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文档简介
1.1.3集合的基本运算TOC\o"13"\h\u题型1交集概念的简单应用 2◆类型1交集运算 2◆类型2含参问题 5题型2并集概念的简单应用 7◆类型1并集运算 7◆类型2含参问题 10题型3补集概念的简单应用 12◆类型1补集运算 12◆类型2Venn图解决并交补混合运算 15◆类型3含参问题 17◆类型4Venn图相关考点 19题型4并交补实际应用 22题型5含参取值范围问题 26◆类型1不等式相关考点 26◆类型2一元二次方程相关考点 31题型6新定义题型 34知识点一.交集自然语言一般地,由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合,称为集合A与B的并集(unionset),记作__A∪B__(读作“A并B”),符号语言A∪B=____{x|x∈A,且x∈B},图形语言可用Venn图表示.2.性质①A∩B=B∩A;②A∩A=A;③A∩∅=∅;④若A⊆B,则A∩B=A;⑤(A∩B)⊆A;⑥(A∩B)⊆B.知识点二.并集自然语言一般地,由___属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集(intersectionset),记作_A∩B_(读作“A交B”),符号语言A∩B=__{x|x∈A,或x∈B}图形语言可用Venn图表示.2.性质①A∪B=B∪A;②A∪A=A;③A∪∅=∅∪A=A;④A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);⑤A∪B=A⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B.知识点三..全集与补集1.全集(1)定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.(2)记法:全集通常记作U.2.补集自然语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA符号语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形语言可用Venn图表示.3.补集的性质(1)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅.(2)∁U(∁UA)=A,∁UU=∅,∁U∅=U.题型1交集概念的简单应用◆类型1交集运算【例题11】(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A={0,2},B={2,1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{2,1,0,1,2}【答案】A【解析】由题意知A∩B={0,2}.【变式11】1.(2022·全国·统考高考真题)集合M=2,4,6,8,10,A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10}【答案】A【分析】根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为M=2,4,6,8,10,N=故选:A.【变式11】2.(2021·浙江·统考高考真题)设集合A=xx≥1,A.xx>−1 B.xx≥1 【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得:A∩故选:D.【变式11】3.(2021·全国·高考真题)设集合M={1,3,5,7,9},N=A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9【答案】B【分析】求出集合N后可求M∩【详解】N=72故选:B.【变式11】4.(2023·全国·高一假期作业)设集合A={x|−1≤x≤2}A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤【答案】A【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】由题意可知,Venn图阴影区域表示的集合是A∩所以A∩故选:A.【变式11】5.(2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习)设A={x|x是等腰三角形}和B={A.{x|x是等腰三角形} B.C.∅ D.{x|【答案】B【分析】直接根据交集的概念得答案.【详解】若A={x|x是等腰三角形}和则A∩B={故选:B.【变式11】6(2023·江苏·高一假期作业)已知集合M=x,【答案】0,2【分析】根据集合的交集运算即可.【详解】由题意可得M∩N=x,故答案为:0,2◆类型2含参问题【例题12】(2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习)已知集合A=0,a+1,a2,【答案】3或−2【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质,即可求得答案.