高考数学压轴题专项训练：集合、常用逻辑用语、不等式（新定义高数观点压轴题）含答案及解析

专题01集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点,

压轴题）

目录

一、集合的新定义（高数观点）题......................................2

①乘法运算封闭...................................................2

②“群”运算.......................................................2

③“*”运算.......................................................3

④，，㊉，，运算.......................................................4

⑤戴德金分割.....................................................4

⑥“类”...........................................................5

⑦差集运算.......................................................6

⑧“势”...........................................................7

⑨“好集”.........................................................7

二、逻辑推理........................................................8

①充分性必要性...................................................8

②逻辑推理.......................................................8

三、不等式..........................................................9

①作差法.........................................................9

②基本不等式.....................................................9

一、集合的新定义（高数观点）题

①乘法运算封闭

1.（2023春•高一课时练习）设㊉是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a,beA,有a㊉b

GA,则称A对运算㊉封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）

A.自然数集B.整数集

C.有理数集D.无理数集

2.（2023•全国•高三专题练习）非空集合G关于运算*满足：①对任意”,6eG,者B有q*人eG；②存在eeG

使对一切aeG都有a*e=e*a=a,则称G是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：

①G是非负整数集，*运算：实数的加法；

②G是偶数集，*运算：实数的乘法；

③G是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；

@G={x\x=a+by/2,a,b&Q],*运算：实数的乘法；

其中为融洽集的是

②“群”运算

1.（2022.全国•高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G为某种元素组成的一

个非空集合，若在G内定义一个运算“*”，满足以下条件：

©Vo,beG,有a*beG

②如Va,b,ccG,有（a*b）*c=a*（b*c）；

③在G中有一个元素e,对VaeG,都有a*e=e*a=a,称e为G的单位元；

@VaeG,在G中存在唯一确定的6,使a*b=6*a=e,称b为。的逆元.此时称（G,*）为一个群.

例如实数集R和实数集上的加法运算“+”就构成一个群（尺+）,其单位元是0,每一个数的逆元是其相反数，

那么下列说法中，错误的是（）

A.G=Q,则（G,+）为一个群

B.G=R,贝U（G,x）为一个群

C.G={-1,]},则（G,x）为一个群

D.G={平面向量},则（G,+）为一个群

2.(多选)(2023•全国•高三专题练习)若非空集合G和G上的二元运算“㊉”满足：①Va,6eG,。㊉beG；

②HeG,对VaeG,。㊉/=/㊉a=a：③XeG,使X/aeG,BbeG,有a®>6=/=6㊉a；④Va,"ceG,

(a㊉6)㊉c=。㊉S㊉c),则称(G,㊉)构成一个群.下列选项对应的(G,㊉)构成一个群的是()

A.集合G为自然数集，“㊉”为整数的加法运算

B.集合G为正有理数集，“㊉”为有理数的乘法运算

C.集合G=t・，讣(i为虚数单位)，“㊉”为复数的乘法运算

D.集合G={O,1,2,3,4,5,6},“㊉”为求两整数之和被7除的余数

3.(2018・北京•高三开学考试)设G是一个非空集合,*是定义在G上的一个运算，如果同时满足下述四个条

件：

(i)对于都有°*6eG;

(ii)对于Va/,cwG,都有(a*b)*c=a*(6*c)；

(iii)对于VawG月eeG,使得a*e=e*a=a;

(iv)对于VaeG,H'eG,使得a*〃=〃*a=a(注：“e”同(iii)中的“e").

则称G关于运算*构成一个群，现给出下列集合和运算：

①G是整数集合,*为加法；②G是奇数集合,*为乘法；

③G是平面向量集合,*为数量积运算；④G是非零复数集合,*为乘法.

其中G关于运算*构成群的序号是(将你认为正确的序号都填上).

