2025年牛津译林版高三数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年牛津译林版高三数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知命题p：2和8的等比中项是4；命题q：平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于常数2a（|F1F2|＜2a）的点的轨迹是双曲线，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧qC.p∧￢qD.￢p∧￢q2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是（）A.60°B.45°C.90°D.120°3、已知向量=（2，4），向量=（x，3），且，则x的值是（）A.6B.-6C.9D.124、设函数f（x）=x3-3ax+b（a＞0），则（）A.x=是f（x）的极大值B.x=-是f（x）的极大值C.x=是f（x）的极大值点D.x=-是f（x）的极大值点5、若，则sin2θ=（）A.B.C.D.6、设p：|x|＜1；q：则p是q的（）

A.充分不必要条件。

B.必要不充分条件。

C.充分必要条件。

D.既不充分也不必要条件。

7、已知F1、F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．过F2作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P，则|PF1|2-|PF2|2=（）A.4a2B.4b2C.3a2+b2D.a2+3b2评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、若函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是，则ω=____．9、在△ABC中，已知∠A=60°，且=，则tanC=____．10、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值____．11、【题文】若则=__________；12、【题文】①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆C经过点圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是____；

②(不等式选做题)已知关于x的不等式的解集为则实数的取值范围是____．13、若非零向量a鈫�b鈫�

的夹角为锐角娄脠

且|a鈫�||b鈫�|=cos娄脠

则称被“同余”，若b鈫�

被a鈫�

“同余”，则a鈫�鈭�b鈫�

在b鈫�

方向上的投影为______．14、设函数f(x)=鈭�ex(2x+1)鈭�ax+a

其中a>鈭�1

若存在唯一的整数x0

使得f(x0)>0

则实数a

的取值范围是______．评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．20、空集没有子集．____．21、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、证明题(共3题，共18分)22、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．

（1）证明：CD⊥平面PAC；

（2）求四棱锥P-ABCD的体积．23、设x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．

（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；

（Ⅱ）求（）2的最小值．24、如图；在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，点A在边PB上，AD∥BC，PB=3BC=6，现沿AD将△PAD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）当CD=BC时；证明：直线BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）当三棱锥P-ABD的体积取得最大值时，求平面PBD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．评卷人得分五、作图题(共4题，共16分)25、画底面边长为2cm、高为3cm的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的直观图．26、已知a＞0，x，y满足约束条件，若变量x的最大值为6，则变量y的取值范围为____．27、用平面向量的方法证明：

（1）三角形三条高交于一点；

（2）三角形三条中线交于一点；

（3）三角形三条中垂线交于一点．28、设a∈[0，2]，b∈[0，4]，则函数f（x）=x2+2ax+b在R上有两个不同零点的概率为____．评卷人得分六、综合题(共2题，共4分)29、如图；四棱锥P-ABCD的俯视图是菱形ABCD，顶点P的投影恰好为A．

（1）求证：BD⊥PC；

（2）若AC=2a，BD=4a，四棱锥P-ABCD的体积V=2a3，求PC的长．30、椭圆+=1（a＞0）的焦点在x轴上，则它的离心率的最大值为____．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解析】【解答】解：命题p：2和8的等比中项是4或-4；

故p是假命题；

命题q：平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于常数2a（|F1F2|＜2a）的点的轨迹是双曲线；

平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线；

故q是假命题；

故￢p∧￢q是真命题；

故选：D．2、A【分析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．【解析】【解答】解：如图所示，设AB=2；

则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0；2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）．

∴=（-2，0，2），=（0；1，1）；

∴===；

∴=60°．

∴异面直线EF和BC1所成的角是60°．

故选：A．3、B【分析】【分析】根据向量垂直的关系进行求解即可．【解析】【解答】解：∵；

∴；即2x+3×4=0；

解得x=-6；

故选：B．4、D【分析】【分析】求出导数，令它为0，求出单调增区间和减区间，从而判断．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=x3-3ax+b（a＞0）；

∴f′（x）=3x2-3a；

令f′（x）=0，则x=±；

f′（x）＞0，得x＞或x＜-，f（x）单调递增；f′（x）＜0，得-＜x＜；f（x）单调递减．

∴x=-是f（x）的极大值点，x=是f（x）的极小值点；

故选D．5、C【分析】【分析】把要求的式子先利用正弦的二倍角公式变形；然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简；