【详解】因为4∈A∩B故a−3≠4,1−又A=0,a+1,a2,若当a=3时,A=0,4,9当a=2时,A=0,3,4当a=−2时,A=0,−1,4故a=3或−2故答案为:3或−2【变式12】1.(2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测)已知集合A=3,4,2a−3,A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】根据交集结果得到a=3,a=4或【详解】因为A∩所以a=3,a=4或当a=3时,2当a=2a−3当a=4时,2所以a=4故选:C.【变式12】2.(2023春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校联考阶段练习)已知m,n∈R,集合A=2,m2A.1 B.2 C.12或1 D.【答案】D【分析】根据交运算结果,列出方程,求得对应参数值;再验证即可选择.【详解】因为A∩B=1,故可得m2n=1解得m=1,n=当m=1,n=当m=2,n=1综上所述,n=故选:D.【变式12】3.(2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测)设集合A=x2A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】由A∩B=C可知需满足x2【详解】由A∩需满足x2+8=y又x,y∈N,故x+y=9此时集合C=故集合C中的子集共有4个.故选:C.题型2并集概念的简单应用◆类型1并集运算【例题21】(2023春·浙江宁波·高y一统考期末)已知集合A=0,1,2,B=A.−1,1,2 B.0,1,2 C.−1,0 D.−1,0,1,2【答案】D【分析】根据并集的定义计算可得.【详解】因为A=0,1,2,所以A∪故选:D【变式21】1.(2022秋·江西景德镇·高一统考期中)集合A=x0<x<8A.x12<C.x12≤【答案】B【分析】根据并集的运算可得答案.【详解】因为A=x0<x<8,B故选:B.【变式21】2.(2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中)已知集合A={x∈N∣−1<x<4}A.2 B.0,1,2,3 C.2,3 D.1,2,3【答案】B【分析】先求出集合A,然后根据并集的定义可求得结果.【详解】由A={x∈N∣−1<因为B=所以A∪B=故选:B【变式21】3.(2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)已知集合A=0,1,2,3,B=xxA.2个 B.4个 C.6个 D.64个【答案】D【分析】先求出集合B,再求出集合P,从而可求出其子集的个数.【详解】因为A=0,1,2,3,所以B=所以P=−1,0,1,2,3,8,则P的子集共有故选:D【变式21】4.(2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测)已知集合A=−1,1,B=A.B=C B.BC C.B∩【答案】A【分析】利用列表法求集合A、B,进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.【详解】对于x+
xy11120102可得集合B=对于x−
xy11102120可得集合C=−2,0,2,所以则B=C成立,BC不成立,所以A正确,B、C、D错误.故选:A.【变式21】5.(多选)(2021秋·高一课时练习)已知集合P={x|A.P∩B.PC.PD.P【答案】ABD【分析】根据题意求出集合P,【详解】因为集合P={集合T={所以P∩T={y|故选:ABD.【变式21】6.点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.◆类型2含参问题【例题22】(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测)已知集合A=a,5−a,4,BA.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据并集的结果,分类讨论当2a+1=2、【详解】A={当2a+1=2即a=当2a+1=5即a=2时,A所以a=2故选:B.【变式22】1.(2023·贵州铜仁·统考模拟预测)已知集合A=0,1,a2,B=A.1或−2 B.−2 C.−1或2 D.2【答案】B【分析】分析可知A⊆B,利用集合的包含关系可出关于a的等式,结合集合元素满足互异性可得出实数【详解】因为A=0,1,a2,B=所以,2−a=1或若2−a=1,则a=1,此时,a2=1若a2=2−a,可得a2+a−2=0因此,a=−2故选:B.【变式22】2.(2023春·山东滨州·高一校考阶段练习)已知集合B满足{1,3}∪B={1,3,5},则满足条件的集合A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【分析】根据题目条件,得出集合B必有元素5,可能有元素1或3,即可列出满足条件的集合B,从而得出答案.