③“*”运算

1.(2023・全国•高三专题练习)在R上的定义运算*:a*b="b+2a+)，则满足》*。-2)<0的解集为()

A.(0,2)B.(—2,1)C.(-°°,—2)(J(1,-Ko)D.(一1,2)

2.(2023・全国•高三专题练习)设U为全集，对集合X,匕定义运算“*”，X*y=(XnV).对于任意集合

X,Y,Z,则(X*y)*z=()

A.(xu)nzB.(xny)nz

C.(Xuy)uZD.(XOF)UZ

3.(2023秋•高一课时练习)在实数集R中定义一种运算“*”,具有以下三条性质：(1)对任意aeR,0*a=a；

(2)对任意a,beR,a*b=b*a；(3)对任意a,b,ceR,a*0*c)=c*(H)+(a*c)+仅*c)-2c.给

出下列三个结论：

①2*(0*2)=0；

②对任意a,b,ceR,a*(b*c)=b*(c*a)；

③存在a,b,ceR,(a+%)*c#(a*c)+(6*c)；

其中，所有正确结论的序号是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

④“㊉，，运算

1.（2023.全国•高三专题练习）对于任意的两个实数对（。力）和（c,d），规定=（c,d）当且仅当a=c,b=d；

运算“0”为：（a,。）®（c,d）=（ac-bd.bc+ad）,

运算，，㊉，，为：（〃,/?）㊉（c,d）=（〃+c*+d）,

设P，qeR,若（1,2）区（p,g）=（5,0）则（1,2）㊉（p,q）=

A.（0,-4）B.（4,0）C.（0,2）D.（2,0）

2.（2023・高一课时练习）定义集合运算：AQB=｛z\z=xy（x+y）,x^A,y^B｝.设集合A=｛0,1｝,8=｛2,

3）,则集合AOB的所有元素之和为（）

A.0B.6C.12D.18

3.（2023•高一课时练习）对于任意两个正整数〃?，n,定义运算㊉如下：

①当"2,"奇偶性相同时，㊉〃

②当m,〃奇偶性不同时，m㊉n=m?.

若集合M=｛（a,b）|a㊉b=12,a,beN+｝,则〃的元素个数为.

4.（2023•全国•高三对口高考）非空集合G关于运算㊉满足：（1）对任意久川G,都有a㊉6eG；（2）

存在eeG,使得对一切aeG,都有a㊉e=e㊉a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”.现给出下列集合和

运算：

①G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；

②G=｛偶数｝,㊉为整数的乘法：

③G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法；

@G=｛二次三项式｝,㊉为多项式的加法；

⑤G=｛虚数｝,㊉为复数的乘法

其中G关于运算㊉为“融洽集”的是.（写出所有“融洽集”的序号）

⑤戴德金分割

1.（多选）（2022秋•山西运城•高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出

发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而

结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子

集M与N,且满足"uN=Q,McN=0,〃中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为

戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.出={无€（2«<忘}川=卜€（2|无20}满足戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C."没有最大元素，N没有最小元素

D.M有一个最大元素，N有一个最小元素

2.（多选）（2023春•浙江宁波・高一宁波市北仑中学校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，

从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实

数理论中的六大基本定理.若集合A、2满足：Ac3=0,aUB=N*,则称（A,5）为N*的二划分，例如

A={x\x=2k,keN*},3={x|x=2"l,%eN*}则（A,3）就是N*的一个二划分，则下列说法正确的是（）

A.设4=印*=3左次eN*},B={^\x=3k+l,kGNt},则（A,5）为N*的二划分

B.设4={*次=2”,“间,B={x\x=k-2n,k=2m+3,m,n&N],则（B3）为N*的二划分

C.存在一个N*的二划分（A,3）,使得对于Vx,yiA,x+yeB,对于Vp,qeB,p+qeB

D.存在一个N*的二划分（A,B）,使得对于\/x,A,x<y,则x+yeB,3p,q&B,p<q,贝!|p+qwA

3.（2022秋・江苏扬州・高一扬州中学校考阶段练习）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有

理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无

理数被认为“无理”的时代,也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集〃与N,

且满足MuN=Q,McN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分

割.则下列关于戴德金分割（”,N）的说法一定不成立的是（）

A.〃中有最大元素，N中有最小元素

B.M中没有最大元素，N中有最小元素

C.M中有最大元素，N中没有最小元素

D.M中没有最大元素，N中没有最小元素

4.（2022秋•高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B,且满足Au3=

Q,Ac3=0,A中的每一个元素都小于8中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且8中无最

小元素的戴德金分割.

