彼在G上的投影向量为二!苕=-：。=-〈，-坐，D正确.

|a「2122J

故选：ABD

4.BCD

【分析】以。为原点建立如图所示的直角坐标系，得3(0,1),4(1,0),设NEQ4=。，则

E(cosasin6)/e求出通•匠=四$山"-3，利用夕的范围可判断A；

求出丽、丽的坐标，由丽•丽=1-行sin，+£|,利用6的范围可判断B；设

C(r,O)(re[O,l]),可得求出品、ED，由度.而=l-sin(e+0),利用

t、9、0,的范围可判断CD.

以。为原点建立如图所示的直角坐标系，所以8(0,1),A(l,0),

设NEOA=6,则E(cos。,sin6)(。e,OE=(cos0,sin6)),

AB=(-1,1),所以ABOE=sin6*-cos(9=>/2sin^6*-^,

因为Oe0，g，所以e・-p-j，所以sin(e-1]c，¥

所以荏•瓦9•通的最小值为-1，故A错误;

EA-(1-cos0,-sin0),EB-(-cos0,\~sin0^,

所以EA-EB=-cos0+cos2d-sinO+sin。0=1-sinf夕+()，

因为匹0段，所以6+9李?，所以+£,1

所以1-忘sin[e+?e[l-V2,0],£A-EBe[l-V2,0],

西•丽的最小值为1-点，故B正确;

设。&0乂/式0,叫，x|cr)|=i,所以口口卜后7,可得£>(0,71^6,

EC=(f-cos。,-sin。),ED—cos6,Vl——sin&\,

所以EC-ED=tcos3+cos2下一次一/sinO+sin'e=l-'cose+Jl-/sin6

=l—sin(e+°),其中cos0=Jl—>，siri9二，，

又7e[0,l],所以cos9，sin°e[0,l],所以夕e0,万,9+。©[0,句，

sin(°+e)w[O,l],-sin(°+e)e[—1,0],所以ECEDe[0,1],

反.防的最小值为0,故CD正确.

故选：BCD.

5.77

【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.

【详解】由+B卜港可得，,+2£啰+件=3,即4+276+1=3,解得:a-b=-l，

所以,_0=^|a|-2a-&+|z?|=J'4+2+1=币-

故答案为：77.

【分析】由题意可设〃zeZ,teZ,aQb一=^mb0a=^,得cos?0=彳,对

机，t进行赋值即可得出加，/的值，进而得出结论.

d-b_|^|cos|&|COS

如eZ,

【详解】因为〃。人二七故石。商=

D,Dre同12f

又由同.同>0,则抽210<—«1,可设相£ZZGZ,令商O5=£,bQa=^,且

a

m>t>0,

又夹角6e[°，：]，所以cos?。=子,

fm=3-m3

对加，，进行赋值即可得出।,所以五。6=式=1

[t=l22

3

故答案为：—.

2

【基础保分训练】

一、单选题

1.（2024•山西朔州•一模）已知同=2,石=（四」），且@从，贝44-24=（）

A.2,\/2B.2*\/3C.4D.2^/^

2.（2023•广东茂名•一模）在VABC中，AB=c>AC=b，若点M满足济3=2跋，则

AM=（）

12-21-5-2r21-

A.-b7+—cB.—7b——cC.—c——bD.—7b+—c

33333333

3.（2023・安徽•一模）在三角形ABC中，AC=3,AB=4,ZC4B=120°,贝U

（AB+AC）-AB=（）

A.10B.12C.-10D.-12

4.（2024•广东江苏•高考真题）已知向量益=（0,1）,方=（2,x）,若方_L（方一4M）,则％=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023・重庆•模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C,D,到达

A,AE=AAB+juAC,则力+〃的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

6.（2023•浙江温州•二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了

一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=FS（其中W是功，下是

力，X是位移）一物体在力齐=（2,4）和耳=（-5,3）的作用下，由点A（L0）移动到点

8（2,4）,在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

7.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）如果向量B的夹角为我们就称ZxB为向量

£与加的“向量积"，还是一个向量，它的长度为辰4=刚而",如果问=10,

同=2,a-b=-12,则-叫=（）

A.-16B.16C.-20D.20

8.（2023・福建福州•二模）已知忖=2问，若£与坂的夹角为120。，则2日-3在B上的投影向

量为（）

―3717—

A.-3bB.--Z?C.--Z?D.3b

二、多选题

9.（2023•河北•模拟预测）下列命题不正确的是（）

A.若a>b,则

B.三个数。力,c成等比数列的充要条件是户=农

c.向量工B共线的充要条件是有且仅有一个实数几，使6=痛

D.已知命题P：V尤>o时，4>0-则命题。的否定为：时，

e，e'

