第八章 统计（原卷版）-2024年高中数学学试考点归纳与测试

第八章统计

目录

知识梳理............................................................1

考点精讲精练.......................................................4

考点一：随机抽样.................................................4

考点二：用样本估计总体..........................................5

统计实战训练.....................................................10

知识梳理

■

1、简单随机抽样

(1)简单随机抽样

分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.

(2)简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

(3)简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

2、总体平均数与样本平均数

定义

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为

几L…，9,则称歹二1+£匕

总体均值(总体平均数)NNz=i

为总体均值，又称总体平均数.

如果总体的N个变量值中，不同的值共有左

（左＜N）个，不妨记为小Y2,---,Yk,其中工出

现的频率/（i=l,2,3…k）则总体均值还可以写成

—Y+Y+---Y1£

加权平均数的形式Y=」~?一竺=-工”

NNM

如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变量

值分别为％,%,y3y„＞则称

样本均值（样本平均数）

,二%+%+…+%=.£%为样本均值,又称样

nn9

本平均数.

说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值亍去估计总体平均数歹；

（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）；

（3）一般情况下，样本量越大，估计越准确.

3、分层随机抽样

⑴分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总

体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为

分层随机抽样，每一个子总体称为层.

（2）分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分

别为加和〃，第1层和第2层的样本平均数分别为工，亍，样本平均数位右，则

。=------X+-----------y=--------X+--------j.我们可以采用样本平均数石估计总体平均数万

M+NM+N'm+nm+n'

4、统计图表

（1）常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.

（2）频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

（3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质

①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差.

②决定组距与组数.组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多.当样本容

量不超过100时，常分成5〜12组.为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.

③将数据分组.

④列频率分布表.计算各小组的频率，第i组的频率是梨Tf等.

样本容量

⑤画频率分布直方图.其中横轴表示分组，纵轴表示臂.慧实际上就是频率分布直方图中各小长方形的

组距组距

高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度.

5、总体百分位数的估计

(1)第夕百分位数的定义

一般地,一组数据的第P百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有夕％的数据小于或等于这

个值,且至少有。-p)%的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组〃个数据的第夕百分位数的步骤：

第1步,按从小到大排列原始数据.

第2步，计算

第3步，若i不是整数,而大于z.的比邻整数为J,则第P百分位数为第J项数据;若i是整数,则第P百分位

数为第i项与第(?+1)项数据的平均数.

6、样本的数字特征

(1)众数

一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.

(2)中位数

一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或

最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.

(3)平均数

一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据X1,X2,退…，X”的平均数为

-jl+x2+x3+---xn

n

(4)标准差与方差

如果有〃个数据可，X,七…，X"那么平均数,标准差为：

2n

X-X2X-X2x22=-x222

S=AM(I)+(2)+•••+-)]，方差：5)+(X2-X)+•■•+(x„-x)]

Vnn

7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横

坐标之和.

考点精讲精填

考点一：随机抽样

真题讲解

例题1.（2023春・新疆•高二统考学业考试）某兴趣班有男生35人，女生25人，按性别进行分层，用分层

随机抽样的方法从该班学生中抽出一个容量为12的样本.如果样本按比例分配，那么女生应抽取（）

A.3人B.4人

C.5人D.6人

例题2.（2023春•浙江温州•高二统考学业考试）某企业策划部门有男、女职员共100人，其中男职员40

人，用分层抽样的方法，从该部门随机选取20人参加某项活动，则应选取的男、女职员人数分别是（）

A.8和12B.9和11C.12和8D.11和9

例题3.（2023春•天津南开•高一学业考试）某区C三个学校共有高中学生2000人，其中A校高中学

生700人，现采用分层抽样的方法从这三个学校所有高中学生中抽取一个容量为60人的样本进行学习兴趣

调查，则A校应抽取人.

例题4.（2023・广东•高三统考学业考试）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500,选派该校

学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为.

例题5.（2023春•福建福州•高二福建省福州延安中学校考学业考试）某学校共有教职员工800人，其中不

超过45岁的有x人，超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工

中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工20人，抽取的不超过45岁的救职员工y人，

贝”+k人.

真题演练

1.（2023•湖南衡阳•高二校联考学业考试）某学校数学、物理、化学老师的人数分别为12,8,8,现采用

分层随机抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，应从数学教师中抽取人数为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2023・云南•高二统考学业考试）高一年级有男生210人，女生190人，用分层随机抽样的方法按性别

比例从全年级学生中抽取样本，若抽取的样本中男生有21人，则该样本的样本容量为（）

A.30B.40C.50D.60

3.（2023秋・广东•高三统考学业考试）某企业有甲、乙、丙三个工厂，甲厂有200名职工，乙厂有500名职

工，丙厂有100名职工，为宣传新修订的个人所得税法，使符合减税政策的职工应享尽享，现企业决定采

用分层抽样的方法，从三个工厂抽取40名职工，进行新个税政策宣传培训工作，则应从甲厂抽取的职工人

数为（）

A.5B.10C.20D.25

4.（2023•上海•高三统考学业考试）某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个

年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调查.已知高一年级共有300名学生，那么应抽取

高一年级学生的人数为

5.（2023•上海•高三统考学业考试）某年某博物馆接待参观者61.3万人次.据统计，18岁以下（不含18岁）

的参观人数占总参观人数的11%;18〜24岁的参观人数最多，占总参观人数的62%；24岁以上（不含24

岁）的参观人数占总参观人数的27%.为了解参观者对博物馆展览内容的需求及建议现采用分层抽样的方法

抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取18〜24岁的人数为.

