东三省2024-2025学年高三年级上册12月调研测试数学试题（含答案解析）

东三省2024-2025学年高三上学期12月调研测试数学试题

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一、单选题

1.已知集合“=卜|-25</<25},双={-1,一3,-1,0,2,3},则MN=（）

A.{-1,0}B.{0,2}C.{-1,0,2}D.{0,2,3}

2.若z=5+i,贝（）

i

A.-lOiB.10C.26D.-26i

3.设是两个不共线的向量，03是AB在上的投影向量，则下列结论正确的是（）

2

A.ABBD^BDB-AC-AD=AD2C.BD•DC=AD2D.ACCD=CD

4.已知4（孙必）,5包,%）是函数y=lnx的图象上两个不同的点，则（)

»+、2I---口券1芯+%31+为产<%+%

A.9丁>7^B.e->—丁C.<D・

"2

5.已知正三棱台4BC-A耳G的上底面边长4瓦=2,下底面边长A3=6,侧棱AA与底面

ABC所成角的正切值为2,则该正三棱台的体积为（

104n1046

A.52B.52A/3c-VLJ•------

3

6.已知圆:X2+y2—2a%+a?_1=。与圆G：%2+,2-4勿+442—1=Q^a,bGR)有且仅有二

条公切线，则Q-必的取值范围是（）

A.(-oo,-2]U[2,+oo)B.[-2,2]

C.—2^2Ju^2V2,+oo)D.[-2V2,2V2]

7.-^d!=Ve-l,Z?=—,c=l-ln—,则)

22

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

2

8.已知函数++没有极值点，贝|扁的最小值为（）

A.-rB.—C.1D.e

ee

二、多选题

9.定义〃x）=[x],其中因表示不超过x的最大整数，例如：[3.2]=3,[-0.3]=-1,则下

列说法正确的是（）

A.是[x]=[y]成立的充分不必要条件

B.g（x）=x-（x]是周期函数

C.M+[v]<[x+y]

D."x）=区是奇函数

X

10.已知函数/（x）=sin（0x+j（0>O）在xj时取得极大值，则（）

A.函数在区间（0,鼻上单调递增

B.函数的图象关于点中心对称

C.函数〃尤）的图象关于直线x对称

D.函数/（X）在区间（0,2兀）上至少存在两个极值点

11.已知点是圆C:（x-5）2+（^-2）2=16上的动点，点N（s,。是直线

上的动点，过N作圆。的两条切线，切点分别为S,7,则（）

A.M和N两点之间距离的最小值小于1

B.当ZMBA最大时，AMBC的面积是6夜

C.直线ST过定点口,；）

D.|S刀的最小值是更

三、填空题

12.记S“为等差数列｛g｝的前几项和，若4+%=12,2%+%=15,则几=.

13.已知a是第二象限角，sin[a+P]=巫，贝|tan2a=

（4J10

14.在长方体ABCD-A耳GR中，AB=6,A4,=1,是棱的中点，平面ABCD截一球

试卷第2页，共4页

面得圆平面A耳G。截该球面得一圆N,已知圆M和圆N的半径分别为2和3,则该

球的表面积为.

四、解答题

15.在锐角VABC中，内角A,3,C的对边分别为a,Z?,c,Z?cosC+ccosB=4,4sin2c=J§ccosC.

(1)求角A；

(2)若VABC的面积为4百，求VA2C的周长.

16.设函数/i(x)=gx3-(2a+l)x2+8ox+32a2,其中a是常数.

⑴讨论〃尤)的单调性；

⑵若X=1是函数的极值点，证明：函数〃x)的图象关于点MgJ成中心对称.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，己4,平面ABC。，设平面P3C和平面上4£)的交线为

1,1//BC.

(1)若AB_L3C,证明：平面PAD_L平面B1B；

(2)若AB=AD=1,PA=^,ZABC=120°,平面ABC。与平面PCD所成角的正弦值为2叵，

3

求异面直线PC与AB所成角的余弦值.

18.已知数列｛%｝的首项为1,其前〃项和为S",等比数列｛2｝是首项为1的递增数列，若

3na“+i—6S“=”(〃+1)(〃+2),8伪+2々=".