【详解】因为{1,3}∪B所以集合B中必有元素5,可能有元素1或3,则满足条件的集合为:{5},{5,1},{5,3},{5,1,3},共有4个,故选:D.【变式22】3.(2023·江苏·高一假期作业)设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∪B=A,求a的值.【答案】a=0或【分析】先由A∪B=A,得到B⊆A.再含参讨论解出集合B,进行讨论即可.【详解】∵A∪B=A,∴B⊆A.∵A={-2}≠∅,∴B=∅或B=A.当B=∅时,方程ax+1=0无解,此时a=0.当B=A时,此时a≠0,则B=∴-1a∈A,即有-1a=-2,得a=综上,a=0或a=12题型3补集概念的简单应用【方法总结】解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.◆类型1补集运算【例题31】(2023秋·山西大同·高一统考期末)已知集合A=1,2,3,4,5,6,B=2,3,A.2,4,6 B.1,3,4,5,6 C.4,6 D.2【答案】C【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为集合A=1,2,3,4,5,6,B=所以∁AB=故选:C.【变式31】1.(2023春·云南昆明·高一统考期中)设全集U=Z,A=x∈Z|A.x|x≤0,或x≥6 C.x|0≤x【答案】D【分析】根据集合的并运算即可求解.【详解】由于U=Z,A=x∈Z|故选:D【变式31】2.(2023春·贵州·高一贵州师大附中校联考阶段练习)已知集合A=x2≤x≤5A.2,4,5 B.x2≤xC.x2≤x≤3或4≤x≤5【答案】B【分析】利用补集的定义可求得集合∁A【详解】因为集合A=x2≤x≤5,B故选:B.【变式31】3.(2023·海南海口·海南华侨中学校考一模)设全集U=R,A=−2,−1,0,1,2,B=xxA.{1,2} B.−1,0,1C.−2,−1,0 D.−2,−1,0,1【答案】D【分析】由交集和补集的定义求解即可.【详解】因为B=xx≥2所以∴A∩∁UB故选:D.【变式31】4.(2023·全国·高一假期作业)设全集U=R,M=A.x|−1≤x<0 B.x|0<x<5 【答案】C【分析】求得∁U【详解】由题意M=x|1≤故M∩(故选:C【变式31】5.(2023·全国·统考高考真题)设集合U=R,集合M=xxA.∁UM∪C.∁UM∩【答案】A【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|【详解】由题意可得M∪N=∁UM=M∩N=x|−1<∁UN=x|x≤−1或x故选:A.【变式31】6.(2021秋·高一课前预习)设全集U={x|x是三角形},A={x|【答案】A∩B=∅,【解析】根据三角形分类和交集、并集的定义可求得A∩B和A∪【详解】根据三角形的分类可知:A∵A∪B=xx【点睛】本题考查集合运算中的交集、并集和补集运算,关键是熟悉三角形的分类,属于基础题.◆类型2Venn图解决并交补混合运算【例题32】(2023·高一课时练习)已知全集U={a,b,c,d,e},∁UM∩A.P={a} B.M={a,【答案】D【分析】由题意画出Venn图,即可得出答案.【详解】由题意画出Venn图如下,
可得:P={a,d,e}故选:D.【变式32】1.(2023·全国·高一专题练习)集合U={x|x≤10且x∈N∗},A⊆UA.4,5,6,7 B.4,5,6,9 C.4,5,9,10 D.4,5,6,9,10【答案】C【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解即可.【详解】作出Venn图如图所示,则A={1,2,3,4,5},B故选:C.【变式32】2.(2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习)已知A∩B=6,(【答案】1,8,9【分析】由题意可画出Venn图,即可求得答案.【详解】由题意,(∁故画Venn图如图:即得∁U故答案为:1,8,9【变式32】3.(2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知全集U=A∪B=A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【答案】B【分析】利用列举法表示全集U,再根据交集运算可得∁UB,得到集合【详解】∵U=A∪∴∁UB={1,3,5}∴B={0,2,4,6},∴B故选:B.◆类型3含参问题【例题33】(2023秋·江苏扬州·高一校联考期末)设全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,aA.−3 B.−3和−2 C.−2 D.2【答案】C【分析】利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为U=1,2,3,4,5,集合A=由补集的定义可知a+6当a+6=3即a=−3时,当a+6=4即a=−2时,a2综上a=−2故选:C【变式33】1.