反比例函数 章节复习卷（10个知识点+50题练习）（解析版）

第11章反比例函数章节复习卷（10个知识点+50

题练习）

知识点

知识点1.反比例函数的定义

（1）反比例函数的概念

形如y=K（左为常数，左力0）的函数称为反比例函数.其中X是自变量，＞是函数，自变量

X

X的取值范围是不等于0的一切实数.

（2）反比例函数的判断

判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例

函数的意义去判断，其形式为了=为"为常数，4W0）或＞=丘-1"为常数，k#0）.

x

知识点2.反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线.

（1）列表取值时，x#0,因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”

为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求»值.

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连

线，使画出的图象更精确.

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.

（4）由于xWO,k#0,所以yWO,函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两

坐标轴.

知识点3.反比例函数图象的对称性

反比例函数图象的对称性：

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平

分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点.

知识点4.反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数了=上（左#0）的图象是双曲线；

（2）当左＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小

（3）当左＜0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增

大.

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.

知识点5.反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y=K图象中任取一点，过这一个点向x轴和夕轴分别作垂线，与坐标轴围成

x

的矩形的面积是定值网.

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角

形的面积是/因，且保持不变.

知识点6.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数"为常数，20）的图象是双曲线，

①图象上的点G,＞）的横纵坐标的积是定值上即盯=怎

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在图象中任取一点，过这一个点向X轴和歹轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值I用.

知识点7.待定系数法求反比例函数解析式

用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：

（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式1为常数，左wo）；

x

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；

（3）解方程，求出待定系数；

（4）写出解析式.

知识点8.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数夕=后》和反比例函数卜=丝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为

X

k

①当所与比同号时，正比例函数〉=左座和反比例函数在同一直角坐标系中有2个

交点;

②当h与k2异号时，正比例函数＞=左述和反比例函数＞=丝在同一直角坐标系中有0个

X

交点.

知识点9.根据实际问题列反比例函数关系式

根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数

学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析.首先弄清题意，找出等量关系,

再进行等式变形即可得到反比例函数关系式.

根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定

系数法去完成的.

注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围.

知识点10.反比例函数的应用

（1）利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数

值的取值上的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中

说明.

（2）跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式.同时体会数学中的转化思

想.

（3）反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想.

练习卷

反比例函数的定义（共5小题）

1.（2022春•张家港市期中）下列函数不是反比例函数的是（）

X1

A.y-iB.y——C.xy=5D.y——

32x

【分析】根据反比例函数与一次函数的定义进行解答即可.

【解答】解：/、y=3x-=3是反比例函数，故本选项错误；

X

B、＞=-二是正比例函数，故本选项正确；

■3

C、孙=5是反比例函数，故本选项错误;

D、＞='是反比例函数，故本选项错误.

2x

故选：B.

【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知判断一个函数是否是反比例函数，首先看看

两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断是解答此题的关键.

2.（2023春•泗洪县期末）下列函数中，变量y是'的反比例函数的是（）

Y33

A.y=-B.y=——C.y=-D.歹=3x

3x+1x

【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式＞发片0）,即可判定各函数的类

型是否符合题意.

【解答】解：/、为正比例函数，不符合题意；

B、＞与x+1成反比例，不符合题意；

C、符合反比例函数的定义，符合题意；

。、为正比例函数，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式y=«（左H0）,是解

X

决此类问题的关键.

3.（2023春•灌云县月考）已知y与x成反比例，且当x=-3时，y=4,则当x=6时，y

的值为_-2_.

【分析】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答

案.

【解答】解：设反比例函数为＞=勺，

X

k

当％=—3,＞=4时，4=—,解得左二—12.

反比例函数为＞=——1上7.

x

当％=6时，y==-2,

6

故答案为：-2.

【点评】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键.

4.（2022春•高新区校级期末）若反比例函数歹=（加+1.3-/的图象在第二、四象限，冽的

值为——2_.

【分析】由反比例函数的定义可知由反比例函数图象在第二、四象限可知

m+1<0.

【解答】解：•.”=（加+1）尤3d是反比例函数，

/.3—冽2——1.

解得：m=±2.

•・・函数图象在第二、四象限，

.,.初+1<0,解得：m<—1.

m=—2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义和性质，掌握反比例函数的定义和性质是解题

的关键.