⑴求数列｛4｝和色｝的通项公式；

1111c

(2)证明：一+—+—+•+—<2.

axa2a3an

⑶求使得%Nb“成立的最大整数〃.

19.已知椭圆E：±+马=1（。＞匕＞0）的离心率为交，以焦点和短轴端点为顶点的四边形的

ab2

面积为16.

⑴求E的方程；

⑵已知点又（0,-1）,必（1,1）,肱%+；=跖％+跖％（”eN*）,OM,〃ON“,且OA%ON“=2.（。

为坐标原点）.

①证明：点M在同一个圆上；

②将①中的圆向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得到一个新圆，已知P（x0,yo）

是该圆上的任意一点，过点尸作该圆的切线，设切线与E交于C,。两点，求OC.OD的取值

范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CABDCDBABCBD

题号11

答案AD

1.C

【分析】解不等式求出集合A,再由交集的运算求解即可；

【详解】因为MW-25</<25}=[I-妪<尤<后},N={-4,一3,-1,0,2,3},

所以VcN={T,0,2}.

故选：C.

2.A

【分析】首先根据共物复数的概念求得I,再代入式子中根据复数的四则运算法则进行求解

即可

【详解】由z=5+i,得1=5-i,z+W=10,则士=W=_ioi.

ii

故选：A

3.B

【分析】由题意画出图形，令ADLCD,结合向量数量积的定义逐项判断即可；

【详解】

如图，由题意可设AD_La),

对于A,由数量积的定义可得BD>故A错误；

对于B,根据向量数量积的定义得AOA。=|AC，A”cosNCAO=Ao,故B正确；

对于C,设忸4=〃?,|。4="，贝UBD?£>C-mn,由于可以为任意正数，故C错误;

对于D,由数量积的定义可得Q4?C£>CD2，故D错误；

故选：B.

答案第1页，共15页

4.D

【分析】由对数函数的运算性质可得AC错误；由对数函数，指数函数以及对数的运算性质

可得B错误，D正确；

【详解】对于A、C,因为丛产=生"生”=111斥，所以e"&=斥，故A,C错

误；

对于B、D,由题意知为力々，因为函数y=lnx是增函数，所以hu■产即玉片3，

结合基本不等式，％|A="g=lnQ<lng^,

n

因为y=e*是增函数，所以ek<e^=土产，故D正确，B错误；

故选：D.

5.C

【分析】将正三棱台48C-A4G补成正三棱锥P-MC，得到ZPAO即为棱A4与底面

ABC所成的角，再由棱台的体积公式求解即可；

【详解】将正三棱台ABC-ABC1补成正三棱锥P-ABC,

则AA与平面ABC所成角即为以与平面ABC所成角，

设点P在平面ABC上的射影为0,在平面ABG上的射影为Ot,

则。为VABC的中心，。]为△AqG的中心，/R4。即为棱4A与底面ABC所成的角，所

以tanZPAO=2,

由于QA=竿，％=2>5,tanNPAO=/=霏=2,

故尸O[=2Aoi=¥，PO=2AO=4g,

所以棱台的高。。1=手，又上、下底面的面积分别为百和96，

所以棱台的体积V=；（有+后瓦耳+9班卜孚=与.

故选：C.

答案第2页，共15页

p

6.D

【分析】根据公切线条数可确定两圆外切，由圆与圆位置关系的判断可构造方程得到

"+仍2=4,令f=a-2），代入消元，将问题转化为一元二次方程有解的问题，由此可求

得f的取值范围.

【详解】由圆G方程知：圆心G（a,O）,半径用=1；

由圆C?方程知：圆心G（0,2b）,半径4=1；

.,圆C］和圆G有且仅有三条公切线，.•.两圆外切，

2222

|CjC21=y/a+4b=4+4=2,HPa+4b=4,

i^a-2b=t,贝！Ja=t+2/，:.a2+4b2=（t+2b^+4b2=8b2+4tb+t2=4,

即8廿+4力+产-4=0.-.A=16r2-32（?-4）＞0,解得:-2应W/W2应，

,a—26的取值范围为［-2A/2,2V2］.