⑥“类”

1.（多选）（2023秋•吉林・高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为女的所

有整数组成一个“类”，记为冈，即因={5〃+即eZ},其中左e{0,1,2,3,4}.以下判断正确的是（）

A.2023e[3]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]D.若a-be[0],则整数a,b属同一类

2.（2021秋.高一课时练习）在整数集Z中，被5除所得余数为左的所有整数组成的一个集合称为“类”，记

为因,即肉={5"+刖GZ},仁0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2013d[3];②-2C⑵;③Z=[0]U[l]U[2]

U[3]U[4];④若整数a,b属于同一“类"，则a-bG[0].其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022秋•广东汕头•高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为左的所有整数组

成一个“类”，记为[内，即固={4〃+/Inez},k=31,2,3.给出下列四个论①2025G[1]；②一2025

£[1];③若bG[2],贝3a+6G[3]；④若aS[1],6G[3],则a—36d⑼淇中正确的结论是.

⑦差集运算

1.（多选）（2023秋•高一课时练习）我们知道，如果集合4屋5,那么S的子集A的补集为=

且x拓A},类似地，对于集合A、8我们把集合{xlxeA且x走3},叫做集合A和8的差集，记作A—3,

例如:A={1,2,3,4,5},8={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8},下列解析正确的是（）

A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8}

B.如果A—3=0,那么A=B

C.已知全集、集合A、集合2关系如上图中所示，则2-AugB

D.已知A={x[x<-1或尤>3},B=}%|-2<x<4},贝I]A-B={x|x<-2或x24}

2.（多选）（2022秋・贵州铜仁•高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，

而集合还有很多其他的基本运算.设A,3为两个集合，称由所有属于集合A但不属于集合3的元素组成的

集合为集合A与集合8的差集，记为A-3,即4-3={*€4|了e3}.下列表达式一定正确的是（）

A.（A-B）n（B-A）=0B.（A-矶（3-A）=AU8

C.A-（A-B）=B-（B-A）D.（A-3）U8=AU（B-A）

3.（2022秋.河南.高三校联考阶段练习）定义差集=且x走N},已知集合A={2,3,5},

8={3,5,8},则A—（AHB）=（）

A.0B.{2}C.{8}D.{3,5}

4.（2022秋・江苏常州•高一统考期中）对于集合A,B,我们把集合{小eA且x任用叫做集合A与8的差

集，记作A—瓦若集合P==集合Q={小2+（a-i）尤-a<o},且P—Q=0,则实数a

的取值范围是（）

1

A.［。,+功B.（0,+功C.一耳,+8D.—Q0,----

2

⑧“势”

1.（2022秋•上海浦东新•高一上海市进才中学校考期中）设全集U={2,3,5,6,9},对其子集引进“势”的概念：

①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的

元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若

将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是

2.（2022秋.高一单元测试）设全集U={2,3,5,6,9},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非

空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”

就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从

小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是.

⑨“好集”

1.（2016秋•山西・高一阶段练习）如果集合A,B,同时满足AU3={1,2,3,4},AC3={1},A#{1},3W{1},

就称有序集对（A,3）为“好集对”.这里有序集对（A3）是指当时，（A,B）和（3,A）是不同的集对，那么

“好集对”一共有个

A.5个B.6个

C.7个D.8个

2.（2023秋•陕西西安•高一西安市铁一中学校考期末）定义：实数a,b,c,若满足a+c=2b,则称a,b,

ii9

c是等差的，若满足一+：=—,则称a,b,c是调和的.己知集合”={才1尤|<2023,尤eZ},集合尸是集合

abc

M的三元子集，即尸={a,6,c}=M,若集合P中的元素a,b,c既是等差的，又是调和的，称集合P为“好

集”，则集合P为“好集”的个数是.

3.（2016•浙江嘉兴•高三阶段练习）若三个非零且互不相等的实数。，b,c满足▲1+；1=2则称a,b,

abc

c是调和的；若满足a+c=26,则称a,b,c是等差的，若集合P中元素。，b,c既是调和的，又是等

差的，则称集合P为“好集"，若集合”={刈乂42014,xeZ},集合P={a,6,c}aM,则（1）“好集，，尸中的

元素最大值为—；（2）“好集”尸的个数为.

二、逻辑推理

①充分性必要性

1.（2023春•黑龙江佳木斯•高二富锦市第一中学校考期末）若。、6为实数，则“0<必<1"是或

ba

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023春・辽宁•高二校联考期末）是“方程国+/=。有实数解，，的（）

411

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023•全国•高三专题练习）已知"p:（x-m）2>3（x-机）”是“q:X2+3尤-4<0”成立的必要不充分条件，

则实数加的取值范围为（）

A.（-00,-7）0（1,+<»）B.（-oo,-7]U[l,+°o）

C.（-7,1）D.[-7,1]

4.（2023•全国•高一假期作业）己知不等式加-I<x<〃?+1成立的充分条件是:<尤<；,则实数机的取值范

围是（）

f,1-41f,1-

A.Sml—>B.j加根<一,或根之

f141f141

l23jI23j

5.（2023春•上海黄浦・高一上海市大同中学校考期末）已知一二21是卜-《<2的充分非必要条件，则实

x-2

数a的取值范围是.

②逻辑推理

1.（2023春・天津•高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）定义max{/q}设函数

〃x）=maxW-2,/-2"+a},若，eR使得成立，则实数。的取值范围为（）.

A.（-oo,0]U[l,-H»）B.[-l,0]u[l,+oo）

C.（-oo,-l）u（l,+oo）D.[-1,1]

2.（2023春•江苏徐州•高二统考期末）已知/+女+2/-3>0”为假命题，则实数，的取值范围

是.

3.（2023•全国•高三对口高考）已知命题P：*eR,使得“依2+2*+1<0成立"为真命题，则实数a的取值

范围是.

4.（2023•全国•高一假期作业）已知命题p:VxeR⑷2+2x+l#0”的否定为真命题，则实数。的取值范围

是.

5.（2023・全国•高三对口高考）已知/（x）=/w（x-2m）（x+m+3）,g（x）=2'-2,若同时满足条件：①

V无eR,于（x）<。或g（x）<。；@3x&（YO,-4）,/（x）g（尤）<。.则m的取值范围是.

三、不等式

①作差法

1.（多选）（2023春•河南商丘•高二统考阶段练习）已知a>b>c>0,则（）

.be—ba入

A.------>-------B.—+—>2

a—ca—bab

-aa+c—ba

C.->------D.------<-------

bb+ca+cb+c

2.（2023春•辽宁铁岭•高二昌图县第一高级中学统考期中）已知。=log76,匕=匹5,c=ln2,则（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

3.（2023秋•高一课时练习）比较大小：

⑴〃+/和2（a-b-I）；

扇Z72

（2）幺+幺和a+b,其中a<0,b<0.

ab

②基本不等式

1.（多选）（2023春・福建福州•高一福州三中校考期末）已知尤>0,>>。，且x+2y+孙=6,则（）

A.孙的最大值为&

B.x+y的最小值为4夜一3

士十%的最小值为巧

C.

D.（x+2）2+（y+l）2的最小值为16

91

2.（2023春・贵州安顺•高二统考期末）已知H>Z?>0,a+b=\,则一+7的最小值为（）

ab

A.16B.13C.9D.6

12

3.（2023春・浙江杭州•高二统考学业考试）若正数犬,V满足一+—=1,则4f+V—16孙的最小值是（）

%y

A.-108B.-100C.-99D.-96

4.（2023春•辽宁葫芦岛•高二统考期末）已知正实数x,y满足x+y=l,则土回^的最小值为.

孙

5.（2023春•河北保定•高二校联考期末）若。>0力>。，S.ab=a+2b+6,则a+2。的最小值为.

一一一19

6.（2023春・福建福州•高二福州三中校考期末）已知a+b+c=l,其中",b,c>0,则一+；的最小

ab+c

值为.