5.（灌云县月考）将x=4代入函数歹=-工中，所得函数值记为必，又将、=必+1代入函

3x

数了=-工中，所得的函数值记为力,再将X=%+1代入函数中，所得函数值记为%…,

3

继续下去.yty2=----;y3=-------;y2006=--------

【分析】根据数量关系分别求出%，%,力，乂，…，不难发现，每3次计算为一个循环

组依次循环，用2006除以3,根据商和余数的情况确定％0。6的值即可.

【解答】解：必=-』，

12

1°

%=一一；—=2，

——+1

2

每3次计算为一个循环组依次循环，

2006+3=668余2,

j2006为第669循环组的第2次计算，与%的值相同,

,2006=2，

故答案为：一3；2；--；2.

23

【点评】本题考查了反比例函数的定义，读懂题目信息，理解函数值的计算并发现每3次计

算为一个循环组依次循环是解题的关键.

二.反比例函数的图象（共5小题）

6.（2024春•姑苏区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数》=履-左与＞=«的大致图

【分析】根据上的取值范围，分别讨论左＞0和左＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例

函数图象的特点进行选择正确答案.

【解答】解：①当上＞0时，

一次函数歹=丘-左经过一、三、四象限，

反比例函数的y=-（k丰0）的图象的两个分支分别位于一、三象限，

X

没有符合条件的选项，

②当左＜0时，

一次函数＞=6-后经过一、二、四象限，

反比例函数的＞=（（后H0）的图象的两个分支分别二、四象限，

X

故C选项的图象符合要求.

故选：C.

【点评】此题考查反比例函数的图象问题，用到的知识点为：反比例函数与一次函数的左值

相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关.

7.（2022春•工业园区校级期中）直线y+b与双曲线夕=与在同一平面直角坐标系中

的图象如图所示，则关于x的不等式与〉ax+6的解集为_x<-2或0<x<3_.

X

【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答

案.

【解答】解：•.•直线y=+6与双曲线>=$在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横

X

坐标是-2和3,

/.关于x的不等式冬〉kxx+b的角牵集是x<—2或0<x<3，

x

故答案为：1<-2或0<x<3.

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的观察图形的

能力和理解能力，题目比较好，用了数形结合思想.

8.（2023•秦淮区二模）若一个数。大于它的倒数，结合y=工和y=x的图象（如图），可知

X

4的取值范围是—-1<4<0或4>1—.

【分析】求得函数>=工和y=x的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得。的取值

X

范围.

【解答】解：令工=工，解得x=±l,

二函数y=工和y=无的图象的交点的横坐标为T和1,

X

由图象可知当T<x<0或x>l时，一次函数>=无的图象在反比例函数夕=工的上方，

根据图象可知a的取值范围是-1<a<0或a>1.

故答案为：-1<4<0或Q>1.

【点评】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键.

9.在平面直角坐标系中画出函数^=口的图象.

X

【分析】根据画函数图象步骤：列表；描点；连线，画出已知函数图象即可.

【解答】解：列表为：

-3-113

y13-3-1

描点；

画图象，如图所示:

【点评】此题考查了反比例函数的图象，熟练掌握画函数图象的步骤是解本题的关键.

10.（2021春•高港区期末）请根据学习函数的经验，将下列探究函数>=,图象与性质

X—\

的过程补充完整：

（1）函数y=」一的自变量x的取值范围是

x-\

（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中机、，的值；ni=,n=

X-2-10n234

2

ym-1-221£]_

-323

（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数

的图象.

（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：

（5）根据图象直接写出」一>-1时x的取值范围:

x-1

【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0,即可得到自变量X的取值范围;

（2）把x=-l,y=2分别代入函数解析式，即可得到加、〃的值；

（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；

（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；

（5）观察图象即可求得.

【解答】解：（1）vx-1^0,

XH1,

故答案为XN1;

1

当y=2时，则2=上，解得x=±T.,

-x-12

（3）如图所示:

（4）由图象可得，当x>l时，y随x的增大而减小（答案不唯一）,

故答案为当x>l时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；

（5）由图象可知，」一>-1时x的取值范围为x<0或x>l.

x-1

故答案为：x<0或x>l.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，数形结

合是解题的关键.

三.反比例函数图象的对称性（共4小题）

11.（宿迁）如图，直线歹=2工与双曲线〉=±的图象的一个交点坐标为（2,4）,则它们的另

X

一个交点坐标是（）

c.(-4,-2)D.(2,-4)

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点

对称.