10.（2023・广东汕头•二模）在VABC中，已知AB=2,AC=5,ZBAC=60°,BC,AC边

上的两条中线AM,BN相交于点P,下列结论正确的是（）

A.AM=^-B.BN=^-

22

,,._...J5TuuUULUUU1

c./MPN的余弦值为D.PA+PB+PC=0

11.（22-23高一下•浙江衢州•阶段练习）已知向量。=。,-2）,S=（-1,777）,则正确的是

（）

A.若m=1,则卜-B卜B.若双在,则功=2

C.若万与石的夹角为钝角，则加D.若向量是^与苕同向的单位向量，贝I

2

一节2亚1

155J

三、填空题

12.（2023・广西•模拟预测）已知向量方=«-2,3）石=（3,-1）,且（6+25）〃5,则

同=----------

13.（22-23高三下•湖南长沙•阶段练习）设平面向量入B的夹角为60。，且a|=M=2,则

日在加上的投影向量是.

14.（21-22高一下•北京•阶段练习）如图，四边形ABC。为平行四边形，

AE^^AB,DF=^FC,^AF=XAC+pDE,则九一〃的值为.

F

D.C

参考答案:

题号12345678910

答案CAADBABBABCABD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】利用向量的数量积可求卜-2M.

【详解】因为B=（也,1）,a±b，则户=3，a.b=o,

贝”@-2可=a2-Aa-b+4b2=4-0+4x3=16,故卜一24=4,

故选：C.

2.A

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.

【详解】由题意可得：

uuuruunuuuruuniuunuuni/uunuun、iuum91r2r

AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-[AC-AB]=-AC+-AB=-b+-c.

33、/3333

故选：A.

3.A

【分析】根据向量的数量积公式求得结果.

【详解】记/=比通=B,则问=3，W=4,R冉=120。,

va-b=|a|-|fe|cosl20°=12cosl20°=-6,

「.（5+4）.5=W+a-b=16-6=10.

故选：A.

4.D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求元的值.

【详解】因为必仅一砌，所以研石-甸=0,

所以—4>B=0即4+/一4工=0,故x=2,

故选：D.

5.B

【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC,CD,三种情况，求出

2+〃的取值范围.

【详解】以8为坐标原点，AB,BC所在直线分别为x轴，V轴，建立平面直角坐标系，

设"=1,则B（0,0）,A（l,0）,C（0,l）,D（l,l）,

当点E在8C上时,设E（0,m）,他40』,

—/I—//=—1

则(—1,m)=彳(-1,0)+〃(-1,1),即'，故4+4=1,

m二R

当点E在CO上时，设

-A-/2=t-lA=-t

则(TI)=〃T,O)+MT,I)，即,解得

〃=1〃=1

故九+〃=1—fe[0,1],

当点E在AD上时，设

,、,、,、I—A—〃=0

贝！](0,〃)=4(—1,0)+4(—1,1),即_，故(+〃=0

\JU—VI

综上，％+〃的取值范围是九+

故选：B

6.A

【分析】利用条件，先求出两个力的合力耳+可及现，再利用功的计算公式即可求出结

果.

【详解】因为耳=(2,4),瓦=(-5,3),所以耳+瓦=(一3,7),又4(1,0),以2,4),所以

AB=(1.4),故W=(耳+豆).通=-3+7x4=25.

故选：A.

7.B

【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.

【详解】因为同=10,W=2,a-b=-n,所以落石=|司Wcose=10x2cose=—12,

所以cos6=-。，所以sine,所以卜同Wsin6=10x2xd=16.

555

故选：B

8.B

【分析】先计算(2Z-杨4,再根据投影向量公式即可计算.

【详解】•/(2a-b)-b=2a-b-i1=2|a|-|^|-cosl20°一忖=--1|^|

.•.21B在B上的投影向量为②「pagj?"2=-与＞

WMMM2

故选：B

9.ABC

【分析】利用不等式的性质判断A,利用等比中项的概念判断B,利用向量共线的概念判

断C,利用全程命题的否定是特称命题判断D.

【详解】对于A,当c=。时，命题不成立，故错误；

对于B,三个数。/工成等比数列的必要条件是/?=农，当a=0*=O,c=l时，满足

b'ac,但不满足三个数。，4c成等比数列，故错误；

对于c,非零向量Z与B共线的充要条件是有且仅有一个实数彳使B=当落5均为零向

量时，扇5共线，但存在无数个实数％,使6=须，故错误；

对于D,命题P：V尤>0时，^>o,为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量

X

词命题可得命题P的否定为：Hx>0时，—0,故正确.

e

故选：ABC.

