中考数学三轮冲刺培优训练专题02方程与不等式的解法大题押题（解析版）

专题02方程与不等式的解法大题押题（最新模拟40道：一次方程、二次方程、分式方程、不等式）类型一：一次方程组的解法1．（2023•浙江模拟）以下是欣欣解方程：x+23解：去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1；……①去括号：2x+2﹣6x+3＝1；…………………②移项，合并同类项得：﹣4x＝﹣4；………………③解得：x＝1．…………④（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）（2）请你完成正确的解答过程．【分析】（1）出现错误的步骤是第一步去分母，原因是各项都要乘以最简公分母；（2）写出正确解答过程即可．【详解】（1）步骤①；（2）去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝6；去括号：2x+4﹣6x+3＝6；移项，合并同类项得：﹣4x＝﹣1；解得：x=1【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程解法，正确计算是解题的关键．2．（2023•南皮县校级一模）对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad，例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2，根据上述规定解决下列问题：（1）计算（6，﹣4）★（4，﹣9）；（2）若（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，求x的值．【分析】（1）根据题干所给公式计算可得；（2）由题意得出（2x+1）×（﹣1）﹣（﹣3）×（1﹣x）＝27，解之可得．【详解】（1）（6，﹣4）★（4，﹣9）＝﹣4×4﹣6×（﹣9）＝﹣16+54＝38；（2）∵（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，∴（2x+1）×（﹣1）﹣（﹣3）×（1﹣x）＝27，解得x＝﹣5．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义和有理数的混合运算顺序与运算法则、解一元一次方程的能力．3．（2023•西安二模）解方程组：x−2y=3x+4=3(y−2)【分析】方程组化简后利用加减消元法求解即可．【详解】原方程组化简，得x−2y=3①x−3y=−10②①﹣②得y＝13，把y＝13代入①得x﹣2×13＝3，∴x＝29，则方程组的解为x=29y=13【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．（2023•翼城县一模）（1）计算：34（2）解二元一次方程组：2y−x=−4，x+y=−5．【分析】（1）先算绝对值，乘方，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【详解】（1）3=34×2﹣=3＝1；（2）2y−x=−4①x+y=−5②①+②得：3y＝﹣9，解得：y＝﹣3，把y＝﹣3代入②得：x﹣3＝﹣5，解得：x＝﹣2，故原方程组的解是：x=−2y=−3【点睛】本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023•灞桥区校级二模）解方程组：x2【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】方程组整理得：3x−2y=4①4x−y=8②②×2﹣①，得5x＝12，解得x=12把x=125代入485解得y=8则方程组的解为x=12【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．（2023•佛山模拟）解方程组：2x−y=2①3x+2y=−【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】方程组整理得：2x−y=2①6x+4y=−1②①×4+②得：14x＝7，解得：x=1把x=12代入①得：y＝则方程组的解为x=1【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．（2023•三江县校级一模）解方程组：4x−3y=112x+y=13【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】4x−3y=11①2x+y=13②①+②×3得：10x＝50，解得：x＝5，把x＝5代入②得：y＝3，则方程组的解为x=5y=3【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（2023•扶风县一模）解方程组：2x−y=33x+2y=1【分析】首先由①×2+②，消去y，然后解关于x的方程即可求解．【详解】2x−y=3①由①×2+②，得7x＝7，解之得x＝1，把x＝1代入①式，得2﹣y＝3，解得y＝﹣1所以原方程组的解为x=1y=−1【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，解方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元和加减消元．9．（2023•港南区模拟）解方程：x+y=1x+2y=4【分析】利用加减消元法解之即可．【详解】x+y=1①①﹣②得：﹣y＝﹣3，解得：y＝3，把y＝3代入①得：x+3＝1，解得：x＝﹣2，即原方程组的解为：x=−2y=3【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是关键．10．（2023•秦皇岛一模）请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b＝ax+by．例如：3◎2＝3x+2y．（1）如果x＝﹣5，2◎4＝﹣18，求y的值；（2）1◎1＝8，4◎2＝20，求x，y的值．【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可；（2）根据题意，得出方程组，解答即可．【详解】（1）根据题意，得2x+4y＝﹣18，把x＝﹣5代入，得﹣10+4y＝﹣18，解得y＝﹣2；（2）根据题意，得x+y=84x+2y=20，解得x=2【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．类型二：一元二次方程的解法11．（2023•靖江市校级模拟）（1）计算(−1（2）解方程：x2+2x﹣2＝0．【分析】（1）根据负指数幂，特殊角三角函数，二次根式的性质直接计算即可得到答案；（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案．【详解】（1）原式=−3+3×=−3+3=−2−23（2）移项得，x2+2x＝2，配方得，（x+1）2＝3，两边开平方得，x+1=±3∴方程的解为：x1=−1−3【点睛】本题考查了负指数幂，特殊角三角函数，二次根式的性质及解一元二次方程，掌握a−p12．（2023•福安市一模）（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．（2）计算（12）﹣2﹣（π−7）0+|3−【分析】（1）把方程化为完全平方式的形式，再开方即可；（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】（1）移项得，x2﹣2x＝5，方程两边同时加1得，x2﹣2x+1＝5+1，故（x﹣1）2＝6，开方得，x﹣1＝±6，解得：x1＝1+6，x2＝1−（2）原式＝4﹣1+2−3+＝4﹣1+2−3+＝5+3【点睛】此题考查的是解一元二次方程方程及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2023•无为市一模）计算：（1）(sin30°−1)（2）用适当的方法解下列方程：x2﹣4x+2＝0．