2024-2025学年安徽省阜阳市高三上册10月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年安徽省阜阳市高三上学期10月月考数学检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列四个数中最大的是（）A. B. C. D.4.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）A.4h B.6h C.8h D.12h5.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.6.已知函数在上单调递减，则实数取值范围是（）A. B.C. D.7.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.8.定义x为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知，且，则（）A. B.C. D.11.已知函数与导函数分别为与，且的定义域均为，，，为奇函数，则（）A. B.为偶函数C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若“”是假命题，则实数的最小值为______．13.若函数在时取得极小值，则的极大值为______．14.已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知函数满足，求在区间上的值域；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.16.设是函数导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（1）求实数m，n的值；（2）求的零点个数.17.已知函数.（1）若，证明：；（2）若且存在，使得成立，求取值范围．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的极值；（3）若恒成立，求的取值范围．19.已知函数．（1）讨论的单调性．（2）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．2024-2025学年安徽省阜阳市高三上学期10月月考数学检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由函数定义域知识求出集合，再由指数函数的单调性解不等式求出集合，最后结合交集运算的概念即可得答案.【详解】由已知，得，由，得，所以，所以．故选：B.2.已知直线与直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案.【详解】若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.3.下列四个数中最大是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用对数函数的性质结合对数运算即可得答案.【详解】由的单调性可知，即．故最大的是．故选:C.4.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）A.4h B.6h C.8h D.12h【正确答案】C【分析】根据给定条件求出值，再由废气中的污染物含量不超过的列出不等式求解即得.【详解】依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．故选：C.5.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由时即可排除A；由奇偶性可排除B；时0，则可排除C，故答案可求.【详解】对于A，当时，，排除A；对于B，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，当时，由0，得，排除C，故选：D．6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】分段函数的单调性需要考虑每段函数的单调性，还要考虑衔接点位置的取值大小关系，列不等式组即可求得答案.【详解】易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．故选：B.7.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】首先得出为奇函数，且易知在上单调递增，再解不等式即可.【详解】令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，，解得．故选：D.8.定义x为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用数形结合的方法，结合新定义构成不等式组，解不等式组即可得答案.【详解】设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即，解得所以．综上，实数的取值范围为．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】ABC【分析】由对数运算的性质得，通过代入即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；代入即可求出a的值，则可判断C；由可得，可解得a的取值范围，则可判断D.【详解】由题意知，所以，所以．对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，解得，故C正确；对于D，若，则，不能得到，故D错误．故选：ABC.10.已知，且，则（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】直接利用基本不等式即可判断A、C；利用基本不等式结合乘“1”法即可判断B；将代入原式化简，再结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A错误；对于，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，因为，当且仅当时等号成立，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：BC.11.已知函数与导函数分别为与，且的定义域均为，，，为奇函数，则（）A. B.为偶函数C. D.【正确答案】ACD【分析】选项A由奇函数的性质即可得出结论；选项B由条件进行转化，得到有关的关系式，由函数奇偶性的判定得出结论；选项C由已知条件进行转化，得到，从而得出结论；选项D，通过前面的对称性和周期性等结论，验证出一个周期内的整数函数值的和，从而得出结论.【详解】对于A，因为为奇函数，所以，令，得，故A正确；对于B，由，得，又，∴，即，∴，又的定义域为R，故为奇函数，故B错误；对于C，由，可得为常数），，又，∴，∴，，∴，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确；对于D，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，∵，∴，又，∴，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若“”是假命题，则实数的最小值为______．【正确答案】【分析】由正弦函数的性质结合全称量词命题的概念即可得参数m的取值范围.【详解】因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数的最小值为．故．13.若函数在时取得极小值，则的极大值为______．【正确答案】【分析】由题意得，则可求得，再结合导数即可求得极大值.【详解】由题意可得，，解得，所以，故当x<1或x>2时，,当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．故答案为.14.已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.【正确答案】【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解.【详解】设曲线上的切点坐标为，又，则公切线的方程为，即．设曲线上的切点坐标为，又，则公切线的方程为，即，所以，消去，得．若存在两条不同的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图象如图所示，由图可知，，解得，即实数的取值范围为.故关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知函数满足，求在区间上的值域；（2）若函数的最小值为，且，求的最小值.【正确答案】（1）；（2）最小值为1【分析】（1）首先求出的值，再利用二次函数的性质即可求得值域；（2）先结合（1）中的结论得，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】（1）由题意得，即，所以且，解得．所以，则在上单调递增，在12,1上单调递减，又，所以在区间上的值域为．（2），当时，，由（1）知，所以，即．所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为1.16.设是函数导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（1）求实数m，n的值；（2）求的零点个数.【正确答案】（1）（2）3个零点．【分析】（1）利用拐点的概念，结合导数的运算即可求解；（2）利用导数求出函数的单调区间，结合极值情况即可判断零点个数.【小问1详解】因为，所以，所以，又因为的图象的对称中心为，所以即解得【小问2详解】由（I）知，，所以，令，得或，当变化时，的变化情况如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的极大值为，极小值为，又，所以有3个零点．17.已知函数.（1）若，证明：；（2）若且存在，使得成立，求的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析（2）．【分析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，由单调性求出函数的最值，则可得证.（2）由题意只需函数在上最小值小于，求出，讨论a的取值范围，利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，则a的范围可求.【小问1详解】若，则，所以由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增所以有极小值，也是最小值，且，所以．【小问2详解】由题意得，因为，所以令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增.若，则在上的最小值为.要使条件成立，只需，解得.若，则在上的最小值为，令，无解．故的取值范围为．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的极值；（3）若恒成立，求的取值范围．【正确答案】（1）（2），无极大值．（3）．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值；（3）令，由，得，再结合的单调性可求得，然后再利用导数证明当时，即可.【小问1详解】当时，，故曲线在点处的切线方程为．【小问2详解】当时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．【小问3详解】令，由得，令，则在上单调递减，又，故．下面证明当时，．易知．设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，即设，则，当时，，当时，，故，则，即．故，则．故所求的取值范围是．关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键构造函数，结合求出的取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题.19.已知函数．（1）讨论的单调性．（2）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．【正确答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【