高考数学二轮复习专项训练：等差数列、等比数列（含答案及解析）

2025二轮复习专项训练15

等差数列、等比数列

［考情分析］高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前W项和公式以及

性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式

考查，属于中档题目.

【练前疑难讲解】

一、等差数列、等比数列的基本运算

1.等差数列

(1)通项公式:an=ai+(n—l)d；

(2)求木口公式：Sn—2—nai+?a.

2.等比数列

(1)通项公式：斯=。应厂i(qWO)；

(2)求和公式:q=l,Sn=nai；

m(l—q")口一。,河

S"=1—q=1—q，

二、等差数列、等比数列的性质

1.等差数列常用性质：

(1)若加，n,p,qGN*,J!Lm+n=p+q,贝!J斯,+斯=他+的；

(2)an=am-\-(n—m)d^

(3)S“，S2m-S,„,S3ffl—S2,“，…成等差数列.

2.等比数列常用性质：

⑴若机，n,p,qGN*,且7〃+"=p+q,则?的；

(2)a”=a»rq”

三、等差数列、等比数列的判断与证明

证明数列｛〃,｝是等差(比)数列的方法：

(1)证明数列｛斯｝是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明斯+i—oGGN*)为一常数；

②利用等差中项，即证明2ai+a”+i(“22,wGN*).

(2)证明数列｛斯｝是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明誓(a,H0,wGN*)为一常数；

②利用等比中项，证明若=斯-1斯+1(斯W0,加22,〃£N*).

一、单选题

3

1.（2024•河南信阳・模拟预测）已知数列｛4｝的前几项和为S“，H=l,邑=3,且:。用是

白i509

〃〃+2（）

2an,的等差中项，则使得Z—成立的最小的〃的值为

z=i%128

A.8B.9C.10D.11

2.（2024•河南郑州•二模）已知数列｛%｝为等比数列，且％=1,“9=16,设等差数列出｝

的前w项和为S“，若么=%,则5=（）

A.—36或36B.-36C.36D.18

二、多选题

3.（23-24高三上•河南南阳・期中）已知等差数列｛%｝的前”项和为S"，｛%｝的公差为d,

则（）

A.S13=13S7B.S5=4a2+a7

c.若5。“｝为等差数列，则d=-1D.若｛#；｝为等差数列，贝Ud=2q

4.（2024•广东梅州•二模）已知数列｛%｝的通项公式为g=3〃，〃©N*,在｛%｝中依次选

取若干项（至少3项）气，aki,”，…，a^,•••,使｛”,｝成为一个等比数列，则下列

说法正确的是（）

A.若取勺=1,左2=3,则k3二9

B.满足题意的｛勾｝也必是一个等比数列

C.在｛%｝的前100项中，｛%｝的可能项数最多是6

D.如果把｛%｝中满足等比的项一直取下去，｛%｝总是无穷数列

三、填空题

2

5.（23-24高三上・江苏•期末）若数列｛““｝满足4=%=1,an+an+1+an+2=n

则％oo=.

6.（2024•湖北一模）设等比数列｛叫的前”项和为%若3邑>56>0,则公比4的取值范

围为•

四、解答题

7.（2024•云南昆明•三模）正项数列｛q｝的前〃项和为S“，等比数列｛2｝的前"项和为T.，

4S“=a；+2a“+l,4T/b：+2b“+l

（1）求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

（2）已知数列｛c“｝满足I=如巴止,求数列｛g｝的前n项和Hn.

8.（2024・黑龙江二模）己知等比数列｛%｝的前几项和为5“，且S用=3S“+1,其中〃©N*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）在％与。向之间插入“个数，使这〃+2个数组成一个公差为4“的等差数列，在数列｛4｝

中是否存在不同三项以，dk,d.（其中加人,P成等差数列）成等比数列？若存在，求出这

样的三项；若不存在，请说明理由.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（2024・浙江•模拟预测）已知数列｛%｝满足：％=。9=40,且数列｛〃《,｝为等差数列，

