高考数学二轮复习专项训练：导数的几何意义及函数的单调性（含答案及解析）

2025二轮复习专项训练6

导数的几何意义及函数的单调

[考情分析]1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、

几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难

度中等偏上，属综合性问题.

【练前疑难讲解】

一、导数的计算和几何意义

1.导数的运算法则

(i)(/(x)士g(x)r=f(x)+g'(X).

(2)1/(尤)-g(x)]'=f(x)g(x)+j[x)g'(x).

⑶陷，八)g(W(x)

Lg(x)」[g(x)r

2.导数的几何意义

(1产(xo)的几何意义：曲线y=/(x)在点(xo,兀陶)处的切线的斜率，该切线的方程为y—曲)

—f'(尤0)•(尤一xo).

(2)切点的两大特征：①在曲线y=/(x)上；②在切线上.

二、利用导数研究函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)求导函数/(x)；

(3)由-(x)>0的解集确定函数/(x)的单调递增区间，由/'(x)<0的解集确定函数的单调

递减区间.

三、由单调性求参数范围

由函数的单调性求参数的取值范围

(1)若可导函数/(x)在区间M上单调递增，则/(尤)》0。^跖恒成立；若可导函数在区间

M上单调递减，则尸(尤)W0(尤恒成立；

(2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则(x)>0(或(x)<0)在该区间上存在解集；

(3)若已知/(x)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出段)的单调区间，则/是

其单调区间的子集.

一、单选题

1.(2024・广东•模拟预测)若函数〃x)=ln(e2"+l)-依是偶函数，则曲线y=/(x)在尤=0

处的切线斜率为()

12

A.B.0C2D.

22

2.(24-25高三上•安徽•开学考试)已知函数Ax)=Y一ah》的图象在点(1,川))处的切线方

程为＞贝丑=()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023・陕西榆林•模拟预测)若函数/(x)=ln尤+M-依在其定义域内单调递增，则实数

a的取值范围是()

A.1)B.卜8,2A/^]C.(-oo,2]D.[1,+oo)

4.(2024•云南大理•模拟预测)若函数〃x)=ax2+cosx-1在(0,+e)为增函数，则实数a的

取值范围为()

A.3'+°0]B.C.[1,+℃)D.(1,+℃)

二、解答题

5.(2024•浙江金华,一模)已知函数〃x)=；x2-alm:+(l-q)x,(a＞0).

(1)若a=l,求的单调区间；

2

⑵若〃司2-e5,求。的取值范围.

6.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数〃无)=-alnx+(2a+l)x-无立

(1)若。=；,求A》)在(1J(D)处的切线方程.

(2)讨论/(x)的单调性.

⑶求证：若。＞0,/'(x)有且仅有一个零点.

【基础保分训练】

一、单选题

1.(2023•山东潍坊•模拟预测)设〃x)为R上的可导函数，且1汕/⑴一"1+2.)=_2,

则曲线y=/(x)在点(1J。))处的切线斜率为()

1

2.(2023•河南郑州•二模)已知曲线y=xlnx+aeT在点1=1处的切线方程为2x-y+b=。,

贝()

A.-1B.-2C.—3D.0

3.（2023・山东•二模）已知直线"％-1与曲线产产。相切，则实数〃的值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2023・贵州贵阳•模拟预测）若〃x）=，lnx+"2+x在％=1和％=2处有极值，则函数

/（%）的单调递增区间是（）

A.B.（2,+oo）C.（1,2）D.

5.（2023•重庆•一模）已知函数/（无）+尤2+无+4,贝广是"/（x）在R上单调递

增"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•重庆•模拟预测）已知函数/（尤）=彳（＞0）,a为实数,/（x）的导函数为:（x）,

在同一直角坐标系中，F。）与尸（x）的大致图象不可能是（）

7.（2023・湖南•模拟预测）已知函数和g（x）分别为奇函数和偶函数，且

f(.x)+g(x)=2x,则()

A.f(x)-g(x)=2-x

B.f(x)在定义域(f,+8)上单调递增

C.Ax)的导函数广(尤”1

D.g(-x)>1

8.(22-23高三上•江苏南京•阶段练习)已知函数/(幻=3,-2，，xeR,则下列结论正确

的是()

A.函数f(x)在(0,+8)上单调递增

B.存在aeR,使得函数y=/半为奇函数

a

C.任意xeR,/(x)>-l

D.函数g(x)=/(x)+x有且仅有2个零点

三、填空题

9.(2022•全国•高考真题)若曲线y=(x+a)e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

是.

