2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上册10月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若，则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2.若，则（）A. B. C. D.3.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.4.在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（）A.当时，是直角三角形 B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形 D.当时，是钝角三角形5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（）.A. B. C.π D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C D.8.设函数在上至少有两个不同零点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.10.函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数解析式为B.函数的单调增区间为C.函数的图象关于点对称D.为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度11.已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的取值范围为C.当时，取值范围为D.当时，的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则用表示为______．13.已知，则的最小值为______．14.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，则，16.已知函数．（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．17.已知数列的前n项和为，数列满足，．（1）证明等差数列；（2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．18.在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，求面积的最大值；（3）求的取值范围．19.已知集合是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使对定义域内任意实数都成立.（1）判断函数，是否属于集合，并说明理由；（2）若函数（，、为常数）具有反函数，且存在实数对使，求实数、满足的关系式；（3）若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域.2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若，则是的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】对于，则，解得；对于，则，解得；因为是的真子集，所以是的充分不必要条件.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案.【详解】因为，所以，所以.故选：C3.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以.且在恒大于0，所以或.综上可知.故选：B4.在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（）A.当时，是直角三角形 B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形 D.当时，是钝角三角形【正确答案】D【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D.5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（）.A. B. C.π D.【正确答案】D【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即，因为，所以令，即，故选：D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，是偶函数，且在区间单调递减，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范围是.故选：D7.已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断.【详解】令，则，对于A，，所以A正确，对于B，因为在上递增，且，所以，即，即，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，故选：C8.设函数在上至少有两个不同零点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先令得，并得到，从小到大将的正根写出，因为，所以，从而分情况，得到不等式，求出答案.【详解】令得，因为，所以，令，解得或，从小到大将的正根写出如下：，，，，，……，因为，所以，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，故，当，即时，，解得，故，当时，，此时在上至少有两个不同零点，综上，的取值范围是.故选：A方法点睛:在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.【详解】选项A：为奇函数不是增函数，选项B：，为奇函数和增函数，选项C：为奇函数和增函数，选项D：不是奇函数.故选：BC.10.函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数解析式为B.函数的单调增区间为C.函数的图象关于点对称D.为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度【正确答案】AB【分析】由题意求出f(x)的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A，由图可知，，又因为由，则，两式相减得：，所以①，又因为，所以，结合①，，因为，所以所以，故A正确；对于B，，解得：，故B正确；对于C，令，解得：，函数f(x)的图象关于点对称，所以C不正确；对于D，将函数向右平移个单位得到，故D不正确.故选：AB.11.已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的取值范围为C.当时，的取值范围为D.当时，的取值范围为【正确答案】AC【分析】对A选项，对求导，得到其最值即可判断，对B选项，将看成整体解出或，通过图像找到所在位置，依据，假设通过消元解出范围，再通过数形结合求出的范围，两者比较即可，对C,D通过减少变量，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断.详解】当时，，此时，令，解得，令，解得，可得在上单调递减，在上单调递增，且，∴当时，，故A正确；作出如图所示图像：由有6个不同的零点，等价于有6个不同的实数根，解得或，∵，∴若，可得，而当时，，可得，而；当时，，可得而，故的范围为的子集，的取值范围不可能为，故B选项错误；该方程有6个根，且，知且，当时，，，联立解得，，故C正确；当时，，，联立解得，．故D错误.故选：AC.关键点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解出其值，然后通过图像分析，转化为直线与图像的交点情况，对于C,D选项式子，我们谨记要减少变量，将其转化为一个或两个变量的相关式子，常见的如，有两根，则，如一元二次方程存在实数解，则.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则用表示______．【正确答案】【分析】根据换底公式及对数运算计算.【详解】.故答案为.13.已知，则的最小值为______．【正确答案】【分析】我们可以通过对已知等式进行变形，将表示成一个关于或的函数，再根据函数的性质求出最小值.【详解】，我们可以将其变形为.可得，即，那么.当时，.设，，则.根据二倍角公式，，则.由辅助角公式（其中），这里，，则，其最小值为.当时，同理可得的最小值也是.故14.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______．【正确答案】【分析】由结合余弦定理和面积公式可得，再利用同角三角函数的关系可求得的值，由化简得，由三角函数的性质求出的范围，从而可求出的最小值.【详解】因为，，所以，所以，因为，所以，即，解得或（舍去），因为，所以，在锐角中，有，，则，所以，因为，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，设（），则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和三角形的面积公式对化简变形，考查计算能力，属于难题.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，则，.【正确答案】（1）不能（2）人【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断；（2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据【小问1详解】：学生的性别和是否喜欢运动无关.，所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.【小问2详解】训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，则，，，即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，，由（人）估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.16.已知函数．（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．【正确答案】（1）（2）有最大值，最大值为e【分析】（1）求导，得到恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出a的取值范围；（2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值.【小问1详解】因为，所以，因为在R上单调递减，所以恒成立，所以，，所以a的取值范围是．【小问2详解】当时，，，令，解得，令，解得，所以当时，单调递增，当，时，单调递减，当时，，又时，，所以有最大值，最大值为e．17.已知数列的前n项和为，数列满足，．（1）证明是等差数列；（2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】(1)由数列的前n项和为，可求得，，再由等比数列的定义证明即可.(2)根据题意可求得，，代入中得，只需满足以即可，从而求解的值即可.【小问1详解】解：证明：因为数列的前n项和为，所以当时，，当时，，所以，满足，所以数列的通项公式为，，所以，，所以是等差数列；【小问2详解】解：因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；所以，要使对一切正整数n都有成立．即，即，所以，解得.故存在常数，当时，对一切正整数n都有成立.18.在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，求面积的最大值；（3）求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可；（3）利用正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域.【小问1详解】因为，