故选：D.

7.B

【分析】首先通过数值放缩判断。与6及。与6的大小关系，然后构造函数

f（x）=ex-1—2x+l+Inx,

利用导数研究函数“X）的单调性，借助函数单调性判断，与C的大小关系.

【详解】因为1=;,所以。＞人；

因为函数y=l独单调递增，人＞；,所以111；＜111正,即则,所以C＞〃；

构造函数/'（X）=e'T-2x+1+Inx,则广⑺=e1-2+J,

11

令g（_r）=e--2+上，贝°g，（x）=ei-3,

XJC

答案第3页，共15页

显然g'(x)在［1,+8)上单调递增，所以g'(x)>g'⑴=0,

故/'(X)在［1,+⑹上单调递增，所以尸(x)N_f(l)=0,所以〃尤)在［1,+8)上单调递增，

从而故有的一231+1岐>0,整理得公一1>1一吟

所以a>c,i^a>c>b.

故选：B

8.A

【分析】分析可知，7"+1>0,可知一一+附Nlnx在(0,+。)上恒成立，故需要有

x+〃(m+l)2(m+l)lnx在(0,+8)上恒成立(等号不恒成立)，g(x)=(m+l)lnx(x>0),求

出函数g(x)的斜率为1的切线方程，可得出3*-一二+帅+1),令y机+1>0,则

m+1m+1m+1

y=L+皿竺±11=期二1,利用导数求出y=期二1■的最大值，即为所求.

m+1m+1tt

,r2

【详解】因为/(%)=---+2(n+l)x-2X1RX(m,nGR),

依题意尸(x)=2(品+”lnx］在(0,+e)上没有变号零点，

令〃(x)=----+n-lnx,其中无>0,

m+1

若〃7+1<0,则/i'(x)=9pJ<0,则函数〃(x)在(0,+8)上为减函数，

当Xf0+时，/7(x)f+00;当Xf+8时，/7(x)f-oo,

所以，存在%>。，使得/R)=o,

且当。<x<x°时，-(尤)>0,此时函数“X)单调递增，

当x>x0时，-(无)<0,此时函数“X)单调递减，不合乎题意，

所以，」一>0,从而〃2+1>0,

m+1

因为当％->0+时，"(%)一+8,所以需满足-7+1nx在(°，+8)上恒成立，

故需要有x+n(m+l)>(m+l)lnx^(0,+。)上恒成立(等号不恒成立)，

设g(x)=(m+l)lnx(x>0),令=得尤=机+1,

所以函数g(x)的斜率为1的切线方程为,一(优+l)ln(m+l)=x—(m+l),

答案第4页，共15页

即y=x—(m+l)+(m+l)ln(m+l),

所以只需要〃(m+1)之一(根+1)+(m+l)ln(m+1),

所以只需要一8—2-一二十二(利+1)即可,

m+1m+1m+1

令仁切+1>。，则y=，+皿…=忆,

m+1m+1t

故v=马黑，当o<”e2时，y>o,当时，y<o,

t

所以，函数y=四户的单调递增区间为(o,e?),递减区间为卜2,+8),

所以当f=e?时取得唯一的极大值，即最大值，所以ymax=13,所以一YI)

em+1e

n的最小值为e.

所以,

m+1e

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出m+1>0,得出x+〃(m+l)之(根+1)1nx，

并求出函数g(%)=(祖+l)lnx(x>0)的斜率为1的切线方程，进一步得出关于根、〃所满足的

不等式，然后从不等式中分离出」7,进而通过构造新函数求解最值.