10.ABD

【分析】求得40的长度判断选项A；求得8N的长度判断选项B；求得NMPN的余弦值

判断选项C；求得西+而+斤的化简结果判断选项D.

【详解】连接PC,并延长交A3于0,

VABC中，AB=2,AC=5,ZB4c=60。，

uuurizuunutmxi__

贝=/（AB+AC）,BN=-AC-AB,

PM=^AM=^（AB+AC）,PA=-^AM=-^（AB+AC）

P/V=lffiV=lAC--A5,PB=--BN=--AC+-AB

363333

—.2__•2—■1--

PC=-QC=-AC——AB,

333

C

N//JM

A

QB

I/—.2.2——►»

选项A:AM=|AM|=-\JAB+AC+2ABAC

2

PNPM

选项C:cos/MPN=cos

PN\-\PM

1

].判断错误;

选项D：PA+PB+PC=-1(AB+AC)-1AC+|AB+|AC-|AB=6.

判断正确.

故选：ABD

11.ABD

【分析】根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示即可判断A；根据向量共线的坐

标表示即可判断B；若万与石的夹角为钝角，则7加＜0,且方与坂不共线，列出不等式组,

I

ra

即可判断C；若向量是工与M同向的单位向量，则。=内，从而可判断D.

【详解】对于A,若〃z=l,则2。=（2,-3）,所以*同=拒，故A正确；

对于B,若日/区，贝朋-2=0,所以相=2,故B正确；

对于C,若。与石的夹角为钝角，则7BvO,且少与石不共线，

1―1—2机＜01

即C八，解得机＞-；，且〃件2,故C不正确；

[〃z-2w02

-a（452⑻

对于D,若向量是"与M同向的单位向量，则。=闩=—一——,故D正确.

忖I55）

故选：ABD.

12.3V10

【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为2=。一2,3),5=(3,-1),所以7+2石=。+4,1),又①+25)〃5,

所以(f+4)x(—l)—3x1=0,解得/=-7,所以1=(-9,3),故同=3如.

故答案为：3^/10.

13.-b

2

【分析】根据题意，求得Wcos6(T=l,进而求得"在后上的投影向量，得到答案.

【详解】由题意知，平面向量入B的夹角为60。，且1=M=2,

则同cos600=l,所以则£在加上的投影向量为Ixgj.

1一

故答案为：-b

14.1

【分析】选取通，而为基底将向量衣进行分解，然后与条件对照后得到a-"的值.

【详解】选取通，而为基底，

则存=莅+而=;而+亚，

又衣=彳衣+〃诙=*荏+珂+〃&丽一通)=3+?而+(尢_〃)而，

将以上两式比较系数可得彳-〃=1.

故答案为：1.

【能力提升训练】

一、单选题

>->-»-”-►

1.(2023・陕西铜川•一模)已知单位向量G，4的夹角为不，向量m=&1+4，

亢=q—丸/且肩上日，则X的值为()

A.1B.-1C.±1D.2

2.(2022・全国•一模)如图，在团A5C中，点M是AB上的点且满足加=3砺，N是AC

上的点且满足丽=祈，CM与BN交于P点,设丽=商,*=3,贝！)丽=)

P

1一1r

A.—a+—bB』+4

2455

1一1rD.3+%

C.—ciH—b

42105

3.（2022・山东烟台•三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，。为圆。上任一

点，若丽=尤通+丫而，则2x+2y的最大值为（）

4

C.一D.1

3

4.（2023・四川绵阳,模拟预测）在VABC中，点DE满足彷=成，通=2方BE与AD

交于点尸，若Q=x须+丫Z，则冲=（）

5.（2023・湖北•模拟预测）已知平面非零向量扇方满足小石=|2万+方|,则除|•出|的最小值

为（）

A.2B.4C.8D.16

6.（23-24高三上•河南,阶段练习）在VABC中，点。是边3c的中点，且AT>=4,点E满

足而=sii?多丽+：cos2夕初（8eR）,贝I］（而+就）•丽的最小值为（）

A.—10B.—8C.—6D.—4

7.（2024・山西长治•模拟预测）平面上的三个力片，瑞，玛作用于一点，且处于平衡状态.若

国|=lN,|g|=t&N,耳与Fz的夹角为45。，则F,与《夹角的余弦值为（）

A/6+V2^6+A/2V6-5/2A/6—^2

A.----------------------D.---------------------------------L.----------------------U•-----------------------------------------

4444

­.1­.

8.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知VABC是边长为1的正三角形，AN=mNC,P是BN上

―.—.2—►

一点且=+6AC,则AP.A8=（）

212,

A.—B.—C.—D.1

993

二、多选题

9.（2023・全国•模拟预测）已知卿可=2,口冈=2,且两，两的夹角为：，点P在以

。为圆心的圆弧