河南省新乡市2024-2025学年高二上册10月月考数学检测试题合集2套（含解析）

河南省新乡市2024-2025学年高二上学期10月月考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．在正三棱柱中，则平面内不可能存在一条直线与直线（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面2．已知角，直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．3．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为50，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（

）A．50， B．50，10 C．， D．，4．已知在空间直角坐标系中，，，则在方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．5．已知直线过点，且直线与直线平行，与直线垂直，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知在中，，分别为，的中点，，，则可以用含，的式子表示为（

）A． B．C． D．7．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则有两解 D．若，则有两解8．在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（

）A．8 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若为实数，则10．已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（

）A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件C． D．与互为对立事件11．如图，在正方体中，为与的交点，平面与平面交于直线，则下列说法正确的是（

）

A．平面 B．平面C． D．存在一条直线与直线，，都相交三、填空题（本大题共3小题）12．在平面直角坐标系中，向量，，且满足，其中，则.13．在四面体中，点为的重心，，，分别为，，的中点，且，则实数.14．甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是.四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，.(1)若直线过点，求的值；(2)求点到直线距离的最大值.16．某高二实验班共有50名学生，数学老师为研究某次考试，将所有学生的成绩分成5组：，，，，，得到频率分布直方图如下.(1)求的值，并估计本班学生成绩的中位数（计算结果保留1位小数）；(2)全班共有24名女生，该次考试成绩在120分以下的女生有8人，则不低于120分的男生有多少人？17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角的值；(2)若，求周长的最大值.18．如图，在三棱柱中，，平面平面，.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.19．如图，在正三棱台中，，.

(1)求的长度；(2)求三棱台的体积.

答案1．【正确答案】A【详解】对于A，若平面中存在一条直线与平行，平面，则平面，显然不可能成立，故A正确；对于B，如图，取的中点记为，因为在正三棱柱中，平面平面，平面平面，，所以平面，故，故B错误；对于C，，C显然错误；对于D，与异面，D错误.故选：A.2．【正确答案】D【详解】设直线的倾斜角为，则，故角的取值范围是.故选：D.3．【正确答案】A【详解】均值：，方差.故选：A.4．【正确答案】C【详解】由题意可得，，所以在方向上的投影向量为.故选：C.5．【正确答案】B【详解】由题意得，直线与直线垂直，则，解得，故直线的方程为，即.故选：B.6．【正确答案】B【详解】由题意得，，，故，故.故选：B.7．【正确答案】D【详解】由正弦定理，得，当时，，故A正确；当时，，故B正确；当时，，故B有两解，故C正确；当时，，得，仅有一解，故D错误.故选：D.8．【正确答案】B【详解】如图，在上取点，使，连接，则，故，故，又，，平面，平面，故平面，又平面，故.在上取点，使，同理可证.又，平面，平面，则平面.设平面与棱交于点，连接.则平面平面，又平面平面，由平面平面，则，同理可证，故四边形为平行四边形，则四点共面.在平面内，在棱上取点，使，连接，则，，则四边形是平行四边形，则，所以，又，所以四边形是平行四边形，则，即为棱的中点，由，可得，则四边形为菱形.且平面.由，则点在过点且与垂直的平面内，即平面内.又是该正四棱柱表面上的一动点，故点的运动轨迹即为菱形，且该菱形的周长为.所以点的运动轨迹的长度为.故选：B.9．【正确答案】ACD【详解】对于选项A：因为，所以，故A正确；对于选项B：因为，即，解得，故B错误；对于选项C：因为，可得，，所以，故C正确；对于选项D：因为，则，即，故D正确.故选：ACD.10．【正确答案】BD【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误；对于B，与不可能同时发生，故B正确；对于C，为，的交事件，故C错误；对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确.故选：BD.11．【正确答案】ACD【详解】如图，连接交于点，连接，

则为的中点，故在中，为中位线，故，因为平面，平面，故平面，A正确；假设平面，由平面，则，又，，，平面，故平面，平面，所以，在正方形中不可能成立，故假设错误，B错误；由平面，又直线为平面与平面的交线，所以，又，所以，C正确；如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，取的中点，连接，，，，

设正方体的边长为2，则，则，由，又，，则，则，故，，三点共线，故存在一条直线与直线，，都相交，D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】由，，则，，又，则，解得或，又，则，故答案为.13．【正确答案】3【详解】如图，连接，则，故，而，故．故3．14．【正确答案】0.504【详解】甲最终获胜的所有比赛情形有3种，甲胜前两局：；第一局甲胜乙，第二局丙胜甲，第三局乙胜丙，第四局甲胜乙：；第一局乙胜甲，第二局丙胜乙，第三局甲胜丙，第四局甲胜乙：，故甲最终获胜的概率为.故0.504.15．【正确答案】(1)(2)5【详解】（1）将点的坐标−2,3代入直线的方程得，，整理得，解得.（2）直线的方程可化为，联立解得故直线恒过点，如图可知，当时点到直线距离的取最大值，最大值为，，故点到直线距离的最大值为5.

