导数的概念与运算-2025高考数学一轮复习讲义

第14讲导数的概念与运算

知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数/W在x=/处瞬时变化率是lim电=lim/（X。+——（/）,我们称它为函数

。Ax"一。Ar

y=在尤=无（）处的导数，记作了'（%）或y[g而.

知识点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ax与0之

间距离要多近有

多近，即|--0|可以小于给定的任意小的正数；

②当Ax70时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在

一个常数与

竺=＞（飞+弱-/（与）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即

是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即/'（%）=lim"=lim/（%+8）-/（））.

-°Ax―一。Ax

2、几何意义

函数y=/（X）在x=Xo处的导数/'（修）的几何意义即为函数y=/'（x）在点尸（毛，%）处

的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s⑺在点处的导数s&）是物体在小时刻的瞬时速度v,即丫=5&）;

v=v（/）在点片的导数Mt。）是物体在%时刻的瞬时加速度a,即。=丫&）.

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/（X）=C（。为常数）rw=o

/(%)=xa{a&Q)/'(%)=axa~x

f(x)=ax(a>0,aw1)ff(x)=axIna

/'(x)=4

f(x)=log。x(a>0,aw1)

xlna

/(X)=e*

/(x)=lnx

zv)=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXfr(x)=-smx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(无)士g(x)]'=f(x)士g'(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]=7'(x)g(尤)+/(x)g'(无)；

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,则[.]=7(x)g(/-/(pg'。).

g(x)g2(x)

3、复合函数求导数

复合函数y=/Ig(x)]的导数和函数y=/("),〃=g(x)的导数间关系为”=yuux：

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

切线方程〉-『(尤0)=/'(%)(工一飞)的计算：函数y=/(x)在点AOo,/(%))处的切线方

程为丁-/(不)=/(尤0)0-%),抓住关键

[k=f(x0)

2、过点的切线方程

设切点为尸(不，%),则斜率左=­(不)，过切点的切线方程为：y-%=f'(Xo)(x-x。)，

又因为切线方程过点A(〃?，ri),所以〃-%=/'(Xo)O-Xo)然后解出/的值.(/有几个

值，就有几条切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

必考题型全归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2024•全国•高三专题练习）已知函数y=/（x）的图象如图所示，函数y=/（x）

的导数为y=/'"）,则（）

A.r（2）＜r（3）＜/（3）-/（2）B.尸⑶＜/⑵•⑵

C.r（2）＜/（3）-/（2）＜r（3）D./（3）＜/（3）-/（2）＜八2）

【答案】D

【解析】由"x）图象可知/（3）＜:⑶-"2）＜f⑵,

即〃3）＜/（3）-〃2）＜/（2）.

故选：D

【对点训练11（2024•云南楚雄•高三统考期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容

器内注入液体，且容器内液体的高度//（单位：cm）与时间f（单位：s）的函数关系式为

h=^+t2,当f=时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当fj+1时，液体上升

高度的瞬时变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【答案】C

【解析】由/z=gr+»,求导得：〃=产+2"

当f=时，〃=幻+2/。=3,解得2=1«=-3舍去）.

故当f=务+1=2时，液体上升高度的瞬时变化率为22+2x2=8cm/s.

故选：c

【对点训练2】（2024•河北衡水•高三衡水市第二中学期末）已知函数/'（尤）的导函数是

r（x）,若广（/）=2,则/（%+%）-"%）_（）

iiin一

孤一°Ax

A・—2B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】因为/'(%)=2

/(A：0+|AX)-/(X0)i/(X0+|AX)-/(X0)

=gr<x)=i

所以lim=-lim---------4------------

Axf0Ax2201A

_Ax

2

故选：B

【对点训练3】（2024•全国•高三专题练习）若函数〃x）在％处可导，且

iim/（x0+2Ar）-/（x0）=i>贝了，（）=（）

…。2Ax

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】由导数定义可得lim"'+2印-"％）=f,（）,

…。2Axv7

所以ra）=i.