(多选)(2023秋·贵州遵义·高一统考期末)(多选题)设全集U={x|x2-8x+15=0,x∈R}.∁UA.0 B.13 C.15【答案】ABC【分析】首先求集合U,再结合补集的定义,讨论a=0和a≠0两种情况,求实数【详解】U={3,5},若a=0,则∁U若a≠0,则∁UA=此时1a=3或1∴a=13或a=1综上a的值为0或13或1故选:ABC【变式33】2.(2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中)设全集U=2,3,m2+A.−2 B.2 C.−3 D.−4【答案】B【分析】根据题意可确定m2【详解】由题意全集U=2,3,m可得m2+m−2=4,解得当m=−3时,|m+1|=2m=2时,A=2,3,∁故选:B.【变式33】3.(2022秋·全国·高一专题练习)已知全集U=1,2,m2,集合A={2,【答案】0【分析】由∁UA={【详解】由集合A={2,m+1},可得m又由∁UA={可得m2=mm+1=1所以实数m的值为0.故答案为:0.◆类型4Venn图相关考点【例题34】(2023·广东·校联考模拟预测)已知全集U=R,集合A={xx≥4或x
A.−2,0 B.−2,0C.−2,0∪4 【答案】D【分析】利用集合的交并补的定义,结合Venn图即可求解.【详解】因为A={xx≥4或x≤0}所以A∪B={xx≥4或A∩B={xx≥4或由题意可知阴影部分对于的集合为∁U所以∁U∁UA∩故选:D.【变式34】1.(2023春·浙江·高一校联考阶段练习)设全集U=
A.−1,3 B.−1,3 C.2,3 D.2,3【答案】D【分析】图中阴影部分表示B∩∁【详解】图中阴影部分表示B∩∁UA,A=x∣−1≤x因为B所以B=0,1,2,3,B∩故选:D.【变式34】2.(2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)如图所示,两个大圆和一个小圆分别表示集合M、S、P,它们是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(
)
A.(M∩PC.(M∩S【答案】C【分析】题图中的阴影部分是M∩S的子集,但该子集中不含集合P中的元素,且该子集包含于集合【详解】由图知,首先阴影部分是M∩S的子集,其次不含集合P中的元素且在集合可得阴影部分所表示的集合是(M∩S故选:C.【变式34】3.(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)如图,集合A,B均为U的子集,
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ【答案】B【分析】根据集合间的运算分析判断.【详解】因为∁U所以∁UB∩故选:B.题型4并交补实际应用【例题4】(2021秋·河南洛阳·高一校考阶段练习)移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况,随机调查了100位学生,其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位,使用过移动支付的学生共有80位,使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位,则该校使用共享单车的学生人数为(
)A.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【分析】由题意可知:只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人,使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位,再计算即可得解.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图,使用过共享单车或移动支付的学生共有90位,使用过移动支付的学生共有80位,则可得:只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有9080=10人,又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位,即使用过共享单车的学生人数为10+60=70,故选:C.【变式41】1.(2023·全国·高一假期作业)某班30人,其中17人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,9人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________.【答案】11【分析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人,借助Venn图列出方程,求出x,进而求得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可.