16．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）由，解得.因为，，故中位数为.（2）该次考试成绩在120分以下的总人数为，故120分以下男生人数为，故不低于120分的男生人数为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理得，故，又故.（2）由，即，解得，当且仅当时取得等号，故周长的最大值为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）证明：由，得，又平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，故平面.（2）不妨设，由（1）知，，两两垂直，以为原点，，，方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，易知平面的一个法向量为，故，故所求二面角的正弦值为.19．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）延长到点，使，连接，，由题意知，，则平行且相等，四边形为平行四边形，可知平行且相等，则在中，，，，由余弦定理，得，∵，，∴，易得，则，得.过点作交于点，则，，，故，故.

（2）作平面交平面于点，连接，，∵平面，故，又，，且两直线在平面内，则平面，又平面，故，即，易得，故，∴，故，得.故河南省新乡市2024-2025学年高二上学期10月月考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．在空间四边形中，（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（

）A． B．C． D．3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（

）A． B．C． D．4．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（

）A．1 B． C．或 D．25．已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为（

）A．2 B． C． D．16．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C．3 D．7．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）A． B．C． D．8．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（

）A．2 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．10．如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（

）

A．B．异面直线，所成角为C．点到直线的距离为D．的面积是11．在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（

）A．若点在平面内，则 B．若，则C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．设向量，，若，则.13．在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，，，，若四点共面，则.14．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知空间向量.(1)求；(2)判断与以及与的位置关系.16．已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点.(1)用，，表示，并求出；(2)求.17．如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.(1)证明：，，，四点共面；(2)若点在棱，且平面，求的长度.18．如图，四棱柱的底面为矩形，为中点，平面平面．(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．19．在三棱台中，平面，，D，E分别为CA，CB的中点.(1)证明：平面；(2)已知，F为线段AB上的动点（包括端点）.①求三棱台的体积；②求与平面所成角的正弦值的最大值.

答案1．【正确答案】B【详解】.故选：B.2．【正确答案】C【分析】根据空间直角坐标中点的对称规则判断即可.【详解】点关于轴对称点的坐标为.故选C．3．【正确答案】B【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算可得答案【详解】连接AE并延长交CD于点F，因为E为的重心，则F为CD的中点，且，所以.故选B．4．【正确答案】C【分析】借助向量夹角公式求解即可.【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得．故选C．5．【正确答案】B【分析】计算，直接利用点到平面的距离公式计算得到答案.【详解】因为，面的法向量为，则点到平面的距离为.故选B.6．【正确答案】D【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得.【详解】因为，，，所以，，则，，，所以，又因为，所以，则以，为邻边的平行四边形的面积.故选D.7．【正确答案】D【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】因为，，所以，，则向量在向量上的投影向量为.故选D.8．【正确答案】D【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，因为是棱上一动点，设，且，因为，且，所以，于是令，所以，，又函数在上为增函数，所以当时，，即线段长度的最小值为.故选D.9．【正确答案】AB【分析】由空间中基底的概念以及共面定理逐项分析即可.【详解】设，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；设，则，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．故选AB．10．【正确答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断A、B、C项；再由，可得到的距离即为到的距离，最后由面积公式判断D项.【详解】因为四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，所以，又平面平面，平面，所以平面，由题意知，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，又，分别是线段，的中点，所以，，所以，，又，不共线，所以，故A正确；，，设异面直线，所成角为，则，又，所以，即异面直线，所成角为，故B错误；由，，得，所以点P到直线DF的距离为，故C正确；因为，所以到的距离即为到的距离，所以的面积，故D错误.故选AC．

11．【正确答案】ABD【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有，所以，又，则，故A正确；对于选项B，由题意易得，，且，又，即，故，解得，故B正确；对于选项C，由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，则为的中心，易得，．当时，到平面的距离为，所以，故C错误；

对于选项D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，当且仅当时等号成立，所以长度的最小值为，故D正确．故选ABD．【关键点拨】本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决.12．【正确答案】4.【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为，所以，即，解得.故4.13．【正确答案】6.【分析】先由点的坐标求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程组即可求得.【详解】由题意，得，又因为四点共面，则存在，使得，即，即，解得，所以.故6.14．【正确答案】.【分析】由空间向量基本定理得，因为D，E，F，M四点共面，由平面向量基本定理得，可解得的值.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以所以.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2)，.【分析】（1）直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可.（2）利用向量垂直和平行的判定直接判断即可.【详解】（1）由题知，所以.（2）因为，所以，所以；因为，所以，所以.【思路导引】本题的关键在于合理利用向量线性运算和数量积的坐标运算，熟悉向量加法和向量乘法的定义和性质.16．【正确答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先根据空间向量的线性运算得到，再求其模长即可；（2）根据展开求解即可.【详解】（1）因为点M是线段的中点，点G是的重心，所以，因为，所以，所以.（2）.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2)3.【分析】（1）连接，，，可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证；（2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可.【详解】（1）证明：连接，，，因为，，，分别为棱，，，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以，，，四点共面.（2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，，，，，分别为棱，，，的中点，可得，，，，则，，设，即，则，由平面，故，即，解得，所以.【方法总结】利用空间向量求解立体几何问题的一般步骤（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据公式求出相应的角或距离.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得，由勾股定理的逆定理可得，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）取的中点，连接，由已知可证得两两互相垂