10.(2023•广西一模)若曲线y="与y=lnx有一条斜率为2的公切线，贝|

a—,

11.(2022・全国•模拟预测)曲线/(x)=(x+l)e*+lnx在(l,a)处的切线与直线法->+2=0

平行，贝.

四、解答题

12.(22-23高二下•四川资阳•期末)已知函数/(x)=e'-加+1.

⑴求曲线》=在(0，/(。))处的切线方程；

(2)若xe(0,+co)时，/(x)单调递增，求。的取值范围.

13.(23-24高三上■湖北■期中)已知函数/"(X)+彳/+(a—l)x+l.

(1)若曲线>=在点(2,"2))处的切线与直线6》+〉+1=。平行，求出这条切线的方程；

(2)讨论函数的单调性.

【能力提升训练】

一、单选题

1.(2023•山东潍坊•模拟预测)己知函数〃x),g(x)及其导函数/'⑺,g'(x)的定义域

均为R,/(2x+l)为奇函数，g(x-1)关于直线x=l对称，则()

A./(g(-l))=-y(g⑴)B.g(〃-l))=—g(〃3))

C.=/(/(1))D.g(r(-l))=g(03))

2.（2。23•北京西城•模拟预测）已知函数〃x）=若存在七＞°,使得

/（—5）=-/（5）成立，则实数”的取值范围是（）

A.B.（-co,l]C.[1,+＜»）D.[-1,1]

3.（2023•广东佛山二模）若斜率为1的直线/与曲线y=ln（x+a）和圆/+丁=3都相切，

则实数”的值为（）

A.-1B.0C.2D.0或2

4.（2023•陕西宝鸡•二模）若过点（0,2）可作曲线＞=丁+3£+如+。-2的三条切线，则。

的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

5.（2023•全国•二模）若曲线有三条过点（0,。）的切线，则实数〃的取值范围为

（）

A.10,口B.（0,nC.卜,「D.[of

6.（2024•辽宁•模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，g（x）=/'（x）-2e'+x也是定

义在R上的奇函数，则关于x的不等式g（l-f）+g（2x+2）＞0的解集为（）

A.（-oo,-l）u（3,-t＜o）B.（^»,-3）I（1,-W）

C.（-1,3）D.（-3,1）

7.（2024•北京海淀•一模）函数/（尤）是定义在（T,4）上的偶函数，其图象如图所示，

/⑶=。.设/（无）是/'（尤）的导函数，则关于尤的不等式“X+D•尸（x）20的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0]!I[3,4)C.(-5,0]II[2,4)D.(-4,0]1[2,3)

二、多选题

8.（2025・四川巴中•模拟预测）已知函数/Xx）=asinx+cosx的图象关于x=W对称，下列结

论中正确的是（）

A.小兰）是奇函数

B.7升,I近

C.若，（x）在［-狐明上单调递增，则0〈机

7T

D./（尤）的图象与直线y=2x+§有三个交点

9.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=sin］3x+gj,下列说法正确的是（）

A.“X）的最小正周期为T

B.点1,oj为“X）图象的一个对称中心

C.若"x）=a（aeR）在x上有两个实数根，则

L189」2

D.若/（尤）的导函数为了'⑺，则函数y=〃x）+/'a）的最大值为M

三、填空题

10.（22-23高二下•浙江杭州•期中）若直线y=1（x+l）-l与曲线y=e，相切，直线

y=心（x+1）T与曲线y=Inx相切，则左他的值为.

11.（2023•广东佛山・一模）已知曲线〃x）=«与曲线g（x）=alnx（aeR）相交，且在

交点处有相同的切线，则。=.

四、解答题

12.（2020・四川成都・模拟预测）已知函数/（x）=ax-@-lnx（oeR）.