则。100=（）

A.10B.40C.100D.103

2.（2024・河南•三模）已知等比数列｛。”｝的公比为4,若4+4=12,且％,%+6,%成等差

数列，则4=（）

33

A.—B.—C.3D.—3

22

3.（2023•陕西宝鸡,一模）已知等差数歹!]｛%｝满足。4+%=。，%+%=一4,则下列命题：①

｛4｝是递减数列；②使J>0成立的”的最大值是9；③当〃=5时，S”取得最大值；④

。6=。,其中正确的是（）

A.①②B.①③

C.①④D.①②③

4.（2024・广东深圳,模拟预测）已知等差数列｛%｝和也｝的前〃项和分别为S“、T„,若

S”3M+42a,

T=-T,贝（）

T„〃+2瓦+瓦。

5.（23-24高三下•重庆渝中•阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称"神十

八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送"神十八"的长征二号F运载火箭，在点

火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加3km,在达到离地面222km

的高度时，火箭开始进入转弯程序.则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（）

秒.

A.10B.11C.12D.13

6.（2024•河南洛阳•模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中

国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质

地的纸张进行创作的手工艺.其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折

叠造型后再以剪、亥h画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、

鸟兽等内容的立体几何造型作品.随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发

展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸

作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历

史悠久，内涵博大精深，世代传承.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为I的等腰直

角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形

斜边长为（）

A夜1c垃n1

A.DR.C..U.

8844

7.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知S.是正项等比数列｛4｝的前〃项和，且

。］+=82,=81,则S5=（）

A.212B.168C.121D.163

8.（2023・上海浦东新•三模）设等比数列｛%｝的前〃项和为S",设甲：ax<a2<a3,乙:

｛S“｝是严格增数列，则甲是乙的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既

非充分又非必要条件

9.（23-24高二上•安徽宣城•期末）设S“是等比数列｛%｝的前"项和，若

S3=4,〃4+。5+4=8,贝（）不二（）

10.（21-22高二上•全国•课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始,

把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反

复进行这一过程，就得到一条“雪花"状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1,把图①，

图②，图③，图④中图形的周长依次记为C2,G，c4,则c4=（）

二、多选题

11.（23-24高二上•河北石家庄•阶段练习）关于等差数列｛4｝和等比数列也,｝,下列四个选

项中正确的有（）

A.等差数列｛%｝,若根+"=p+q,贝1］。,“+%=%,+%

B.等比数歹!］也｝,若。小4=44，^\m+n=p+q

c.若s”为数列｛风｝前〃项和，则S'M.-S.N.-S?”，仍为等差数列

D.若S“为数列圾｝前〃项和，则臬名「臬名-邑,，仍为等比数列

12.（22-23高二上•广东广州,期末）记S”为数列｛°“｝的前w项和，下列说法正确的是

（）

A.若对〃eN*,有24=。“_+。用，则数列｛4｝一定是等差数列

B.若对〃eN*,有吊/3%,则数列｛《｝一定是等比数列

C.已知S"=w?2+qMp,qeR）,则｛%｝一•定是等差数列

D.已知S〃=a"-1（°中0）,则｛4｝一定是等比数列

三、填空题

13.（23-24高三下•湖南•开学考试）若数列｛巩｝满足％=8,an+l=an+n,则率的最小值

是.

14.（23-24高三上•云南昆明•开学考试）设｛%｝是等比数列，且弓+%=7,%+&=21,则

%+%0~.

四、解答题

15.(2024・四川成都・二模)已知数列｛q｝的前〃项和为5.=吗”.

(1)求数列｛凡｝的通项公式。”；

(2)记4=-----,求数列｛〃｝的前〃项和.

16.(2024•山东•二模)已知数列｛%｝,q=13,%+]=。0-4.求：

(1)数列｛《｝的通项公式；

(2)数列｛《｝的前”项和S“的最大值.

17.(2024・陕西安康•模拟预测)设等比数列｛%｝的前〃项和为S,，己知

°2°405~0306'S?=2S]—1,

(1)求数列｛4｝的通项公式.

(2)求数歹!]｛叫'｝的前〃项和小

18.(2023•吉林•模拟预测)已知等比数列｛即｝的前〃项和Sn=---m.

2

⑴求相的值，并求出数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)令2=(T)"log3〃〃，设乃1为数列｛加｝的前几项和，求令儿

【能力提升训练】

一、单选题

1.(2024•北京东城,一模)设等差数列也｝的公差为d,则"。＜6＜八是"｛2｝为递增数列"

n

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.(23-24高二上•黑龙江牡丹江•期末)己知等差数列｛%｝,｛〃｝的前”项和分别为S”,

...Sn2n^^2I^ZQ

)

有7；3几+1“3+”5

9109

A.C.D.