【分析】（1）先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）(sin30°−11−2=1−1+3=3（2）x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x+2+2＝2，（x﹣2）2＝2，x1=2【点睛】本题考查的是解一元二次方程，涉及到零指数幂，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．14．（2023•常州模拟）解方程：（1）（x+1）2﹣4＝0；（2）x2﹣2x﹣6＝0．【分析】（1）先移项，再两边直接开平方即可得出答案；（2）利用配方法将方程的左边配成完全平方式后求解可得．【详解】（1）∵（x+1）2﹣4＝0，∴（x+1）2＝4，则x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x1＝1，x2＝﹣3；（2）∵x2﹣2x﹣6＝0，∴x2﹣2x+1＝7，∴（x﹣1）2＝7，则x﹣1=7或x﹣1=−解得x1=7+1，x2＝1【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（2023•小店区校级一模）用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【详解】（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±11，x+6=11或x+6=−x1=−6+11（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±1010，x+1＝1010或x+1＝﹣1010，x1=−1+1010【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．16．（2023•泉州一模）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的过程中出现了错误，其解答如下：解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步∴x=5±372∴x1=5+372，x2=（1）问：小明的解答是从第一步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答．【分析】（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到a＝1，b＝﹣5，c＝3，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的；故答案为：一；（2）方程化为一般式为x2﹣5x+3＝0，a＝1，b＝﹣5，c＝3，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，x=−b±所以x1=5+132，x【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．17．（2023•定远县一模）（1）计算：sin60°1−cos60°+1（2）解方程：x2+x﹣1＝0．【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】（1）原式==3＝23−（2）x2+x﹣1＝0，∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x=−1±∴x1=−1+52，x【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（2023•雁塔区校级模拟）解方程：x（x﹣5）＝15﹣3x．【分析】先移项，再提取公因式即可．【详解】移项得，x（x﹣5）﹣3（5﹣x）＝0，提取公因式得，（x﹣5）（x+3）＝0．故x+3＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝5．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．19．（2023•立山区校级一模）解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0．（2）x（x﹣2）＝6﹣3x．【分析】（1）利用配方法解出方程；（2）利用因式分解法解出方程．【详解】（1）2x2+4x﹣1＝0，2x2+4x＝1，x2+2x=1（x+1）2=3x+1＝±62∴x1=62−1，x（2）x（x﹣2）＝6﹣3x，x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，∴x﹣2＝0或x+3＝0，∴x1＝2，x2＝﹣3．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．20．（2023•泸县一模）解方程：2（x﹣1）2＝3（x﹣1）．【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．【详解】2（x﹣1）2＝3（x﹣1），移项，得，2（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，提公因式，得（x﹣1）（2x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．类型三：分式方程的解法21．（2023•青秀区校级模拟）解分式方程：1x+3【分析】方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）可得一个关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】1x+3方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x﹣3+（x+3）（x﹣3）＝x+3，去括号，得x﹣3+x2﹣9＝x+3，移项、合并同类项，得x2＝15，直接开平方，得x1经检验，x1【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．22．（2023•柯城区校级一模）计算：（1）分解因式：a2﹣4a+4；（2）解分式方程：x2−x【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝（a﹣2）2；（2）去分母得：x+1＝3（2﹣x），化简得：x+1＝6﹣3x解得：x=5检验：把x=54代入得：x﹣2∴分式方程的解为x=5【点睛】本题考查了解分式方程，运用公式法因式分解，熟练掌握解分式方程的步骤和因式分解的方法是解题的关键．23．