X

（1）若/（X）是定义域上的增函数，求。的取值范围；

2

（2）若。＞寸若函数f（x）有两个极值点“（为＜马），求/aA/G）的取值范围.

13.（2024•江苏徐州•一模）已知函数/（无卜丁+依一m尤，«eR.

⑴若函数y=/（x）-2/在（0,2］上单调递减，求a的取值范围：

⑵若直线丁="与/⑺的图象相切，求a的值.

14.（22-23高二下•天津红桥•阶段练习）已知函数/（尤）=lnx-ox（aeR）.

⑴若x=l是/（x）的极值点，求。的值；

（2）求函数/（元）的单调区间；

⑶若函数/（元）在［Ie?］上有且仅有2个零点，求。的取值范围.

2025二轮复习专项训练6

导数的几何意义及函数的单调

[考情分析]1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的计算、

几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难

度中等偏上，属综合性问题.

【练前疑难讲解】

一、导数的计算和几何意义

1.导数的运算法则

(i)(/(x)士g(x)r=f(x)+g'(X).

(2)1/(尤)-g(x)]'=f(x)g(x)+j[x)g'(x).

⑶陷，八)g(W(x)

Lg(x)」[g(x)r

2.导数的几何意义

(1产(xo)的几何意义：曲线y=/(x)在点(xo,兀陶)处的切线的斜率，该切线的方程为y—曲)

—f'(尤0)•(尤一xo).

(2)切点的两大特征：①在曲线y=/(x)上；②在切线上.

二、利用导数研究函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)求导函数/(x)；

(3)由-(x)>0的解集确定函数/(x)的单调递增区间，由/'(x)<0的解集确定函数的单调

递减区间.

三、由单调性求参数范围

由函数的单调性求参数的取值范围

(1)若可导函数/(x)在区间M上单调递增，则/(尤)》0。^跖恒成立；若可导函数在区间

M上单调递减，则尸(尤)W0(尤恒成立；

(2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则(x)>0(或(x)<0)在该区间上存在解集；

(3)若已知/(x)在区间/上的单调性，区间/中含有参数时，可先求出段)的单调区间，则/是

其单调区间的子集.

一、单选题

1.(2024・广东•模拟预测)若函数〃x)=ln(e2"+l)-依是偶函数，则曲线y=/(x)在尤=0

处的切线斜率为()

12

A.B.0C2D.

22

2.(24-25高三上•安徽•开学考试)已知函数Ax)=Y-ah》的图象在点(1"⑴)处的切线方

程为＞贝丑=()

1

A.-2B.-1C.-D.1

2

3.(2023・陕西榆林•模拟预测)若函数/(x)=ln尤+M-依在其定义域内单调递增，则实数

a的取值范围是()

A.1)B.卜8,2A/^]C.(-oo,2]D.[1,+oo)

4.(2024•云南大理•模拟预测)若函数〃x)=ax2+cosx-1在(0,+e)为增函数，则实数a的

取值范围为()

A.3'+°0]B.C.[1,+℃)D.(1,+K))

二、解答题

5.(2024•浙江金华,一模)已知函数/(x)=gx2-q1nx+(l-a)x,(a＞0).

(1)若a=l,求的单调区间；

2

⑵若〃司2-e5,求。的取值范围.

6.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数〃无)=-alnx+(2a+l)x-无上

(1)若。=^,求A》)在(1J(D)处的切线方程.

(2)讨论/(x)的单调性.

⑶求证：若。＞0,/'(x)有且仅有一个零点.

参考答案:

题号1234

答案BDBA

1.B

【分析】利用偶函数的定义可求得。=1,进而求得、=/(%)在x=0处的导数，可得结论.

【详解】因为函数〃%)是偶函数，所以〃r)=〃x),又易得函数八％)的定义域是R,

即ln(e"x+1)+办=ln(e2'+1)_办，

,2x]、

所以2ax=In(e"+1)—In(e-+1)=In—=lne2v=2x,

【e+1/

所以2(。-1)尤=0,又xeR,所以解得。=1,所以〃尤)=ln(e2'+l)-x,

所以广⑺=七次?，一1,所以广⑼=2e"。-1=0,

所以曲线y=/(x)在x=0处的切线斜率为0.

