《大学物理(上册)》课件-第2章

第2章牛顿运动定律2.1牛顿运动定律2.2单位制和量纲2.3主动力和被动力2.4牛顿定律应用举例2.5非惯性系、惯性力本章小结习题

2.1牛顿运动定律

2.1.1牛顿运动定律牛顿运动定律在中学物理课程中已经出现过了，但那时只讨论了一些简单、特殊情况下物体的运动规律，在大学物理中将用矢量及微积分的知识来研究物体的一般运动。下面先概括介绍一下牛顿三定律的内容。

1686年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中提出了著名的牛顿三定律。

牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种运动状态为止。

牛顿第二定律：物体运动量的改变与所加的力成正比，其方向沿着该作用力的作用方向。

牛顿第三定律：两物体之间的相互作用力大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。

这三条定律是相互关联的。牛顿第一定律是牛顿第二定律在外力为零时的结果，牛顿将其单独提出，是为了强调第一定律的重要性，这就是物体有保持运动状态不变的一个重要属性——惯性。因此，牛顿第一定律也称惯性定律。牛顿第二定律概括了两个力学的基本概念——力和质量，牛顿把运动量定义为质量和速度的乘积，定律中所说的改变是对时间的改变，即。近代物理证明，当物体的速度v远小于光速时，物体的质量m可认为是常量，所以有

(2-1)

设两个物体的质量分别为m1、m2，在相同外力的作用下有

(2-2)

(2-2)说明，在相同力的作用下，质量大的物体加速度小，即反抗运动变化的能力强，也就是惯性大。这样度量的质量叫做惯性质量。

应用牛顿第二定律时要注意，合外力F与加速度a都是矢量，方向相同，它们之间的关系是瞬时对应关系，一旦力去掉，加速度也立即消失；力是物体产生加速度的原因，而不是物体具有速度的原因；力是可以叠加的，若有几个力同时作用，合外力F所产生的加速度a是每个外力Fi所产生的加速度ai的矢量和。

另外，牛顿第二定律只适用于质点的运动。对于平动的物体，其上各点的运动状态相同，可当作质点来处理。当物体不能作为质点时，可以把它看成由许多足够小的部分组成，每一部分作为一个质点，把物体当做一个质点系处理。

2.1.2惯性系

牛顿运动定律研究的是机械运动的规律，而研究机械运动首先要选择一个参考系。在运动学中，我们选择参考系是任意的，但在动力学中要应用牛顿定律，这时应该选择惯性参考系。如果在某个参考系中，物体不受其它物体的作用，而保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为惯性系。

一个参考系是否是惯性系，唯一的鉴别方法就是通过实验来判断。绝对的、理想的惯性系至今尚未找到，但已找到很多近似的惯性系。大量的观察和实验表明，研究地球表面附近的许多现象，在相当高的实验精度内，地球是惯性系。然而，从更高的精度来看，地球并不是严格的惯性系，讨论某些问题时，以地球为惯性系会出现明显的偏差。如讨论人造地球卫星运动时，一般选择以地心为原点，坐标轴指向恒星的地心—恒星参考系，这是比地球精确的惯性系。在研究行星等天体运动时，可选择以太阳中心为原点，坐标轴指向其它恒星的日心—恒星参考系，这是更精确些的惯性系。

显然，凡是相对于任意惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。若一参考系相对于某惯性系作加速运动，则这个参考系是非惯性系。例如，若选地球为惯性系，那么在一平直轨道上作匀速直线运动的火车可以看做是惯性系，而加速运动的火车就是非惯性系了。从另一方面说，牛顿定律适用的参考系叫做惯性系，不适用的参考系叫做非惯性系。

2.1.3伽利略的相对性原理

设有两个参考系S(Oxyz)和S′(O′x′y′z′)，如图2.1所示。

图2.1相互作匀速直线运动的两个参考系

它们对应的坐标轴都相互平行。其中S系为惯性系，S'系相对于S系以恒定速度u运动，则S'系也是惯性系。若有一质点A相对S'系的速度为v'，相对S系的速度为v，则由1.4节相关知识可知：

上式表明，当惯性系S‘相对于S系以恒定速度u运动时，质点在两个惯性系中的加速度是相同的。在S’惯性系中，质点所受到的力为，对于经典力学，在不同惯性系中测出的质量相同，即，又由可得

