2024-2025学年北京市东城区高三上册10月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市东城区高三上学期10月月考数学检测试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（）A.2 B. C.4 D.3.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（）A. B. C. D.4.若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.5.已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.若，则①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③7.若命题“”是真命题，则实数m的取值范围是（）A B. C. D.8.“”是“函数具有奇偶性”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数，则（）A.在R上单调递增 B.对恒成立C.不存在正实数a，使得函数为奇函数 D.方程只有一个解10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（）A B.C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是____________.12.直线截圆的弦长=___________.13.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面积的最大值为_____________．14.设函数①若，则的最小值为__________.②若有最小值，则实数的取值范围是__________.15.设数列的前项和为，，．给出下列四个结论：①是递增数列；②都不是等差数列；③当时，是中的最小项；④当时，．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，角所对的边分别为已知.（1）求A的大小；（2）如果，求的面积.17.已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是对称中心；条件③：是的对称中心.（2）根据（1）中确定的，求函数的值域．18.如图，矩形ABCD和梯形，平面ABEF平面ABCD，且，过DC的平面交平面ABEF于MN.（1）求证:;（2）当M为BE中点时，求平面ABCD与平面的夹角的余弦值；（3）当M为BE中点时，求点到平面的距离;19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围；（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.20.已知．（1）当时，判断函数零点个数；（2）求证：；（3）若在恒成立，求的最小值．21.若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．（1）若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；（2）若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．（ⅰ）判断的大小关系并证明；（ⅱ）求证：数列是等差数列．2024-2025学年北京市东城区高三上学期10月月考数学检测试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由补集定义可直接求得结果.详解】，，.故选：B.2.若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（）A.2 B. C.4 D.【正确答案】B【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，所以，∴，，所以.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据对称关系可得，利用诱导公式可求得结果.【详解】的倾斜角为，与满足，.故选：D.4.若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由垂径定理可知，求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】圆的标准方程方程为，，即点在圆内，圆心，，由垂径定理可知，则，故直线的方程为，即.故选：C.5.已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据向量数量积的几何意义可得，再由即可求范围.【详解】由在边上运动，且△为边长为2的正三角形，所以，则，由.故选：D6.若，则①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【正确答案】A【分析】对①，由两边同除ab化简即可判断；对②，由得，两边同除化简即可判断；对③，先移项得，可化为，即可比较分母大小判断【详解】对①，，即，①对；对②，由，则，②对；对③，由，则，与矛盾，③错；故选：A7.若命题“”是真命题，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式在实数范围内有解，等价于方程有实数解，即，解得.故选：B.8.“”是“函数具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a，判断题设条件间的关系即可.【详解】当时，则定义域为，，故为奇函数，充分性成立；若具有奇偶性，当为偶函数，则，所以恒成立，可得；当为奇函数，则，所以恒成立，可得或a=−1；所以必要性不成立；综上，“”是“函数具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数，则（）A.在R上单调递增 B.对恒成立C.不存在正实数a，使得函数为奇函数 D.方程只有一个解【正确答案】B【分析】对求导，研究在、上的符号，结合指数幂的性质判断零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A、B的正误；利用奇偶性定义求参数a判断C；由、即可排除D.【详解】由，而，当时，即上递增，且恒成立；而，令，可得，所以使，综上，上，递减；上，递增；故在R上不单调递增，A错误；所以时，有最小值，而，，所以，故恒成立，B正确；令为奇函数且，则恒成立，所以恒成立，则满足要求，C错误；显然，故为一个解，且，即为另一个解，显然不止有一个解，D错误.故选：B关键点点睛：A、B判断注意分类讨论的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C、D应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是____________.【正确答案】.【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为.本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线截圆的弦长=___________.【正确答案】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．【详解】线l的方程为，圆心到直线l的距离．∴此时直线l被圆C截得的弦长为．故答案为.13.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面积的最大值为_____________．【正确答案】①.垂直②.【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证平面PBC，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F位于点C时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又底面ABCD为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以为等腰直角三角形，且E为线段PB的中点，所以，又，平面PBC，所以平面PBC，因为平面AEF，所以平面AEF与平面PBC.因为平面PBC，平面PBC，所以，所以当最大时，的面积的最大，当F位于点C时，最大且，所以的面积的最大为.故垂直；14.设函数①若，则的最小值为__________.②若有最小值，则实数的取值范围是__________.【正确答案】①.②.【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当时，，则当时，，当时，，故的最小值为；②由，则当时，，由有最小值，故当时，的最小值小于等于，则当且时，有，符合要求；当时，，故不符合要求，故舍去.综上所述，.故；.15.设数列的前项和为，，．给出下列四个结论：①是递增数列；②都不是等差数列；③当时，是中的最小项；④当时，．其中所有正确结论的序号是____________．【正确答案】③④【分析】利用特殊数列排除①②，当时显然有，对数列递推关系变形得到，再判断③④即可.【详解】当数列为常数列时，，不是递增数列，是公差为的等差数列，①②错误；当时，，显然有，所以，又因为，所以由递推关系得，所以，故数列是递增数列，是中的最小项，③正确；当时，由③得，所以由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，所以，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，角所对的边分别为已知.（1）求A的大小；（2）如果，求的面积.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）利用余弦定理的变形：即可求解.（2）利用正弦定理求出，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）。由余弦定理可得，又因为，所以.（2）由，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，，所以的面积.本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.17.已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心.（2）根据（1）中确定的，求函数的值域．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.【小问1详解】因为在区间上单调，所以，因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，所以；若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，因为，所以，所以，即，当时，，满足题意，故.若选条件②：因为是的对称中心，所以，所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.若条件③：因为是对称中心，所以，所以，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以等价于，，所以，所以，即函数的值域为.18.如图，矩形ABCD和梯形，平面ABEF平面ABCD，且，过DC的平面交平面ABEF于MN.（1）求证:;（2）当M为BE中点时，求平面ABCD与平面的夹角的余弦值；（3）当M为BE中点时，求点到平面的距离;【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量求二面角即可；（3）建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标关系求解点到平面的距离即可.【小问1详解】因为矩形，所以，平面，平面，所以平面．因为过的平面交平面于，由线面平行性质定理，得；【小问2详解】由平面平面ABCD其交线为，平面所以⊥平面，又四边形为矩形，所以以A为原点，以、、为轴建立空间直角坐标系.由，得，，则设平面法向量，则即，取得.因为平面，设平面法向量，记平面与平面的夹角为，所以，即平面ABCD与平面的夹角的余弦值为.【小问3详解】因为平面法向量.又因为，所以点到平面的距离；19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围；（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.【小问1详解】解：由题意得：，故曲线在点处的切线的方程.【小问2详解】由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，故①且，解得②且，解得当时，，满足题意；当时，，不满足题意；综上：的取值范围为.【小问3详解】可以分三种情况讨论：①②③若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；若时，当时，趋向时，趋向于0；当，要使函数取得存在最小值，解得，故处取得最小值,故的取值范围.若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；综上所述函数存在最小值，的取值范围.20.已知．（1）当时，判断函数零点的个数；（2）求证：；（3）若在恒成立，求的最小值．【正确答案】（1）一个零点（2）证明见解析（3）【分析】（1）当时，求导得在R上单调递增，又因为，即可求出零点的个数.（2）设，求导得在上单调递增，则，即可证明.（3）解法一:当时，由（2）得，恒成立．当时，设，判断是否成立，即可求出答案.解法二：在恒成立，令，转化为求.小问1详解】当时，，在R上单调递增，，只有一个零点；【小问2详解】设，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，.【小问3详解】解法一：当时，由（2）得，恒成立．当时，