故选：A.

【对点训练4】（2024•高三课时练习）若/（力在与处可导，则尸（5）可以等于（）.

A.lim/U)-/U-MB.5〃/+垓)一/(二一5)

-Ax-Ax

cHm/」+2Ax)-〃尤0-Ax)D.］加〃/+垓)一/伉2词

Ax-Ax

【答案】A

【解析】由导数定义尸（X。）=/（X。+&）“X。）,

“尤0)一」(玉一△»)lim"飞)一〃"°一')

对于A,/(%)=¥吗A满足;

x0-(x0-Ax)-°Ax

/•(天+加:［外玉一曲)lim/(%+祠一/(4一祠

对于B,■f(x<))=F吗

Ax->0

(尤o+Ax)-(x0-Ax)-o2Ax

小月典3”3,B不满足;

〃%+2加:)一〃玉一所)_lim,(%+2词一1-A》)

对于c,尸(铲回

(x0+2Ax)—(x0—Ax)AxfO3Ax

小。)W啊…怨…，c不满足;

1/(Xo+Ax)—/(%-2Ax)

对于D，人尸蚂告符岩谭氏3Ax

尸伉)△lim"%+">T(x。一2M口不满足.

,、3但。Ax

故选：A.

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接

写出.

题型二：求函数的导数

[例2](2024•全国•高三专题练习)求下列函数的导数.

(D/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

(3)外)=23工+2

(4)/(尤)=j5x+4；

【解析】(1)因为，(x)=(—2x+l)2=4x2一4x+l,所以1(x)=8x-4.

(2)因为〃x)=ln(4x—1),所以广(元)=了匕.

(3)因为=23*,所以r(x)=3x23x+21n2

(4)因为〃尤)=后再'所以「⑺三南空二次热

【对点训练5】(2024•高三课时练习)求下列函数的导数：

(l)y=(3x2+2x+l)cosx；

3x2+x\/x-5y[x+1

(2)y=

(3)y=x18+sinx-lnx；

x

(4)y=2cosx-3xlog3x；

(5)y=3xsin%-310g3x；

(6)y=excosx+tan%.

【解析】(1)yf=(3x2+2x+1)cosx+(3x2+2x+1)-(cosx),

3X2+xy[x-5y/x+l31

(2)y==3x2+x-5+x2，

311-29』1N

所以y=3x]•x2+1---x2=-x2——％2+1.

222

1

(3)y=18x17+COSX——.

X

(4)y=(2")cosx+2x(cosx)-3(x)log

：3X+X(10g3X)

x

=(2"In2)cosx-2sinx-31og3x-3log3e.

(6)y=e"cosx+tanx=excosx+

cosx

(sin%)cosx-(cos%)sinx

故”（e、）cosx+ex-(cosx)+

cos2X

=excosx-exsinxd-----

COSX

【对点训练6】（2024•海南•统考模拟预测）在等比数列｛〃〃｝中，/=2,函数

/(力=3尤卜—%)(x—%)L(%—%),则r(o)=

【答案】-16

【解析】因为/，（%）=lx[(>X-%)(%一〃2)L(X—(25)]+—X

=g[(x-"1)(%一%)1(^-«5)]+^x[(X-6Z1)(X-d:2)L(%一%)],

所以/'(O)=-；01a2La5.

因为数列｛4｝为等比数列，所以=4=4,

«/，(O)=-1X42X2=-16.

故答案为：-16

【对点训练7】(2024•辽宁大连•育明高中校考一模)已知可导函数〃尤)，g(x)定义域

均为R,对任意x满足“X)+2/gx-1,且"1)=1,求/(l)+gI

【答案】3

【解析】由题意可知，令x=l,贝lj/(l)+2xl2xg［；xl)=l-1,解得

2

由〃力+2打X—1,得广(力+(2产)g^x\+2x

1r(x)+4xgf+x2g=

令x=l,得尸(l)+4xlxg]gxl)+12xg[；xlj=l,即/⑴+4gg[+g1j=l,

解得尸⑴+g[j=l-4gg]=l-4X]£|=3.

