18.2.2+菱形（第2课时+菱形的判定）（教学设计）八年级数学下册(人教版)

.2.2菱形（第2课时菱形的判定）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十八章“平行四边形”18.2.2菱形（第二课时菱形的判定）.本节课围绕菱形的判定定理展开，主要涵盖三个判定定理：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；二是四条边相等的四边形是菱形；三是对角线互相垂直的平行四边形是菱形.通过对这些判定定理的探索、推导、证明以及实际应用，让学生掌握判定一个四边形是否为菱形的方法，并能够熟练运用这些方法解决相关的几何问题和实际问题.2.内容解析菱形的判定是在学生已经学习了菱形的定义和性质，以及平行四边形的相关知识的基础上进行教学的.它是对四边形知识体系的进一步完善和深化，有助于学生从不同角度认识和理解菱形这一特殊的四边形.从知识的逻辑关系来看，判定定理是对菱形概念的具体化和操作化，通过这些判定定理，学生可以更加便捷地判断一个四边形是否为菱形，让学生体会到数学知识的严谨性和系统性.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并掌握菱形的3种判定方法.二、目标和目标解析1.目标（1）探索并掌握菱形的3种判定方法；（2）灵活应用菱形的3种判定方法进行证明和计算．2.目标解析对于目标（1），学生在探究判定定理的过程中，能够积极主动地观察图形，类比前面研究平行四边形和矩形的判定的方法，从菱形的性质得到逆命题，提出合理的猜想，并通过实验、推理等方法对猜想进行验证；能够在学习过程中体会到类比思想的作用.对于目标（2），学生能够清晰阐述菱形的三个判定定理的内容和适用条件，在面对具体的几何图形时，能够迅速判断出使用哪个判定定理来判定该四边形是否为菱形.三、教学问题诊断分析学生在理解判定定理时，可能会混淆不同判定定理的适用条件，导致在实际应用中选错判定方法.教师可以通过设计对比性的例题和练习题，让学生在练习中明确各个判定定理的特点和适用范围，加深对判定定理的理解.在探究判定定理的过程中，学生可能会受到已有知识的干扰，难以提出合理的猜想.教师可以引导学生回顾菱形的定义和性质，从菱形的本质特征出发，启发学生思考如何通过不同的条件来判定一个四边形是菱形，帮助学生打开思路.学生在运用判定定理进行证明时，可能会出现逻辑不清晰、推理过程不严谨的情况.教师要注重对证明过程的规范教学，通过示范和引导，让学生掌握证明的基本步骤和方法，培养学生严谨的逻辑思维能力.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：灵活应用菱形的3种判定方法进行证明和计算．四、教学过程设计（一）复习回顾【设计意图】回顾菱形的定义和性质，为后面学习菱形的判定做准备，加强新旧知识之间的联系.（二）情境引入如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形.你知道其中的道理吗?思考：如何判定一个四边形是菱形？【设计意图】通过实际问题导入新课，提高学生的学习兴趣.（三）新知探究由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.思考：除了定义以外，还有没有其他判定菱形的方法呢？一、菱形的判定定理1思考：这个逆命题是真命题吗？不是.菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅互相垂直且平分.猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.请同学们画出图形，写出已知和求证，再用菱形的定义证明猜想.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴▱ABCD是菱形（菱形的定义）.【归纳小结】菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【小试牛刀】用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？为什么？答：当两根木条互相垂直时，四边形变成菱形.理由：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.二、菱形的判定定理2请同学们画出图形，写出已知和求证，再用菱形的定义证明猜想.已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.【归纳小结】菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.【小试牛刀】小明同学想用尺规作图的方法作一个菱形.他画出一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A、B、C、D四点，则作出来的四边形ABCD是菱形.理由：四条边相等的四边形是菱形.【回顾引入】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形.你知道其中的道理吗?解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，∴AE=AF，∴S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，∴BC=DC，∴四边形ABCD是菱形．【设计意图】引导学生由菱形的性质的逆命题猜想菱形的判定，分析证明思路，培养转化推理的划归思想，锻炼证明能力.（四）典例精析例1.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.∴四边形ABFE是菱形．【小结】本题利用菱形的定义判定菱形.【针对练习】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，且DE＝12AC.求证：四边形OCED证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝12AC，OD＝12D，AC＝∴OD＝OC.∵DE∥AC，且DE＝12AC∴DE∥OC，DE＝OC.∴四边形OCED是平行四边形．∵OD＝OC，∴四边形OCED是菱形．例2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10.求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝12AC＝12，OB＝12BD＝5.∵OA2＋OB2＝122＋52＝132＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°.∴AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形．【小结】本题利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来判定菱形.【针对练习】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．例3.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵AE=AC，AD=AD，∴△ACD≌△AED(SAS).同理，△ACF≌△AEF.∴CD=ED，CF=EF.又∵EF=ED，∴CD=ED=CF=EF.∴四边形CDEF是菱形.【小结】本题利用“四条边相等的四边形是菱形”的方法来判定菱形.【针对练习】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形.(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为23，∴菱形的面积为4×23=83.【小结】本题菱形的性质与判定的综合运用.【归纳小结】【设计意图】在证明中，加深对菱形判定的理解，感受数学的严谨性.（五）当堂巩固1.下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是(B)A．AB＝CD

B．AB＝BCC．∠BAD＝90°

D．AC＝BD2.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_____③_____.(只填写序号)3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AC，BC，AD交于点O，E，F，连接AE，CF.若AB＝3，BC＝3，则四边形AECF的周长为_____8____.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____75_____时，平行四边形CDEB5.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝3，BD＝4，求OE的长．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA.∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD.∵AB＝AD，∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝A