高考数学核心考点6-1 数列递推求通项15类归纳-（解析版）

专题6・1数列递推求通项15类归纳

目录

一、热点题型归纳...............................................................................1

【题型一】通过“累加法”学通项思想1：基础型............................................1

【题型二】通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型...................................2

【题型三】通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”...............................4

【题型四】通过“累加法”学通项思想4：累积法............................................5

【题型五】周期数列.......................................................................7

【题型六】构造二次等比数列型（待定系数型）.............................................8

【题型七】分式递推......................................................................9

【题型八】构造二阶等差数列型............................................................10

【题型九】前n项积型....................................................................11

【题型十】特殊通项1：“即”型求通项.....................................................13

【题型十一】特殊通项2：正负相间讨论型...................................................14

【题型十二】特殊通项3：奇偶讨论型........................................................15

【题型十三】特殊通项4：“求和公式换元”型................................................18

【题型十四】特殊通项5,区式分解型.......................................................20

【题型十五】特殊数列6：其他几类特殊数列求通项...........................................21

【题型十六】压轴小题......................................................................24

二、最新模考题组练............................................................................26

说明：为了达到更有针对性的复习，大题只提供求通项那一问的解答，略去后续非通项的

解答

诲嚏拉卢敦型归的

A.I1

【题型一】通过“累加法”学通项思想1:基础型

【典例分析】

已知数列{4}中，已知q=2,an+}-an=2nt则，等于（）

A.2451B.2452C.2449D.2450

【答案】B

【详解】由凡+1-。”=2〃得：an-an_x=2（n-l）,an_}-an_2=2（n-2）t……,

ay-a2=2x2ta2-aA=2x1,各式相力口可得：

an-ax=2x[l+2+…-1）]=2x,

2

又q=2,:.an=2+W（M-1）=H-w+2,「.火。=2500-50+2=2452.故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。

1.“等差”累加法，如典例分析

2.“等比累加法”，如变式1

3.“裂项累加法”，如变式2

4.无理根式裂项累加法，如变式3

【变式演练】

1.已知数列｛叫满足q=2,《川一勺二2",则的=()

A.510B.512C.1022D.1024

【答案】B

23

【详解】由4=2,a,*]-q=2”得出一4=2,a3-a2=2,a4-a3=2,...

《r-4"T=2”“，以上各式相加得，a一4=2+2?+…+2修=2°-2)=2"一2,

〃'1-2

所以为=2〃—2+4=2",所以/=29=512.故选：B.

2.已知数列｛斯｝满足4=-1,%+=4+'——L,〃CN・，求数列的通项公式呢.

nn+\

【答案】ci=—：

nn

【详解】(1)4+1—%=-------，

n〃+1

11111111/、C、

••令—卬=；_彳吗_。2=丁三，4—。3X，…，=7一(〃22),

12233471—1n

将以上〃一1个式子相加，

得(生-4)+(〃3-%)+(。4_甸+…+(4_(.1)

=/…+(=-9即…=T"*eN)

/.an=%+1--=-1+1--=--(«>2,/?GN").

又当时，q=T也符合上式，

n

3.数列｛册｝中，%=0,an+1-an=焉且a”=9,则n=

【答案】100

【详解】VOn+i-an==Vn+1-Vn,：.an=an-an_x+-an_2+-+

-Q1+四—Vn—y/n—1+Vn—1—Vn—24-…+V2—VT+0=Vn—1

Van=9,即低一1=9,解得n=100故填：100

【题型二】通过“累加法”学通项思想2：换元型与同除型

【典例分析】

已知数列｛4｝满足：4=13,5+1）4川一加“=2〃+1,，则下列说法正确的是（）

A.«„+1>anB.an+｛<anC.数列｛叫的最小项为由和。4D.数列｛凡｝的最大项

为〃3和。4

【答案】c

【详解】

令bn=啊,则〃+1—2=2〃+1,又q=13,所以4=13，4-4=3,4-4=5,•••,

2—%=2〃-1,

h〃2_1212

所以累加得=3+嘤2="+⑵所以=—=------=---，

nnn

12〃+12k(〃-3)(〃+4)

所以4加-4=(〃+1)+二7一

n+i

所以当〃v3时，an+l<an,当"=3时，/+]=%,即％=4，当〃>3时，an^>an,

即4>。2>。3=%<%<…v。”，所以数列｛%｝的最小项为由和%,故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

换元型，是许多复杂通项的基本变换之一

1.换元等差累加法，如典例分析

2.换元对数相消累加法。如变式1

3.同除换元等比累加法，如变式2

4.同除换元裂项累加法，如变式3

【变式演练】

黑号+仲+9则/=(

1.在数列｛%｝中，4=2,)

A.6B.2+(〃-l)ln〃C.l+〃+ln〃D.2n+nIn/?