14v

7.（2023秋・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）正实数羽V满足一+一=2,且不等式1+：之川—加

xy4

恒成立，则实数加的取值范围为.

8.（2023春・天津•高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知则2+建字的最小值

2a3-2a

为.

22

9.（2023春•江苏苏州•高二统考期末）已知x>0,y>0,2元+y=l,则上上上上£的最小值为______.

xy

10.（2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习）己知J|+5-2=必宗^（〃>0,6>0）,则:+：的最

小值为.

专题01集合、常用逻辑用语、不等式

（新定义，高数观点，压轴题）

目录

一、集合的新定义（高数观点）题......................................2

①乘法运算封闭...................................................2

②“群”运算.......................................................2

③“*”运算.......................................................3

④，，㊉，，运算.......................................................4

⑤戴德金分割.....................................................4

⑥“类”...........................................................5

⑦差集运算.......................................................6

⑧“势”...........................................................7

⑨“好集”.........................................................7

二、逻辑推理........................................................8

①充分性必要性...................................................8

②逻辑推理.......................................................8

三、不等式..........................................................9

①作差法.........................................................9

②基本不等式.....................................................9

一、集合的新定义（高数观点）题

①乘法运算封闭

1.（2023春•高一课时练习）设㊉是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a,beA,有a㊉b

GA,则称A对运算㊉封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）

A.自然数集B.整数集

C.有理数集D.无理数集

【答案】C

【详解】因为有理数集中元素加减乘除四则运算后的结果还是有理数，因而有理数集是封闭的.

2.（2023•全国•高三专题练习）非空集合G关于运算*满足：①对任意”,6eG,者B有a*beG；②存在ewG

使对一切aeG都有a*e=e*a=a,则称G是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：

①G是非负整数集，*运算：实数的加法；

②G是偶数集，*运算：实数的乘法；

③G是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；

@G={x\x=a+byf2,a,b&Q],*运算：实数的乘法；

其中为融洽集的是

【答案】①④

【详解】①对于任意非负整数则仍为非负整数，即a+6eG；取e=0则a+0=0+a=a,故①符合

题意；

②对于任意偶数。,匕,则ab仍为偶数，即wG；但是不存在eGG,使对一切a&G都有ae=ea=a，故②不符合

题意；

③对于G是所有二次三项式组成的集合，若a,beG,ab不再是二次三项式，故③不符合题意；

④对于G={x|x=<7,6€0},设玉-a+b42,x2=c+d&，贝！]占-x2=（ac+26d）+（ad+6c）0,即

%1•x2eG；取e=l,则axl=lxa=a,故④符合题意，

故答案为:①④

②“群”运算

1.（2022•全国•高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G为某种元素组成的一

个非空集合，若在G内定义一个运算“*”，满足以下条件：

（DVa,b&G,有a*beG

②如Va,b,c&G,有（a*b）*c=a*（b*c）；

③在G中有一个元素e,对VaeG,都有a*e=e*a=a,称e为G的单位元；

@VaeG,在G中存在唯一确定的6,使a*b=6*a=e,称b为。的逆元.此时称（G,*）为一个群.

例如实数集R和实数集上的加法运算“+”就构成一个群（尺+）,其单位元是0,每一个数的逆元是其相反数，

那么下列说法中，错误的是（）

A.G=Q,贝U（G,+）为一个群

B.G=R,贝U（G,x）为一个群

C.G={-1,]},则（G,x）为一个群

D.G={平面向量},则（G,+）为一个群

【答案】B

【详解】A.G=Q,两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G的单位元，逆元为它

的相反数，满足群的定义，则（G,+）为一个群，所以该选项正确；

B.G=R,1为G的单位元，但是ax6“xa=l,当。=0时，不存在唯一确定的b,所以不满足④，则（G,x）

不为一个群，所以该选项错误；

C.G={-1,1},满足①②，1为G的单位元满足③，T是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则（G,x）为一

个群，所以该选项正确；

D.G={平面向量},满足①②，6为G的单位元，逆元为其相反向量，贝U（G,+）为一个群，所以该选项正确.