故选：B.

2.D

【分析】求出函数/(无)的导数，再利用导数的几何意义求解即得.

【详解】函数/(x)=%2—aln%,求导得/'(%)=,

依题意，/⑴=2-"1,所以4=1.

故选：D

3.B

【分析】将问题转化为尸0)20在(0,+8)上恒成立，利用基本不等式可得.

【详解】的定义域为(0,+8),f\x)=-+2x-a,

X

因为函数/(x)=lnx+%2—依在其定义域内单调递增，

所以工+2x—〃20在(0,+8)上恒成立，即4+2x2〃在(0,+8)上恒成立，

XX

因为工+2X22、口.2天=2小,当且仅当苫=也时，等号成立，

X\x2

所以=20,所以°<2正.

U人in

故选：B

4.A

【分析】尸(x)20对(0,+8)恒成立，其中((0)=。，令g(x)=r(x),则g〈0)20,

从而得到a验证后得到答案.

2

【详解】f'(x)=2ax-sinx,由题意尸(x)>0对xe(0,+8)恒成立，

其中/'(。)=。，令g(x)=/'(功，

则需g'(0)2。，其中g'(x)=2a-cosx,故2a-lN0=>aNj,

当aN；时，g,(x)=2a-cosx>l-cosx>0,故尸(x)在(0,+8)上递增，

团广（力>广（0）=。成立.

当时，取易知g'（x）=2a—cosx在10,曰上单调递增，

若aWO,则g<x）=2a-cosx<0,所以广（%）在（。，［上递减，

故/'（"</'（0）=0,与题意不符，舍去；

若0<a<g时，g'（0）=2a—l<0,g'^=2a>0,所以存在毛e,使得

g'（x（））=0，

当元£（0,/）时，g"（x）=2a-cosx<0,所以/'（%）在（0,%。）上递减,

故广（力</（。）=。，与题意不符，舍去；

综上得

故选：A.

5.（1）单调增区间为（1,+8）,减区间为（0,1）

(2)(0,e]

【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间;

（2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函

数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.

【详解】（1）当a=l时，/（力尤」=上、（1）（%+1）

xxX

，xw(0,l)时，f(%)<0,%E(l,+8)时，/0)>0；

・・・/（%）的单调增区间为（L+8）,单调减区间为（0,1）

(2)(")=包—Q)(X+1)

X

.,.尤£(0,〃)时，f(%)<0,%£(〃,+8)时，f'{x)>0

Lin…

%

•­/(Ln=/(«)=-2

a2、e2

又二--------alna+a>-----

22

令h(a)=----alna+a

则〃(a)=-a—Ina,显然"(a)单调递减，且％[g]>0,/z,(l)<0

•••必然存在唯一&e使得M/)=0

当〃£((),4),〃(a)>0,"(a)单调递增，

当。£(%+8),//(a)<0,0(。)单调递减

由于〃£(0,1]时，/?(〃)=〃|一•1—ln〃+1]〉0〉一5,成立

当ae(l,+s)时，/<a)单调递减，且/z(e)=-[,因此ae(l,e]成立

综上，。成立的范围为(。,可

6.(l)x+2y—3=0；

(2)答案见解析；

⑶证明见解析.

【分析】(1)把。=；代入，利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)根据给定条件，按aWO,0<a<1,a=3,分类，利用导数求出单调区间.

(3)利用(2)的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.

【详解】(1)当4=—时，/(%)=—lnx+2x—%2,求导得/'(%)=----2x+2,贝lj

222x

/”)=-；,而/⑴=1,

所以函数/(%)的图象在(11⑴)处的切线方程为V-1=-；(%-D,即1+2y-3=0.