【解答】解：由于反比例函数是中心对称图形，所以正比例函数y=2x与反比例函数>=人

x

的两交点/、8关于原点对称.又因为点（2,4）关于原点对称点的坐标为（-2,-4）.

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称.

12.（泾川县校级期中）一条直线与双曲线y=L的交点是4）,则这条直线的

X

关系式为（）

A.y=4x-3B.y=；x+3C.>=4%+3D.y=-4x-3

【分析】将/、5的坐标代入反比例函数解析式即可求出a、6的值，再根据/、8的坐标

求出直线解析式即可.

【解答】解：将/（。,4）,2（—1,6）代入夕=!得，

所以工、2的坐标为(；，4),(-1,-1).

设过/、8两点的解析式为^=息+6,

将上，4),分别代入解析式得,

4

-k+b=4

＜4，

-k+b=-l

k=4

解得

b=3

直线的关系式为y=4x+3.

故选：C.

【点评】此题不仅考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，还考查了用待定系数

法求函数解析式，综合性较强.

k

13.(2021•滨海县一模)如图，已知直线y=/MX与双曲线＞=—的一个交点坐标为(3,4),

x

则它们的另一个交点坐标是—(-3,-4)

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点

对称.

【解答】解：因为直线丁=过原点，双曲线＞=8的两个分支关于原点对称，

所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4),另一个交点的坐标为(-3,-4).

故答案为：(-3,-4).

【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决.

14.(2020•鼓楼区校级模拟)正比例函数y=和反比例函数y=己的一个交点为(1,2),则

X

另一个交点是_（-

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对

称.

【解答】解：•.■点（1,2）与所求的点的坐标关于原点对称，

另一交点的坐标为（-1,-2）.

故答案为：（-1,-2）.

【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握.

四.反比例函数的性质（共4小题）

15.（2024•宿城区模拟）请你写出一个图象在第二、四象限的反比例函数_y=-4_.

X

【分析】由于反比例函数的头像在第二、四象限，由此即可确定左的取值范围，然后求

解.

【解答】解：•.•反比例函数的头像在第二、四象限，

:.k＜0,

答案不唯一，例如：

X

故答案为：y=--.

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数&（左。0）,（1）左＞0,反

x

比例函数图象在一、三象限；（2）左＜0,反比例函数图象在第二、四象限内.

16.（2024春•兴化市期中）已知函数必=&,丫2=**＞0）,当2,,居4时，函数必的最大

xx

值为°,函数力的最小值为。-4,则a的值为2.

kk

【分析】由反比例函数的性质可得£=。，--=a-4,进而即可求得。的值.

22

【解答】解：:必二勺，y2=（左＞0）,2„x„4,

xx

厂.必的值随工值的增大而减小，y2的值随X值的增大而增大.

.,.当x=2时，必的最大值为勺，

当x=2时，y2的最小值为-公=。一4,

22

—a=a—4,

解得a=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数

的性质是解题的关键.

17.（丹阳市校级期末）类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变

换：

（1）将>=’的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为_>=▲_,再向上平

Xx-l

移1个单位，所得图象的函数表达式为;

（2）函数了=±±1的图象可由y=」的图象向____平移____个单位得到；>=色二1的图象

xxx-2

可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到；

（3）一般地，函数y=土吆（融片0,。*6）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变

x+a

换得到？

【分析】此题可根据函数的平移变换定义，若函数图象向左平移"，个单位，则X'=X+7"；

若函数图象向上平移〃个单位，则歹=>+”；然后再把x、y代入原函数即可求解.

【解答】解：（1）可设新反比例函数的解析式为歹=—匚，可从原反比例函数找一点（1,1）,

x+a

向右平移1个单位得（2,1）,代入解析式可得：a=-l.故所得图象的函数表达式为

1

片x-~17；

再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为〉=上.

X—1

（2）先把函数化为标准反比例的形式>=工+1,然后即可根据反比例函数图象平移的性质

X

解答：F=忙1可转化为夕=—1_+1.

x—2x—2

故函数y=±±l的图象可由y=L的图象向上移1个单位得到；的图象可由反比例

xxx-2

函数夕=，的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到.

X

（3）函数〉=主心（46。0,4可转化为》="@+1.

x+ax+a

当。〉o时，土心的图象可由反比例函数>="£的图象向左平移。个单位，再向上平

x+ax

移1个单位得到；

当a<0时，y=*的图象可由反比例函数夕的图象向右平移一a个单位，再向上平

x+ax

移1个单位得到.