故答案为：3.

【对点训练8】(2024•河南•高三校联考阶段练习)已知函数/(X)的导函数为尸(x),且

/(x)=x2r(l)+x+2,则广(1)=.

【答案】-1

【解析】因为〃彳)=好(⑴+x+2,则尸(%)=2犷，(1)+1,故广⑴=2(⑴+1,故

rd.

故答案为：-1.

【对点训练9】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=尸(0把2丁小,则丁(。)=

【答案】-2

【解析】由函数〃%)"'(0把2'-0求导得:/,(x)=2/,(0)e2x+e-\当x=0时,

/(0)-2/(0)+1,解得/'(0)=-1,

因此，/(x)=-e23t-e-,所以7(0)=-2.

故答案为：-2

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本

函数求导问题.

题型三：导数的几何意义

方向1、在点尸处切线

【例3】(2024•广东广州•统考模拟预测)曲线y=(2x-l)3在点(1/)处的切线方程为

【答案】6尤_y-5=0

【解析】函数y=(2x-l)*3的导函数为/=6(21)2,

所以函数y=(2x-l)3在x=l处的导数值M日=6,

所以曲线y=(2x-iy在点(1,1)处的切线斜率为6,

所以曲线y=(2x-iy在点(1」)处的切线方程为yT=6(xT)，即6x-y-5=0,

故答案为：6x-y-5=0.

【对点训练10](2024•全国•高三专题练习)曲线/(尤)=ln(x+2)+|在点(0,〃0))处的

切线方程为.

【答案】x—2y+21n2+3=0

3

【解析】因为/(%)=皿%+2)+,,

所以/'(%)=」二，

x+2

则八。)=;,

3

又/(0)=ln2+5，

Q1

所以曲线在点(0"(0))处的切线方程为y-ln2-1=

gpx—2y+21n2+3=0.

故答案为：x-2y+21n2+3=0.

【对点训练11](2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=；Y+bx2+cos1：，，

/⑺为〃x)的导函数.若尸(x)的图象关于直线x=l对称，则曲线y=/(x)在点

(2,/(2))处的切线方程为

7

【答案】y=~

【解析】/V)=x2+,

71I71I

令g(x)=/+2加:,h(x)=--sm\-x\,则广(x)=g(x)+/z(x),

7T7T

^—x=kjt+—,ZeZ,解得％=2Z+1,kEZ,

当左=0时，x=\,所以直线x=l为M%)的一条对称轴，

故g(x)的图象也关于直线x=l对称，则有一耳=1,解得〃=—1,

贝|JfM=^-x3-x2+cos[/x],f\x)=x2-2x-^-sin^xj,

7

/(2)=--,r(2)=0,

故切线方程为y=-7}

、.7

故答案为；y=-j.

【对点训练12】(2024•湖南•校联考模拟预测)若函数/(x)=Xd+(2_2)x2(x£R)是

奇函数，则曲线y=/(x)在点(4/0))处的切线方程为.

【答案】24尤-、-32=。

【解析】因为〃力=疝3+0-2.2(》61i)是奇函数，

所以〃T)+〃x)=0对VxeR恒成立，

即—Ax3+(2—2)尤2+A,X3+(/—2)x2=2(X—2)x?=0对XZxeR恒成立，

所以2=2,则〃力=2竟故以(%)=6总所以2(2)=2x23=16,4(2)=6x22=24,

所以曲线y=〃x)在点(2,16)处的切线方程为丁-16=24(》-2),

化简得24x-"32=0.

故答案为：24尤-y-32=0

方向2、过点尸的切线

【对点训练13](2024•江西•校联考模拟预测)已知过原点的直线与曲线y=lnx相切,

则该直线的方程是.

