2024-2025学年陕西省咸阳市高二上册第一次月考数学阶段性检测试题合集2套（含解析）

2024-2025学年陕西省咸阳市高二上学期第一次月考数学阶段性检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．2．在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．3．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（

）A． B． C． D．4．已如向量，，且与互相垂直，则（

）．A． B． C． D．5．若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（

）A．3 B． C． D．6．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C．3 D．7．在中，，则的长为（

）A． B．4 C． D．58．已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设，为随机事件，且，是，发生的概率.，，则下列说法正确的是（

）A．若，互斥，则 B．若，则，相互独立C．若，互斥，则，相互独立 D．若，独立，则10．已知空间三点，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是.13．方程的两根为，且，则.14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为.

四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角所对的边分别为．(1)若，求的值；(2)求面积的最大值．16．已知空间三点.(1)求(2)求的面积；17．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．(1)证明“三元不等式”：．(2)已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．18．如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.19．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.(1)写出最小的“漂亮数”；(2)当时，求出所有的“漂亮数”.

答案1．【正确答案】D【分析】根据指数幂运算求解.【详解】对A：原式，所以A选项错误；对B：原式，所以B选项错误；对C：原式，所以C选项错误；对D：显然，所以原式，所以D选项正确.故选D.2．【正确答案】C【详解】如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，所以，所以.故选：C3．【正确答案】B【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.4．【正确答案】B计算，根据向量垂直得到答案.【详解】，，则，与互相垂直，则，.故选：B.5．【正确答案】C【详解】如图，正三棱锥，，取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，∴平面即三棱锥的高为，∵，∴，∴，∴，∴.故选：C6．【正确答案】D【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得.【详解】因为，，，所以，，则，，，所以，又因为，所以，则以，为邻边的平行四边形的面积.故选D.7．【正确答案】C【详解】根据三角形内角和为，所以可知，则，根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C8．【正确答案】A【详解】设球的半径为，记正方形中心为，因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面．所以过点且的中点为球心，设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，当且仅当时等号成立，设直线所成的角为，则，又，所以．故选：A．9．【正确答案】ABD【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，故选：ABD.10．【正确答案】AC【详解】因为，，，所以所以，，所以不共线.故选：AC11．【正确答案】AD【详解】对A：，，，由在0,+∞上单调递增，故其等价于，化简可得，故满足题意，故A正确；对B：，，，取，，可得，，又，故此时不满足题意，故B错误；对C：，，，化简得恒成立，不满足题意，故C错误；对D：，，，左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.故选：AD.12．【正确答案】或【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或，故y=2x或．13．【正确答案】-3【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.【详解】∵方程的两根为，∴，，由题意得：；，∵，∴，，故，故-3.14．【正确答案】/【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第一空：因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，即四点共面，所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形，因为正方体棱长为4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为，所以梯形的高为，故所求截面面积为；第二空：由题意，且，所以，在中，当时，，所以表示经过点且法向量为的平面，即点在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有，由题意设，而，设平面的法向量为n1=所以，令，解得，所以可取，显然平面的一个法向量可以是，二面角的余弦值为.故18，.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，可得，（2），，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），（2）设向量，的夹角为，由，，，，又三角形中，.17．【正确答案】(1)见解析(2)①；②.【详解】（1）因为，则（当且仅当时取等），所以（当且仅当时取等），同理（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），三式相加可得：，又因为，所以，所以（当且仅当时取等）.（2）①由可得：，所以，即，即，则，所以，解得.②因为当x∈0,+∞时，，当且仅当，即时取等，所以当x∈0,+∞时，，对任意x∈0,+∞，恒成立，则，所以，解得.所以实数的取值范围为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接交于点，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即，又因为平面，所以平面，又平面，所以．又因为，所以，又平面，所以平面；（2）以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，即点，则三棱锥的体积，解得，所以，则，设平面的法向量，由，令，则，即可得平面的一个法向量，由轴平面，故为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是．