(2)函数/(%)=-〃Inx+(2〃+l)x-/的定义域为(0,+oo),

上口/口、a-八入C2x—V)(x—a)

求导传f(x)----F(2q+1)—2x--------------,

XX

①当aW0时，由/''(x)>。，得xe(0,；),由/'(x)<0,得xe(〈,+8),

则函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(；,+8)上单调递减；

②当0<a<1•时，由/'(x)>o,得xe(a,；),由/'(x)<0,得尤e(0,a)1(：,+oo),

则函数/(x)在(a,；)上单调递增，在©a),(g,+◎上单调递减；

③当时，/«<0,函数f(x)在(0,+功上单调递减；

④当时，由(龙)>0,得xe(g,a),由f'(龙)<0,得xw(0,g)i(°,小)，

则函数在(La)上单调递增，在(0,3，3笆)上单调递减，

所以当aW0时，函数/(x)的递增区间为(0,g),递减区间为§,+◎；

当0<。<(时，函数/(x)的递增区间为(。,；)，递减区间为(。,。)，(；,+8)；

当a时，函数/(%)的递减区间为(0,+8)；

当a时，函数/(彳)的递增区间为(£。)，递减区间为(。,《)，(«,+(»).

(3)①当。=g时，函数/(X)在(0,+8)上单调递减，而/(1)=1>0,

1,

/(e)=--+2e-e2<0,

因此存在唯一与e(l,e)使/(%)=。，则/(x)有且仅有一个零点；

②当0<。<|■时，函数/(%)在x=a处取得极小值f(a)=a(-lna+o+l),

令8。)=一山+彳+1,求导得g'(x)=-，+l,当xe(0,l)时，/(尤)<0,当xe(l,+oo)时，

X

g'(x)>0,

函数g(%)在(0,1)上单调递减，g。)在(L+8)上单调递增，g«>g(l)=2>0,即

f(~)>/(〃)>0，当%一+8时，一alar—>-oo,(2a+l)x-x2—>-oo,则f(x)f-8,

因此存在唯一再e(；,+8)使/(%)=。，则/(x)有且仅有一个零点；

③当.时，函数/Q)在尤=；处取得极小值/g)=a(ln2+l)+；>0,

/(«)>/(1)>0,

同理存在唯一超€(。，+8)使/(%)=。，则/(x)有且仅有一个零点，

所以f(x)有且仅有一个零点.

【基础保分训练】

一、单选题

1.(2023•山东潍坊•模拟预测)设“X)为R上的可导函数，且lim/⑴-/0+2AX)=_2,

则曲线y=〃x)在点处的切线斜率为()

1

A.2B.-1C.1D.——

2

2.(2023•河南郑州•二模)已知曲线y=在点x=l处的切线方程为2x-y+-0,

贝4人=()

A.-1B.-2C.-3D.0

3.(2023•山东・二模)已知直线y=x-l与曲线y=ei相切，则实数0的值为()

A.-2B.-1C.0D.2

4.(2023•贵州贵阳•模拟预测)若〃x)=alnx+82+x在％=1和*=2处有极值，则函数

“X)的单调递增区间是()

A.(-=o,l)B.(2,+oo)C.(1,2)D.Q,1

5.(2023・重庆•一模)已知函数/(x)=ga?+x2+尤+4,贝是"/(%)在R上单调递

增，的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6(2024•重庆・模拟预测)已知函数/(x)=/(x>0),a为实数,7(x)的导函数为1(x),

在同一直角坐标系中，F。)与尸(x)的大致图象不可能是()

7.(2023・湖南•模拟预测)已知函数f(x)和g(X)分别为奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=2\则()

A./(x)-g(x)=2~x

B./(x)在定义域(-8,+8)上单调递增

C./(x)的导函数/'(尤)21

D.g(x)>1

8.(22-23高三上•江苏南京•阶段练习)已知函数/(x)=3,-21xeR,则下列结论正确

的是()

A.函数在(0,+功上单调递增

B.存在aeR,使得函数>=/学为奇函数

a

C.任意xeR,/(x)>T

D.函数g(x)=〃x)+x有且仅有2个零点

三、填空题

9.(2022•全国•高考真题)若曲线y=(x+a)e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

是.

10.(2023・广西•一模)若曲线>=以2与y=lnx有一条斜率为2的公切线，则

a=.

11.(2022・全国•模拟预测)曲线/'OOEx+DeX+lnx在(1,4)处的切线与直线6元一y+2=0

平彳亍，贝1)6-。=.

四、解答题

12.(22-23高二下・四川资阳・期末)已知函数/(尤)=e-a?+l.