【答案】y=-x

e

【解析】由题意可得/

设该切线方程y=kx,且与y=Inx相切于点(尤0,%),

%=也

<%=1叫)，整理得1啄=1,

k=f'(xo)=—

[xo

；・%=e,可得左=一,y=—x.

ee

故答案为：y=-x.

e

【对点训练14](2024•浙江金华•统考模拟预测)已知函数/(力=丁-6+1,过点

P(2,0)存在3条直线与曲线y=/(x)相切，则实数。的取值范围是.

【答案】萱]

【解析】由:(尤)=3尤2一°,设切点为由,〃),则切线斜率为((附=3病”，

所以，过P(2,0)的切线方程为y=(3/-a)(x-2),

综上，-")("-2),即(3m2_幻(m_2)=m3_加+1,

n=m-am+\

所以2a=-2疗+6m2+1有三个不同m值使方程成立，

即y=2。与g(〃?)=-2m3+6m2+1有三个不同交点，而g'(m)=-6m2+12m,

故(-8,0)、(2,+ao)上g'(〃?)<0,g(»i)递减，(0,2)上g，O)>0,g(»i)递增；

所以g(〃z)极小值为g(0)=l,极大值为g(2)=9,故l<2a<9时两函数有三个交点，

综上，。的取值范围是［万，5〉

故答案为：］，0

【对点训练15】（2024•浙江绍兴•统考模拟预测）过点（-*。）作曲线y=V的切线，写

出一条切线方程：.

【答案】y=0或y=3x+2（写出一条即可）

【解析】由y=d可得V=3f,

设过点作曲线y=%3的切线的切点为（不,为）,则为=其，

则该切线方程为y—%=3x；Cx—Xo）,

将（-g，oj代入得-X；=3x；（4-X。），解得毛=0或%=-1,

故切点坐标为（0,0）或（TT）,

故切线方程为y=0或y=3无+2,

故答案为：y=0或y=3元+2

【对点训练16】（2024•海南海口•校联考模拟预测）过x轴上一点P&0）作曲线

C:y=a+3）e”的切线，若这样的切线不存在，则整数f的一个可能值为.

【答案】T,-5,-6,只需写出一个答案即可

【解析】设切点为（为,（毛+3,根），因为y'=（x+4）e",所以切线方程为

y-（%+3）e%=（%+4）e"x—%）.

因为切线/经过点P,所以-（5+3卜&=（%+4）e"/_%）,

由题意关于与的方程焉-（t-3）x°-由-3=0没有实数解，

则A=Q—3）2+4（4+3）<0,解得_7<t<—3.

因为t为整数，所以f的取值可能是-6,-5,-4.

故答案为：-4,-5,-6,只需写出一个答案即可

【对点训练17】（2024•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线y=（x+2）e*的切线，则切点

的横坐标为.

【答案】-1+6或-1-右

【解析】由y=(x+2)e，可得y=(无+3)e，，设切点坐标为(1,%),

所以切线斜率k=(x0+3)e』，又因为%=(%+2)e-,

则切线方程为y-(x0+2)e^=(x°+3)e"(龙一尤°),

把(0,0)代入并整理可得x-+2xo-2=O,解得飞=一1+6或5=-1-6.

故答案为：-1+括或-1-石

【对点训练18】(2024•广西南宁•南宁三中校考模拟预测)若过点尸(l,a)(aeR)有“条

直线与函数/(无)=(了-2)3的图象相切，则当“取最大值时，。的取值范围为.

