2024-2025学年云南省普洱市高三上册第二次联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年云南省普洱市高三上学期第二次联考数学检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,−1,0,5}，B={x|y=log5(x+32A.{5} B.{0,5} C.{−2,−1} D.{−1,0,5}2.已知z=23−i，则z=A.105 B.2 C.3.已知向量a=(m−2,m+1)，b=(3,m−7)，则“m=1”是“a//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程.相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数x(单位：百次)与锂离子电池性能指数y(0≤y≤100)的回归模型，通过实验得到部分数据如下表：充放电循环次数x3456电池性能指数y91888279由上表中的数据求得回归方程为y=bx+a，则计算可得bA.8.2 B.4.2 C.−8.2 D.−4.25.已知α∈(0,π)，且1+sinα1−cos2A.23 B.13 C.−14 6.已知函数f(x)=ax−ln(x+2)在区间(2,3)上单调递增，则a的最小值为(

)A.1 B.2 C.14 D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2=aA.π2 B.π4 C.π38.已知a−(12)a=0，b=(A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为πA.f(x)的相位为x+π6 B.(5π12,0)是函数f(x)图象的一个对称中心

C.f(x+π3)的图象关于10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(12−x)=f(12A.f(x)的图象关于直线x=12对称 B.f(x+1)为奇函数

C.f(x)的最小正周期为4 11.已知函数f(x)=x3+aA.若a=2，b=1，则f(x)有且仅有两个零点

B.若b=0，则0为f(x)的极值点

C.当a为定值时，曲线y=f(x)在(1,f(1）处的切线在y轴上的截距为定值

D.若a>0，b=0，当且仅当−23a<x0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正数x，y满足1x+1y=913.已知命题“∃x∈[1,2024]，x3−ax−4≤0”为真命题，则a的取值范围为__________.14.已知∀x1，x2∈[11π−12a18,12a−π18四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1+(1)求C;(2)设b=2+a，c=213，M为AB的中点，求CM16.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求C的离心率;(2)设恒过点D的直线kx−y+2k+1=0交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程.17.(本小题12分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，点O是线段AC(1)证明：AM=BM;(2)若OC⊥B1D，求二面角18.(本小题12分)已知函数g(x)=2sinx−x(1)求曲线y=g(x)在点(π,g(π）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积;(2)求f(x)在区间(π219.(本小题12分)设m为正整数，已知数列a1，a2，⋯，am，其中ai∈(0,1](i=1,2,⋯,m).若a1，a2，⋯，am可以被分为l组，使得每组各数之和不超过1，则称数列a1(1)若a1=a2=a3=a4=a5=1(2)若m=22024，ai=1i(1≤i≤m)，证明：数列a1，(3)给定正实数M，若任意满足a1+a2+⋯+am=M的数列a1，a2，⋯，a附：[x]表示向上取整函数，其结果可表示为不小于x的最小整数，即x≤[x]<x+1，如[3.2]=4.

答案和解析1.【正确答案】D

【分析】本题考查交集及其运算，对数型函数的定义域，属于基础题.

先化简集合B，再根据交集的概念即可求解.

解：因为集合A={−2,−1,0,5}

，

B={x|y=由交集的定义可得：A∩B={−1,0,5}

.

故选：D.2.【正确答案】A

【分析】本题考查复数的四则运算和求复数的模，属于基础题.利用复数的四则运算化简复数z，再由求模公式可得.

解：z=23−i=23+i3.【正确答案】A

【分析】本题考查向量平行的充要条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

先根据向量平行的充要条件以及坐标的运算求出m=1或m=11，即可判断．

解：已知向量a=(m−2,m+1)，b=(3,m−7)，

由a//b可得3(m+1)=(m−2)(m−7)，解得m=1或m=11，

故“m=1”是“a4.【正确答案】D

【分析】本题考查了回归直线方程，属于基础题

利用最小二乘法公式求解即可.

解：由x=3+4+5+64=4.5，y=91+88+82+794=85，

且i=145.【正确答案】B

【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.

由题意可得1+sin

解：由题意可得1+sinαsin2 α=12，

即12sin2α−sinα−1=0，

即(4sinα+1)(36.【正确答案】C

【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.由题意，f'(x)=a−1x+2≥0在区间(2,3)上恒成立，构造函数g(x)=

解：由题意可得f'(x)=a−1x+2≥0在区间(2,3)上恒成立，

即a≥1x+2在区间(2,3)上恒成立，

设函数g(x)=1x+2，x∈(2,3)，易得g(x)在(2,3)上单调递减，

故a≥g(2)=7.【正确答案】A

【分析】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题

先利用余弦定理和正弦定理边化角得sinAcosA=

解：由题意，利用余弦定理化简可得a2b2=2accosB2bccosA，

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB8.【正确答案】C

【分析】本题考查了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.

令f(x)=x−(12)x，则f(x)在R上单调递增，则a∈(1

解：令f(x)=x−(12)x，易得f(x)在R上单调递增，

由f(1)>0，f(12)<0，则∃x∈(12,1)，使得f(x)=0，

故a∈(12,1)，而b=(12)a，9.【正确答案】BD

【分析】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题.

由函数f(x)=sin(2ωx+π6)(ω>0)

解：由题意可得f(x)的最小正周期为π，所以2π2ω=π，所以ω=1，

故f(x)的相位为2x+π6，故A错误;

由A可得f(x)=sin(2x+π6)，且f(5π12)=sin(2×5π12+π6)=0，故B正确;

f(x+π3)=sin[2(x+10.【正确答案】AB

【分析】本题考查函数性质的综合运用，属于中档题.

由f(12−x)=f(12+x)可判断A选项；由f(−2x+1)=−f(2x+1)可得f(−x+1)=−f(x+1)，结合奇偶性可判断B选项；由题意化简可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，可判断C选项；用f(−2x+1)=−f(2x+1)代入x=0得f(1)=0，用f(1

解：对于A:因为f(12−x)=f(12+x)，故函数f(x)的图象关于直线x=12对称，故A正确；

对于B:由f(−2x+1)=−f(2x+1)，得f(−x+1)=−f(x+1)，

所以f(x+1)为奇函数，故B正确；

对于C:因为f(12−x)=f(12+x)，

所以f(x)=f(1−x)=−f(1+x)，即f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，

所以f(x)的最小正周期为2，故C错误；

对于D:由题意可得f(1)=011.【正确答案】ACD

【分析】本题主要考查函数零点，极值点，导数的几何意义，函数对称性，属于中档题.

由f(x)=x3+2x2+x=x(x+1)2判断A；利用导数求出函数极值点，判断B；利用导数求曲线y=f(x)

解：对于A，若a=2，b=1，

则f(x)=x3+2x2+x=x(x2+2x+1)=x(x+1)2，

有且仅有−1，0两个零点，故A正确；

对于B，若b=0，则f'(x)=3x2+2ax，

当a=0时f'(x)≥0，f(x)没有极值点，故B错误；

对于C，f'(x)=3x2+2ax+b，f'(1)=3+2a+b，f(1)=1+a+b，

故曲线y=f(x)在(1,f(1）处的切线方程为y=(3+2a+b)x−2−a，

因为a为定值，所以在y轴上的截距为−2−a，为定值，故C正确;

对于D，曲线y=f(x)上存在关于直线x=x0对称的两点，

即f(x0+x)=f(x0−x)有非零的实根，12.【正确答案】5+2【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解：因为正数x，y满足1x+1y=9，

所以2x+3y=19(2x+3y)(1x+1y)=19(5+3yx13.【正确答案】[−3,+∞)

【分析】本题考查存在量词命题的真假问题解法，属于基础题.

由题意可得a≥(x2−

解：由题知命题“∃x∈[1,2024]，x3−ax−4≤0"为真命题，

故a≥(x2−4x)min，

易得函数f(x)=14.【正确答案】2

【分析】本题考查正弦型函数的图象与性质，属于较难题.

令t=3x+π12，则可转化为f(t)=sint在

解：由题意可转化为对于任意的x1，x2∈[11π−12a18,12a−π18]，

当x1>x2时，sin(3x1+π12)<sin(3x2+π12)恒成立，

设函数f(x)=sin(3x+π12)，15.【正确答案】解：(1)因为1+cosC=3sinC，

整理得2sin(c−π6)=1，即sin(C−π6)=12，

因为C∈(0,π)，所以C−π6∈(−π6,5π6)，

所以C−π6=π6，所以C=π3；

(2)本题考查利用余弦定理解三角形，三角恒等变换，利用向量的数量积求向量的模，属于中档题.

(1)由三角恒等变换得sin(C−π6)=12，可得C的大小；

16.【正确答案】解：(1)由题意得4a2+2b2=1a2=b2+22，

解得a2=8，b2=4，

所以椭圆C的方程为x28+y24=1，

故C的离心率e=ca=222=22；

(2)设A(x1,y1)本题考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题.

(1)由题意得4a2+2b2=1a2=b2+22，解出a，17.【正确答案】解：(1)证明：连接BC1，

因为OM//平面BCC1B1，OM⊂平面AC1B，

平面BCC1B1∩平面AC1B=C1B，

所以OM//C1B，

而AO=C1O，故AM=BM；

(2)连接B1C，不妨设AA1=AD=2，

则B1C=A1D=22，

在△CB1D中，因为O为B1D的中点，OC⊥B1D，

所以CD=B1C=22，

以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则C(0,22,0)，B(2,22,0)，M(2,2,0)，O(1,2,1)，

所以CO=(1,−2,1)，CM=(2,−本题考查线面平行的性质，利用空间向量求二面角，属于中档题.

(1)利用线面平行性质证得OM//C1B，由AO=C1O18.【正确答案】解：(1)由题意可得g(x)=2sinx−x，且g(π)=−π，

则g'(x)=2cosx−1，g'(π)=−3，

故切线方程为y=−3x+2π，

易得该直线与坐标轴的交点坐标分别为(0,2π)，(2π3,0)，

故其与坐标轴所围成的三角形的面积为S=2π×2π32=2π23；

(2)由题意可得f(x)=2sinx−x+1x+1(x>π2)，

则f'(x)=2cosx−1−1(x+1)2，

当x∈(π2,π)时，f'(x)<0，所以f(x)在区间(π本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题，属于中档题.

(1)对g(x)求导，利用导数的几何意义求出切线的方程，再求出其与两坐标轴的交点，进而求出答案；

(2)通过求导分析函数单调性，结合零点存在性定理求解.19.【正确答案】解：(1)一方面，a1，a2，⋯，a5两两不能同组，故l≥5；

另一方面，按(ai,a5+i)分组，i=1，2，3，4，5，

则数列a1，a2，⋯，am为5−可分的，

综上所述，l的最小值是5；

(2)证明：考虑以下分组方式，

第j组：