⑴求曲线y=在©A。))处的切线方程；

(2)若无e(0,+s)时，单调递增，求。的取值范围.

13.(23-24高三上•湖北■期中)己知函数/"(X)+方厂+(a-l)x+l.

⑴若曲线y=在点(2,/(2))处的切线与直线6x+y+l=。平行，求出这条切线的方程；

(2)讨论函数〃x)的单调性.

参考答案:

题号12；345678

答案CCACCCBDABC

1.c

【分析】根据导数的定义，计算得到答案.

【详解】尸⑴皿心”L1.

'7Ar->0-2Ax2-Ax

故曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线斜率为1.

故选：C

2.C

【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为1-4=2,可得a=-e,计算出切点代入切

e

线方程即可得6=-3.

【详解】由题意可得y'=lnx+l-aer,

根据导数的几何意义可知，在点x=l处的切线斜率为1-4=2,解得a=-e；

e

所以切点为代入切线方程可得2+1+6=0,解得b=-3.

故选：C

3.A

【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.

【详解】设切点为(5,%)，易知y'=eT则：=:匕一1=泌，解之得卜二:，

故选：A

4.C

【分析】求出函数的导函数，依题意/'。)=0且广(2)=0,即可得到方程组，从而求出

。、匕的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.

【详解】因为/(x)=alnx+乐?+%,所以广(%)=9+2桁+1,

2

a+2b+1=0

由已知得\a,,,八，解得，3

-+4Z?+l=0

12

6

所以/(%)=——所以尸a)=__”=_(%U(D,

363x33x

由r(无)>0,解得1<X<2,所以函数的单调递增区间是(1,2).

故选：c.

5.C

【分析】求得/(%)在R上单调递增的充要条件即可判断.

【详解】由题/(力=加+2%+1

若/⑴在R上单调递增，则r(x"O恒成立，0即“21，

故"a>0"是"/(x)在R上单调递增”的必要不充分条件

故选:C.

6.C

【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得

结合两函数图象交点的位置舍去C项.

【详解】由/(x)=x、可得/'(%)=。;尸

对于A,当。=-1时，在第一象限上=/递减，对应(卜)=--=-3图象在第四

象限且递增，故A项符合；

对于B,C,D,在第一象限上f(x)与((尤)的图象在(0,+8)上都单调递增，故a>0且

6z-l>0,贝!Ja〉l.

又由/⑺=r(X)可得X=a>1，即/(X)=/与广(x)=的图象交点横坐标应大于1,

显然C项不符合，B,D项均符合.

故选：C.

7.BD

【分析】根据函数的奇偶性可得〃耳=£三二，8(同=言:，结合选项即可逐一求解，

【详解】由/«+g(x)=2工得/(-X)+gO=23由于函数/(X)和g(x)分别为奇函数和偶

函数，所以-〃x)+g(x)=2r,因此〃x)=三二,g(x尸三二，

对于A,/(x)-g(x)=-2-，,故A错误，

对于B,由于函数y=2,在(-8,+8)单调递增，》=2一,在(-8,+8)单调递减，所以

T-Tx

〃x)在(-co,+CO)单调递增，故B正确,

对于C,尸("=2/2了1!12=(2』+；)ln222也xjln2=地,当且仅当x=0时取等

号，

而ln2<l,所以C错误，

对于D,g(力当且仅当尤=0时取等号，所以D正确，

故选：BD

8.ABC

【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项:

通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.

【详解】对于A：尸(x)=31n3-21n2=2,In3-ln2,

因为无w(0,+co),所以2工>1，>1,因止匕In3>ln3>ln2,

故厂(无)>0,所以/(%)在(0,+s)上单调递增，故A正确;

对于B：令a=&,贝1Jy'用|,令h(x)=|,定义域为R,关于

2J

原点对称,

且h(-x)-h(x),故/i(x)为奇函数，B正确;

g)-1>0；x=0时，/(x)=0；

对于C：x>0时，/(x)=2A

x<0时,/(%)>-21>-1；C正确;