对于两个相对速度为u的惯性系，牛顿第二定律方程的形式不变。对于描述力学规律来说，一切惯性系都是等价的；不能借助在惯性系中所作的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动的速度。这叫做力学相对性原理或伽利略相对性原理。

到20世纪，爱因斯坦建立了狭义和广义相对论，把相对性原理推广到全部物理学。

2.2单位制和量纲

2.2.1单位制在物理学中，说明某个物理量的数值时，必须同时说明它的单位，否则这个物理量没有意义。当选取的单位不同时，同一规律所对应的物理公式会有所区别，这主要体现在公式中的常数因子上。

在1960年第11届国际计量大会上通过了国际单位制(SI)，我国现行的单位制为国家技术监督局于1993年颁布的中华人民共和国国家标准，这个标准是以国际单位制为基础制定的。

国际单位制规定的力学部分的基本量为长度、质量和时间，其单位分别为m(米)、kg(千克)和s(秒)。这三个单位是力学部分的基本单位，其它单位为导出单位。如速度的单位为“米每秒”，记作“m/s”。本书所涉及的物理量和单位，将在具体的内容中给出。

2.2.2量纲

导出单位取决于基本单位的选择，以及导出量与基本量之间的关系式。导出单位与基本单位之间的关系式称为该导出量的量纲。力学部分的基本量长度、质量和时间的量纲分别用L、M和T表示。对于力学部分国际制中任意的物理量A，它的量纲表示为

p、q和n为量纲指数。

只有量纲相同的物理量才能相加或相减，等式两边的量纲必须相同。如从理论上推导出匀变速直线运动的公式为：

从量纲上判断等式两边的量纲均为L，则这个等式在量纲上是正确的，可以继续通过其它方法验证其正确性，若得出的公式等式两边量纲不同，则它一定是错误的。

2.3主动力和被动力

自然界中有四种最基本的力，它们又可以分为两类。一类是万有引力和电磁力，它们在物体相距较远时仍发挥作用，叫做长程力。万有引力在天体层次的运动中起重要作用；电磁力在宏观现象和微观现象中都发挥作用。另一类是强相互作用和弱相互作用，它们的作用距离很短，叫短程力，短程力只在微观现象中才发挥明显作用。

强相互作用能使像中子、质子这样的一些粒子集合在一起，是保持在原子核里边的力；弱相互作用产生于放射性衰变过程和其它一些“基本”粒子衰变等过程之中。经典力学通常处理万有引力、电磁力和在微观机制上属于电磁力的弹性力和摩擦力。为了便于进行力学分析，以下分为主动力和被动力两类进行讨论。

2.3.1主动力

万有引力、弹簧弹性力、静电力和洛伦兹力等有其“独立自主”的方向和大小，不受质点所受其它力的影响，处于“主动”地位，称主动力。本节中我们只讨论万有引力和弹性力，静电力和洛伦兹力将在后续章节中讨论。

1.万有引力

17世纪初，德国天文学家开普勒(Johannes.Kepler，1571～1630)利用第谷(TychoBrahe，1546～1601)多年积累的观测资料，发现行星沿椭圆轨道运行，并且提出行星运动三定律(即开普勒定律)。牛顿在前人研究的基础上，提出了著名的万有引力定律。该定律指出，大到天体，小到微观粒子，所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的力，这种相互吸引的力叫万有引力。

万有引力定律表述为：两个质量分别为m和m‘的质点相距为r，它们之间的万有引力方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比，即

式中的G为引力常数，它最早是由英国科学家卡文迪什(Henry

Cavendish，1731～1810)于1798年从实验中测得。它的取值为G=6.67×10-11N•m2•kg-2。

万有引力定律的矢量形式为：

上式表示m‘受到m对它的万有引力大小为，方向由m'指向m，er为由m指向m'方向的单位矢量。

重力——通常把地面附近物体受到地球的万有引力称为重力P，其方向通常垂直地面向下，指向地球中心。重力的大小称为重量。在重力作用下，任何物体产生的加速度都是重力加速度g，由牛顿第二定律有：