777+1

9.BC

【分析】举反例，结合题意中函数新定义和奇函数的性质可得A、D错误；结合函数新定义

验证g(x+l)=g(x)可得B正确；结合函数新定义证明当xNO时，

[无+y]=[x-[x]+[x]+y-[y]+[y]]-国+[y]+[尤—[x]+y—[y]]2[x]+[y]可得C正确；

【详解】对于A,取x=0.9,y=l.l,则|x—y|=0.2<l,但印=[0.9]=0,[可=口.1]=1,不

满足[可=[习，故A错误；

对于B,g(x+l)=x+l-[x+l]=x+l-([x]+l)=x-[x]=g(x),故B正确；

对于C,因为x-[小0,若无20,贝“可上。，

所以[x+y]=[x-[x]+[x]+y-[y]+3]=[A]+3+[x-[x]+y-[y]]斗r|+3，故C正确；

对于D,因为6(0.5)=网=0,"-0.5)=上空1=2,所以〃(-0.5)wj(0.5),所以/?(%)不

是奇函数，故D错误.

答案第5页，共15页

故选：BC.

10.BD

【分析】先根据函数/（尤）在x=1时取得极大值求出。的所有可能取值，进而确定解析式,

最后通过正弦型函数图象及其性质逐一判断选项正误即可.

【详解】因为函数=sin,x+1（。>0）在x=（时取得极大值，

所以卷+e=]+2E,Z:eN,得。=6左+l«eN,

JT

故/（x）=sin（6k+l）x+—GN,

|_6

贝|]/屋+[+/算7]=0,所以小）的图象关于点[-：。]中心对称，B正确；

令k=l,则/（x）=sin[7x+£],显然当时取得极大值，所以函数在区间

（。，外上不一定单调递增，A错误;

当左=0时，/5=sin2+胃=¥<1,所以函数〃”的图象不一定关于直线对称，

C错误；

\7T71兀tTlTl_,_

^（z6k+l）x+—=—+mn,meZ,fceN,得了=可不用+筋口，机©Z,AeNT,则在区间

,、兀4兀

（0,2K）上必有两个极值点3（6左+i）和3（6左+1），故D正确.

故选：BD

11.AD

【分析】由点到直线的距离公式求出圆心C到直线钻的距离，再由数形结合求出最小距离

可得A正确；当MB与圆C相切时ZMBA取得最大值或者最小值，再由三角形的面积公式可

得B错误；结合两点间距离公式和圆的标准方程求出以N为圆心，为半径的圆的方程,

再由两圆方程得到公共弦方程，再由直线过定点可得C错误；设|NC|=p,由勾股定理得到

\ST\，再当P取最小值2旧时囚刀最小可得D正确；

【详解】对于A,直线的方程为2x+y-2=0,圆心C到直线48的距离为

12x5+2-10

=2正>4,

业+11—忑

答案第6页，共15页

所以M和N两点之间距离的最小值为2君-4V故A正确;

对于B,当MB与圆C相切时ZMBA取得最大值或者最小值，因为忸Cj=5,|MC|=4,

所以5AMC=1X4X3=6,故B错误；

对于C,|NCF=(s-5)2+Q-2产，=|ATf=(s-5)2+Q-2)2-16=$2+/一ios一取+13,

所以以N为圆心,为半径的圆的方程为(x—s)2+(y—t)2=s2+t2-10J—4z+13,

所以直线ST的方程为(s—5)尤+«—2)y+13-5s—2r=0,

将f=—2s+2代入并整理得s(x-2y—l)-5x+9=0,

所以直线ST过定点(I，I],故C错误；

对于D,设|NC|=p(0N2番)，则网=而_16,

所以|S小'J。2T6=8Ml,

PvP

所以当P取最小值2岔时|ST|最小，最小值为竽，故D正确；

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是能够得到以N为圆心，|NS|为半径的圆和圆C的

公共弦方程，再确定直线所过定点；本题D选项的关键是数形结合，用勾股定理求解.

12.225

答案第7页，共15页

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d，依题意得到方程组，求出4、d,再由求和公式计算

可得.

【详解】设等差数列料,｝的公差为d,由题意得+6d=i5,解得j；=2，

[Sx]4

则Sl5=15al+2d=15x1+105x2=225.

故答案为：225

13.-

3

【分析】首先根据平方关系及商数关系，结合己知求得tan[+[的值，再利用凑角技巧结

合正切差角公式求得tan打的值，最后根据正切的二倍角公式求得tan2a即可.