可求出所求．【解析】【解答】解：若，则sin2θ====；

故选C．6、B【分析】

由：|x|＜1；得：-1＜x＜1；

由得：-1＜x＜0；

因为-1＜x＜1时不一定有-1＜x＜0；而-1＜x＜0时一定有-1＜x＜1；

所以p是q的必要不充分条件．

故选B．

【解析】【答案】把命题p和命题q中的x的范围解出；根据解出的x的范围之间的关系，判断p与q的互推情况．

7、A【分析】解：设双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x；

F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|==b；

cos∠POF2===

在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2-2|PO|•|OF1|•cos∠POF1

=a2+c2-2ac•（-）=3a2+c2；

则|PF1|2-|PF2|2=3a2+c2-b2=4a2；

故选：A．

求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF2|=b；运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．

本题考查距离的平方差，注意运用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，同时考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解析】【解答】解：函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是=；则ω=6；

故答案为：6．9、略

【分析】【分析】由条件利用正弦定理可得4sinB=3cosC，即4sin（120°-C）=3sinC，化简求得tanC=的值．【解析】【解答】解：△ABC中，已知∠A=60°，且=，∴4b=3c；由正弦定理可得4sinB=3cosC；

即4sin（120°-C）=3sinC，即4（cosC+sinC）=3sinC，即2cosC=sinC，求得tanC==2；

故答案为：2．10、略

【分析】【分析】由已知得cosB==，当且仅当a=c时，cosB取最小值．【解析】【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b；c成等比数列；

∴b2=ac；

cosB==；

∴当且仅当a=c时，cosB取最小值．

故答案为：．11、略

【分析】【解析】由已知得：x-y=y，即x=y，故=．【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）把极坐标形式化为直角坐标系形式，∵点∴x=∴点P（1，1）．

∵直线展开为∴y−令y=0，则x=1，∴直线与x轴的交点为C（1，0）．

∴圆C的半径r=|PC|=1．∴圆C的方程为：（x-1）2+y2=1，展开为：x2-2x+1+y2=1，化为极坐标方程：ρ2-2ρcosθ=0；即ρ=2cosθ．

∴圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．

（2）由得所以函数y=的图象总在函数y=x-2图象的上方，所以-2a<2,解得a<-1.

考点：极坐标方程与普通方程的互化【解析】【答案】（1）（2）13、略

【分析】解：根据题意，设向量a鈫�b鈫�

的夹角为锐角娄脠

若b鈫�

被a鈫�

“同余”，则有|b鈫�||a鈫�|=cos娄脠

隆脿a鈫�?b鈫�=|a鈫�||b鈫�|cos娄脠=b鈫�2

隆脿(a鈫�鈭�b鈫�)?b鈫�=a鈫�?b鈫�鈭�b鈫�2=b鈫�2鈭�b鈫�2=0

则a鈫�鈭�b鈫�

在b鈫�

方向上的投影为(a鈫�鈭�b鈫�)鈰�b鈫�|b鈫�|=0

．

故答案为：0

．

根据题意，写出b鈫�

被a鈫�

“同余”的表达式；再根据平面向量投影的定义计算即可．

本题考查平面向量的数量积运算以及向量投影的计算问题，掌握“同余”的定义是解题的关键．【解析】0

14、略

【分析】解：g(x)=鈭�ex(2x+1)y=ax鈭�a

由题意知存在唯一的整数x0

使得g(x0)

在直线y=ax鈭�a

的上方；

隆脽g隆盲(x)=鈭�ex(2x+1)鈭�2ex=鈭�ex(2x+3)

隆脿

当x<鈭�32

时，g隆盲(x)>0

当x>鈭�32

时，g隆盲(x)<0

隆脿

当x=鈭�32

时，g(x)

取最大值2e鈭�32

当x=鈭�2

时，g(鈭�2)=3e鈭�2

当x=鈭�1

时，g(鈭�1)=1e

直线y=ax鈭�a

恒过定点(1,0)

且斜率为a

故鈭�a鈭�a<g(鈭�1)=1e

且鈭�2a鈭�a鈮�g(鈭�2)=3e鈭�2

解得：a>鈭�12e

且a鈮�鈭�1e2

综上，a隆脢(鈭�12e,鈭�1e2]

故答案为：(鈭�12e,鈭�1e2].

