第一章 集合与常用逻辑用语（原卷版）-2024年高中数学学试考点归纳与测试

第一章集合与常用逻辑用语

目录

知识梳理..........................................

考点精讲精练......................................

考点一：集合的含义与表示.........................................3

考点二：集合间的基本关系........................................4

考点三：集合的基本运算..........................................4

考点四：充分条件与必要条件......................................6

考点五：全称量词与存在量词......................................7

集合与常用逻辑用语实战训练.........................................8

知识梳理

1、元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：e和e.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图(vem?图).

(4)常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或乂ZQR

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5},可知IwA,在该集合中，6eA,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,b,c}应满足a丰b手c.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A=[1,2,3,4,5}和5={1,3,5,2,4}是同一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{b'括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，

在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

(1)子集(subset)：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元素,

我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作Ac3(或8卫A),读作“A包含于

3”(或“3包含A”).

(2)真子集(propersubset)：如果集合入屋3,但存在元素％£区，且XEA,我们称集合A是集合5的

真子集，记作(或.读作“A真包含于3”或“3真包含A

(3)相等：如果集合A是集合3的子集且集合3是集合A的子集(304),此时，集合A

与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作A=5.

(4)空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合3的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记作AB,

即AB=[x\x&A,&B}.

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，称为A与8的并集，记作AB,

即A8={x|xeA,或xeB}.

(3)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集。的

补集，简称为集合A的补集，记作GA,即64=口|X6。,且%e4}.

4、充分条件、必要条件与充要条件的概念

(1)若P=q,则P是4的充分条件，4是P的必要条件；

(2)若夕nq且44P，则P是4的充分不必要条件；

(3)若。4q且则P是4的必要不充分条件；

(4)若P=q,则P是4的充要条件；

(5)若，44且44P，则P是4的既不充分也不必要条件.

5、全称量词与存在量词

(1)全称量词

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

（2）存在量词

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“丁'表示.

（3）全称量词命题及其否定

①全称量词命题：对M中的任意一个工,有p（x）成立；数学语言：

②全称量词命题的否定：3x&M,^p{x}.

（4）存在量词命题及其否定

①存在量词命题：存在M中的元素工,有p（x）成立；数学语言：3x^M,p（x）.

②存在量词命题的否定：

考点精讲精练

考点一：集合的含义与表示

真题讲解

例题1.（2023.河北.高三学业考试）给出下列关系：①手R；②⑸R；③卜3|eN；@|-3|eQ.其中

正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例题2.（2023・河北•高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.所有直角三角形B.抛物线y=V上的所有点

C.某中学高一年级开设的所有课程D.充分接近代的所有实数

例题3.（2023•河北•高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M则下列结论正确的是（）

A.OGM2GMB.（W,2e〃

C.D.

例题4.（2023・上海•高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是—

真题演练

1.（2023.河北.高三学业考试）给出下列关系：①白R；②⑸R；@|-3|eN；@|-3|eQ.其中正确的

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2023•河北•高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（）

A.所有直角三角形B.抛物线y=x2上的所有点

C.某中学高一年级开设的所有课程D.充分接近6的所有实数

3.（2023•河北•高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M则下列结论正确的是（）

A.0GM2GMB.（W,2GM

C.D.

4.（2023・上海•高三统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是

考点二：集合间的基本关系

真题讲解

例题1.（2023•河北•高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是（）

A.{x£H|/-l=0}B.{x|x>6或％<1}

C.{（x,y）\x2+y2=0}D.{小>6且x<l}

例题2.（2023・河北•高三学业考试）已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为（）

A.5B.6

C.7D.8

例题3.（2023・上海•高三统考学业考试）已知A={第一象限角）,3={锐角},。={小于90。的角},那么

A、B、。的关系是（）

A.B=AnCB.BUC=CC.AuCD.A=B=C

真题演练

1.（2023・全国•高一学业考试）已知集合&=何-1<彳<3"€阴，则集合A的真子集的个数为（）

A.7B.8C.15D.16

2.（2023・河北•高三学业考试）若集合”={小抬1},N={y,=f,国＜1},贝I」

A.M=NB.M=NC.N=MD.McN=0

3.（2023秋・广东•高三统考学业考试）已知集合加={1,2,3},N={2,3,4},则下列式子正确的是

A.M=NB.N=MC.MN={2,3}D.MN={1,4}

考点三：集合的基本运算

真题讲解

例题1.（2023广东.高三学业考试）设集合A={0,l,2},8={1,2,3},则AcB（）

A.⑶B.{0,1,2,3）

C.{1,2}D.0

例题2.(2023春・天津南开•高一学业考试)设全集I={0,1,2,3},集合M={0,1,2},N={0,2,3},则0(MuN)=

().

A.{1}B.{1,3}C.{0,2}D.0

则其图象为（）

例题4.（2023•江苏•高三统考学业考试）对于两个非空实数集合A和B,我们把集合口x=a+b,aeA,beB}

记作A*及若集合4={0,1},3={0,-1},则A*B中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

x-m

例题5.（2023.河北.高三学业考试）已知集合4={尤eR||x+2|<3},集合B=xeR<0且

x-2

AB=(-l,n),贝"相=,n=

真题演练

1.(2023春•浙江•高二学业考试)已知集合4=卜€21尤2-2<0},8={0,1},则AB=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1)

2.(2023・广东•高三学业考试)已知集合。={2,3,4,5,7},A={2,3},B={3,5,7),则A倒可=()

A.[2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2}D,{2,3,4,7)

