二次函数与几何图形综合题（与三角形全等或三角形相似有关问题）（原卷版）

专题22二次函数与几何图形综合题

(与三角形全等或三角形相似有关问题)

1.(2022•四川乐山)如图1,已知二次函数丁="2+法+0(。＞0)的图象与*轴交于点

5(2,0),与y轴交于点C,且tan/CUC=2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2,过点C作CD〃x轴交二次函数图象于点D,P是二次函数图象上异于点D的一

个动点，连接PB、PC,若S&PBC=SABCD，求点P的坐标；

⑶如图3,若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接0P交BC于点Q.设点P

的横坐标为t,试用含t的代数式表示器的值，并求器的最大值.

2.(2022•浙江湖州)如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的

正方形，其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=-/+6x+c经

过A,C两点，与x轴交于另一个点D.

图2

(1)①求点A,B,C的坐标;

②求b,c的值.

(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP,过点P作PMLAP,交y轴于点M(如图2所

示).当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m,CM=n,试用含m的代数式表示

n,并求出n的最大值.

3.(2022•湖南衡阳)如图，已知抛物线j=V-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位

于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象印”，图象少交了

轴于点C.

(1)写出图象彳位于线段N8上方部分对应的函数关系式；

(2)若直线y=-x+b与图象少有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

⑶尸为x轴正半轴上一动点，过点尸作尸〃//＞轴交直线2C于点"，交图象少于点N,是

否存在这样的点尸，使△CMV与AOBC相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；

若不存在，请说明理由.

4.(2021•湖北十堰市•中考真题)已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于点幺(-1,0)和

5(-5,0),与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当tanNZCM=2时，求M点的横坐标；

(3)如图2,过点P作x轴的平行线1,过M作于D,若MD=yfiMN，求N点

的坐标.

5.(2021•湖北黄冈市•中考真题)已知抛物线歹=。/+左—3与x轴相交于4-1,0),

8(3,0)两点，与y轴交于点C,点N(〃,0)是x轴上的动点.

/

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若"<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线8C于点G.过点P

作尸8c于点D,当n为何值时，APDGWBNG；

(3)如图2,将直线8C绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段。。的中点，然后将它向

3

上平移一个单位长度，得到直线。回.

2

(1)tanZBOBl=；

②当点N关于直线的对称点2落在抛物线上时，求点N的坐标.

6.(2021•陕西中考真题)已知抛物线歹=-f+2x+8与x轴交于点A、B(其中A在点B

的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点B、C的坐标；

(2)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P,使APCC与APOB

相似且PC与尸。是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7.(2021•四川遂宁市•中考真题)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B(—3,

0)两点，与y轴交于C(0,—3),对称轴为直线x=-l,直线y=-2x+m经过点A,且

与y轴交于点D,与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式和m的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与AAOD相似，若存在，求出

点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)直线y=l上有M、N两点(M在N的左侧)，且MN=2,若将线段MN在直线y=1上平

移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果

保留根号).

8.(2021•四川泸州市•中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

1,3

y=—一厂+-》+4与两坐标轴分别相交于A,B,C三点

42

(1)求证：ZACB=90°

(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E,交x轴于点

F.

①求DE+BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似，求点D的坐标.

9.(2021•山东泰安市•中考真题)二次函数y=。必+bx+4(ow0)的图象经过点

N(—4,0),5(1,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接AP、AC,

交于点Q,过点P作PQLx轴于点D.

(1)求二次函数的表达式;

(2)连接BC,当ND尸8=2N8C0时，求直线AP的表达式；

(3)请判断：黑是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理

由.

10.(2021•重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线歹=必+8+C经过A

(0,-1),B(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过

点P作PDLAB,垂足为D,PE〃x轴，交AB于点E.

备用图

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当4PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和4PDE周长的最大值；

（3）把抛物线歹=必+及+。平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四

边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

n.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，抛物线歹=（x+l）（x—a）（其中a>l）与X轴

交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为的外心，且△8。与△NC。的周长之比为丽：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-。)上是否存在一点P，使得

NCAP=NDB4?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3

12.(2021•山东)如图，抛物线y=ax2+§x+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已

知A,C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；

(2)将AABC沿BC所在直线折叠，得到ADBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上,

若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；

(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q,连接BP,ABPQ

S

的面积记为S1,AABQ的面积记为S2,求7t的值最大时点P的坐标•

备用图

13.(2021•四川中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两

点，与y轴交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断4BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，血为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得BP+：EP的值

14.(2021•黑龙江中考真题)如图，抛物线7=办2+云+3(。*0)与x轴交于点/(1,0)和点

5(-3,0),与y轴交于点C,连接8C,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点

的三角形与ABOC相似，请直接写出点P的坐标.