【详解】由a是第二象限角，sin[a+3]=矍＞0,所以c+二也是第二象限角，

l-tan2cr3

4

故答案为：—

14.96兀

【分析】设球心为。，球的半径为利用球的截面性质可得平面A5CD,ON,平面

AqG。，求得OM=NR2_4,ON=JR?-9，结合图形求出平面ABC。和平面A4G。所成

的角为NGDC=30,即得NOMN=60,利用三角函数建立方程，求得半径，即得该球的

表面积.

【详解】

答案第8页，共15页

如图，设球心为。，球的半径为R,

由题意和球的性质得。0_L平面ABC。，ON_L平面,

则OM=32-4,ON=正-9，

因">_L平面。CG2，r>Gu平面。CG2，则AD_LDG,

又AD，DC,故NCDG为平面ABCD和平面AB^D所成的角,

1_V3

在RtDC[C中,由tanZC]£>C=可得“℃=30

国=3"

在RtZiOMV中，易得，/OMN=/D[DC]=90-30=60,

所以ON=OMsin60。，即得正一9=迫，出一4,解得心=24，

2

故球的表面积为4TI&=96兀.

故答案为：9671.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查球的截面性质应用和二面角的求法，属于较难题.

解题的关键在于根据球的截面性质设想图形，利用垂径定理运用球的半径表示。河,ON,并

利用求得的二面角平面角NCDC,得到NOMN，继而建立两者关系从而得解.

15.⑴A=60°

⑵12

【分析】（1）首先根据已知条件灰x）sC+ccos5=4,利用余弦定理求得。=4,再根据

4sin2c=&ccosC,利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得sinA=孝，进而求得角A.

（2）首先根据面积公式求得历=32,然后再利用余弦定理求得。?+c?=32,进而求得

b+c=8,即可求解三角形的周长.

【详解】（1）因为Z?cosC+ccosb=4,

a2+b2-c2a2+c2-Z?2a2+b2-c2a2+c2-b2

所以切----------------------1----------------------4

2ab2ac2a2a

答案第9页，共15页

因为4sin2C=V3ccosC,所以8sinCcosC=y/SccosC，

因为VABC是锐角三角形，所以8$苗。=限，

所以号=—，=提，则sinA="，因为A为锐角，所以A=60。.

(2)因为VABC的面积为4百，

所以IcsinA==44,BPbe=16,

24

由余弦定理得16=/+C2—2Z?CCOS60。，即。？+/=32,

所以(b+c)2=b2+c2+2bc=32+32=M,即b+c=8,

故VABC的周长为12.

16.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)含参的单调性讨论问题，求导后分。>［，。=］，讨论即可；

(2)先利用函数的极值点求出函数的表达式，再求出点〃的坐标，然后验证

〃3-司+〃同=，即可；

【详角犁】(1)=—2(2〃+1)%+8〃，

令/'(九)=0得再=4a,3=2,

若〃>；,则4a>2,

所以当x<2或x>4〃时r(x)>0J(x)单调递增，

当2〈尤<4々时/(x)<0J(x)单调递减；

若。=g，则尸⑺20(当且仅当x=2时取得等号)，“X)在R上单调递增；

若。<万，则4<7<2,

所以当x>2或x<4a时r(x)>0,/(x)单调递增，

当44Vx<2时，/'(x)<0J(x)单调递减.

综上，若a>；,则当xe(-oo,2),xe(4a,+oo)时，/(x)单调递增，当xw(2,4a)时，/(x)单

答案第10页，共15页

调递减；若〃=g，则〃尤）在R上单调递增；若"g，则当x«-8,4a）,xe（2,+8）时，f（x）

单调递增，当xe（4a,2）时，〃元）单调递减.