3.(2023春・浙江•高二统考学业考试)已知全集"={2,4,6,8,10},集合A={2,4},3={1,6,8},则(上4)八3=

()

A.{2,4}B.{6,8,10}C.{6,8)D.{2,4,6,8,10}

4.(2023春・福建福州•高二福建省福州延安中学校考学业考试)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},AIa3={1,3},

①(A3)={2,4},则集合B为()

A.{1,3,5,6,7,8}B.{2,4,5,6,7,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4}

5.(2023春海南•高一统考学业考试)已知集合河={x|-2<x<4},N={x|x...-1},则Nc低M)=()

A.B.{x"4}C.{尤—2}D.{x卜探!Jc4}

考点四：充分条件与必要条件

真题讲解

例题1.（2023春•天津南开•高一学业考试）对于实数无，“x<0”是“x<l”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题2.（2023春•福建福州•高二福建省福州延安中学校考学业考试）设aeR,贝『七（。-3）>0”是“。>3'

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题3.（2023春・浙江温州•高二统考学业考试）已知向量a=92）,b=（l,"l）,则“f=2”是“〃//”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题4.（2023・全国•高一学业考试）已知集合4={到20-14丈。+1},B={x\0<x<3].

（1）若a=l,求

（2）给出以下两个条件：@AUB=B；②"xeA”是的充分不必要条件.

在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：

若，求实数a的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

真题演练

1.（2023•湖南衡阳•高二校联考学业考试）使不等式工>1成立的一个充分不必要条件是（）

A.2<x<3B.%>0C.-2<x<5D.x>l

2.（2023春・安徽马鞍山・高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）“（计1）（工+2）=0”是“％=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（2023春・浙江金华•高二学业考试）若P：x<2；q：-l<x<2,则。是4成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

考点五：全称量词与存在量词

真题讲解

例题I.（2023•浙江温州•高二统考学业考试）已知命题p：Vx<2,|x|V3,则命题的力为（）

A.3x0<2,闯>3B.3x0>2,闯>3

C.Vx<2,|x|=3D.Vx>2,|x|>3

例题2.（2023春・浙江温州•高二统考学业考试）设命题P：D%£R,(x-2)(x+3)>0,贝！］土为()

A.3XGR,(X-2)(X+3)>OB.3xGR,――-<0

0OO0°x°+3

x（）-2、

C.VYGR,(x-2)(x+3)<0D.现eR,一二■<（）或％=-3

玉）十J

例题3.（2023・河北•高三学业考试）命题F%£R,%2T+I=0,,的否定为

例题4.（2023・安徽•高二马鞍山二中校考学业考试）命题“玄£[1,2],x2+%_々00，，为假命题，则，的取值

范围为

真题演练

1.（2023春•天津南开•高一学业考试）已知命题P：Bx>0,X2+2X+2<0,则命题〃的否定为（）.

A.3x<0,x2+2%+2>0B.Vx>0,x2+2%+2>0

C.Hx>0,X2+2X+2>0D.VX<0,X1+2X+2>0

2.（2023•山西太原•高二太原师范学院附属中学校考学业考试）命题“却wR,x；+3x「2=0”的否定为（）

A.V尤eR,》2+3x-2=0B.\fxeR,x2+3x-2^0

C.eR,尤;+3x；—2=0D.3^GR,尤；+—2w0

3.（2023•湖南衡阳•高二统考学业考试）命题2],无2<i„的否定是（）

22

A.HrG[-1,2],x>1B.3xg[-l,2],x<1

22

C.VXG[-1,2],x<1D.Vxe[-1,2],x>1

4.（2023春•河北•高三统考学业考试）若命题“叫e[-1,2],-x；+2..a”是假命题，则实数。的范围是（）

A.a>2B.a..2C.a>-2D.④-2

5.（2023・河北•高三学业考试）若命题FXER,f_2x+根<0”是假命题，则实数机的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

集合与常用逻辑用语实战训练

1.（2023•浙江温州•高二统考学业考试）已知集合4=3-2Vx<6},3={x|0<尤<8},则43=（）

A.{x|0<x<5}B.{x|0<x<6}

C.{x|-l<x<8}D.{x|—2<x<8}

2.（2023・广东•高三学业考试）集合A={1,2},B={2,3},C={3,4,5},贝[|（AIB）UC=（）

A.{1,2,3}B.{2,4,5}C.{2,4}D.{2,3,4,5}

3.（2023春・河北•高三统考学业考试）命题P：“玉eR,x+2W0”的否定是（）

A.VxwR,x+2<0B.HXGR,X+2>0

C.VxwR,x+2>0D.HYGR,x+2>0

4.（2023春・浙江温州•高二统考学业考试）若集合A=N,8={x|-lWxW3},则A3=（）

A.（1,2,3}B.{-11,2,3}C.{0.1,2,3}D.{2,3}

5.（2023春・湖南•高二统考学业考试）命题“王eR,炉+》+1<0”的否定是（）

A.VxeR,尤？+尤+1<。B.VxeR,x2+%+1>0

C.玉eR,x2+x+l>0D.*wR,尤2+x+ivo

6.（2023秋・福建•高二统考学业考试）“4。|>"c|”是“0>人”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.（2023秋・重庆•高三统考学业考试）设aeR,集合&={#2-%-2训，2={无}=In（x-a）},B^A,

则。的取值范围是（）

A.（-oo,-l）B.（1,+co）C.[2,+oo）D.（2,+8）

8.（2023・安徽•高二马鞍山二中校考学业考试）若集合A={1,2,3,4,5},集合3={x|（x+2）（x-3）<0},则

图中