分式（易错点梳理+练习） 带解析-2022年中考数学复习

第06讲分式易错点梳理

易错点梳理

易错点01分式值为0时，忽略分母不为0的条件

分式的值为0,必须同时满足两个条件，即分子的值为0,分母不等于0,两者缺一不可。

易错点02在分式约分过程中出现乱约分或约分不彻底的错误

分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分子或分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约为要彻

底，使分子、分母没有公因式。

易错点03分式运算时忽视分数线的括号作用

在分式的运算中遇到减法，并且减式的分子是一个多项式，当分子相减时必须给分子加上括号，因为分数

线有括号的作用。

易错点04解分式方程去分母时出现漏乘现象

解分式方程去分母时，方程两边的每一部分都要乘以最简公分母，当单独一个整数作为一项时，容易出现

漏乘现象。

易错点05解分式方程忘记检验

检验所得的解是否为增根是解分式方程的必要步骤，不可忽略。

2W例题分析

考向01分式有意义的条件和分式值为0的条件

例题1:（2021•广西贵港•中考真题）若分式工在实数范围内有意义，则无的取值范围是（）

x+5

A.x^—5B.洋0C.洋5D.x>—5

【答案】A

【思路分析】根据分式有意义的条件列不等式求解.

【解析】解：根据分式有意义的条件，可得：x+5w0,故选：A.

【点拨】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键.

Y—2

例题2：（2。21•广西桂林•中考真题）若分式有的值等于。，则x的值是（)

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【思路分析】根据分式的值为0的条件：分子为0,分母不为。性质即可求解.

【解析】由题意可得：％-2=0且x+3wO,解得x=2,xw-3.故选A.

【点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质.

考向02分式的基本性质

例题3：（2021•河北安次•二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（）

33-nn

A.------=-------B.——=——

-2m2m-5m5m

3m_3m—3m3m

D.-----=-------

-7n7〃-4〃4〃

【答案】C

【思路分析】根据分式的基本性质进行判断即可.

【解析】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B、改

变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C、改变分式分母的符号，其分式

的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变,

此选项正确，不符合题意，故选：C.

【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键.

例题4：（2021•广东•广州市第十六中学二模）下列计算正确的是（）

—a—2a

A.=—9p2q2B.—

b-2b

C.yj—a2=0D.b9-i-b3=b3

【答案】C

【思路分析】A、根据积的乘方运算法则判断；B、根据分式的基本性质判断；C、根据二次根式的性质判

断；D、根据同底数募的除法法则判断.

【解析】解：A、（-3p4）2=9p%2,故本选项不合题意；B、当出b时，故本选项不合题意；C、

b-2b

由题意可得。=0,所以口7=0,故本选项符合题意；D、外b』,故本选项不合题意；故选：C.

【点拨】本题考查了积的乘方，分式的基本性质，二次根式的性质以及同底数塞的除法，掌握相关定义与

运算法则是解答本题的关键.

考向03分式的运算

例题5：(2021•山东济南•中考真题)计算£-四二1的结果是()

m-1m-1

A.m+1B.m—1C.m—2D.—m—2

【答案】B

【思路分析】根据分式的减法法则可直接进行求解.

【解析】解：=故选B.

m-1m—1m—1m—1

【点拨】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键.

例题6：(2021•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)下列计算正确的是()

A.=B.空+3x=2y2C.(~3a2b>i=-9a6b3D.(x-2)2=x2-4

abab3%v7

【答案】A

【思路分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可.

【解析】A：4--=="，符合题意.B：至+3户型+%=2—+9、2y2,不符合题意.

abababab3x3x3x3x

C：(-3fl2*)3=(-3)3(a2)3(ZJ)3=-27fl6fe3-9a6&3,不符合题意.D：(x-2)2=Y-4x+4wf-4,不符合题

意.故选：A.

【点拨】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解

题关键.

考向04分式方程的概念

例题7：(2021•四川巴中•中考真题)关于尤的分式方程旷-3=0有解，则实数m应满足的条件是()

2-x

A.m=-2B.-2C.m=2D.m=/=2

【答案】B

【思路分析】解分式方程得：机+%=6-3%即4尤=根-6,由题意可知了。2,即可得到6-根w8.

【解析】解：箸-3=0

2-x

方程两边同时乘以2—％得：m+x-6+3x=0,

4x=m—6,

・・,分式方程有解，

••2—%w0,

:・xw2,

6—w8,

m手，1,

故选B.

【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的

关键.

17

例题8：（2021•广西百色•中考真题）方程上=」的解是（）.

x3x-3

A.尤=-2B.x=-1C.尤=1D.x=3

【答案】D

【思路分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案.

3x—3=2x

，x=3

经检验，当尤=3时，x与3尤-3均不等于0

19

，方程上=鼻的解是：x=3

x3x-3

故选：D.

【点拨】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解.

考向05分式方程的应用

例题9：（2021•四川内江•中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫,

其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

衬衫价格甲乙

进价（元/件）mm—10

售价（元/件）260180

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同.