对地球表面质量为m的物体，它所受到地球的万有引力大小为

其中mE为地球的质量，取值为5.98×1024kg，R为地球的近似半径，取值为6.37×106m，经过计算可得g的数值为9.80m·s-2。

在经典力学中，质量为常量，但重力与重力加速度密切相关。重力加速度因高度而不同，例如在珠穆朗玛峰上的重力加速度比海平面处约少3/1000。此外，因地球呈微扁球形，故重力加速度还与纬度有关。由于地球各部分地质构造不同，也造成各处重力加速度的不同。

2.弹簧弹性力

如图2.2所示，水平放置的弹簧一端固定，另一端与质点相连。在弹簧处于平衡位置时，以质点的位置为坐标原点，沿弹簧轴线建立Ox轴。x表示质点坐标，用Fx表示作用于质点的弹性力在x轴上的投影。在弹簧的线性区域内，有

即弹簧弹性力的大小与物体相对于平衡位置的位移成正比，负号表示力的方向与质点位移方向相反。比例系数叫做弹簧的劲度系数，它与弹簧的匝数、材料、直径和线径等有关。

图2.2质点离开平衡位置时所受到的弹性力

2.3.2被动力

绳内的张力、物体间的挤压力和摩擦力常常没有自己独立自主的方向和大小，要看质点所受到的主动力和它的运动状态而定，一般处于被动地位，这种力称为被动力，也称约束反作用力。如电梯内的人或物体受到的支撑力由重力和电梯的运动状态而定，在力学中，被动力一般作为未知力出现。

1.绳内张力

在紧绷绳索上任意位置作与绳垂直的假想截面，将绳分成两侧，这两侧的相互拉力即该处绳的张力。张力是由绳索拉伸变形产生的，但绳的伸长量与绳的原长相比非常小，在实际处理问题时，一般忽略绳的伸长量。

2.支撑面的支撑力

当两物体相互接触并压紧时，双方会因挤压而产生形变，形变后的物体均企图恢复原状而相互施加挤压弹性力。重物对支撑面的压力和支撑面对重物的支撑力都属于这种力。对于相互压紧的两物体，可将它们的相互作用力分为沿接触面切向方向的摩擦力和垂直接触面的正压力。若两物体的接触面为理想的光滑平面，则仅有与接触面垂直的正压力或支撑力。物体和支撑面的形变一般非常小，对受力情况基本没有影响，通常忽略不计。

3.摩擦力

固体间的摩擦叫做干摩擦。干摩擦力包括静摩擦力和滑动摩擦力。

两个相互接触的物体间有相对滑动的趋势但尚未相互滑动时，在接触面上便产生阻碍相互滑动的力，这个力称为静摩擦力。将一物体置于水平面上，用力F沿水平方向作用于物体上。在F较小时，物体不发生滑动，这时静摩擦力Ff0与外力F大小相等、方向相反。随着F的增大，静摩擦力Ff0也相应增大，当F增大到一定数值，物体即将滑动时，静摩擦力达到最大值Ff0m，该力称为最大静摩擦力。

实验证明，最大静摩擦力Ff0m与物体对水平面的正压力FN成正比，即

μ0叫做静摩擦系数。静摩擦系数与相互接触的两物体的材料性质以及接触面的情况有关，与接触面的大小无关。

当外力F大于最大静摩擦力Ff0m时，物体在平面上开始滑动，此时物体所受到的摩擦力叫做滑动摩擦力，用Ff表示。其方向与物体的运动方向相反，大小与物体的正压力FN成正比，即

μ叫做滑动摩擦系数。μ与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等都有关，还与两接触物体的相对速度有关。一般情况下可近似认为μ略小于μ0。

摩擦力的产生机制颇为耐人寻味。无论多么光滑的表面，在显微镜下也显得凹凸不平。于是相互接触的物体彼此镶嵌。要使两者沿接触面相对运动，就需要超越此类的相互阻隔。这种超越可能不破坏表面的凸起，但发生轻微的跳跃；也可能使凸起断裂，由此产生的碎末可能起到润滑的作用，从而使摩擦减小。另外，当表面极光滑时，两表面间分子的吸引作用也会增加摩擦力。例如将两块打磨得非常光滑的金属块放在一起，要使它们相对滑动会很困难。由此可见摩擦问题的复杂性。