故选：B

2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）若非空集合G和G上的二元运算“㊉”满足：①a㊉beG；

@3ZeG,对VaeG,a㊉/=/㊉a=a：@HZeG,使VaeG,3b&G,有a㊉6=/=6㊉a；④Ya,b,cwG,

（a㊉6）㊉c=a㊉S㊉c）,则称（G,㊉）构成一个群.下列选项对应的（G,㊉）构成一个群的是（）

A.集合G为自然数集，“㊉”为整数的加法运算

B.集合G为正有理数集，“㊉”为有理数的乘法运算

C.集合6={-1,1,7/}"为虚数单位），“㊉”为复数的乘法运算

D.集合G={0,l,2,3,4,5,6},“㊉”为求两整数之和被7除的余数

【答案】BCD

【详解】A.G=N时，不满足③，若/=0,则由1+）=0得b=-leG,若/eN*=N,则在G中设a>/,

由“+/?=/得Z?=/-a<0eG,所以（N,+）不能构成群；

B.G为正有理数集,①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然1eG,对任意㊉l=a=l㊉a,

③对任意正有理数。，!也是正有理数，且a㊉工=1=工㊉a,即/=1,④有理数的乘数满足结合律，B中

aaa

可构造群;

C.G={-1,1,7,4"为虚数单位)，①可验证G中任意两数(可相等)的乘积仍然属于G；②/=1,满足任

意“eG,有a㊉1=1㊉a；③/=1,满足任意aeG,存在beG,有a㊉b=㊉a=l,实质上有

-lx(-l)=lxl=/x(-z)=l;④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；

D.G={0,1,2,3,4,5,6},①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于G,②1=0,满足对任

意aeG,。㊉/=/㊉a,@1=1,1=0,0+0=0,1+6=2+5=3+4=7除以7余数为0；④力口法满足交换

律，又a+b除以7的余数等于。除以7的余数加匕除以7的余数的和再除以7所得余数，因此V“力,cwG,

(。㊉b)㊉c=a㊉(6㊉c),D中可构造群；

故选：BCD.

3.(2018・北京•高三开学考试)设G是一个非空集合,*是定义在G上的一个运算，如果同时满足下述四个条

件：

(i)对于都有wG;

(ii)对于Va,6,ceG,都有(a*b)*c=a*S*c)；

(iii)对于VaeG「eeG,使得a*e=e*a=a;

(iv)对于使得a*〃=〃*a=a(注：“e”同(iii)中的“e").

则称G关于运算*构成一个群，现给出下列集合和运算：

①G是整数集合,*为加法；②G是奇数集合,*为乘法；

③G是平面向量集合,*为数量积运算；④G是非零复数集合,*为乘法.

其中G关于运算*构成群的序号是(将你认为正确的序号都填上).

【答案】①④

【详解】C若G是整数集合，贝改)两个整数相加仍为整数，他)整数加法满足结合律；(沆)

30GGVaeG,则)0+a=a+0=a；(力)VawG在整数集合中存在唯——个b=—a,使

a+(-«)=(-«)+«=0,故整数集合关于运算*构成一个群；

G是奇数集合，*为乘法，贝酩=1,不满足(诃；

G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足。*6eG；

G是非零复数集合，*为乘法，则两个非零复数相乘仍为非零复数；他)非零复数相乘符合结合律；

VaeG,贝ij)lxa-axl-a；(iv)VaeG,在G中存在唯一一个L{Jax—=—xa=l.

aaa

故答案为G3

③“*”运算

1.(2023・全国•高三专题练习)在R上的定义运算*:a*%=ab+2a+),则满足x*(x-2)<0的解集为()

A.(。,2)B.(—2,1)C.—2)U(L+00)D.(—1,2)

【答案】B

【详角军】因为。*〃="+2々+〃，

所以由%*(%—2)<0=%(%—2)+2%+九一2v0=(x+2)(无-1)<00—2vxv1,

故选：B

2.(2023・全国•高三专题练习)设U为全集，对集合X,Y,定义运算“*”，X*y=(Xn：T).对于任意集合

x,Y,z,贝U(x*y)*z=()

A.(xu)nzB.(xpy)nz

c.(xuy)uzD.(xqy)uz

【答案】B

【详解】由题意知：：x*y=(xny).