【答案】D

【详解】由题意得，如=工+皿"L则生=也+卜」-,也二巴2+ln土土

n+1nnnn-1n-\n-ln-2n-2

a=%+］」,

211

由累加法得，—=—+ln—^-+ln-^!--+ln-,即2=q+ln~~T~^...7

n1n-\n-21n、〃-1n-21

则M=2+ln〃，所以a“=2〃+〃ln〃，故选：D

n

2.已知数列｛qJ满足4=；,4,=一、41_/.

（1）求数列｛〃.｝的通项公式；

（2）设数列｛4｝的前〃项和为S,,求满足S“<12的所有正整数〃的取值集合.

【答案】（1）cin=n+；（2）｛1,2,3,4｝.

【详解】（1）因为々=——4]一二，所以一---^^二一二.因为W—=——T*

n-\2nnn-\2"2122

/%_1

所以

n

于是

n1

2

13n

当〃=1时，4=1+5=］，所以勺=九十亍^

(2)因为S“-5,1=q=〃+最＞0,所以⑸｝是递增数列.

13-25c327417

因为q=1+4=3+二9'包=4+尹；

2242

:5165

6=5+尹

32

35993537

所以S,=4,&=二，5.=—<12,5=—>12,

123885532

于是所有正整数〃的取值集合为{1,2,3,4}.

勺4川

3.己知数列｛飙｝满足©=1,(In-Q.+I=~~则mo的值是()

25

A.-B.D.

3~22

【答案】C

%4小1I

解：由凡一《山可得：—

%ann{n+1)n/7+1

1(11)1

+•••+-----+---=

a2a\7a\

1-1+1」

210

【题型三】通过“累加法”学通项思想3：复杂“同除换元型”

【典例分析】

已知数列｛〃〃｝满足q=；,+则数列｛%｝的通项公式

n

【答案】n(=-N*)

/1+1

1

【详解】易知。“工0,由〃(〃+])(4用-4)=4+[4，得

1111I111/

——-——(几.2).

凡4.1〃〃+1%凡n-\n

111111111111

工当儿.2时,有----

q12a2a323

111n-1(〃..2)又q=-i.

将以上力一1个等式相加得，------

4可nn

n-1n+1n

—=2-(九.2)4(〃EN*)

an,经验证，当"=1时符合上式，Jn+\

【提分秘籍】

基本规律

1.双系数同除换元，如典例分析。

2.同除裂项型，如变式I

3.同构型同除型，如变式2,也可以裂项分离常数，构造累加法

【变式演练】

1.已知数列｛an｝满足—(〃+1)%=1(〃eN"),%=2,则〃2O2i=.

【答案】2020

【详解】因为〃4+1—+=1,所以〃4+[—5+1)4=〃+1-〃，

式子两端除以〃(〃+1)，整理得：也土1二%11,即士1;为常数列.

n+inn

因为q=2,所以.+1==^l=i，所以a”二〃一1,所以出以=2021-1=2020.

n33

故答案为：2020

2.已知数列｛4｝中，4=2,n[afl+[-an)=an+\f〃sN*，则工的取值范围是

n

【答案】[2,3)

【详解】由题意得,*』4+”“空警+”诒二,就1r

n+\nnn+\

a3a2_I1%%11

所吟号=4T-T-2-34334

相加得，生一?=1一工，故殳=2+」=3--,

n1nnnn

因为函数y=3-:在(0,+?)上单调递增，且当时,3」-3

x

所以2«3-,<3,即％的取值范围是[2,3).故答案为：[2,3).

nn

【题型四】累积法

【典例分析】

已知数列｛《,｝满足5+1)〃川=q+〃，4=2,则。3T的值为一，4⑼的值为一

【答案】--5—+i

62021!

3377

解:令〃=1,则2生=q+l=3,o,=—，令〃=2,则3/+2=—+2=—，所以“3=—，

~2226

所以《一1='，

671~11

因为(〃+1)%+1=%+〃，所以5+1)(4+]—1)=《,-1,即W+，=G7T，

I凡—14I—1/一13—I,八[11

当"N2时，有〃“-1=~rrr,(4-1),=----------------(q—1),

一1%-1%-14-1nn-\2

因为q=2,所以。”—1=—,所以/=---hl,所以。2021=------*-1»故答案为：—»

nin\2021!6

—!—+i

2021!

