高一数学讲义（人教A版2019）51任意角和弧度制（八大题型）

5．1任意角和弧度制目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：角的概念 4题型二：终边相同的角的表示 6题型三：角所在象限的研究 9题型四：象限角的判定 11题型五：区域角的表示 13题型六：弧度制与角度制的互化 16题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 17题型八：扇形中的最值问题 20

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．知识点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义．2、终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．知识点诠释：（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同；（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；（3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍．3、常用的象限角角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以知识点二：弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．知识点诠释：（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．（2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径．【典型例题】题型一：角的概念【典例11】（2024·高一·浙江台州·专题练习）已知，则的余角是（

）A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°【答案】A【解析】的余角为.故选：.【典例12】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（

）①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误；对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确；对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确；对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误．综上，正确的个数是2.故选：B．【方法技巧与总结】理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【变式11】（2024·高一·江西·阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角【答案】B【解析】对于A中，小于的角，例如，但不是锐角，所以A是假命题；对于B中，因为钝角的范围是是第二象限角，所以B是真命题；对于C中，例如：是第二象限角，是第一象限角，但，所以C是假命题；对于D中，当时，，但不是第二或第三象限的角，所以D是假命题．故选：B．【变式12】（2024·高一·湖南长沙·期末）下列命题正确的是（