【答案】(-3,-e)

【解析】设过点尸。,。)的直线/与“X)的图象的切点为(如(%-2》出),

因为尸(x)=(xT)e，，

所以切线/的斜率为尸(毛)=(%—l)ee，

所以切线/的方程为>一(5一2)]>=(x0-l)e^(x-x0),

将尸(l,a)代入得。一(x(,-2)e&=(毛一l)e&

即a=(%—l)e&-2)e%=(-x；+3x0—3)e%,

设g(x)=(-x?+3x-3)e”,则g[x)=(-》2+3x-3)e*+(-2x+3)e*=(-x2+x)e”,

由g'(x)=0,得x=0或x=l,

当x<0或x>l时，g<x)<0,所以g(x)在(Y»,0),(1,+OO)上单调递减;

当0<x<l时，g'(x)>0,所以g(x)在(0」)上单调递增,

所以g(x)极小值=g(。)=-3,g(x)极大值=g⑴=r,

又一/+3彳-3=-1无一|]-1<0,所以g(x)<0恒成立，

所以g(x)的图象大致如图所示，

由图可知，方程。=(-君+3毛-3卜加最多3个解,

即过点尸（La）SeR）的切线最多有3条,

即〃的最大值为3,此时-3<a<-e.

故答案为：（-3,-e）.

【对点训练19］（2024•全国•模拟预测）已知函数〃切=!炉+广⑴Y+i,其导函数为

（（x）,则曲线/（x）过点P（3,l）的切线方程为.

【答案】y=l或y=3x-8

【解析】设切点为〃（叫儿），由〃x）=$3+广⑴无2+1,得/，⑺=d+2/”）x,

.•.（⑴=1+2（⑴，得/⑴=_i,〃尤）=3/一/+1,r（x）=f-2x,

,切点M为］Xo，gx；-x；+lj,f'（x0）=x1-2x0,

•••曲线在点M处的切线方程为

又.••该切线过点”3,1）,1-，x"片+”=（%一2%）（3-x°）,解得％=0或%=3.

将％=0代入①得切线方程为y=1；

将毛=3代入①得切线方程为y-l=3（x-3）,即y=3x—8.

•••曲线〃x）过点P（3,l）的切线方程为y=1或y=3彳-8.

故答案为：y=l或y=3x-8

方向3、公切线

【对点训练20］（2024•云南保山•统考二模）若函数〃x）=41n尤+1与函数

g（x）=/x2-2x（a>0）的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（）

【答案】A

4

【解析】由函数〃x)=41nx+l,可得:

4

因为。>0,设切点为亿41nr+l),则(⑴=7

44

则公切线方程为y-41n/-l=7(x-r),即y=?x+41nr—3,

与y=_X2—2x联立可得—x2—|2H—41n/+3=0,

aa\t)

所以△=[2+31-4x-x(3-41n?)=o,整理可得1_17+1)

a3-4hW

又由(>0，可得3-41皿>0,解得0</</，

4(2+])^+41nr-l

3_“/Jt

令其中0<f<e*,可得/(/)=

〃⑺=2

3—41nt(3-41nZ)

A-\

令°（t）=r+41nf-l,可得°"）=1+—＞0,函数。⑺在0,e4上单调递增，且9（l）=0,

当0＜t＜l时，9。）＜0,即〃（。＜0,此时函数单调递减，

当1＜，＜/时，@（。＞°，即”（。＞0,此时函数单调递增，

所以〃（。*=/2（1）=3,且当f-»0+时，刈。-内，所以函数〃⑺的值域为［3,+8）,所以

工23且。〉0,解得0＜aW2，即实数。的取值范围为（0,3.

a33

故选：A.

【对点训练21】（2024•宁夏银川•银川一中校考二模）若直线H）-1与曲线…

相切，直线＞=M（％+1）-1与曲线y=lnx相切，则匕无2的值为.

【答案】1

【解析】设/（x）=",则广（X）=e）设切点为（网,%）,则匕=e』，

则切线方程为y-%=e"(x-xj,即y-炉=eH(x-xJ,

直线。=%(x+D-l过定点(T-L),

所以一l-e*1=9(一1一占)，所以卒*1=1,

设g(元)=ln尤，则g，(x)=L,设切点为(％,%),则左2=’-,

尤々

则切线方程为y->2=-^(%-/)，即y-lnx2=—(x-x2),

x2x2

直线y=勺。+1)—1过定点(T-1),

所以ll—ln%2=}(-1一12),所以工21口入2=1，

则为，%是函数/(x)=e，和g(x)=lnx的图象与曲线y=」交点的横坐标，

X

易知于(X)与g(x)的图象关于直线y=X对称，而曲线y」也关于直线y=X对称，

X

因此点a，M),(%，%)关于直线y=x对称，

从而3=e'1,为=In々，

所以用匕=J=1.