【提分秘籍】

基本规律

累积法主要有“分式型”和“指数型”。

【变式演练】

L已知数列｛4｝满足%工0,4=—2〃“）=2an.

（1）求数列｛4｝的通项公式；（2）求数列+5）的前〃项和S“.

n

【答案】（1）a,=n-T-'⑵2”+3〃2二2_]

2

试题解析：（I）因为〃（4用一24）=24，故—=2（〃+1）勺,得冬±1_=2・5：（也可

以累积法）

设包="，所以2+1=22，・・•〃工0,.•2/（）,.・・券=2又因为&=幺=1,

nd1

所以数列也｝是以1为首项，公比为2的等比数列，故4=1・21=2""=皆，故

….2-

（II）略.

2.已知数列｛an｝的前〃项和为5“,％=1,5”=㊂N）,则数列也｝的通项公式为

2

【答案】an=-r—7x

【详解】

2

由s“二〃?“，可得当〃之2时，Sn_]=（n-i）az,_1,

则an=S”-Si=〃&一（〃一,即（n2一1）4=（〃-1）2%，故?=,

Un-\〃十1

…S—4”。”-2%。2〃_〃T〃-2n-32J2

所以4“--------------------------------------------CI.------------------------L-X—X1--------------

*a„_2an_3a2%〃+1nn-\43+

22

当几=1,4=1满足4=—----.故数列｛%｝的通项公式为—.

n(n+1)J"n(n4-1)

2

故答案为：an=—―-

n[n+i)

3.数列｛4｝满足：q=g，4+出+…+则数列｛4｝的通项公式〃“=

1

【答案】

+〃

解：因为4+。2+…+々”=①；当〃之2时，4+4=(〃-1)2②;

①减②得4=刀2.6_(九—1)2%,即所以

(〃-1)5+1)%=(1户%，所以(九+1>4=(九一1)。-1，所以3=鲁所以

Un-\〃十1

3

£1=1&=2=--%/T

ax3生4’。35''%〃+】

a、.幺凡12372—1Qn2乂q=!，所以

所以一=­XXX•,•X1，所以/,1、，

4%%%345n+\a]+2

1111

“许,当〃"时—许也成立‘所以『许故答案为：而可

【题型五】周期数列

【典例分析】

已知数列｛%｝满足%=0，凡+|=学~-，则。刈7=

，34+1

A.0B.-75C.G

2

【答案】A

_/T_/T

【详解】q=0，a2='~r----=-6,。2=一&&=与-----=石，

6%+1岛2十1

%=J5,4=’尸=0,…由上述可知,数列｛4｝是每三项一次循环的数列,

则有^2017=4=0,故选A.

【提分秘籍】

基本规律

1.周期数列型一：分式型，如典例分析

2.周期数列型二：三阶递推型，如变式1

3.周期数列型三：乘积型，如变式2

4.周期数列型四：反解型，如变式3

【变式演练】

1.数列｛q｝中，4=1,4=3,%=4-%5之27sN"),那么/oi9=

A.1B.2C.3D.-3

【答案】B

【详解】

由题意，得％=2,4=-1，%=一3，%=-2，%=1，…，由此发现数列｛《7｝是以6

为周期的数列，乂2019=336x6+3,所以％（M9=6=2,故正确答案为B.

2.在数列｛〃“｝中，若《=1,。2=2,并有对〃>1且〃wN*恒成立；贝!1

〃2020+々2021=--------------•

【答案】；3

2

4H1

解：由条件an=4+同及。向=an+2an,得an+2=—==—，

anan+ian-lan-\

即/+2=」~（〃>1且〃£N*），则4+6=」-=〃〃（〃WN）从而知6是数列｛4｝的

an-\凡+3

一个周期；

由q=1，。2=2，及"〃+2=»得“3=2,。4=1，“5=〃6=3；故。2020+。2021=

2

]a入

a+a=1H—=—•故答案为：一.