）．A．小于的角是锐角 B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．与终边相同的最小正角是 D．若，则是第四象限角【答案】C【解析】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误；是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误；因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确；且，所以是第三象限角，故D错误.故选：C【变式13】（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是第一象限角，所以是第四象限角，则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误；是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误.故选：C.【变式14】（2024·高一·全国·专题练习）已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转到达OB位置，由OB位置顺时针旋转到达OC位置，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以.故选：B题型二：终边相同的角的表示【典例21】（2024·高一·全国·课后作业）已知集合．(1)集合中有几种终边不相同的角？(2)集合中有几个大于且小于的角？【解析】（1）由于任意k值都可以写成或或或（）的形式，所以集合中终边不相同的角共有4种．（2）由，得．又，故．所以集合中大于且小于的角共有8个．【典例22】（2024·高一·全国·课后作业）已知．(1)把α写成的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且．【解析】（1），它是第三象限角．（2）令，取就得到符合的角．当时，；当时，．故或．【方法技巧与总结】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法（1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法．（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．【变式21】（2024·高一·全国·课后作业）在与530°终边重合的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)–720°到–360°的角．【解析】（1）因为与530°终边相同角的集合为，当时，得到最大的负角为：；（2）由（1）知，当时，得到最小的正角为：；（3）由（1）知，当时，得到–720°到–360°的角为：；【变式22】（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边在直线上，(1)写出角的集合；(2)写出集合中适合不等式的元素.【解析】（1）角的终边在直线上且直线与轴正半轴的夹角为，角的集合.（2）在中，取，得，取，得，取，得，取，得，取，得，取，得，中适合不等式的元素分别是.【变式23】（2024·高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）与终边相同的角的集合为，由，可得，当时，，当时，，当时，，所以，适合不等式的元素为、、.（2）因为，所以，与终边相同的角的集合为，由，可得，当时，，当时，，当时，，所以，适合不等式的元素为、、.（3）因为，所以，与终边相同的角的集合为，由，可得、、，当时，，当时，，当时，，所以，适合不等式的元素为、、.（4）因为，所以，与终边相同的角的集合为，由，可得，当时，，当时，，当时，.所以，适合不等式的元素为、、.【变式24】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的集合．(1)其中有几种终边不重合的角？(2)写出落在–360°~360°之间的角；(3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法．【解析】（1）（1）当（）时，，与45°角的终边重合；当（）时，，与135°角的终边重合；当（）时，，与225°角的终边重合；当（）时，，与315°角的终边重合，故有4种终边不重合的角.（2）由，得．又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3．所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是：–315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°．（3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为，．题型三：角所在象限的研究【典例31】若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．【解析】因为是第二象限角，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．又由，当时，，此时是第一象限角；当时，，此时是第二象限角；当时，，此时是第四象限角．综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．【典例32】（2024·高一·全国·课后作业）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．【解析】由于角是第二象限角，所以，所以，，所以角的终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴，角的终边落在第一象限、第三象限.【方法技巧与总结】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意．【变式31】（2024·高一·江苏·课后作业）已知是第一象限角，试分别确定，的终边所在象限．【解析】∵是第一象限角，∴，∴，，则的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴，，，则的终边在第一或第三象限．【变式32】（2024·高一·江苏·课后作业）设是第一象限角，试探究：（1）一定不是第几象限角？（2）是第几象限角？【解析】（1）因为是第一象限角，即，所以，所以一定不是第三、四象限角；（2）因为是第一象限角，即，所以，当时，，是第一象限；当时，，是第二象限；当时，，是第三象限；当时，，是第一象限；综上：是第一、二、三象限角.【变式33】（2024·高一·全国·课后作业）若是第一象限角，问，，是第几象限角？【解析】因为是第一象限角，所以，所以，所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；，所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；．当时，，所以是第一象限角；当时，，所以是第二象限角；当时，，所以是第三象限角．综上可知：是第一、二或第三象限角．【变式34】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限.（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.【解析】是第四象限的角，，，当时，此时是第二象限；当时，此时是第四象限；又此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴；（2）题型四：象限角的判定【典例41】（2024·高三·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知角，则角的终边落在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，故与的角终边相同，其中在第四象限，故角的终边落在第四象限.故选：D【典例42】（2024·高一·全国·随堂练习）角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因为，可知的终边与的终边相同，且为第三象限角，所以角是第三象限角.故选：C.【方法技巧与总结】判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法（1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β；（2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限．【变式41】（2024·高一·全国·课后作业）角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】，故角是第三象限角．故选：C．【变式42】（2024·高一·陕西渭南·期中）角1000°的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，则与有相同的终边，所以其终边在第四象限.故选：D．【变式43】（2024·高一·广西桂林·阶段练习）是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】显然，所以是第三象限角.故选：C.【变式44】（2024·高一·辽宁抚顺·期中）的终边落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为的终边落在第四象限，所以的终边落在第四象限．故选：D题型五：区域角的表示【典例51】（2024·高一·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当为偶数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内；当为奇数时，设，则有，角的终边在介于角终边所在的区域内．故选：C．【典例52】（2024·高一·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】终边落在阴影部分的角为，，即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．故选：B．【方法技巧与总结】区域角的写法可（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角；（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．【变式51】（2024·高一·全国·课后作业）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线，所以，.故选：C【变式52】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则角的终边落在的阴影部分是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．【变式53】（2024·高一·全国·课后作业）若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】当取偶数时，，，故角的终边在第一象限.当取奇数时，，，故角的终边在第三象限.故选：C.【变式54】（2024·高一·全国·课后作业）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是A．B．C．D．【答案】C【解析】在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，.所以阴影部分的区域在间的范围是.所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.故选：C.题型六：弧度制与角度制的互化【典例61】（2024·高一·黑龙江牡丹江·期末）330°化成弧度制为弧度.【答案】/【解析】因为，所以，故答案为：.【典例62】（2024·高一·北京·阶段练习）角化为弧度制等于.【答案】/【解析】因为，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法．【变式61】（2024·高一·广东湛江·期末）将﹣300°化为弧度为．【答案】【解析】【变式62】（2024·高一·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是度，即rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是.【答案】864【解析】本题可以通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，得到填空（1）答案，经换算得到其弧度，即得到填空（2）答案，再通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，得到填空（3）答案，得到本题结论．∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，∴小轮转动周，即，，∴当大轮的转速为时，，小轮转速为，∴小轮周上一点每1s转过的弧度数为：，∵小轮的半径为10.5cm，∴小轮周上一点每1s转过的弧长为：，故答案为：864；；.【变式63】（2024·高一·上海·课后作业）与600°终边相同的最小正角为弧度．【答案】/【解析】与终边相同的角可以表示为，当时，与终边相同的最小正角为，化为弧度制为：.故答案为：.【变式64】（2024·高一·上海·随堂练习）将1920°转化为弧度数为．【答案】【解析】，故答案为：题型七：扇形的弧长及面积公式的应用【典例71】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆心角为1的扇形的面积为8，则该扇形的弧长为.【答案】4【解析】由，可得，所以.从而可得.故答案为：4.【典例72】（2024·高一·河北承德·阶段练习）已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为，该扇形的面积为.【答案】【解析】设该扇形的半径为，则，解得，得该扇形的面积为.故答案为：，【方法技巧与总结】有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式．【变式71】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）用一根长度为的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为．【答案】【解析】设扇形的弧长为，半径为，则，，则，当且仅当时，等号成立，所以扇形面积，当时，扇形面积取得最大为.所以圆心角的弧度数为.故答案为:.【变式72】（2024·高一·上海·专题练习）某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弦矢矢弧田如图所示由圆弧及其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是.

【答案】【解析】如图，由题意可得，．在中，可得，，则，所以矢．由，得弦，所以弧田面积弦矢.故答案为：．【变式73】（2024·高一·上海·专题练习）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为．

【答案】【解析】第一次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是，点三次共走过的路径是，故答案为：．【变式74】（2024·高一·四川内江·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为．【答案】2700【解析】如图，设扇形圆心角，，由弧长公式，得，解得，，所以该玉雕的面积约为．故答案为：2700题型八：扇形中的最值问题【典例81】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．(1)若，，求扇形的弧长；(2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【解析】（1），扇形的弧长；（2）设扇形的弧长为，半径为，则，，则，当时，，此时，，的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角．【典例82】（2024·高一·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.(1)若，，求扇形的周长；(2)若扇形的