2024-2025学年江西省鹰潭市贵溪市高三上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省鹰潭市贵溪市高三上学期第一次月考数学检测试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.给出下列四个结论：①“”是“”的充分不必要条件；②若命题，则；③若，则是充分不必要条件；④若命题q：对于任意为真命题，则其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数（）A. B. C. D.5.已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知函数定义域为R，且为奇函数，且，则（）A. B. C. D.08.已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的有（）A.函数定义域为，则的定义域为B.函数是奇函数C.已知函数存两个零点，则D.函数在上为增函数10.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数的极小值点为B.C.若函数有4个零点，则D.若，则11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点B.函数的图像与函数的图像没有公切线C.函数，则有极大值，且极大值点D.当时，恒成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.12.数在上可导，若，则______.13.已知函数，正数满足，则的最小值为______．14.已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.15.已知集合，，．（1）求；（2）若是的必要条件，求a的取值范围．16.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断并证明在上的单调性；（3）解不等式.17.已知函数的图象的对称中心为.（1）求值；（2）用函数单调性定义证明在其定义域上单调递减；（3）若方程在上有解，求实数的取值范围.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：2024-2025学年江西省鹰潭市贵溪市高三上学期第一次月考数学检测试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1.若集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据交集定义运算.【详解】因为，,所以.故选：C.2给出下列四个结论：①“”是“”的充分不必要条件；②若命题，则；③若，则是的充分不必要条件；④若命题q：对于任意为真命题，则其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【正确答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解.【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误；对于②，，②错误；对于③，若，则且，反之，，，成立，因此是的充分不必要条件，③正确；对于④，，而，则，④正确，所以正确结论的个数为2.故选：B3.已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案.【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数，则有，解可得，则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数，又，函数的对称轴为，且在上为减函数，则有，即.故选：D.4.已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据的函数类型，求得，再利用导数的几何意义，求得即可.【详解】因为为幂函数，故，解得，则，；不妨设也即与y=f(x)的切点为，则，且，解得.故选：D.5.已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由函数满足，可得，所以函数在上单调递增，则，即可解得实数a的取值范围.【详解】因为函数（且）满足，即，所以，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以.故选：C.6.已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.【详解】令，则.若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意.若，则当时，，单调递减，则，不符合题意.若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意.故的取值范围为.故选：D思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可.7.已知函数的定义域为R，且为奇函数，且，则（）A. B. C. D.0【正确答案】D【分析】由条件可以推出和关于点1,0对称，进而可得关于直线对称.再用赋值法求值即可.【详解】由于，所以，则，因此.令，则，故.由于为奇函数，故，即，故关于点1,0对称.由题，，故关于直线对称，因此当时，，故，因此.故选：D8.已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【正确答案】A【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围.【详解】函数的定义域为，若时，由求导得，，故当时，f'x<0，当时，f所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，当时，；若时，由求导得，，因，故恒有f'x>0，即在上单调递增，且当时，，当时，，即时，恒有.作出函数的大致图象如图所示.又由可得或，由图知有两个根，此时有2个零点；要使函数恰有5个不同的零点，需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的有（）A.函数定义域为，则的定义域为B.函数是奇函数C.已知函数存在两个零点，则D.函数在上为增函数【正确答案】AB【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.【详解】对于A，由函数定义域为，则，因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，函数定义域为R，且，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，则可得，令，，结合函数图象可设，，则，所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.故选：AB.,10.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数的极小值点为B.C.若函数有4个零点，则D.若，则【正确答案】AC【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，可得函数的图象，如图所示：对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；对于选项B：因为，且在内单调递增，所以，故B错误；对于选项C：令，可得，可知函数有4个零点，即与有4个交点，且的定义域为，且，可知为偶函数，且当时，原题意等价于当时，与有2个交点，由题意可知：，故C正确；对于选项D：设，则，可知在内单调递增，则，即，若，不妨设，则，且，且在内单调递增，则，所以，故D错误；故选：AC.方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点B.函数的图像与函数的图像没有公切线C.函数，则有极大值，且极大值点D.当时，恒成立【正确答案】ACD【分析】选项A，利用与的图象，知时，有一个交点，当，构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求得，即可求解；选项B，设出切点，利用导数的几何意义得到，将问题转化成求方程解的个数，即可求解；选项C，令，对求导，求出的单调区间，再利用极值的定义，即可求解；选项D，构造函数和，利用导数与函数单调性间的关系，得到，且等号不能同时取到，再利用与图象间的关系，即可求解.【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，当时，令，则，由，得到，由，得到，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取最小值，即，所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确；对于选项B，设与切于点，与切于点则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数，令，则，易知在上恒小于0，当时，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又，，所以在上有使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，且当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误，对于选项C，令，所以，令，则，所以在上单调递减，又，所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故选项C正确，对于选项D，，则，当时，时，，所以，即，当且仅当时取等号，令，则在区间上恒成立，又，所以，当且仅当时取等号，又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方，所以，且等号不能同时取到，故选项D正确.故选：ACD.方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.12.数在上可导，若，则______.【正确答案】12【分析】利用导数的定义计算代入可得结果.【详解】根据导数定义可.故1213.已知函数，正数满足，则的最小值为______．【正确答案】12【分析】由函数奇偶性的判定得出为奇函数，有，进而得出，再根据基本不等式求解即可．【详解】因为定义域为，又，所以为奇函数，有，又，所以，即，又因为为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，故12．14.已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为________．【正确答案】【分析】将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可.【详解】由题意可知，则，即，又，所以，则．设，则，所以ℎx在0,+所以，则，所以，所以．设，则，当时，φ'x当时，φ'x所以φx在0,2上单调递增，在上单调递减，则，所以的最大值为．故答案为.关键点点睛：利用等式同构函数，化简，同构函数；再利用导数分析单调性并求出最值.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤.15.已知集合，，．（1）求；（2）若是的必要条件，求a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案；（2）转化为，再分和讨论即可.【小问1详解】因为或，，所以，.【小问2详解】若是的必要条件，则，当时，，即，当时，，解得，故的取值范围为.16.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断并证明在上的单调性；（3）解不等式.【正确答案】（1），．（2）在上为减函数,证明见解析.（3）【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式.（2）根据单调性的定义可得在上为增函数；（3）根据（2）中的单调性可求不等式的解.【小问1详解】函数是定义在上的奇函数，，解得：，∴，而，解得，∴，．【小问2详解】函数在上为减函数；证明如下：任意，且，则，因为，所以，，所以，即，所以函数在上为减函数．【小问3详解】由题意，不等式可化为，所以，解得,所以该不等式的解集为．17.已知函数的图象的对称中心为.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减；（3）若方程在上有解，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用对称性的性质有，待定系数计算即可；（2）利用（1）的结论结合函数单调性的定义作差证明即可；（3）利用换元法结合复合函数的单调性、二次函数的性质及（2）的结论得出单调递减，计算其值域即可.【小问1详解】根据题意有，整理得，即，所以，经检验，符合题意；【小问2详解】由上知，令，不妨设令，则，易知，又，所以，则，即，则在定义域上单调递减，证毕；【小问3详解】方程在上有解，即两个函数与有交点，令，设，则时，，则，显然时，该函数单调递减，而单调递增，根据复合函数的单调性知在时单调递减，结合（2）的结论有单调递减，所以，而接近0时，y接近正无穷，所以，即实数的取值范围为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.【正确答案】（1）（2）答案见详解【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程；（2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调性.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知：的定义