4s222

2

另解：由4=1,。2=2,又。“=%+141T即。“+|=~-对〃>1同"wN*,可得

an-\

%=2,4=1，%=4=；，%=1,/=2,…，从而知6是数列｛凡｝的一个周期：

133

故。202（）+。2021=4+。5=1+5=3•故答案为：3

3.设数列｛%｝满足4=2,且对任意正整数〃，总有（。向―1）（1一4）=24成立，则数列

｛〃〃｝的前2019项的乘积为

A.—B.1C.2D..3

2

【答案】D

12%.2a.L_

【详解】由题意可得；q+1=1+「匚，故；/-2,^2=1+—=-3,

I一见1一%

2凡_1

a=1+=-，

3-1-—--T2

%=1+含匚=:，%=1+=2=q,据此可得数列｛4｝是周期为7=4的周期数

列，

注意到2019MOD4=3,且：故数列｛为｝的前2019项的乘积为：

故选D.

【题型六】构造二阶等比数列型（待定系数型）

【典例分析】

已知数列｛%｝满足：q+1=2%-〃+l(〃wN*),q=3.

(1)证明数列2=q-〃(〃€*)是等比数列，并求数列｛%｝的通项;

(2)设%=数列匕』的前〃项和为｛SJ,求证：S“<1.

【答案】⑴%=2n+〃；⑵略

试题解析：⑴解：由a=4一，知勺=4+〃,代入得：〃+]+(/+1)=2(〃+〃)一九+1,

化简得：b*i=2b”,即也｝是等比数列，又伪=4-1=3—1=2,则2=2〃，进而有

%=2"+〃.

an..-a„I1

(2)证明：由于--=--------,

所以

【提分秘籍】

基本规律

形容an+]=qatl+p(gw0,1,〃均为常数)，构造等比数列｛/+浦"=-J。特殊情况下,

当q为2时，2=p,如变式1

【变式演练】

1.数歹U｛《』满足4=2,%+]=2用一1贝！|4

【答案】A

【详解】数列｛%｝满足4=2,/_1=2/-1,4,加一1=2(4—1),｛4一1｝是以2为公比的

等比数列，首项为1,得到4一InZinaLZi+L%：??.故答案为A.

2.已知数列｛%｝中，4=1,。”=3。1+4(〃£N-且〃之2),则数列｛q｝通项公式。”为

()

A.3"TB.3H+I-2C.3"一2D.3"

【答案】C

【详解】

4+2c

由4=1,%=34_]+4知：出=7且------=3(n>2),而q+2=3,a,+2=9,

明+2

・・・{/+2}是首项、公比都为3的等比数列,即〃“二3"-2,故选:C

【题型七】分式递推

【典例分析】

2Q2

在数列｛凡｝中，4=1,%=一£N*),则――是这个数列的第________________

。〃十乙ZU19

项.

【答案】2018

【分析】同取倒数，得到关于｛一｝是等差数列：进而求得生的通项公式即可求出项数.详

n

解】

111f1、1,1

由已知得一=—+-，所以｛一｝是以一二1为首项，4二一为公差的等差数列，

%+i%2%%2

I,1,n+\222

所以二1+/（〃_1）=亍，所以“指，令4，=商=痂'解得"=2018

【提分秘籍】

基本规律

4zy

形如多向=———为主（4，B,C为常数）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新

Ba“+C

数列求解.

【变式演练】

,、1n2a„.+n-｝.户、、

1.数列｛凡｝满足：且一=31--------（n7wN,〃N2）,则数列｛《J的通项公式

aa

3nn-\

是〃〃=------

n

【答案】a=--

rt2n+\

【详解】

nn-\

原等式可化简为：—+2,所以数列为以3为首项，2公差的等差数歹”,

an

则二二3+2(〃-1)=2〃一1,所以。“=—-—

an2n-l

2.已知在数列也｝中，4=1,4+小鼠方丁，则数列｛〃”｝的通项公式为%=_____.

1

【答案】

2x3n-1-l

an13+2an3c11

【详解】由题意，。用二尸^，取倒数得-=------=——+1=3—+1

3+24%%％q川(%

又，+1=2=0,所以，数列1^+11是公比为3的等比数列，故'■+1=2X3〃\

41%J%

所以一t一.故答案为：一｛--.