对于D：x=0时，g(x)=0,x>0时;g(x)>3*-2*=2*-1>°，

x<0时，g(x)<3<2*=2*-1<0,所以g(x)只有1个零点，D错误;

故选：ABC

9.(-co,-4)U(0,+co)

【分析】设出切点横坐标飞,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于X。的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】13y=(x+a)e*,0/=(x+1+,

设切点为(%,%),则%=伉+4炉1,切线斜率左=(占+1+。卜而，

切线方程为：y-(%o+a)e&=(%+l+a)e&(x—5),

团切线过原点,回一国+a)e&=(%+l+a)e%(-)),

整理得：x；+ax(j-a=0,

团切线有两条，回A=q2+4a>0,解得。<T或。>0,

回。的取值范围是(-00,T)(O,-H»),

故答案为：(Y>,T)一(0,+oo)

【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.

【详解】设公切线在曲线y=o?与y=lnx上的切点分别为点和%)，夙无2,3),

,111

由y=lnx可得丁=一，所以一=2,解得/=彳，

X冗22

所以%=In%=—In2,则5(—,—In2),

所以切线方程为y+In2=2(%-；),

又由》=以2,可得y=2ox,所以2〃玉=2,即g=l,

所以必=。片=玉,

又因为切点A(%,%),也即4匹,再)在切线y+ln2=2(x-g)上,

所以玉+ln2=2（x—；）,解得％=ln2+l,

11_1

所以〃二一

王In2+1In2e"

1

故答案为:

In2e

11.e+1

【分析】求得r(x)=(x+2)e，+g,得到/")=3e+lJ(l)=2e',根据题意得到

/7=/，(l),O=f(l),即可求解.

【详解】由题意，函数〃x)=(x+l)e，+lnx,可得r(x)=(x+2)e，L

X

可得八l)=3e+l,/(l)=2e,

因为曲线y=〃x)在(l,a)处的切线与直线法->+2=0平行，

可得b=r(l)=3e+l,a=/(l)=2e,所以匕一a=e+l.

故答案为：e+1

12.(i)y=x+2

(2))得

【分析】(1)利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.

(2)f(x)在xe(0,+°o)单调递增时，则/'(无)20对xe(0,+oo)恒成立，再利用分离参数

法、导数计算求解.

【详解】(1)由/00=/-加+1,得/'(X)=e*'-2ax,

则/'(0)=1,又/(0)=2,

所以曲线》=/(处在(0，/(。))处的切线方程为、-2=》-。，

即y=x+2.

(2)因为xe(0,E)时，/(x)单调递增，

所以xe(0,+co)时，尸(幻=d-2如20恒成立，

即2aW2在xe(0,+co)时恒成立，

设g(x)=f,则g'(x)=a])e，,

XX

贝|JO<XV1时，g\x)<0,X>1时，g'O)>0,

可知％=1时，g。)取极小值g6=e,该极小值也即为(0,+8)上的最小值，

所以2〃We,即

所以xc(0,+CO),/(尤)单调递增时，。的取值范围是.

13.（1）18x+3y—5=0

⑵答案见解析

【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出3,从而得到

/（2）=-y,求出切线方程；

（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分1-。=一1和1一。>一1三种情

况，讨论得到函数的单调性.

【详解】（1）/,（x）=x2+or+«-l,/'⑵=3a+3

由已知/（2）=-6,

团3a+3=—6得。=—3

又〃2）=一段

回曲线〃x）在点（2,/'⑵）处的切线方程为y+g=-6（x-2）

化简得：18.r+3y-5=O

（2）小）=#+■!—+（“一l）x+l定义域为R,

/,（x）=（x+a-l）（x+l）,令/'（尤）=0得工=]_。或％=_1

①当1—。<一1即a>2时，

令广⑺>0得%>-1或x<l—a,令尸（x）<。得1一。<%<1,

故在（1-a，T）单调递减，在（―』-。），（T+8）上单调递增；

②当1—a=—1即。=2时，/（司=（江+1）2\0恒成立，

故/'（X）在R上单调递增；

（3）当1-a>-1即a<2时，

令尸（x）>0得或x<-l,令尸（x）<0得-,

/⑴在（-1,1-a）上单调递减,在（-8,-1）,（1-口）上单调递增;