综上所述，绳内张力可以牵引物体一起运动或使物体保持静止；支撑面对物体的支撑力保证物体不下落；摩擦力使物体静止或阻碍物体运动。这些被动力的共同特点是使物体受到某种限制或约束，故又称为约束反作用力。

2.4牛顿定律应用举例

图2.3例2.1图

【例2.1】如图2.3所示，质量为m的物体放置在升降机内，当升降机以加速度a运动时，求物体对升降机地板的压力。

【解】按下述步骤解答此题。

①确定研究对象：以物体为研究对象。

②进行受力分析：物体受到重力和地板对物体的弹性力(设为N)的作用。

③选择坐标系：选向上为正方向。

④列方程：根据牛顿第二定律得N-mg=ma。

⑤解方程得：N=m(g+a)。

由牛顿第三定律可知，物体对地板的压力为N′=m(g

+a)，方向向下。

⑥得出结论：当升降机向上加速或向下减速时，a>0，N>mg，物体处于超重状态；

当升降机向上减速或向下加速时，a<0，N<mg，物体处于失重状态。

当升降机自由降落时，物体对地板的压力为0，此时物体处于完全失重状态。

【例2.2】如图2.4所示，长为l的轻绳，一端系一质量为m的小球，另一端系于定点O。开始时小球处于最低位置。若使小球获得如图所示的初速度v0，小球将在竖直平面内作圆周运动。求小球在任意位置的速率及绳的张力。

图2.4例2.2图

【解】以小球为研究对象，在任意θ位置，小球受重力和绳的张力的作用。根据牛顿第二定律可以写出小球的在法向和切向的运动方程

由上式可知，在小球上升过程中，小球速率减小，绳的拉力逐渐减小；在小球下降过程中，小球速率增大，绳的拉力逐渐增大。

【例2.3】如图2.5所示，质量分别为m1=4kg与m2=1kg的两个物体用一轻绳相连，放在光滑的水平面上，用一水平力F=10N拉m1向右运动，求绳子的张力。如果m1=1kg，m2=4kg，则绳子张力又为多少？

图2.5例2.3图

【解】

①确定研究对象：以m1和m2为研究对象。

②进行受力分析：用隔离体法分析m1和m2的受力情况。

m1：拉力F，张力T′；m2：张力T。

③列方程：m1和m2以加速度a运动。

对m1有F-T′=m1a；对m2有T=m2a。

根据牛顿第三定律得T=T′。

④解方程：由于m1和m2均以加速度a运动，由牛顿第二定律可得：

F=(m1+

m2)a

所以

a=

F

/(

m1+

m2)=10/(4+1)=2m•s-2

因而绳子的张力为 T=m2a=1×2=2N。

⑤若m1=1kg、m2=4kg，则T=m2a=4×2=8N。

可以看出，当前面的物体质量大时，绳子的拉力小。

下面讨论物体在粘滞流体中的运动情况。

物体在流体中运动时，要受到流体阻力的作用。一般来说，流体阻力的大小与物体的尺寸、形状、速率以及流体的性质有关。当速率不太大时，流体阻力主要是粘滞阻力。对于球形的物体，当其速率不太大时，粘滞阻力可由下述Stokes公式给出

f=6πrηv

阻力的方向与物体运动的方向相反，式中r为球形物体的半径；v为其速率；η为流体的粘滞系数，η与流体本身性质有关并和温度有关：当温度增加时，液体的η降低，气体的η升高。

【例2.4】一个质量为m，半径为r的球形容器，由水面静止释放，试求此容器的下沉速度与时间的关系。假设容器竖直下沉，其路径为直线。

图2.6例2.4图

【解】容器受到三个力的作用：

重力P=mg，方向竖直向下；

浮力B=m‘g，大小为物体所排开水的重量，方向竖直向上；

粘滞阻力f=6πrηv=bv，方向竖直向上。

重力与浮力的合力F0=mg-m'g为恒量，根据牛顿第二定律，可得

由于容器是由静止释放，即t=0时，v0=0。

由初始条件对(2-12)式积分得

按照(2-13)式所示的速度—时间函数，可做出如图2.7所示的速度和时间关系曲线。从(2-13)式和图2.7中可以看出，容器下沉的速度随时间的增加而增大；当t→∞时，下沉速度趋向极限。