19．【正确答案】(1)6(2)【详解】（1）若是“漂亮数”，设，满足，则，所以，即，故，得，则，所以，此时，假设，则，又，所以的全部可能取值为，经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.所以，又，故6为“漂亮数”，所以最小的“漂亮数”是6；（2）若，设，满足，则，所以，即，而，所以，即，故，得，即，又，所以，而，故，即.若，则，所以.假设，则，矛盾.故，所以，得.故，则，得，又，所以.又，矛盾，故或.当时，有，得，则，得，即.由，得，分别代入，使得为正整数的有，对应的分别为.当时，有，得，则，得，即.由，得，分别代入，使得为正整数的有，对应的分别为.综上，满足条件的全部为.2024-2025学年陕西省咸阳市高二上学期第一次月考数学阶段性检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．曲线与曲线一定成立的是（

）A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等3．“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件4．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（

）A． B．2 C．6 D．85．圆与圆的公切条数为（

）A．2条 B．1条 C．3条 D．4条6．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，则（

）A．实轴长为2B．离心率为C．两渐近线夹角的正切值不存在D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则10．已知直线的方程，则（

）A．恒过定点B．存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数C．直线的斜率一定存在D．点到直线的距离最大值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为，则（

）A．与有相同离心率的椭圆标准方程一定是B．过的直线与椭圆交于两点，则C．设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值D．设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直三、填空题（本大题共3小题）12．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是．13．设集合，，若，则实数．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知定点，动点到定点距离之比为．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程．16．已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．17．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；(2)若，，求的面积．18．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．19．已知椭圆，左焦点.(1)设直线与椭圆交于，点是椭圆上任意一点，证明：；(2)过做两条互相垂直的直线、，交椭圆于、，交椭圆于、，（ⅰ）记四边形面积为，求的取值范围；（ⅱ）设的中点为的中点为，直线与直线交于，证明．

答案1．【正确答案】B【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.故选：B.2．【正确答案】B【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，其中，所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率，因为，所以，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，其中，，，所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；故选：B3．【正确答案】D【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”“为常数”；反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆．因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．故选：D．4．【正确答案】C【详解】由方程可知，，即，所以，解得，所以.故选：C5．【正确答案】A【详解】由是以为圆心，3为半径的圆.，转换为，即该圆是以为圆心，4为半径的圆.所以圆心距，所以所以两圆相交，故公切线的条数为2，故选：A6．【正确答案】D【分析】先求出直线过的定点，要想直线和椭圆总有公共点，只需定点在椭圆上或内部，因为定点为，所以直接跟短半轴b比较即可【详解】由题意，直线恒过定点，要使直线与椭圆总有公共点，则只需点在椭圆上或椭圆内，则．又焦点在轴上，所以，所以．故选：D．7．【正确答案】B【分析】根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.【详解】设点，，因为，所以，即，结合可得，所以.故选：B.8．【正确答案】B【详解】设，令，则，过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，如果在同一支上，则有，如果在两支上，则有，因为这样的直线有4条，所以，解得，故选：B9．【正确答案】ABC【详解】由双曲线可得，所以实轴长为，故A对；离心率为，故B对；令，可得渐近线方程为和，斜率分别为1和-1，所以斜率之积为-1，所以两直线垂直，其夹角为，故两渐近线夹角的正切值不存在，故C对；把直线代入双曲线中，消y，得,当时，即时，直线与双曲线相交有一个交点，当，时，即，解得，直线与双曲线相切，有一个交点，所以直线与曲线有且仅有一个公共点，则或，故D错；故选：ABC10．【正确答案】ABD【详解】A.联立，得，所以点满足方程，即直线恒过定点，故A正确；B.当时，，，当时，，，当，得，故B正确；C.直线的方程，当，时，直线的斜率不存在，故C错误；D.点到直线距离的最大值为点与定点之间的距离，即，故D正确.故选：ABD11．【正确答案】BD【详解】对于A，椭圆的离心率，若椭圆方程为：，则其离心率也为12，但该方程不是的形式，故A错误；对于B，设过的直线方程为，Ax1,y联立，消去可得，，，，同理，所以，故B正确；对于C，由椭圆的定义可得，所以，当三点不共线时，，共线时，所以有最大值，有最小值，故C错误；对于D，设圆上任意点，当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，代入椭圆方程，所以，整理可得，所以，又，所以，当斜率不存在时，显然垂直，故D正确；故选：BD.12．【正确答案】【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，则实数的取值范围是，故13．【正确答案】或【详解】集合，，且，直线与直线平行，或经过点，即或，故1或．14．【正确答案】a【详解】由题知，设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为，由双曲线定义有，得，由圆的切线