无2

故答案为：1.

【对点训练22](2024•河北邯郸•统考三模)若曲线y=e*与圆(x-a)2+y2=2有三条公

切线，贝M的取值范围是—.

【答案】。,+⑹

【解析】曲线>=e，在点(%,%)处的切线方程为'-田=砂(%-%)，

由于直线y—e%=e&(x—%)与圆(x-a)2+V=2相切，得卜(二=0(*)

\ll+e2x°

因为曲线〉=^与圆(x-〃)2+y2=2有三条公切线，故(*)式有三个不相等的实数根，

即方程e"。((尤°-。-以-2)=2有三个不相等的实数根.

令g(x)=e[(x_aT)2-2),则曲线y=g(x)与直线y=2有三个不同的交点.

显然，/(%)=2匕2*(犬-々_2)(%-〃+1).

当了£(口,1—1)时，gr(x)>0,当X£(〃一l,a+2)时，g'(x)<0,当无£(a+2,+oo)时,

g'(x)>0，

所以，g(x)在(ro,a-1)上单调递增，在(a-1,。+2)上单调递减，在(a+2,+<»)上单调递

增;

且当xf-8时，g(x)=(x_y)_2.0,当xf+8时,

((X-a-])-2)-^+oo,

e4"T)>1

因此，只需“；[,即《

g(a+2)<2-e2(a+2)<2'

解得

故答案为：(L+s)

【对点训练23】(2024•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测)若曲线G：/(x)=/+a

和曲线c2：g(x)=21nx恰好存在两条公切线，则实数。的取值范围为.

【答案】(T+8)

2

［解析)由题意得f(x)=2x,g\x)=-，U>0),

x

设与曲线/(冗)=f+〃相切的切点为(国,片+〃)，与曲线g(x)=21nx相切的切点为

(尤2,21口马),

则切线方程为y=+片+a,即y=2x1x-x^+af

22

y=一(x-x2)+21nx2,即y=-x+21nx2-2,

x2x2

2x-

由于两切线为同一直线，所以'x；,得。=d一21nAi-2a>。).

—X：+〃=2111^2—2

(p(x)=x2-2Inx-2(x>0),则夕'(%)=2%—2=之。+D(*_12,

xx

当。〈尤vl时，9'(x)<0,9*0在(0,1)单调递减，

当X>1时，/(x)>0,。(%)在(L+℃)单调递增.

即有x=l处。(%)取得极小值，也为最小值，且为。(1)=-1.

又两曲线恰好存在两条公切线，即”=0(x)有两解,

结合当X-0时，/趋近于0,inx趋于负无穷小，故。(无)趋近于正无穷大，

当X-+8时，必趋近于正无穷大，且增加幅度远大于M%的增加幅度，故例幻趋近于正无

故答案为：(-1,+与

【对点训练24](2024•江苏南京•南京师大附中校考模拟预测)已知曲线G:/(x)=/与

曲线：g(力=«er+1(a>0)有且只有一条公切线，则”.

4

【答案】-

e

【解析】设曲线^=『(/在彳=再处的切线与曲线，=8(为相切于彳=%处，

/'(尤)=2x,故曲线y=/(尤)在x=%处的切线方程为y-=2为J一百),

整理得y=2%尤-无；.

g'(x)=aex+l,故曲线v=g(x)在x=3处的切线方程为y-ae*+i=ae*2M(x-X2),

整理得y=ae^x-ae^(x2-1).