【点评】本题考查了反比例函数平移变换的定义，题目较难，同学们要好好熟练掌握这一性

质.

18.（2020春•江都区期末）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象

--利用函数图象研究函数性质--利用图象解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种方

法探究函数了=六的图象性质.

（1）补充表格，并画出函数的图象.

①列表：

X-3-10235

y-1-2-441

②描点并连线，画图.

（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：当x>l时，v随x的增大而减小，

当X<1时，V随X的增大而减小；

（3）函数歹=」4_的图象是由函数歹=42的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为—；

x-1x

（4）根据上述经验，猜一猜函数夕=」一+2的图象大致位置，结合图象直接写出齐.3时,

X-1

X的取值范围

【分析】（1）①利用函数解析式求值即可.

②利用描点法画出函数图象即可.

(2)根据图象解答问题即可.

(3)根据图象解答问题即可.

(4)根据平移的性质解决问题即可.

4

【解答】解：(1)①x=3时，7=——=2.

■3-1

故答案为：当x>l时，y随x的增大而减小，当x<l时，y随x的增大而减小.

(3)函数>4匚的图象是由函数y=43的图象向右平移1个单位得到.夕=，4-的对称中

x-1Xx-1

心为(1,0).

故答案为(1,0)

44

(4)数^=——+2的图象是由y=—的图象向上平移2个得到，入.3时，1<%,5.

x-1x-1

故答案为1<%,5.

【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

五.反比例函数系数k的几何意义(共6小题)

19.(2023春•灌云县月考)如图，/为反比例函数y=左>0)图象上一点，轴于

x

点、B,若^^=3,则左的值为()

y

0|BZ

A.1.5B.3C.V3D.6

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三

角形面积S是个定值，即S=；|左

【解答】解：由于点/是反比例函数了=勺图象上一点，则鼠左1=3；

x2

又由于后>0,则左=6.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,

所得三角形面积为是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类

题一定要正确理解后的几何意义.

20.(2023春•海州区校级期中)对于反比例函数>=-』，下列说法不正确的是()

A.图象分布在第二、四象限

B.当x>0时，y随x的增大而减小

C.图象经过点(1,-2)

D.过图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积是定值

【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数的系数上的几何意义即可得到结论.

【解答】解：/、•.•>=，k=-2<0,

x

，图象分布在第二、四象限，故不符合题意；

B、当x>0时，y随x的增大而增大，故符合题意；

C>当x=l时，y=—=—2,

1

二.图象经过点(1,-2),故不符合题意;

D、过图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为2是定值,

故不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查反比例函数的系数4的几何意义，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反

比例函数的性质是解题的关键.

21.(2021春•东台市月考)如图，已知双曲线＞=工(后＜0)经过直角三角形0/2斜边。/的

X

中点。，且与直角边相交于点C.若点/的坐标为(-6,4),则A4OC的面积为9.

【分析】要求A40c的面积，已知08为高，只要求NC长，即点C的坐标即可，由点。为

三角形斜边04的中点，且点/的坐标(-6,4),可得点。的坐标为(-3,2),代入双曲线

y="(左＜0)可得左，又ABL0B,所以C点的横坐标为-6,代入解析式可得纵坐标，继而

可求得面积.

【解答】解：•.,点。为AO48斜边04的中点，且点/的坐标(-6,4),

.•.点。的坐标为(-3,2),

把(-3,2)代入双曲线片々后＜0),

X

可得上=-6,

即双曲线解析式为了=-9,

X

,/ABLOB,且点/的坐标(一6,4),

.'.C点的横坐标为-6,代入解析式y=--,

X

y=1f

即点C坐标为(-6,1),

:.AC=3,

又•.•08=6,

5Azioc=5x4cxOB=9.

【点评】本题考查反比例函数系数上的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形

结合的思想.

22.（2021春•亭湖区校级期中）如图所示，N为反比例函数y=X图象上一点，垂直x

轴，垂足为8点，若邑浜=3,则左的值为6.

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三

角形面积S是个定值，即S=；|左

【解答】解：由于点/是反比例函数图象上一点，贝幻=3；

又由于函数图象位于一、三象限，则左=6.

故答案为6.

【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，

所得三角形面积为：|左|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此

类题一定要正确理解左的几何意义.

23.如图，直线y=；x+2分别交尤，y轴于点/,C,尸是该直线上第一象限内的一点,

尸轴，8为垂足，S媪BP=9.求过尸点的反比例函数的解析式.