【详解】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人,则只喜爱篮球的有(17-x)人,只喜爱乒乓球的有(10-x)人,由(17-x)+(10-x)+x+9=30,解得x=6,所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17-x=11人.故答案为:11.【变式41】2.(2023·全国·高一专题练习)向某50名学生调查对A,B两事件的态度,其中有30人赞成A,其余20人不赞成A;有33人赞成B,其余17人不赞成B;且对A,B都不赞成的学生人数比对A,B都赞成的学生人数的三分之一多1人,则对A,B都赞成的学生人数为__________.【答案】21【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答.【详解】记赞成A的学生组成集合A,赞成B的学生组成集合B,50名学生组成全集U,则集合A有30个元素,集合B有33个元素.设对A,B都赞成的学生人数为x,则集合∁U(A由Venn图可知,(30−x)+(33−x)+x所以对A,B都赞成的学生有21人.故答案为:21.【变式41】3.(2022·河南新乡·高一期末)某疫情防控志愿者小组有20名志愿者,由党员和大学生组成,其中有15人是党员,有9人是大学生,则既是党员又是大学生的志愿者人数为(
)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【详解】因为志愿者小组有20名志愿者,由党员和大学生组成,其中有15人是党员,有9人是大学生,所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为.故选:C【变式41】4.(2022秋·江西景德镇·高一统考期中)某城市数、理、化竞赛时,高一某班有26名学生参加数学竞赛,25名学生参加物理竞赛,23名学生参加化学竞赛,其中参加数、理、化三科竞赛的有7名,只参加数、物两科的有6名,只参加物、化两科的有8名,只参加数、化两科的有5名.若该班学生共有51名,则没有参加任何竞赛的学生共有(
)名A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【分析】画出图,由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数,即可求出参赛人数,进而求出没有参加任何竞赛的学生.【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人,因为有26名学生参加数学竞赛,25名学生参加物理竞赛,23名学生参加化学竞赛,参加数、理、化三科竞赛的有7名,只参加数、化两科的有5名,只参加数、物两科的有6名,只参加物、化两科的有8名,所以单独参加数学的有26−6+7+5单独参加物理的有25−6+7+8=4人,单独参加化学的有故参赛人数共有8+4+3+6+7+8+5=41人,没有参加任何竞赛的学生共有51−41=10人.故选:D.
【变式41】5.(2022秋·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习)某小学为落实双减,实现真正素质教育,在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况,某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查,要求每位同学至少选择一项,经统计有21人喜欢唱歌,17人喜欢跳舞,10人喜欢书法,同时喜欢唱歌和跳舞的有12人,同时喜欢唱歌和书法的有6人,同时喜欢跳舞和书法的有5人,三种都喜欢的有2人,则该班女生人数为(
)A.27 B.23 C.25 D.29【答案】A【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图,如图所示,可知5人只喜欢唱歌,2人只喜欢跳舞,1人只喜欢书法,同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人,同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人,同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人,三种都喜欢的有2人,则该班女生人数为5+2+1+10+4+3+2=27.故选:A题型5含参取值范围问题【方法总结】(1)在进行集合运算时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A⊆B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=∅的情况.(2)集合运算常用的性质:①A∪B=B⇔A⊆B;②A∩B=A⇔A⊆B;③A∩B=A∪B⇔A=B.◆类型1不等式相关考点【例题51】(2023·江苏·高一假期作业)已知集合A={x|−2≤(1)若A∪(2)当C={【答案】(1)−∞,3(2)254【分析】(1)依题意有B⊆A,分B=∅(2)由集合C中元素个数,求C的非空真子集的个数.