〃2x3"-2X3〃—-

212a

3.已知数列｛《,｝满足=之2）.（i）求数列｛4｝的通项公式;

（2）设数列｛/｝的前〃项和为S,,用数学归纳法证明：S“<〃+3-ln・

【答案】（1）4=空.（2）答案见解析

n+2

12,—G,1\—a1+1.1

［详解］（1）•・-------7=——--=-IL±—=-1+--------

%-14TqT-la“_|T

11,

•.------------------=-1

%一1an-\~1

二|是首项为一3,公差为-1的等差数列.二

—1

n+\

n+2

【题型八】构造二阶等差数列

【典例分析】

数列｛见｝满足：且％则数列｛%｝的前〃项和,%=

【答案】|

+H+l3a,+n〃+1n「

【解析】V^,+I=\--U（〃£N）・・・——二j—,即一二一+3

3q+〃,74%氏

・•.•上■是以3为首项，3为公差的等差数列・・・K=3+3（〃-l）=3n,即可=不，数列

/3

｛4｝的前〃项和4=g

【提分秘籍】

基本规律

形如凡讨=M“+p〃（〃工l,p为常数）,构造等差数列‘之4，,可通过同除构造等差数列

〔P

【变式演练】

1.数列｛凡｝满足4=1,an+［（afl+\）-an=0QnsN*）,则。2018

【答案】嬴

【解析】数列｛4｝满足4=1,〃向（4,+1）—4=0,变形得到

11,1,1

----------=］,---=1,---

an

%n4%

则々2018=---。

2018

n

2.数列｛。〃｝中，4=1,an+i=2aH-2,则%=

A.-15x216B.15x2,7C.-16x216D.16x2”

【答案】A

【解析】由题意可得：黑■=》一:，即：第一条二一?，

据此可得，数列，是首项为彳=，，公差为-!的等差数列,

12nI2,22

故：弱1+(17-3鸟上

—47=-15x216.本题选择A选项.

2

3.如果数列｛〃”｝满足4:2,6=］，且“z-Q"="向(〃22,〃wN,),则〃宜二()

an-\an+\

【答案】B

【详解】

由一q=4—"向(/N2,〃€N')化简得「一+」一二工,

4-1an+lan-\4+1an

11111.11

所以数列《一卜是等差数列，首项为一=彳，公差〃=------=1--=-.

an\42生422

1

所以——二彳+11乂彳=6=>42=7.故答案为：B

的226

【题型九】前n项积型

【典例分析】

已知数列｛q｝的前〃项积为T.，若对22,〃£N*，都有乙//产2窘成立，且q=1,

生=2,则数列｛凡｝的前10项和为一・

【答案】1023

【分析】把&一a=27；2化成刎=2,结合”=2可知｛4｝为等比数列，从而可求其

ana\

通项与其前10项和.

小

【详解】因为北+/7；1=27；2,故多=2即誓=2(H>2),而/二2,

亡,,

所以｛为｝为等比数列，故4=2小，所以5|0="°-2"))=1023,填1023.

【提分秘籍】

基本规律

类比前n项和求通项过程：

l.n=L得ai

2.I1N2时，a"=)

【变式演练】

1.若数列㈤｝的前〃项的积为，R，则。〃=_____________.

【答案】二

【详解】设数列｛4｝的前〃项积为9,则7；二」~,当〃=1时，4=工=:；

n+\2

1

当〃之2时，。.=，=得」=-^.4=［满足〃"=一巴;.综上所述，与二二标^/^^故

Z«-1_L“+1272+1〃+1'7

答案为：—（HG/V4）

2.设等比数列｛4｝的公比为q,其前〃项和为S”，前〃项积为并满足条件4>1,且

〃2020。2021>1，（“2020-1）（%021-1）<°，下列结论正确的是（多选题）

A.Szg<SzgB.々202002022一1<°

C.数列｛I,｝无最大值D.4侬是数列｛4｝中的最大值

【答案】ABD

【详解】根据题意，等比数列｛为｝的公比为心若%>20。2021>1，

则（。可刈中死婀》必八/皿）〉］，又由4>1,必有夕>。,则数列｛4｝各项均为正

值，

若（%）20—1）（%）21-1）<0，必有生020>1，。<〃2021<1，则必有。<g<1，依次分析选

项：

对于A,数列｛〃“｝各项均为正值，则⑼=生⑷>。，必有邑网<5202iA正确:

对于B,若。<%021<1，则/020。2022-1=（。2021）2-1<0，B正确，

对于C,根据％>出>…>/020>1>。2021>…>。，可知4020是数列｛［｝中的最大项，

C错误；

对于D,易得D正确，故选：ABD.

3.已知各项均不为零的数列｛4｝的前〃项积，满足北+1+。〃。向二。,川，则1,

册

数列,的前〃项和s“

・1/2（«+1）

［答案］--C

72+12

【详解】由=%，得Tnan+l+%4向=%.因为。"尸0,所以毒+4=1.由

题意知，当〃之2时，%=’,所以当〃之2时，（+7=1,两边同时除以7；,得

4-14-1

11111=2,所以数列〈机，是首项为2,

于一丁=1.因为7；=l-a=a，所以q=--=—

T〃Titf214

公差为1的等差数列，

I.1n,故枭=〃，所以数列的前〃项

所以天=〃+1,T=-从而4=1_7；=——

I”n〃+1n+\

和为S”=幽辿.

2

1n(n+1)

故答案为:

n+\2

【题型十】特殊通项h“和”型求通项

【典例分析】

已知数列｛而｝满足—ai=2,S〃是数列｛“〃｝的前〃项和，则S21为（

2

79

22

【答案】B

【解析】

因为4+q川=；，所以4川+q+2=：/•见+2=%,因此

耳=2（〃为偶数）,4=-弓4伽为奇数），^2i=10x-1+（-13）=-7,选B.

【提分秘籍】

基本规律

满足〃-"小，称为“和”数列，常见如下几种：

。”+1十/一八引

L“和”常数型，如典例分析。

2.“和”等差型，如变式1

3.“和”二次型，如变式2

4.“和”换元型，如变式3

【变式演练】

1.知数列｛“〃｝满足：〃“+I+4,=4〃-35WN*）,且。尸2,贝!]〃“=

■为奇数

【答案】q二

2〃-5,〃为偶数

【详解】.・•数列｛an｝满足ai=2,an+i+an=4n-3（n£N"）,・,•当n=l时，a2+ai=l,解得a2=-l.

当n>2时，an+2+an+i=4n+l,/.an+:-an=4,

，数列｛an｝的奇数项构成等差数歹!，首项为2,公差为4；偶数项构成等差数列，首项为-1,

公差为4.

/•a2k-1=2+4（k-1）=4k-2,即n为奇数时：an=2n.

,2〃，〃为奇数

a2k=-l+4（k-1）=4k-5,即n为倡数时：a=2n-5./.a=.

nn2〃-5,〃为偶数

2.已知数列｛《,｝的前〃项和为S.，若S”+I+S”=2〃2（〃£N）,且q°=28,则％=

B.-10

【答案】C

2

【详解】由题意可得：Sn+l+Sfl=2nfS“+Sz=2（〃—1『，

两式作差可得：4+4.1=2（2n-l）=4n-2,①

进一步有：=4（〃-1）-2=4〃一6,②

①-②可得：4加-q=4,故数列的偶数项为等差数列，且公差为4,

据此可得：a10=a2+4J,即：28=/+4x4,解得：%=12.故选（：.

3.若数列｛a；｝满足，"+午=攵(忆为常数)，则称数列｛〃〃｝为等比和数列，k称为公比和，已知

数列｛《J是以3为公比和的等比和数列，其中4=1,4=2,则％„9=_____.

【答案】2,009

解:令＞=甘~，则4+4+1=3①，%+"+2=3②,

①■②得：2+2-么=0，即a+2=2,又4=%=2,所以4=&=1，

a\a2

LH=2k/xa,(1,〃=2Z/、

所以么“婕N*、即3=吐N*,

2,〃=2Z-1an\2,n=2k-\

a009

所以“2019=\•，幼加=lx2xlx2xlx2xlx--«x2xlx2=2'

44%

所以生(„9=T009.故答案为T009

【题型十一】特殊数列2：正负相间讨论型

【典例分析】

己知数列｛4,｝中，4=1,a.]=4+(-贝！1。2。=__________.

【答案】-9

【详解】当〃为奇数时，an+l-ar=-n,当〃为偶数时，an+i-an=n,

故々20=[(%)-。19)+(%一%)+…+3-4)]

+[(t/19-6f18)4-(4Z17-aI6)+---+(/?3-tz2)]4-al

=—(19+17+…+1)+(18+16+…+2)+1=—9故答案为：-9

【提分秘籍】

基本规律

利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律

【变式演练】

L已知数列｛〃“｝满足4=一1，。〃一a“_|=(一1)"•力2(几.2,则。必=.

【答案】5050

【分析】

【详解】因为4=T,a〃—a,i=(-1)”♦/(九.2,

所以4Go-%9=1002，％9一〃98=一992,...,出一4=22,左右分别相加得:

。侬=—1+2~—3~+4?---99?+1002,=(-1"+2?)+(—3?+4~)+•••+(—99+1002)

=(-1+2)(1+2)+(—3+4)(3+4)+…+(—99+100)(99+100),

=14-2+3+4+...99+100,

J°°xa°°+D=