TT111314

3.(2024•黑龙江•二模)在公差不为。的等差数列｛风｝中，％，%，金是公比为2的等比

数列，则机=()

A.11B.13C.15D.17

4.（2022・江西上饶•二模）已知各项均为正数的等比数列｛q｝中，若。5=9,则

（）

log36Z4+log3«6=

A.2B.3C.4D.9

5.（2024・北京顺义•二模）已知各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S“，q=1,

贝1怎=（）

lga„+lga„+1=lg2",neN*,J

A.511B.61C.41D.9

6.（2024・湖北襄阳,模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若$8+$24=140,且

$24=1358,则与=（）

A.40B.-30C.30D.-30或40

7.（2024・陕西商洛•模拟预测）已知等比数列｛风｝的前"项和5“=32田+机，则加=（）

A.3B.9C.-9D.-3

8.（2024・安徽合肥・三模）某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存

款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一

位小数）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

二、多选题

9.（23-24高二上•湖北武汉,期末）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，公差为d,且

>Hooo>则下列说法正确的是（）

51001,

ai<0当”=时，“取得最小值

A.S2002<0B.100C.1001SD.d<0

10.（2023•安徽芜湖•模拟预测）下面是关于公差d>0的等差数列｛4｝的四个命题，其中正

确的有（）

A.数列｛%-｝是等差数列B.数列｛2%-1｝是等差数列

C.数列是递增数列D.数列｛。.+3加/｝是递增数列

11.（2024•湖南长沙•一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标

有1〜10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于

5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影

响，记小郡一共前进”步的概率为P“，则下列说法正确的是（）

1

A.P2=W

11/

B.P„

C.p,=1一：01（心2）

D.小华一共前进3步的概率最大

三、填空题

12.（2024・山东日照•模拟预测）若函数/（x）=|ln|x-a的四个零点成等差数列，贝IJ

a=.

13.（2023•全国•模拟预测）已知数列｛叫满足券+方■+券+-+拿=〃，〃eN*,且数

列｛4-切｝的前〃项和为S”.若的最大值为邑侬，则实数上的最大值是.

3[1

14.（21-22|WJ二,全国,课后作业）在等比数列｛4｝中，q+〃2+。3+“4+。5，。3=—，

四、解答题

15.（2024•浙江•一模）已知数列｛为｝满足及+多■+.••+/•=3-与口（"eN*）,记数列

｛%｝的前〃项和为S”.

⑴求s.；

⑵已知心eN*且匕=1&=2,若数列｛”｝是等比数列，记优｝的前〃项和为（，求使得

5“27；成立的”的取值范围.

16.（2024•陕西西安•一模）已知数列｛4｝的前w项和为S“，q=l,且满足

（«+l）S„=MS„+1-1n（M+l）.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）设2=（d+3"”）-cosmi,求数列｛%｝的前”项和人

17.（2024•浙江•二模）欧拉函数夕（M（〃eN*）的函数值等于所有不超过正整数"且与"互素

的正整数的个数，例如：°。)=1,°(4)=2,e⑻=4,数列｛q｝满足%=e(2")(〃eN,

(1)求q,a2,a3,并求数列｛%｝的通项公式；

(2)记2,=(-1)"地”,求数列也｝的前”和S”.

a2n

a-3,w为奇数,

18.(2024•河北石家庄•二模)己知数列｛q｝满足q=7,q,Mn

2an,"为偶数.

⑴写出%,〃3，。4；

(2)证明:数列｛%T-6｝为等比数列；

⑶若bn=a2„,求数列\n.(bn-3))的前n项和S,.

2025二轮复习专项训练15

等差数列、等比数列

［考情分析］高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前W项和公式以及

性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式

考查，属于中档题目.

【练前疑难讲解】

一、等差数列、等比数列的基本运算

1.等差数列

(1)通项公式:an=ai+(n—l)d；

(2)求木口公式：Sn—2—nai+?a.

2.等比数列

(1)通项公式：斯=。应厂i(qWO)；

(2)求和公式:q=l,Sn=nai；

m(l—q")口一。,河

S"=1—q=1—q，

二、等差数列、等比数列的性质

1.等差数列常用性质：

(1)若加，n,p,qGN*,J!Lm+n=p+q,贝!J斯,+斯=他+的；

(2)an=am-\-(n—m)d^

(3)S“，S2m-S,„,S3ffl—S2,“，…成等差数列.