故户=ae*⑴

由⑴再结合a>0知玉>0,将⑴代入(2),得T；=-2%(尤2-1),

解得％=2(々一1)且%>1，

将士=2(%—1)代入(1),解得4(9—1)=恁研1且%>1,

即”=4(々：1)且々>1,令公々+1,则<="-2),f>2

e

令加「加丁

4

则〃⑺在区间(2,3)单调递增，在区间(3,+8)单调递减，且刈3)=下，

又两曲线有且只有一条公切线，所以。=丝且只有一个根，由图和。>0知

ee,

4

故答案为：—.

e

【对点训练25](2024•福建南平•统考模拟预测)已知曲线，=alnk和曲线y=d有唯

一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线/,则/的方程为.

【答案】2厩x-y-e=0

【解析】设曲线g(尤)="lnx和曲线/(x)=Y在公共点(如%)处的切线相同，

则/'(无)=2x,g'(x)=f,

由题意知〃%)=g(%)j(%)=g'(xo),

a

2x——

即，xo>解得a=2e丙)=Ve,

Xg=aInx0

故切点为(6,e),切线斜率为左=/(毛)=2加，

所以切线方程为y—e=2虚(x-五)，BP2Vex-y-e=0,

故答案为：2册x-y-e=0

方向4、已知切线求参数问题

【对点训练26】(2024•江苏•校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过(e,a)的切线,

则a的范围是.

【答案】(f,e)

【解析】设切线切点为(5,%)，因(xlnx)"山”+1,则切线方程为：

y0=xolnxo

y=(inx0+1)(x-%)+x0Inx0=(inx0+1)x-x0.

因过(e,a),则a=(in/+l)e-%,由题函数/(x)=(inx+1)e-x图象

与直线V=a有两个交点.-(x)=--1=±二二，

得/(X)在(o,e)上单调递增,在(e,+s)上单调递减.

又『⑺侬=7(e)=e,-,xf+8,/(x)f-op.

据此可得〃x)大致图象如下.则由图可得，当ae(—,e)时，曲线y=xlnx有两条过(e,a)

的切线.

故答案为：(r»,e)

【对点训练27](2024•山东聊城•统考三模)若直线丫=尤+6与曲线y=e，-"相切,

则b的最大值为()

A.0B.1C.2D.e

【答案】B

【解析】设切点坐标为(5,%),因为y=ex-ax,

所以y'=e，-“，故切线的斜率为：e』-a=l,

e~=a+l,贝ij%=ln(a+l).

又由于切点(毛,%)在切线＞=x+6与曲线y=ev-依上，

x

所以/+b=e°-ax0,所以8=(a+l)_Xo(a+l)=(a+l)[l_ln(a+l)].

令。+1=人贝!jb=r(l-ln。，设/⑺,

ra)=(l-lnr)+rf-1j=-lnr,令尸⑺=0得:t=l,

所以当te（0,l）时，r（r）＞0,/⑺是增函数;

当时，,/Q）是减函数.

所以/⑺max=/（1）=L

所以6的最大值为：1.

故选：B.

【对点训练28］（2024•重庆•统考三模）已知直线＞=办一。与曲线y=x+9相切，则实

数a=（）

143

A.0B.4C.-D.-

252

【答案】C

【解析】由y=x+9且x不为0,得y'=l-二

y=ax-a=a

QQOXQ—ClXQ-\------

%

设切点为（工,%）,则＜%=%o+—，即<

%

a=9°

a玉)+1

1——f=a

不

所以[--=-^0+2°1，可得不)=—2,0=3

XQ+1XQ+1%。+15

故选：C

【对点训练29】（2024•海南•校联考模拟预测）已知偶函数

/(x)=(a—l)f—3bx+c—d—1在点(1,/(1))处的切线方程为x+y+l=0,贝U=

)

c-d

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】因为/（九）是偶函数，所以/（一%）=（，—1）炉+3版+c—d—l=/（九），即6=0；

由题意可得：f(1)=(J—1—3Z?+c—6?—1=—(1+1)=>c-d=-a=—tz+Z?,

c-d

故选：A

【对点训练30】（2024•全国•高三专题练习）已知M是曲线y=lnx+gd+依上的任一

点，若曲线在加点处的切线的倾斜角均是不小于:的锐角，则实数。的取值范围是（）

4

A.[2,+co）B.[-l,+oo）C.（-co,2]D.