图2.7例2.4中速度和时间关系曲线

2.5非惯性系、惯性力

如图2.8所示，在火车车厢内的光滑桌面上放置一小球，当车厢相对地面这个惯性系以恒定加速度a0向前运动时，车厢为一非惯性系。在车厢内的观察者A会看到小球以加速度-a0相对车厢运动，而在地面的观察者B则认为小球在水平方向上不受任何力的作用，小球依然保持原来的运动状态，作加速运动的只是车厢而已。图2.8物体在非惯性系中所受到的惯性力

显然，从处于非惯性系中的观察者A来看，小球在水平方向上不受外力的作用却有一个和车厢加速度方向相反的加速度-a0，牛顿定律在这里不适用。在处理这类非惯性系的问题时，为了仍可方便地运用牛顿定律解决问题，人们引入了惯性力的概念。

设想以加速度a0运动的非惯性系中的所有物体都受到一个惯性力，对于质量为m的物体，它所受到的惯性力为

即惯性力的大小为ma0，方向与a0的方向相反。

由此，在非惯性系中，牛顿第二定律的数学表达式为

或

其中a0是非惯性系相对惯性系的加速度，a是物体相对非惯性系的加速度，F是物体所受到的除惯性力以外的合外力。

【例2.5】如图2.9(a)所示的三棱柱以加速度a沿水平面向左运动，它的斜面是光滑的，若质量为m的物体恰好能静止于斜面上。求物体对斜面的压力。

图2.9例2.5图

【解法1】以地面为参考系，物体受到重力和支持力的作用，如图2.9(b)所示。根据牛顿第二定律，可得在y轴方向上有

【解法2】以三棱柱为参考系，它是一个非惯性系，物体除了受到重力和支持力的作用外，还受到惯性力的作用，在这三种力的作用下，物体相对于三棱柱处于静止状态，如图2.9(c)所示。根据牛顿第二定律，可得在y轴方向上有

本章小结

牛顿运动定律可归结为下表，它们适用于惯性参考系。

牛顿第一定律阐明任何物体都具有保持运动状态不变的特性，即惯性。牛顿第二定律是牛顿定律的核心，它阐明了力对物体的瞬时效应，即力与加速度相伴随，有合外力就有相应的加速度；合外力为零，加速度也就为零。牛顿第三定律说明物体间相互作用的关系。

牛顿运动定律所说的物体虽然是指质点，但可以由此出发，研究诸如固体、液体和气体等更复杂的物体运动及其规律，因此牛顿定律是经典力学的基础。

应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的首要步骤是正确分析物体受力情况；然后再按牛顿第二定律F

=ma列出运动方程(矢量形式)，继而在选定的坐标系中进行正交分解，具体计算相应的分量，但这时必须根据所选取的坐标轴正方向，注意力和加速度各分量的正负，并使各量的单位一致。

在研究非惯性参考系中物体的运动时，引入了非惯性力Fi=-ma0对牛顿运动定律加以修正，然后即可应用牛顿定律解答一些问题。

习题

一、思考题

2-1有人说：“人推动了车是因为推车的力大于车反推人的力。”这话对吗？为什么？

2-2在略去空气阻力的情况下，轻重不相等的两个物体在地球表面附近从同一高处自由下落。亚里士多德认为：“重的物体应比轻的物体先落地”。对于亚里士多德的这一观点，你觉得对吗？为什么？

2-3摩擦力是否一定阻碍物体运动？

2-4将一质量略去不计的轻绳，跨过无摩擦的定滑轮。一只猴子抓住绳的一端，绳的另一端悬挂一个质量和高度均与猴子相等的镜子。开始时，猴子与镜子在同一水平面上。猴子为了不看到镜中的猴像，它做了下面三项尝试：