2.等比数列常用性质：

⑴若机，n,p,qGN*,且7〃+"=p+q,则?的；

(2)a”=a»rq”

三、等差数列、等比数列的判断与证明

证明数列｛〃,｝是等差(比)数列的方法：

(1)证明数列｛斯｝是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明斯+i—oGGN*)为一常数；

②利用等差中项，即证明2ai+a”+i(“22,wGN*).

(2)证明数列｛斯｝是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明誓(a,H0,wGN*)为一常数；

②利用等比中项，证明若=斯-1斯+1(斯W0,加22,〃£N*).

一、单选题

3

1.（2024•河南信阳・模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S.,H=l,邑=3,且3a.M是

«i509

2%，氏+2的等差中项，则使得—成立的最小的孔的值为（）

M%128

A.8B.9C.10D.11

2.（2024•河南郑州•二模）已知数列｛%｝为等比数列，且q=l,«,=16,设等差数列也,｝

的前n项和为S“,若仇=为，则$9=（）

A.—36或36B.-36C.36D.18

二、多选题

3.（23-24高三上•河南南阳・期中）已知等差数列｛〃.｝的前〃项和为S“，｛4｝的公差为d,

则（）

A.S13=13S7B.§5=4%+%

C.若｛%｝为等差数列，则d=-lD.若｛£｝为等差数列，则d=2q

4.（2024•广东梅州,二模）已知数列｛q,｝的通项公式为a“=3w,〃eN*,在｛4｝中依次选

取若干项（至少3项）气，血，鬼，…，”，…，使,J成为一个等比数列，则下列

说法正确的是（）

A.若取用=1,k?=3,则上3=9

B.满足题意的卜〃｝也必是一个等比数列

C.在｛%｝的前100项中，｛%｝的可能项数最多是6

D.如果把｛%｝中满足等比的项一直取下去，｛鬼｝总是无穷数列

三、填空题

a+q+2="2（〃£N）

5.（23-24高三上・江苏・期末）若数列｛4｝满足q=4=l,an+n+\，

贝U4100=-

6.（2024・湖北・一模）设等比数列｛q,｝的前〃项和为S,，若3s2>$6>。，则公比4的取值范

围为.

四、解答题

7.（2024•云南昆明•三模）正项数列｛%｝的前〃项和为加等比数列圾｝的前〃项和为I，

4s“=%+2。,+1,4<=髭+22+1

（1）求数歹!]｛%｝,｛〃｝的通项公式；

⑵已知数列｛&｝满足cn=2,求数列｛%｝的前n项和Hn.

anan+\

8.（2024•黑龙江•二模）已知等比数列｛4｝的前〃项和为5“，且S用=3S“+1,其中〃eN*.

（1）求数列｛a,｝的通项公式；

（2）在。“与。用之间插入w个数，使这九+2个数组成一个公差为力的等差数列，在数列｛4｝

中是否存在不同三项或，dk,%（其中〃，水,P成等差数列）成等比数列？若存在，求出这

样的三项；若不存在，请说明理由.

参考答案:

题号1234

答案DCBDAB

1.D

【分析】由题意得到｛。用是等比数列，进而得到a“=2",利用错位相减法求出

£'=4-*,构造函数“尤）=岩">0）,并利用导数判断函数外”的单调性，即

可求出符合条件的〃的最小值.

【详解】用是2%,。“+2的等差中项，

…。〃+2=3。〃+1—,故。九+2—。计1=2（a〃+i—风），

而%=§2-2S1=1w0,/.—~~=2,

an+l-an

故数列｛--4｝是首项为L公比为2的等比数列，则%-%=2）

nl

1_2~

「•+++%=2〃-2+2〃T+・..+2°+1=—j—―+l=2n~l,

记贝u1=£+京+.-+券，

i=l%zzz

2k4弄L+言，

111T1n/2+〃

两式相减可得,一干+梦+及++手支-2〃-----=4---------

2“-2"T

2

Si.2+n人A2+〃5092+n3

即一产25hFR即n万l茂

a

i=li乙

2-—（2+x）-2、i/n2_l-（2+x）-ln2

设〃尤）=券（%>0），则r（，）=

•.•x>0,，_f（x）<0,，〃x）在（0,+s）单调递减,

是递减数列,

2+n2+103

•.•当"=10时,

21'-'~2g"128,

,Vi509

.•.当什1。时，自丁示,

«;509

・•・使得］厂森成立的最小的〃的值为“

故选：D.