【分析】设P的坐标是(x,；x+2),则P3=；x+2,OB=x,根据三角形的面积得出

1.(|x+2).(x+4)=9,解方程求出产的坐标是(2,3),设过尸点的反比例函数的解析式是

>=公,代入求出发即可.

X

【解答】解：设尸的坐标是(x,；x+2),

1

贝lj尸5=—x+2,OB=x,

2

・・,直线y=；x+2分另lj交1,y轴于点/,C,

4的坐标是(-4,0),。的坐标是(0,2),

S*BP=9，

二.；・(；x+2)・(x+4)=9,

解得：x1=2fx2=-10,

・・・P在第一象限，

..x—2,

即尸的坐标是(2,3),

设过尸点的反比例函数的解析式是y=上，

X

则左=6,

即过P点的反比例函数的解析式是y=£.

X

【点评】本题考查了三角形的面积，用待定系数法求出反比例函数的解析式的应用，关键是

求出尸的坐标.

24.如图，双曲线y=&(左>0,x>0)的图象上有两点召(西，必)和鸟(9，％),且为<工2，

分别过耳和己向X轴作垂线，垂足为3、D.过耳和8向y轴作垂线，垂足为N、C.

（1）若记四边形和四边形的面积分别为耳和邑，周长为G和。2，试比较H

和邑，G和。2的大小；

k

（2）若尸是双曲线y=—（左>0,x>0）的图象上一点，分别过尸向x轴、y轴作垂线，垂足

X

为M、N.试问当尸点落在何处时，四边形PMON的周长最小？

【分析】（1）根据反比例函数中系数上的几何意义可直接得到品=邑；由于NC、8。的值

不能确定，所以应分4C=BD、AC<BD、么（？>8。三种情况讨论.

（2）根据题意画出图形，设出尸点坐标，根据左为定值，则当x=y时四边形的周长最

小.

【解答】解：（1）根据反比例函数系数上的几何意义可知工=星=左；

当%一%=工2-再，即/C=2。时，G=C?；

当%一%-再，即4c<8。时，G<G；

当“一%>超一再，即4C>5D时，q>c2.

（2）设尸（尤,y）,即（J）,

四边形PMON的周长=2（x+y）=2（x+-），

X

因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，

所以X=4,即/=左，

X

解得x=4k,

故P点坐标为（五，&）.

【点评】本题考查的是反比例函数系数4的几何意义及最值问题，在解（1）时要注意注意

分类讨论.

六.反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）

25.（2023春•工业园区月考）已知点/（占，”），B（x2,%）在反比例函数V=々左>。）的

图象上，若为<0<%，则%和％的大小关系是（）

A.必<0<%B.y2<0<ylC.yx<y2<0D.0<y1<y2

k

【分析】根据函数>=2（左>0）的增减性判断即可.

【解答】解：;k>Q,

：.函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，

Xj<0<x2,

A（x1,必）在第三象限，S（x2,%）在第一象限，

%>0>M•

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数性质是解题的关键.

17

26.（2023春•相城区校级月考）若点4日,乂）、Bg,力）在函数y="的图象上，且

x

区<遍<0）,则必_>_%（填“〈”或）.

【分析】根据反比例函数解析式>=上17判断该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内

X

y随x的增大而减小，据此填空.

19

【解答】解：•••反比例函数解析式y="中的12>0,

.•.该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小.

,/王＜、2V0，

必＜%•

故答案为：＞.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.解题过程中，利用了反比例函数图象

的增减性.

27.(2023春•泰兴市期中)下列各点，一定在反比例函数＞图象上的是()

A.(-2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(3,3)

【分析】将各选项的点的横坐标代入反比例函数y=9中，进行计算即可得.

X

【解答】解：/、当x=-2时，y=—=-3,点(-2,3)不在反比例函数＞=£图象上，选项

-2x

说法错误，不符合题意；

B、当x=-2时，了=工=一3,点(一2,-3)在反比例函数夕=9图象上，选项说法正确，符

-2x

合题意；

C、当x=-3时，＞=色=-2,点(-3,2)不在反比例函数丁=£图象上，选项说法错误，不

-3x

符合题意；

D、当x=3时，＞=9=2,点(3,3)不在反比例函数歹=°图象上，选项说法错误，不符合

3x

题意.

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质.