（2023•佛山一模）解方程：1x−3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：x+3＝6，解得：x＝3，把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是增根，分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（2023•镇海区校级一模）解方程：（1）1−xx−2（2）x+5x+4【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；（2）把方程转化成1(x+1)(x+2)=1(x+3)(x+4)，再方程两边都乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得出（x+3）（x+4）＝（【详解】（1）1−xx−2方程两边都乘x﹣2，得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即分式方程无解；（2）x+5x+4(x+4)+1x+41+1x+4+1+1x+11x+41x+1x+2−(x+1)(x+1)(x+2)1(x+1)(x+2)方程两边都乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），得（x+3）（x+4）＝（x+1）（x+2），解得：x=−5经检验x=−5即分式方程的解是x=−5【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．25．（2023•金华模拟）解方程：1x+1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】1x+1去分母得：x﹣2＝4（x+1），去括号得：x﹣2＝4x+4，移项合并得：﹣3x＝6，解得：x＝﹣2，经检验：x＝﹣2是原分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．26．（2023•碑林区校级模拟）解分式方程2(x−1)x+1【分析】方程两边都乘（x+11）（x﹣1）得出2（x﹣1）2﹣8＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【详解】2(x−1)x+12(x−1)x+1方程两边都乘（x+11）（x﹣1），得2（x﹣1）2﹣8＝（x+1）（x﹣1），解得：x1＝5，x2＝﹣1，经检验x＝5是分式方程的解，x＝﹣1是增根，即分式方程的解是x＝5．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．27．（2023•临潼区一模）解方程：2x−3x−2【分析】通过去分母、移项、合并同类项、检验解决此题．【详解】2x−3x−2去分母，得2x﹣3+1＝x﹣2．移项，得2x﹣x＝﹣2﹣1+3．合并同类项，得x＝0．检验：当x＝0，x﹣2≠0．∴这个分式方程的解为x＝0．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．28．（2023•陈仓区模拟）解方程：3x【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】两边都乘以（x+3）（x﹣3），去分母得3+x2﹣3x＝x2﹣9，解得x＝4，检验：当x＝4时，（x+3）（x﹣3）≠0，∴x＝4是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．29．（2023•义乌市校级模拟）（1）解不等式组：3x−2＞1x+1＜3（2）解方程：3【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；（2）方程两边同时乘以（x﹣3）（x﹣1），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】（1）3x−2＞1①x+1＜3②解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：1＜x＜2；（2）3x−33（x﹣1）＝2（x﹣3），即3x﹣3＝2x﹣6，解得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确的计算是解题的关键．30．（2023•灞桥区校级二模）解分式方程：xx+2【分析】方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+4＝（x+2）（x﹣2），解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的解．所以原方程的解为x＝4．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．类型四：不等式（组）的解法31．（2023•碑林区校级模拟）求不等式−3x−1【分析】解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．【详解】去分母得：﹣3x+1+10≥2x，移项得：﹣3x﹣2x≥﹣1﹣10，合并同类项得：﹣5x≥﹣11，解得：x≤11∴不等式的正整数解有：2，1．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．32．（2023•秦都区校级二模）解不等式：x−42【分析】根据解一元一次不等式的方法，求出该不等式的解集，然后写出相应的最大整数解即可．【详解】x−42去分母，得：3（x﹣4）≤6﹣2（7﹣x），去括号，得：3x﹣12≤6﹣14+2x，移项及合并同类项，得：x≤4．∴原不等式的解集为x≤4，∴不等式的最大整数解为4．【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．33．（2023•合肥模拟）解不等式组12【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出相应的整数解即可．【详解】1解不等式①，得：x≤4，解不等式②，得：x＞﹣1，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤4．∴原不等式组的整数解是0，1，2，3，4．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．34．（2023•秀英区模拟）计算：（1）计算：|﹣5|+4÷12+（（2）解不等式组1−x＜26−【分析】（1）先去绝对值、计算算术平方根和负整数指数幂，然后计算除法，最后算加法即可；（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出相应的整数解即可．【详解】（1）|﹣5|+4÷12+＝5+2×2+（﹣3）＝5+4+（﹣3）＝6；（2）1−x＜2①解不等式①，得：x＞﹣1，解不等式②，得：x≤4，∴该不等式组的解集是﹣1＜x≤4，∴该不等式组的整数解是0，1，2，3，4．【点睛】本题考查实数的运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键．35．（2023•海口模拟）计算：（1）﹣14+|﹣8|÷（−12）﹣1（2）解不等式组：2−3x≤83(x−1)＜6【分析】（1）先算乘方、去绝对值、计算负整数指数幂和算术平方根，再算除法，最后算加减法即可；（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出相应的整数解即可．【详解】（1）﹣14+|﹣8|÷（−12）﹣＝﹣1+8÷（﹣2）﹣4＝﹣1+（﹣4）+（﹣4）＝﹣9；（2）2−3x≤8①解不等式①，得：x≥﹣2，解不等式②，得：x＜3，∴该不等式组的解集是﹣2≤x＜3，∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2．【点睛】本题考查实数的运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．36．（2023•天河区一模）解不等式：3x﹣1＜x+5．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】∵3x﹣1＜x+5，∴3x﹣x＜5+1，∴2x＜6，则x＜3．【点睛】本题主