设g(x)=ex(2x鈭�1)y=ax鈭�a

问题转化为存在唯一的整数x0

使得g(x0)

在直线y=ax鈭�a

的上方，求导数可得函数的极值，数形结合可得鈭�a鈭�a<g(鈭�1)=1e

且鈭�2a鈭�a鈮�g(鈭�2)=3e鈭�2

解关于a

的不等式组可得．

本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．【解析】(鈭�12e,鈭�1e2]

三、判断题(共7题，共14分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、证明题(共3题，共18分)22、略

【分析】【分析】（1）由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD可证明PA⊥CD，在△ACD中，由已知可得AC2+CD2=AD2；即CD⊥AC，又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，从而证明CD⊥平面PAC．

（2）先求S四边形ABCD=AB×AC=，从而由VP-ABCD=S四边形ABCD×PA，即可求解．【解析】【解答】（本小题满分12分）

解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD；CD⊂平面ABCD

∴PA⊥CD（2分）

在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=；

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°；即CD⊥AC（4分）

又PA∩AC=A；PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC；

∴CD⊥平面PAC（6分）

（2）∵S四边形ABCD=AB×AC=（9分）

∴VP-ABCD=S四边形ABCD×PA=（12分）23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy；通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；

（Ⅱ）利用≥2z2；≥2y2；≥2x2，推出（）2的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．【解析】【解答】解：（Ⅰ）证明：因为x2+y2≥2xy；

y2+z2≥2yz；

x2+z2≥2xz；

所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；

故xy+yz+xz≤1；

当且仅当x=y=z时取等号；（6分）

（Ⅱ）因为≥2z2；≥2y2；≥2x2

所以+≥x2+y2+z2=1；

而（）2=++2（x2+y2+z2）≥3

所以（）2≥3；当且仅当x=y=z时取等号；

故当x=y=z=时，（）2的最小值为3．（14分）24、略

【分析】【分析】（Ⅰ）当CD=BC时；四边形ABCD是正方形，连结AC；BD，则BD⊥AC，再推导出PA⊥AD，从而BD⊥PA，由此能证明BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）设DC=t，t∈（0，6），则PA=6-t，以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【解析】【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形PBCD中，AD∥BC，AB∥DC，DC⊥BC，

当CD=BC时；四边形ABCD是正方形；

连结AC；BD；则BD⊥AC；

∵平面PAD⊥平面ABCD；

平面PAD∩平面ABCD=AD；PA⊥AD；

PA⊂平面ABCD；故BD⊥PA；

又AC∩PA=A；∴BD⊥平面PAC．

解：（Ⅱ）设DC=t；t∈（0，6），则PA=6-t；

由（Ⅰ）知VP-ABD=≤=3，

当6-t=t；即t=3时取等号，此时AP=AB=DC=3．

如图；以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系；

则B（3；0，0），D（0，2，0），P（0，0，3），C（3，2，0）；

设=（x；y，z）是平面PCD的一个法向量；

∵=（3，0，0），=（0；-2，3）；

∴，取z=2，得=（0；3，2）；

设=（a，b；c）是平面PBD的法向量；

∵=（-3，2，0），=（0；-2，3）；

∴，取c=2，得=（2；3，2）；

设平面PBD与平面PCD所成锐二面角为θ；

则cosθ===．

∴平面PBD与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．五、作图题(共4题，共16分)25、略

【分析】【分析】根据斜二侧画法作图．【解析】【解答】解：（1）建立空间直角坐标系B1-xyz；

（2）在x轴上作线段B1C1=2cm，在y轴上作线段B1A1=1cm；

（3）过C1作y轴的平行线，过A1作x轴的平行线，使得两条平行线交于D1点；

（4）分别过A1，B1，C1，D1作z轴的平行线，使得A1A=B1B=C1C=D1D=3cm．

（5）连结AB，BC，CD，AD，则ABCD-A1B1C1D1就是要做的直观图．26、略

【分析】【分析】由约束条件作出可行域，求得使变量x取得最大值的a值，再求出图中A，B的纵坐标，则答案可求．【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立；解得A（2a，-a）；

联立，解得B（）；

由图可知；变量x的最大值为2a=6，即a=3．

变量y的取值范围为[-a，]=[-3，]．

故答案为：．27、略

【分析】【分析】（1）作图，在△ABC中，作高线AH⊥BC，BH⊥AC，连接CH，只要证明CH⊥AB．即证明•=0；

（2）作图；在△ABC中，设D；E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AD的交点为G，证明CG与CF共线即可；

（3）作图，设=，=，=；推出•=0即可．【解析】【解答】证明：（1）如图；在△ABC中；

作高线AH⊥BC；BH⊥AC，连接CH，只要证明CH⊥AB．

∵AH⊥BC；BH⊥AC；

∴=0，•=0；

∴•（+）=0，•（+）=0．

∴•-•=0；

∴•=0；

∴CH⊥AB，

故三角形三条高交于一点；

（2）在如图；在△ABC中，设D；E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AD的交点为G；

设=，=；则=-，=-=-；

设=x，则=-=x-=（-1）+；

∵与共线；

∴=，解得，x=；

∴=-=-；

∴=-=（-）=；

∴CG与CF共线；即G在CF上；

故三角形三条中线交于一点