2.C

【分析】根据等比数列的通项公式求得/=4,继而求得々=%的值，利用等差数列前〃项

和公式进行计算即可.

【详解】数列｛%｝为等比数列，设公比为q,且q=l,佝=16,

贝［］%=q8=i6,则炉=4,

ax

则”5="5=Qi/=4,

贝2肛*=9…，

故选：C.

3.BD

【分析】A选项，根据等差数列性质得到岳3=13%,A错误；B选项，由等差数列性质得

到S5=4%+%=5%；C选项，计算出（〃+1）%+1-侬〃=2加+4,要想+q为常数，贝IJ

d=o,故C不正确；D选项，根据等差数列通项公式的函数特征得到卬-：=0,D正确.

【详解】A选项，1=13”%3)=且产=13%,而S7,出不一定相等，A不正确；

B选项，因为羽="q；%)=54,4%+%=4(%-d)+q+4d=5%,

所以1=4%+%，故B正确；

C选项，因为％=〃[%+(n-l)6?]=n26?+(^-d^n,

2

若｛〃4｝为等差数歹U,贝！+q+i_=(〃+1)21+(弓-6?)(«+l)-n6Z-(«1-d)n

=2nd+%,

要想2〃/+%为常数，则。=0,故C不正确；

2

D选项，由题可知S〃=叫H---—=—n+^a]——n,

若｛四｝为等差数列，则£=小弓/+,厂弓1为关于"的一次函数，

所以q-'=0,即1=24,故D正确.

故选：BD

4.AB

【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D,利用反例说明C.

【详解】因为数列｛4｝的通项公式为%=3",

对于A,取左=1,%=3,则纵=%=3,aki=a3=9,

由于｛”｝为等比数列，则%=27,则有弘3=27,即勺=9,故A正确；

对于B,数列｛«„｝的通项公式为4=3n,则”=3(,

若｛%｝为等比数列，即M，3kz，3k3,…，3k„,…是等比数列，

则《，k2,k3,kn,…，是等比数列，

故满足题意的｛勺｝也必是一个等比数列，故B正确；

对于C,在｛%｝的前100项中，可以取尤=1,&=2,%=4,8=8,k5=16,&=32,

(=64,

可以使｛%｝成为一个等比数列，此时｛%,｝为7项，故C错误；

对于D,取Ai=4,%2=6,贝!j%=12,以2=18,贝|%=27,44=万，

气吟Q1不是数列｛%｝的项，

所以把｛〃“｝中满足等比的项一直取下去，｛为J不总是无穷数列，故D错误.

故选：AB.

5.3268

【分析】由数列递推式可得到%+%+2+%+3=(〃+1)2,和已知等式作差得

43-。=2〃+1,利用累加法即可求得答案.

a+a+a

nn+\n+2=^

【详解】由题意可得,作差得%+3-。“=2〃+1,

4+1+为+2+为+3=(〃+1)

故"100=%+(%一%)+(%一。4)"1-----H(0100—。97)

=o1+(2xl+l)+(2x4+l)+---+(2x97+l)

=2x0+4+…+97)+34=2x^1^+34=3268,

故答案为：3268

6.(-l,0)U(0,l)

【分析】

由3s2>$6>。可得%+q(q-l)<0,讨论4>0或q<0,即可得出答案.

［详解］由S产0—4(1一7)(1+/)q(l—G(q+q2+(0+q3)

6\—q1-q1-q

=4(g+q?+1)(1+,3),

因为q+/+l=［q+g)+|>0,所以由'AO,

可得q(l+/)>0,

由3s2>$6可得3q+3〃q>q+/+1)(1+/),

即3q(l+g)>q(l+q乂g?+夕+刊(/-q+1),

即3q(l+q)>q(l+q乂/+/+1),

即(1+4乂/-1乂/+2)>0,即一4(1+疗._])(/+2)>0,

则q(q-l)<0,因为qw。

若4>0,贝“1+?解得：”(TO)"。」),

匕一1<0

若用<0,则卜+!二°,解得：蚱0,

匕一1〉0

所以公比4的取值范围为：(-1,0)50,1).