（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；

（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几

种进货方案；

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠〃元（60＜。＜80）

出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

【答案】(1)甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；(2)共有11种进货方案；(3)当60<〃<70

时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当a=70时，所有方案获利都一样；当70<。<80时，购进

甲种衬衫100件，乙种衬衫200件.

【思路分析】(1)依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；

(2)根据题意列不等式组解答；

(3)设总利润为w,表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当60<。<70时，②当。=70时，③

当70<a<80时，分别求出利润的最大值即可得到答案.

【解析】解：(1)依题意得：羽史=苦，

mm—10

整理，得：3000(m-10)=2700m,

解得：m=100,

经检验，加=100是原方程的根，

答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；

(2)设购进甲种衬衫x件,乙种衬衫(300-神件,

(260-100)尤+(180-90)(300-x)..34000

根据题意得:

(260-100)x+(180-90)(300-x)„34700

解得：10(度*110,

x为整数，110-100+1=11,

答：共有11种进货方案；

(3)设总利润为卬，则

w=(260-100-a)x+(180-90)(300-x)=(70-d)x+27000(100^!k110),

①当60<a<70时，70-a>0,w随x的增大而增大，

，当x=110时，放最大，

此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；

②当。=70时，70-。=0,w=27000,

(2)中所有方案获利都一样；

③当70<a<80时，70-fl<0,w随x的增大而减小，

，当x=100时，1V最大，

此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件.

综上：当60<a<70时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当。=70时，（2）中所有方案获利都一

样；当70<a<80时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件.

【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用

各知识点解决问题是解题的关键.

例题10：（2021•山东济南•中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种

畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数

量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最

多购进多少个甲种粽子？

【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子

【思路分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是

1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解.

【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：

1200s800

------+50=——,

lxx

解得：尤=4,

经检验x=4是原方程的解，

答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元.

（2）设购进小个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-小）个，由（1）及题意得：

+4（200-/«）<1150,

解得：加V87.5,

:冽为正整数，

..•加的最大值为87；

答：最多购进87个甲种粽子.

【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法

是解题的关键.

微练习

一、单选题

X

1.（2021•重庆八中二模）函数—中自变量X的取值范围是（）

3-x

A.中-3B.x=/=3C.x<3D.x<-3

【答案】B

【分析】解：由题意，得3-/0,解得存3.故选：B.

2.（2021•江苏•南京市金陵汇文学校一模）PM2.5是指大气中直径小于或等0.0000025m的颗粒物，将数据

0.0000025科学记数法表示为（）

A.25x10-7B.0.25xlO-6C.2.5x10^D.2.5x10^

【答案】C

【分析】解:0.0000025=2.5x10-6,故选：C.

hb

3.（2021•安徽•合肥市五十中学东校三模）化简（-马士―^的结果是（）

aa—a

A.—a—1B.a—1C.—a~\~1D.—ab~\-b

【答案】B

【分析】===故选B.

VaJa（l-a）\ajb

4

4.（2021•四川省成都市七中育才学校一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1-二三二0

的根为2；③方程4=丁二的最简公分母为2M2X-4）；④x+」=l+J■是分式方程.其中正确的个数是

2x2.x-4x-1x

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；

4

方程1—^=0的根为x=2,故②正确；

x+2

方程J的最简公分母为2x（x-2）,故③错误；

2x2%—4

龙+工=1+1是分式方程，故④正确；故选：B.

X-LX

5.（2021•重庆八中二模）若数〃使关于x的不等式组,"有且仅有4个整数解，且使关于y

\5x-a<3

的分式方程一1+—=1有正整数解，则满足条件的〃的个数是（）

y-22-y

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

3x-12<4(%-2)

【分析】解：解不等式组

5x-a<3

x>-4

解得：〃+3,

x<------

5

3x-12<4(x-2)

・・•不等式组有且仅有4个整数解,

5x-a<3

-K£|2<0>

-8-3.

3ya+12,<2+10

解分式方程=1,得ZP尸方一

y-22-y

,^=o+10^2为整数，

:•蚌-6,

所有满足条件的只有-4,故选：B.

2丫一h

6.（2021嘿龙江牡丹江•模拟预测）若关于x的分式方程三J=3的解是非负数，则匕的取值范围是（）

x—2

A.Z?w4B.后6且厚4C.Z?V6且厚4D.Z?<6

【答案】B

【分析】解：去分母得，2x—b=3x—6,.\x=6—b,Vx>0,.'.6—Z?>0,解得，b<6,又•.”一2#0,'.x=/=2,

即6—厚2,厚4,则。的取值范围是后6且厚4,故选：B.

7.（2021•甘肃庆阳•二模）关于x的分式方程」=—的解为X=2,则常数。的值为（）

x—ax

A.-1B.1C.2D.5

【答案】A

32

【分析】解：----二—方程两边都乘以x（%-。），得：3x=2（x-4z）,将x=2代入，得：6=2（2-〃），解得〃=-1,

x—ax

故选：A.