•••对于任意集合X,Y,Z,贝u(x*y)*z=(xny)nz.

故选：B.

3.(2023秋•高一课时练习)在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：(1)对任意aeR,0*a=a；

(2)对任意a,beR,a*b=b*a；(3)对任意a,b,ceR,a*(b*c)=c*(a6)+(a*c)+(6*c)-2c.给

出下列三个结论：

①2*(0*2)=0；

②对任意a,b,ceR,a*(b*c)=Z?*(c*a)；

③存在a,b,ceR,(a+Z?)*cw(a*c)+(Z?*c)；

其中，所有正确结论的序号是()

A.②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

［详解】①2*(0*2)=2*(2*0)=0*4+2*0+2*0—0=4+2+2=8,错误；

②=c*(")+(a*c)+(〃*(?)-2c,而==c*(ab)+(b*c)+(Q*c)-2c,故

a*(b*c)=b*(c*a),正确；

③当a=〃=0且cwO时，(a+b)*c=O*c=c,而(Q*c)+(b*c)=(0*c)+(0*c)=2c,显然

(a+/?)*cw(a*c)+(h*c)成立,正确.

故选：C

④“㊉，，运算

1.(2023•全国•高三专题练习)对于任意的两个实数对(。力)和(c,d)，规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d；

运算"0”为：(a,b)®(c,d)=(ac-bd.bc+ad),

运算“㊉”为：(〃/)㊉(c,d)=(a+c,6+d),

设P，qcR,若(L2)区(pM=(5,0)则(1,2)㊉(p，4)=

A.(0,-4)B.(4,0)C.(0,2)D.(2,0)

【答案】D

【详解】解：由(1,2)0(p,q)=(5,0)得

[p-2q=5[p=\

[2p+q=0\q=—l'

所以(1,2)®(p,q)=(1,2)®(1,-2)=(2,0),

故选D

2.(2023・高一课时练习)定义集合运算：AQB—{z\z=xy(x+y),x^A,yEB}.设集合4=(0,1),B={2,

3},则集合AOB的所有元素之和为()

A.0B.6C.12D.18

【答案】D

【详解】z=0或1x2x3或1x3x4:.0+6+12=18,选D.

3.(2023•高一课时练习)对于任意两个正整数机，〃，定义运算㊉如下：

①当，及，"奇偶性相同时，加㊉“=〃2+九；

②当加，"奇偶性不同时，m^n=mn.

若集合加={3力修㊉>=12,a,>eN+},则〃的元素个数为.

【答案】15

【详解】因为M={(a,%)隆㊉5=12,a/eN+},

当。、b都是正偶数时,则集合M中含有(2,10),(4,8),(6,6),(8,4),(10,2)共5个元素；

当。、b都是正奇数时，则集合M中含有(1,11),(3,9),(5,7),(7,5),(9,3),(11,1)共6个元素；

当a、b一个为正偶数，一个为正奇数，则集合M中含有(1,12),(12,1),(3,4),(4,3)共4个元素；

所以M的元素共有5+6+4=15个.

故答案为：15

4.(2023•全国•高三对口高考)非空集合G关于运算㊉满足：(1)对任意a、“G,都有。㊉6eG；(2)

存在eeG,使得对一切aeG,都有a㊉e=e㊉。=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”.现给出下列集合和

运算：

①G={非负整数},㊉为整数的加法；

②G={偶数},㊉为整数的乘法：

③G={平面向量},㊉为平面向量的加法；

@G={二次三项式},㊉为多项式的加法；

⑤G=｛虚数｝,㊉为复数的乘法

其中G关于运算㊉为“融洽集”的是.（写出所有“融洽集”的序号）

【答案】①③

【详解】对于①，G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；当。，匕都为非负整数时，a,6通过加法运算还是

非负整数，且存在一整数Oe