15.(2021•湖南中考真题)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且

OA=2,OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与AMA®相似？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴

上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标,

并求出最短路程.

(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的

等腰放△C07??若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

16.(2021•湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ox2+bx+c(aH0)经

过点(U)和(4,1).

(1)求抛物线。的对称轴.

（2）当。=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线

G.

①求抛物线C的解析式.

②设抛物线G与X轴交于A,B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,连接

3C.点。为第一象限内抛物线G上一动点，过点。作。于点E.设点。的横坐标

为加.是否存在点使得以点D,E为顶点的三角形与ABOC相似，若存在，求出加

的值；若不存在，请说明理由.

17.（2021•江苏中考真题）如图,二次函数V=/-（加+1卜+加（加是实数，且

-1<w<0）的图像与x轴交于A、8两点（点A在点B的左侧）,其对称轴与X轴交于点

C,已知点。位于第一象限，且在对称轴上，点E在x轴的正半轴上,

OC=EC.连接ED并延长交了轴于点尸，连接AF.

（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含机的式子表示）；

（2）已知点。在抛物线的对称轴上，当△/尸。的周长的最小值等于?12，求加的值.

.13

18.（2021•山东中考真题）如图，直线尸-丁+万分别交x轴、》轴于点A,B,过点A的

抛物线y=-/+6x+c与x轴的另一交点为C,与》轴交于点。（0,3）,抛物线的对称轴/交

于E,连接OE交于点F.

（1）求抛物线解析式；

(2)求证：OE_L4B；

(3)P为抛物线上的一动点，直线尸。交AD于点M,是否存在这样的点P,使以A,0,M

为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

19.(2021•内蒙古中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+4x经过坐标原

点，与x轴正半轴交于点A,点是抛物线上一动点.

(1)如图1,当%>0,n>0,且〃=3加时，

①求点M的坐标：

②若点台］，，♦在该抛物线上，连接网，BM,C是线段BM上一动点(点C与点M,B不重

合），过点C作。。//MO,交x轴于点D,线段0D与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点后卜,：］在对称轴上，当加>2,«>0,

且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N,G为y轴上

一点，点G的坐标为连接GF.若EF+NF=2MF,求证：射线FE平分/4FG.

20.（2021•江苏中考真题）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线了=-x+3与x轴交

于点B,与y轴交于点C,二次函数y=a/+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一

点A,点M为线段03上的一个动点，过点M作直线1平行于y轴交于点F,交二次函数

y=ax2+2x+c的图象于点E.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段跖的长度；

(3)已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标.

21.(2021•福建中考真题)已知抛物线＞=依2+加+。与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点尸求a+6的最小值；

(2)已知点4(-2,1)第(2,-1),吕(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线1：＞=履+1与抛物线交于M,N两点，点A在直线＞=-1上，且/M4N=90。，过

点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B,C.求证：△M43与的面积相

等.

22.（2021•黑龙江中考真题）如图，已知抛物线＞=。/+法+5（4%0）与x轴交于点

/（-5,0）,点3（1,0）,（点A在点8的左边），与了轴交于点C,点。为抛物线的顶点，连

接BD.直线＞=-；龙-g经过点A,且与》轴交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N是抛物线上的一点，当A3£>N是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；

（3）点尸为线段/E上的一点，点G为线段0A上的一点，连接尸G,并延长FG与线段3。

交于点“（点"在第一象限）.当/所G=3/A4E且〃G=2kG时，求出点尸的坐标.

9

23.（2021•海南中考真题）已知抛物线卜="2+1》+。与*轴交于45两点，与y轴交于C

点，且点A的坐标为（-1,0）、点C的坐标为（0,3）.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,若该抛物线的顶点为P,求APBC的面积；

(3)如图2,有两动点。、E在△CO2的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分

别从点C和点B同时出发，点D沿折线CO3按方向向终点B运动，点E沿线段

3C按C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设

运动时间为t秒，请解答下列问题：

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①当t为何值时，的面积等于正；

②在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点F,使得依次连接40、DF、FE、E4得到的四

边形工。在是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.

24.(2021•广西中考真题)在平面直角坐标系中，已