①向上爬。

②向下爬。

③松开绳子自由下落。

这样猴子是否就看不到它在镜中的像了呢？

2-5回答下列问题：

①物体受到几个力的作用时是否一定产生加速度？

②若物体的速度很大，是否意味着其它物体对它作用的合外力也一定很大？

③物体运动的方向与合外力的方向总是相同的，此结论是否正确？

④物体运动时，如果它的速率不改变，它所受的合外力是否为零？

2-6绳的一端系着一个金属小球，以手握其另一端使它作圆周运动。

①当每秒的转数相同时，长的绳子容易断还是短的绳子容易断？为什么？

②当小球运动的线速度相同时，长的绳子容易断还是短的绳子容易断？为什么？

2-7用绳子系一物体，使其在竖直平面内作圆周运动，当物体达到最高点时，判断下列说法是否正确。

①这时物体受到三个力：重力、绳子的拉力及向心力。

②重力、绳子的拉力及向心力的方向都是向下的，但物体不下落，可见物体还受到一个方向向上的离心力，它和这些力平衡。

2-8如图2.10所示，一个悬挂着的物体在水平面上作匀速圆周运动，一个人在重力mg的方向上求合力，从而写出

另一人沿绳子拉力T的方向求合力，写出

显然两者不能同时成立。请指出哪一个式子是错误的，为什么？

二、选择题

2-10如图2.11所示，一个质量为m的小猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M的直杆，悬线突然断开，小猴继续沿直杆竖直向上爬并保持离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度为()。

A、g

B、mg/M

C、(M

+m)g/M

D、(M

+m)g/(M－m)

E、(M

-

m)g/M

2-11如图2.12所示，竖立的圆筒形转笼半径为R，绕中心轴OO'转动，物块A紧靠在圆筒的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为m，要使物块A不下落，圆筒的角速度w至少应为()。

2-12已知水星的半径是地球半径的0.4倍，质量为地球的0.04倍，设在地球表面上的重力加速度为g，则水星表面上的重力加速度为()。

A、0.1g

B、0.25g

C、4g

D、2.5g

2-13如图2.13所示，物体沿着铅直面上圆弧轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪种说法是正确的？()

A、它的加速度方向永远指向圆心

B、它的速率均匀增加

C、它的合外力大小变化，方向永远指向圆心

D、它的合外力大小不变

E、轨道支持力大小不断增加

图2.13题2-13图

2-14如图2.14所示，一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗，以匀角速度w绕其对称轴旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P相对碗静止，其位置高于碗底4cm，则由此可推知碗旋转的角速度约为()。

A、13rad/s

B、17rad/s

C、10rad/s

D、18rad/s

图2.14题2-14图

2-15质量为M的斜面原来静止于光滑水平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图2.15，当木块沿斜面加速下滑时，斜面将()。

A、保持静止

B、向右加速运动

C、向右匀速运动

D、如何运动将由斜面倾角q决定

图2.15题2-15图

2-16如图2.16所示，滑轮、绳子质量忽略不计。忽略一切摩擦阻力，物体A的质量mA大于物体B的质量mB。在A、B运动过程中弹簧秤的读数是()。

图2.16题2-16图

2-17水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为m，现加一恒力F，如图2.17所示。欲使物体A有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角q应满足()。

A、sinq

=m

B、cosq

=m

C、tgq

=m

D、ctgq

=m

图2.17题2-17图

三、计算题

2-18如图2.18所示，绳CO与竖直方向成30°角，O为一定滑轮，物体A与B用跨过定滑轮的细绳相连，处于平衡态。已知B的质量为10kg，地面对B的支持力为80N，若不考虑滑轮的大小，求：

①物体A的质量。

②物体B与地面的摩擦力。

③绳CO的拉力。(取g=10m/s2)

2-19质量为m’的长平板以速度v’在光滑平面上作直线运动,现将质量为m的木块轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的滑动摩擦系数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度?

2-20如图2.19所示的斜面倾角为，底边AB长l=2.1m，质量为m的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦系数m＝0.14。试问，当为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？

图2.19题2-20图

2-21如图2.20所示，已知两物体A、B的质量m均为3.0kg，物体A以加速度a=1.0m•s-2运动，求物体B与桌面间的摩擦力(滑轮与连接绳的质量不计)。

图2.20题2-21图

2-22一质量为m的小球最初位于如图2.21所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB滑动。试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力。

图2.21题2-22图

2-23光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。开始时物体的速率为v0，求：

①t时刻物体的速率。

②当物体速率从v0减少到时，物体所经历的时间及经过的路程。

2-24一质量为10kg的质点在力F＝120t＋40N作用下，沿x轴作直线运动。在t＝0时，质点位于x0=5.0m处，其速率v0=6.0m·s-1，求质点在任意时刻的速度和位置。

2-25一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值Fr为kmv2，其中m为物体的质量，k为常量。试求：

①该