故答案为：(-l,O)u(O,l).

7.(l)a„=2n-l;2=(-1广

1

，〃为偶数

」2n+l

⑵”“=JI

1

1+，“为奇数

i2〃+1

【分析】(1)由。“与S”的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求;

(2)求得g后，讨论w为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.

【详解】(1)当〃=1时，4sl=a；+2%+1,即4%=a；+2%+1,(4—1)2=0,

所以q=1,同理/=i.

当心2时，%=S“一S“_i=；(d-03)+；伍“一%),化简得：

।(«„+an-l)(«„-an-l-2)=0,因为%>。，所以%

即凡一。“一1=2,故4=2,又q=1,所以％=2〃-1.

同理，2+6"T=。或2一么T=2,

因为也｝是等比数列，所以2+鼠产0,即4=-1,所以2=(-1)"\

⑵由⑴『十厂②鹏丁学11

-----1-----

2n-l2〃+1

H

所以当〃为奇数时，„=cl+c2+---+cn

1

+

2n—3

同理当"为偶数时,4J「荒

1

，"为偶数

2n+l

所以％=

1+1

M，〃为奇数

2n+l

8.⑴4及=3〃1

⑵不存在，理由见解析

【分析】（1）根据递推关系可得%+1=3%（"22）,从而可得公比，故可求首项从而得到通

项公式；

（2）先求出｛4｝的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列

｛4｝中不存在不同三项4“，dk,B（其中〃尸成等差数列）成等比数列.

【详解】（1）因为S“+|=3S“+1,故S,=3S“T+1,故见M=3见（“22）,

而｛巩｝为等比数列，故其公比为3,

又S2=3S]+1,故3%+《=3%+1,故％=1,

故a“=lx3"T=3"T.

（2）由题设可得d,=、用一=把二,

"77+2-1M+1

若数列｛4｝中存在不同三项以，dk,dp（其中，“Ap成等差数列）成等比数列,

、2

2x3"]_2X3*\2X3?T

,因加，忆p为等差数列,

k+1）m+1p+1

m+p2

故（左+1）2=（机+1）乂（2+1）即k2=mp,故=mp，

2

故根=p即相=p=左，这样租，忆P不同矛盾，

故数列｛4｝中不存在不同三项乙，dk,dp（其中根儿。成等差数列）成等比数列.

【基础保分训练】

一、单选题

L（2024,浙江•模拟预测）已知数列｛%｝满足：4=%=40,且数列｛〃%｝为等差数列,

则〃100=（）

A.10B.40C.100D.103

2.（2024•河南•三模）已知等比数列的公比为4,若q+4=12,且％,%+6,〃3成等差

数列，贝!W=（）

33

A.-B.—C.3D.—3

22

3.（2023•陕西宝鸡・一模）已知等差数列｛4｝满足%+%=。，%+«8=-4,则下列命题：①

｛q｝是递减数列；②使5>0成立的”的最大值是9；③当〃=5时，S“取得最大值；④

%=。，其中正确的是（）

A.①②B.①③

C.①④D.①②③

4.（2024・广东深圳•模拟预测）已知等差数列也｝和也｝的前"项和分别为S“、Tn,若

S3〃+42a,

^n=—7,贝-（）

T„n+2b2+bl0

,1113711137

A.---B.—C.---D.—

13132626

5.（23-24高三下•重庆渝中•阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称"神十

八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送"神十八"的长征二号F运载火箭，在点

火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加3km,在达到离地面222km

的高度时，火箭开始进入转弯程序.则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（）

秒.

A.10B.11C.12D.13

6.（202牛河南洛阳,模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中

国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质

地的纸张进行创作的手工艺.其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折

叠造型后再以剪、亥I、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、

鸟兽等内容的立体几何造型作品.随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发

展至一个前所未有的境界，有些作品己超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸

作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历

史悠久，内涵博大精深，世代传承.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为I的等腰直

角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形

斜边长为（）

A夜R1rV2n1

8844

7.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知S,,是正项等比数列｛%｝的前"项和，且

%+=82,=81,则其=()

A.212B.168C.121D.163

8.（2023・上海浦东新•三模）设等比数列｛4｝的前"项和为S“，设甲：ai<a2<a3,乙：

｛SJ是严格增数列，则甲是乙的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既

非充分又非必要条件

9.（23-24高二上•安徽宣城•期末）设S“是等比数列｛%｝的前"项和，若

S.