【答案】B

【解析】函数y=lnx+1x2+a元的定义域为（O,+8）,JLy=-+X+G,

2x

因为曲线y=lnx+：1尤2+6在其上任意一点“点处的切线的倾斜角均是不小于jr;的锐角，

24

1711

所以，/=一+%+〃之tan：=l对任意的％>0恒成立，贝!|1一

x4x

当x>0时，由基本不等式可得了+工22、口=2,当且仅当x=l时，等号成立，

XVX

所以，1一角军得"2—1.

故选：B.

【对点训练31]（2024•全国•高三专题练习）已知加〉0,n>0,直线y=』无+加+1与

e

曲线y=lnx-7?+2相切，则工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

【答案】D

【解析】对y=lnx-7+2求导得

X

由y'=，二」得'二e,则』・e+根+1=Ine-〃+2,即机+〃=1,

xee

所以—I—=（m+n}\—I—=2d---1—>2+2=4,

mnn）mn

当且仅当相="=:时取等号.

故选：D.

方向5、切线的条数问题

【对点训练32]（2024•河北•高三校联考阶段练习）若过点（私〃）可以作曲线y=log?无

的两条切线，则（）

A.m>log2nB.n>log2mC.rn<log2nD.n<log2m

【答案】B

【解析】作出函数y=iog2尤的图象，由图象可知点（孙〃）在函数图象上方时，过此点可以

作曲线的两条切线，

所以”>10g2〃Z,

【对点训练33］（2024•全国•高三专题练习）若过点（“,3可以作曲线y=lnx的两条切

线，贝U（）

A.a<inbB.b<\naC.\nb<aD.\na<b

【答案】D

【解析】

,ia-xa7rla

(a,b),则Z?_ln/=------b+l=\nx0+—,

%%

设/(x)=lnx+4,函数定义域是(0,+8),则直线y=》+l与曲线/(x)=lnx+@有两个不同

XX

的交点，—(彳)=工一二=上二，

尤尤X

当a«0时，尸(幻>0恒成立，/(X)在定义域内单调递增，不合题意；当。>0时，

0<x<a时，/(幻<0,/(x)单调递减，

时，f'(x)>0,/(x)单调递增，所以f(x)皿=f(a)=lna+l,结合图像知

b+l>lna+l,即b>lna.

故选：D.

【对点训练34】(2024•湖南•校联考二模)若经过点(。力)可以且仅可以作曲线y=lm的

一条切线，则下列选项正确的是()

A.a<0B.b=]naC.a=lnbD.a<O^b=\na

【答案】D

【解析】设切点P(5，l叫).因为y=lnx,所以y'=J

所以点P处的切线方程为y-lnx。='(x-Xo),

又因为切线经过点(。,6),所以6T叫)=’("%),即％+1=1叫+乌.

令〃尤)=11«:+“戈>0),则y=b+l与/(无)=向+?(戈>0)有且仅有1个交点，

/()-彳X2-X2，

当时，恒成立，所以/(X)单调递增，显然Xf+8时，于是符

合题意；

当〃>0时，当0<x<〃时，/'(x)<0,/(%)递减，当时，>0,/(%)递增，所

以/(^min=/(«)=Ina+1,

贝！Jb+1=Ina+1,即匕=]na.

综上,a<O^b=\na.

故选：D

方向6、切线平行、垂直、重合问题

【对点训练35](2024•全国•高三专题练习)若函数/'(尤)=ln尤+尤与g(x)=生了的图