（2）证明：/'（X）=f—2（2a+l）x+8〃，依题意x=l是方程/一2（2a+l）x+8〃=0的根，

所以1一2（2。+1）+8。=0,解得。=；,

又当。=1时，方程d-3x+2=0有两个不相等的根x=l和x=2,

所以当x«-8』）时，/'（%）>0,当xe（l,2）时,f'（x）<0,

所以尤=1是〃x）的极大值点，符合题意,

13

故4%)=_%3-x2+2x+2,

所以呢，口

1313

因为了(3—%)+/(%)=](3—%)3-—(3-x)2+2(3-x)+2+jx3-—x2+2x+2

=1[(3-^)3+X3]-|[(3-X)2+X2]+10=1(9X2-27X+27)-|(2X2-6x+9)+10=y,

所以函数/(x)的图象关于点M，V]成中心对称.

17.(1)证明见解析

【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面B钻，再线面平行的性质定理证明

BC//AD,然由面面垂直的判定定理可得；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设3C=p,分别求出平面PCD和平面ABCD的法向

量，代入空间二面角的公式求出P,再代入空间异面直线夹角公式求出即可；

【详解】（1）证明：因为总，平面ABCDICu平面ABCD,所以E4L3C,

因为8C_L■,/>4门48=4,7%,48（=平面上钻，所以BC_L平面上4B,

因为/〃3C,/u平面平面PAD,所以8c〃平面PAD,

因为BCu平面ABC。，平面A3CDi平面所以3C〃AD,

所以AT>_L平面R4B,

因为ADu平面PAD,所以平面PAD_L平面BIB.

（2）由（1）可知3C〃AD,因为NABC=120。，所以/&1。=60。，

答案第11页，共15页

以A为原点，AB,AP所在直线分别为x轴，z轴，在平面A3C。内，垂直于A3的直线为＞

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设BC=p,则尸(0,0,@,巩1,0,0),。~|+1,亭,0,D；,与0,所以

PC，勺I,年，-局，阳¥，-&

设平面s的法向量为元=(”z),贝/年＞一岳二°

x+—2A/2Z—0

包+P),所以〃=由一同,斗%'

取z=l,贝【Jx=A/2(1-p),y=

,3137

显然平面ABC。的一个法向量为〃?=(。,0,1),

解得P=2,

设PC与48所成的角为a,因为PC=(2,"-⑹，又AB=(l,0,0),

AR9Q

所以cosa=：=-,所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为f.

|PC||AB|33

21

18.(1)«„=«-bn=2-

(2)证明见解析

(3)6

答案第12页，共15页

【分析】(I)根据S“与%的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即

可；

1

(2)对一的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可；

an

(3)利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可.

【详解】(1)因为3叫回―6S"

所以当时，3(w-l)a,;-6S„_1=(n-l)«(n+l),

作差得加“+1-("+1)为=〃(〃+1),

两边同时除以得也-2=1(心2),

'7n+1n

又％=1,所以3%-6百=6,得出=4,

所以女一幺=1,故对v〃eN*,-—殳=1,

21n+1n

所以数列是首项为1,公差为1的等差数列，

所以冬=1+(〃-1)'1=〃，则〃〃=川.

n

设等比数列也J的公比为q(qH0),

因为4=1,所以由84+2a=%=的+2/1=«5=。，或彳=±2

又因以数列出｝是递增数列，所以4=2n2=2-1.

⑵因为3=/=上=？1六.*],

n4

11111111

+一=-+—7+-r+

所以一+—+—+22

C^2^^3%123n

p--一1

+<2.

I2n-l2n+l2n+l

(3)由(1)知，4之年即/之2"T,令%=/—2〃T,则均=。用—g=2〃+l—2〃T,

"力=2-2"、

所以当”=1时，%>4，当"=2时，d2=d3,当"23时，dn+1<dn,

即有4cd2=43，d3>d4>d5>

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又4=2>0,d,=痣=3>0,〃=1>0,4=—5<0,

C>C>C>

故当"25时，dn<0,所以q<02<。3<。4<。5，561

又G=0,。6>0,。7<。，

所以%>%，当"27时，an<bn,故使得凡N我成立的最大整数为6.

1=1;14__（1______

【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是见一“2一4/-1一（2“-12n+l），之

n~4

二是利用作差比较法判断数列的单调性.

19.⑴工+.=1

168

⑵①证明见解析；②T，-；

【分析】（1）求出基本量后可求椭圆方程；

⑵①