S3=4,4+。5+&=8,贝1!不二（）

.753

A.2B.—C.—D.一

337

10.（21-22高二上•全国•课后作业）如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，

把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反

复进行这一过程，就得到一条“雪花"状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1,把图①，

图②，图③，图④中图形的周长依次记为C-G，C3,C4,则C4=（）

二、多选题

11.（23-24高二上•河北石家庄•阶段练习）关于等差数列｛%｝和等比数列｛%｝,下列四个选

项中正确的有（）

A.等差数列｛%｝,^m+n=p+q,则（+4产％+%

B.等比数列也｝,若一%,^\m+n=p+q

C.若S”为数列｛%｝前w项和，则S'MR-SN.-S20，仍为等差数列

D.若S“为数列也｝前〃项和，则臬足,--S.仍为等比数列

12.（22-23高二上•广东广州•期末）记S”为数列｛a“｝的前w项和，下列说法正确的是

（）

A.若对〃eN*,有2。“=。”一+。用，则数列｛4｝一定是等差数列

B.若对V〃22,〃wN*,有向，则数列｛《｝一定是等比数列

C.已知S“=”2+02（p,qeR）,则｛4｝一定是等差数列

D.已知S”=a"-l（awO）,则｛4｝一定是等比数列

三、填空题

13.（23-24高三下•湖南•开学考试）若数列｛%｝满足％=8,an+l=an+n,则子的最小值

是.

14.（23-24高三上•云南昆明•开学考试）设｛4｝是等比数列，且％+%=7,%+&=21,则

%+%0_.

四、解答题

15.（2024・四川成都・二模）已知数列｛为｝的前〃项和为S“=四了1.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵记2=-------，求数列出｝的前〃项和.

anan+l

16.（2024•山东,二模）已知数列｛q｝,%=13,。“+]一4.求：

⑴数列｛%｝的通项公式；

⑵数列｛%｝的前〃项和S,的最大值.

17.（2024•陕西安康•模拟预测）设等比数列｛q｝的前，项和为S“，己知

°2°4°5=03a6‘S?~2S]—1,

⑴求数列｛q｝的通项公式.

⑵求数歹U｛也/的前〃项和7；.

18.（2023・吉林•模拟预测）已知等比数列｛加｝的前〃项和一-m.

2

⑴求m的值，并求出数列｛。疥的通项公式；

⑵令仇=（T）"log3〃〃，设力1为数列｛加｝的前〃项和，求令儿

参考答案：

题号12345678910

答案DCDBCACDBA

题号1112

答案ACAC

1.D

【分析】设数歹11｛6的公差为d,借助等差数列的性质可计算出d,即可得lO/oo，即

可得解.

【详解】设数列｛而“｝的公差为d,则〃=*血=曰=10,

故IO%。。=4+99d=1030,所以。I。。=103.

故选：D.

2.C

【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.

【详解】•・・％,。2+6,〃3成等差数列，，2（%+6）=卬+4，又%+%=12,

「.2（12-6+6）=4+%,整理可得：3%+〃3=3q+4/=36,

4+%_1+9121

希=§，解得…=°（舍）或4=3.

3%+/3+/

故选：C.

3.D

【分析】设出公差为d,列出方程组，求出首项和公差，根据d<0判断①正确,

写出S“=10〃-〃2,解不等式求出S〃>o成立的〃的最大值是9,②正确；

根据%>0与%<0,得到当九=5时，s”取得最大值，③正确;

利用通项公式。“=-2”+11求出保的值，得到④错误.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

+%=2%+9d=0刀//%=9

故<C11J»解得：Lc，

[%+〃8=2%+lid-—4yd=—2

由于d<0,故｛风｝是递减数列，①正确；

S〃=9〃+"；1)x(—2)=IO,—/,令=10几一〃2>0,

解得：0<n<10,且〃eN*,

故使S〃〉0成立的〃的最大值是9,②正确；

an=9+(〃一1)米(-2)=-2〃+11,

当1<〃<5时，an>0,当〃之6时，4<0,

故当〃=5时，S〃取得最大值，③正确；

%=-2x6+11=7,④错误.

故选：D

4.B

【分析】计算出小=£由等差数列的性质得*=答，恚［=詈，从而得到答案•

几13Tnb6b2+