一?7

28.Q023春•惠山区校级期中)如图，点/、。分别在函数＞=-—/=—图象上，点5、C

xx

在x轴上，若四边形/HCD为正方形，且点Z在第二象限，则点/的坐标为

3-

3)_.

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征表示45、BC、CD,再根据正方形的性质

求出A坐标即可.

【解答】解：点/、。分别在函数>=?图象上，

XX

48CD是正方形，

AB=BC=CD,

•.•正方形/BCD的面积为：2+7=9.

AB=3,

/.OB=—,

3

7

的坐标为(-1,3)

故答案为：(-g，3).

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象

上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点2,点C坐标，分别表示出

正方形的边长是解决问题的关键.

29.(2024•姑苏区一模)如图，四边形0ABe为菱形，且点/在x轴正半轴上，点。的坐

标为(3,4),反比例函数y=&(x>0)的图象经过点C,且与边交于点D.

x

(1)求发的值及点8的坐标；

(2)判断点。是否为边N2的中点，并说明理由.

【分析】(1)根据点。坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点8坐标即可;

(2)先求出线段42的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可.

【解答】解：(1)•.•点。的坐标为(3,4),反比例函数y=&(x＞0)的图象经过点C,

X

:.k=n,OC=5,

5(8,4),/(5,0),

17

(2)由(1)可知，反比例函数解析式为：y=—

x9

•.•4(5,0),5(8,4),

二.线段的中点坐标为(：，2),

在反比例函数y+1中7，当x兰时，》=$12十242,

二点D不是边N3的中点，

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解

析式是关键.

30.(2023春•盐都区期中)问题，我们探究过反比例函数＞的图象，我们通过由数想形,

X

由函数表达式想象图象可能具有的基本样貌，再列表、描点、连线，画出函数图象.

那么函数y=的图象是怎样的呢？

|x+l|

请你根据探究反比例函数y=9的图象与性质的经验，研究函数y=—的图象与性质：

X|X+1|

(1)自变量X的取值范围是_XW-1_,＞的取值范围是;

(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出相，〃的值：m=

X-7-5-4-3-201235

y13m3663n31

22

(3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象;

（4）结合函数的图象，解决问题:

①写出该函数的一条性质:

②当x>l时，y的取值范围为

【分析】（1）根据分式有意义的条件及绝对值的性质求解即可；

（2）把x=-4,x=2代入解析式即可得m、〃的值；

（3）按要求描点，连线即可；

（4）①观察函数图象，可得函数性质；②观察函数图象即得答案.

【解答】解：（1）由题意可得：|x+11...0且|x+1隹0,即：x—1,

二自变量X的取值范围是xw-l,y的取值范围是y>0；

故答案为：xw-1,y>0；

（2）当尤=-4时:m=——-——=2,当x=2时：m=---=2,

1-4+11|2+1|

故答案为：2,2；

（3）由表格中数据描点，连线如下:

（4）①由图象可知，函数图象关于直线x=-l对称;

当x>-l时，函数值y随着自变量x的增大而减小，当x<-l时，函数值y随着自变量x的

增大而增大；

故答案为：函数图象关于直线》=-1对称（答案不唯一）;

②由图象可知，当尤>1时，y的取值范围为：0<y<3；

故答案为：0<y<3.

【点评】本题考查了反比例函数图象的性质会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是

解题的关键.

七.待定系数法求反比例函数解析式（共5小题）

31.（2023春•宜兴市月考）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式可能

是（）

3C.歹=95

D.y=-

X3%2x

【分析】根据点N、8的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得

出-3〈人＜-2,再对照四个选项即可得出结论.

【解答】解：观察函数图象可知：3x（-1）＜左＜-2x1,

即一3（人＜-2.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象

利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键.

32.（2023春•邢江区期末）已知y与x-l成反比例，并且当x=3时，y=4.则y与x之间

的函数解析式为

x-1

【分析】根据反比例函数的定义，可表示出y与x-1的关系式，再由一对x,v的值，可求

出待定系数，进而确定函数解析式.

【解答】解：由题知,

令y=,

x-1

又当x=3时，y=4,

贝！J卜=4，解得左二8.

3-1

所以歹与x之间的函数解析式为：±.

x-1

故答案为：y=&.

x—1

【点评】本题考查了整体思想的应用，将“x-1”看作一个整体，替换y=«中的"X

X

“，再用待定系数法求出函数表达式.

33.（2023春•灌云县月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在AO/B中，

AO=AB,4C_LO8于点C,点