综上，当a>2时，/（上在（1-4-1）单调递减,在（Yo,l-a）,（-L+S）上单调递增；

当a=2时，“X）在R上单调递增；

当a<2时，在（—1,1—上单调递减，在（-co,-1）,（1-a,+00）上单调递增；

【能力提升训练】

一、单选题

1.（2023•山东潍坊•模拟预测）己知函数〃x）,g（x）及其导函数/'⑺，g'（x）的定义域

均为R，〃2x+l）为奇函数，g（x-1）关于直线x=l对称，则（）

A.〃g（T））=-〃g（l））B.g（/（-l））=-g（/（3））

c./（/（-功力/⑴）D.g（r（-i））=g（r（3））

/、[ax+l,x<0

2.（2023•北京西城•模拟预测）已知函数八，若存在天〉0,使得

lnx,x>0

/（-%）=-/（%）成立，则实数”的取值范围是（）

A.（-oo,-l]B.（-co,l]C.[1,+«）D.[-1,1]

3.（2023•广东佛山•二模）若斜率为1的直线/与曲线y=ln（x+a）和圆/+丁=；都相切，

则实数。的值为（）

A.-1B.0C.2D.0或2

4.（2023•陕西宝鸡•二模）若过点（0,2）可作曲线>=炉+3/+以+。-2的三条切线，则。

的取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

5.（2023・全国•二模）若曲线“力=/有三条过点（0,〃）的切线，则实数。的取值范围为

（）

A.[㈢B.（°，ncjo,jD.[of

6.（2024•辽宁•模拟预测）已知“X）是定义在R上的奇函数，g（x）=/'（x）-2e'+x也是定

义在R上的奇函数，则关于x的不等式g（l-f）+g（2x+2）>0的解集为（）

A.(-oo,T)U(3,+00)B.(^o,-3)I,(1,-Ko)

C.（T3）D.(-3,1)

7.（2024•北京海淀•一模）函数/Q）是定义在（T，4）上的偶函数，其图象如图所示,

"3）=0.设:（尤）是/（x）的导函数，则关于》的不等式/。+1＞/口后0的解集是（）

[3,4)C.(-5,0][2,4)D.(-4,0][2,3)

8.（2025・四川巴中•模拟预测）已知函数/3=4sinx+cosx的图象关于x=1对称，下列结

论中正确的是（）

A.小-己］是奇函数

『（J”1

IT

C.若/（X）在［-加,加上单调递增，贝1］0＜机4§

冗

D./（x）的图象与直线y=2x+§有三个交点

9.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=sin（3x+2］,下列说法正确的是（）

A./（x）的最小正周期为g

B.点1,o［为图象的一个对称中心

C.若〃尤）=。（。€1＜）在彳6［-9，《］上有两个实数根，则且。＜1

L189」2

D.若“X）的导函数为屈（力,则函数y=/（x）+/'（x）的最大值为加

三、填空题

10.（22-23高二下•浙江杭州•期中）若直线y=K（x+l）-l与曲线y=e*相切,直线

y=&（x+1）-1与曲线y=Inx相切，则k芯的值为.

11.（2023•广东佛山•一模）已知曲线/（力=«与曲线g（x）=alnx（aeR）相交，且在

交点处有相同的切线，则。=.

四、解答题

12.(2020・四川成都•模拟预测)已知函数/(无)=如-@-111尤(aeR).

X

(1)若〃为是定义域上的增函数，求。的取值范围；

(2)若。>丁若函数/O)有两个极值点A,x2(Xj<x2),求的取值范围.

13.(2024■江苏徐州■一模)已知函数/("=%2+依一1nx,aeR.

⑴若函数y=/(x)-2f在(0,2］上单调递减，求a的取值范围：

⑵若直线丁="与/⑴的图象相切，求a的值.

14.(22-23高二下•天津红桥•阶段练习)已知函数〃x)=lnx-以(aeR).

⑴若x=l是/(x)的极值点，求。的值；

(2)求函数/(x)的单调区间；

⑶若函数/(x)在［Ie?］上有且仅有2个零点，求。的取值范围.

参考答案:

题号123