8.（2021•湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程=+4=1时产生增根，那么常数机的

x—22—x

值为（）

A.4B.3C.-4D.-3

【答案】D

【分析】解：方程两边都乘以x-2,得：尤-5-〃z=x-2,1方程有增根，；.x=2,将x=2代入x-5-根

=x-2,得：机=-3,故选D.

9.（2021•福建•厦门双十中学思明分校二模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的

租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同

学共尤人，则所列方程为（）

180180。n180180。

A.--------------=3B.=3

xx+2x+2x

―180180。n180180c

C.—3D.=3

xx-2x-2x

【答案】D

1QA1QA

【分析】解：设实际参加游览的同学共X人,根据题意得：-^---=3,故选：D.

x-2x

10.（2021•江苏•连云港市新海实验中学二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也

加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半.设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程

为（）

1.21.2.1.21.2।-1.21.211.21.21

A.——+—=1B.——+——=1C.-----1-----=—D.-----1-----=—

6x3x6x23x2

【答案】C

【分析】解：•••甲队3小时完成了工程进度的一半，.•.甲队的工作效率为,，设乙队单独完成此项工程需

O

要x小时，，甲队的工作效率为上1，由题意可得，¥12+1三2=1:，故选：C.

11.（2021•福建•厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分

10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的

人数.设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（）

•1040c1040

A.------=—B.—=------

x-6xxx+6

C.10x=40(x+6)D.10(x-6)=4Qx

【答案】A

【分析】解:设第二次分钱的人数为X人，则第一次分钱的人数为（X-6）人，依据题意:£=竺，故选A.

x-oX

12.（2021•内蒙古东胜•二模）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业

更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所

需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天,设现在每天生产尤万份，据题意可列方程（）

400500「400500「

A.一=------5B.-------=——+5

xx+10%—10x

400500「400500匚

C.—=-------+5D.-------=--------3

x%—10%—10x

【答案】B

【分析】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（尤-10）万份疫苗，依题意得,

二、填空题

13.（2021•湖南师大附中博才实验中学一模）若分式-二!有意义，则无的取值范围是.

【答案】xw-6

【分析】解：•••分式-二有意义，，x+6?0,解得：xw-6,故答案为：*6

14.（2021•北京401中学三模）三^分式的值等于0,则》=.

尤-2

【答案】-2

【分析】解：根据题意，得N-4=（X+2）（x-2）=0且x-2力0.所以x+2=0.所以x=-2.故答案是:

-2.

15.（2021•广东实验中学三模）代数式H■有意义时，x应满足的条件为.

x-i

【答案】#1

【分析】解：根据题意得：%-1#0,解得：#1.故答案为：

16.（2021•福建•模拟预测）化简⑺+1）（1-有匕）的结果是.

【答案】加

1m4-11m

【分析】（机+1）（1-嵩）=（，〃+1）（一一一+故答案为：m.

m+im+1m+\m+1

17.（2021•湖北青山•一模）计算J、：+旦的结果是_____.

%-8x+164-x

【答案】1

2

X-168_(x+4)(x-4)_8_X+48x-4

【分析】解:

2

x-8x+164-x(x-4)x-4x-4x-4x-4

2

18.(2021•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校一模)分式方程三二一1二的解是_____.

x+5x-2

【答案】％=9

21

【分析】解：一7二-方程两边同乘。+5)(%-2),得2(、-2)=%+5,去括号，得2x—4=x+5,移项

x+5x-2

得：x=9,经检验，1=9是原方程的解，故答案为：x=9.

19.(2021•山东•日照市田家炳实验中学一模)已知关于x的方程一；+一=2加无解，则相的值是—.

x-22-x

【答案】3或1

【分析】解：①当方程有增根时，方程两边都乘x-2,得x-2加=2〃?*-2),最简公分母x-2=0,解得

x=2,当x=2时，m=l,故根的值是1,

②当方程没有增根时，方程两边都乘x-2,得％-2根=2根(％-2),解得％=―当分母为0时，此时方

2m-1

程也无解，，此时2根-1=0,解得加=1,...综上所述，当机=1或1时，方程无解.故答案为：J或L

222

Y5

20.(2021•广东•江门市第二中学二模)方程一\=上7的解是_____.

X+lX-L

［答案】3±V14

【分析】解：---7=----7,两边同乘a+l)(x-l)得:x(x-1)=5(x+l),解整式方程得，X=3±A/14;经检验,X=3±A/14

x+lx-1

是原分式方程的解.故答案为：X=3±V14.

三、解答题

2x4

21.(2021•安徽•三模)解方程：----1=----

x-1x—1

【答案】x=3

【分析】解：方程的两边同乘厂1,得：2x-(%-1)=4,解这个方程，得：x=3,检验，把x=3代入犷1

=3-1=2#0,，原方程的解是x=3.

22.(2021•陕西•交大附中分校模拟预测)解分式方程：匚=上-2.

x—22—x

【答案】无解

【分析】解：去分母得：l-x=-l-2x+4,解得：x=2,经检验x=2是增根，分式方程无解.

23.(2021•广东实验中学三模)某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口

罩和N95口罩，且两种口罩的