【详解】(1)∵A∪B=①若B=∅,则m+1>2m②若B≠∅,则m+1≤2m由B⊆A可得m+1≥−22m综上所述,实数m的取值范围是−∞,3.(2)∵C={因此,集合C的非空真子集个数为28【变式51】1.(2023·全国·高一假期作业)设集合A=(1)若m=4,求A(2)若B∩A=【答案】(1)A∪(2)−∞,3.【分析】(1)根据并集的定义运算即得;(2)由题可得B⊆【详解】(1)当m=4时,B=x(2)∵B当B=∅时,满足题意,此时m+1>2m当B≠∅时,−2≤m+1∴实数m的取值范围为−∞,3.【变式51】2.(2023·江苏·高一假期作业)已知A=x-1<【答案】m>3或m【分析】根据B⊆∁RA,分【详解】已知集合A=x-1<∁RA当B=∅时,m≥3m当B≠∅时,且B则m<1+3m3m+1≤−1综上:实数m的取值范围为m>3或m故答案为:m>3或m【变式51】3.(2023·全国·高一专题练习)设全集U=R,M=x(1)若a=0,求∁(2)若M⊆∁U【答案】(1)∁U(2)−∞,−7【分析】(1)利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.(2)求出∁UP,M⊆【详解】(1)当a=0时,M=x所以∁UM={xx(2)∵全集U=R,P∴∁UP∵M∴分M=∅,(1)当M≠∅时,如图可得,3a<2∴a≤−7(2)当M=∅时,应有:3a≥2综上可知,∴a≤−7故得实数a的取值范围−∞,−7【变式51】4.(多选)(2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习)已知全集U=R,集合A=xA.m|6≤m≤10C.m|−2<m<−【答案】BC【分析】根据B=∅和B【详解】①当B=∅时,令m+1>2m−1,得②当B≠∅时,m+1≤2m则∁UB=因为A⊆∁UB,所以解得m>6或m因为m≥2,所以m综上,m的取值范围为m<2或m故选:BC【变式51】5.(2022秋·江西抚州·高一统考期末)已知集合A=xm<x(1)当m=3时,求A(2)在①A⊆∁RB,②A∩(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】(1)A(2)条件选择见解析,m【分析】(1)当m=3时,利用补集和并集可求得集合A(2)若选①,分A=∅、A≠∅两种情况讨论,根据A⊆∁R若选②,分A=∅、A≠∅两种情况讨论,在A=∅时直接验证A∩B=∅即可,在A≠∅若选③,分析可得A⊆【详解】(1)解:当m=3时,A=x3<x所以,∁RB=(2)解:若选①,当A=∅时,则m≥2m时,即当m当A≠∅时,即当m<2m由A⊆∁RB可得m≥−5综上,m≤2若选②,当A=∅时,则m≥2m时,即当m当A≠∅时,即当m<2m由A∩B=∅可得m≥−52综上,m≤2若选③,由A∩∁R当A=∅时,则m≥2m时,即当m当A≠∅时,即当m<2m由A⊆∁RB可得m≥−5综上,m≤2◆类型2一元二次方程相关考点【例题52】(2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习)设集合A=x(1)若集合A为∅,求实数a的取值范围;(2)若A∩B=【答案】(1)−∞,−(2)5【分析】(1)结合题意,将问题转化为方程x2(2)由A∩B=【详解】(1)因为A=xx所以方程x2−ax解得a<−257所以a的取值范围为−∞,−2(2)因为A∩B=又因为A=xx所以−a=−5a当a=5时,A所以a=5【变式52】1.(2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)设集合A=xx(1)若A∩B=(2)若A∪B=【答案】(1)a(2)a【分析】(1)由A∩B=2可知2∈B,代入集合B(2)根据并集结果可得B⊆A,再对集合B是否为空集进行分类讨论即可得出实数【详解】(1)由集合A=xx由A∩B=故4+4(a+1)+a2−5=0当a=−1时,B=−2,2当a=−3时,B故a=−3(2)由A∪B=当Δ=4(a+1)2−4(当Δ=0时,即a=−3时,B当Δ>0时,即a>−3时,2(a+1)=0综上可得,a≤−3或a即实数a的取值范围为a∈(−∞,【变式52】2.(2023·高一单元测试)设A={xx2+4x=0},【答案】a=1或【分析】由A∩B=B得【详解】由A∩B=对于集合B有:Δ=4当Δ=8a+8<0,即a<−1时,B当Δ=8a+8=0,即a=−1时,B当Δ=8a+8>0,即a>−1时,B中有两个元素,而B∴B=−4,0得综上,a=1或a【变式52】3.(2021秋·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考阶段练习)设集合A={x|x2【答案】(−∞,−3]∪【分析】由A∪B=A,B⊆A,分【详解】由题知,A由x2−3x+2=0得x因为A∪所以B⊆当B=∅时,方程x即Δ=a−12−4a当B≠∅时,方程x若只有一个实数根,Δ=(a−1)2−4(当a=−3时,B当a=73所以a=−3若只有两个实数根,则B
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