考点二：用样本估计总体

真题讲解

例题1.（2023春•新疆•高二统考学业考试）数据12,13,14,15,17,18,19,20,24,26的第80百分位数为（）

A.20B.22

C.24D.25

例题2.（2023春・浙江温州•高二统考学业考试）某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该

游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（）

A.估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14

B.估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18

C.已知天数在区间［15,20］锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人

D.估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255

例题3.(多选)(2023•浙江温州•高二统考学业考试)从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现

他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照［50,100),［100,150),…，［300,350］分成6组，画出的频

率分布直方图如下图所示，则()

八频率/组距

0.0060........-I-

x..............................

0.0036.........

0.0024-................

0.0012—.....................1

。八5013()12602go3603^0月亩电量/度

A.直方图中的x的值为0.0040

B.这100户居民月用电的平均数约为186度

C.这100户居民月用电的中位数约为200度

D.这100户居民月用电的众数约为175度

例题4.(2023春•浙江杭州•高二统考学业考试)为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童

的身高(cm),将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为

例题5.(2023・广东•高三学业考试)为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和

乙各自进行了8组投篮，得分情况如下：

甲108X87968

乙791057688

(1)求出乙的平均得分;

(2)如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数是多少.

例题6.（2023•山西太原•高二太原师范学院附属中学校考学业考试）某地区突发小型地质灾害，为了了解

该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损

失情况统计如下图所示.

O200040006000800010000经济损失/元

⑴求。的值；

（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；

⑶现按照分层抽样的方法从经济损失在［4000,8000）的居民中随机抽取8人，则在［4000,6000）的居民有多少

人.

例题7.（2023・广东•高三学业考试）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的

得分情况如下：

甲：15,17,14,23,22,24,32；

乙：12,13,11,23,27,31,30.

⑴分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；

（2）分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？

真题演练

1.（2023春•湖南•高二统考学业考试）某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别

进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身

高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（）

A.162cmB.164cmC.166cmD.168cm

2.（2023・广东•高三统考学业考试）已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是（）

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数

3.（多选）（2023春•福建福州•高二福建省福州延安中学校考学业考试）某学校高三年级有男生640人，

女生360人.为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm）,并

计算得到男生样本的平均值175,方差为36,女生样本的平均值为165,方差为36,则下列说法正确的是

（）

A.若男、女样本量分别为64,36,则总样本的平均值为17L4

B.若男、女样本量分别为64,36,则总样本的方差为36

C.若男、女的样本量都是50,则总样本的平均值为170

D.若男、女的样本量都是50,则总样本的方差为61

4.（2023•山西,高二统考学业考试）数据7.0,8.2,8.4,8,6,8,7,9.0,9.1的第30百分位数是.

5.（2023春•湖南•高二统考学业考试）为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，

对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻

炼时间的众数是分钟.

6.（2023・广东•高三学业考试）为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在-项比赛中，学生甲和乙各

自进行了8组投篮，现得分情况如下:

甲108X87968

乙69857678

⑴求出乙的平均得分和方差；

（2）如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数是多少.

7.（2023•湖南衡阳•高二校联考学业考试）某中学为了提高学生学习数学的兴趣，举行了一次数学竞赛，

共有600名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分为正

整数，满分为150分），经统计，得到如图所示的频率分布表和频率分布直方图.

组号分组频数频率

1[90,100)40.1

2[100,110)80.2

3[110,120)Xy

4[120,130)80.2

5[130,140)20.05

6[140,150)20.05

合计

⑴求图中的x,。的值;

⑵估计这600名学生竞赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果精确到整数）.

/

第八章统计实战训练

一、单选题

1.（2023•湖南衡阳•高二校联考学业考试）某学校数学、物理、化学老师的人数分别为12,8,8,现采用

分层随机抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，应从数学教师中抽取人数为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2023春・福建•高二统考学业考试）厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为

737681838588919395,则几人考试成绩的中位数是（）

A.76B.81C.85D.91

3.（2023・广东•高三统考学业考试）已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是（）

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数

4.（2023•湖南衡阳•高二统考学业考试）某同学参加知识竞赛，10位评委给出的分数为8,9,7,7,8,9,10,9,10,6,

则该组分数的第80百分位数为（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

5.（2023・云南•高二统考学业考试）某人在射击活动中，共射击7次，命中的环数分别为：X,9,7,5,6,7,7.

已知这组数据的平均数为7,则》=（）

A.6B.7C.8D.9

6.（2023•河北•高二统考学业考试）某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表:

天/第1234567

件数285367463290335719698

己知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服

务费是（单位：元）（）

A.8808B.9696C.10824D.11856

7.（2023•河北•高二统考学业考试）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制

定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022

年底，累计开展各项职业培训16.8万人次.雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能

培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为

左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图.

若同一组数据用该区间的中点值作代表，则这批学员技能考核测试成绩的平均数的估计值是（)

A.79.0B.79.5C.81.0D.82.5

8.（2023春・新疆•高二统考学业考试）数据12,13,14,15,17,18,19,20,24,26的第80百分位数为（）

A.20B.22

C.24D.25

9.（2023春•浙江温州•高二统考学业考试）某企业策划部门有男、女职员共100人，其中男职员40人，用

分层抽样的方法，从该部门随机选取20人参加某项活动，则应选取的男、女职员人数分别是（）

A.8和12B.9和11C.12和8D.11和9

10.（2023春・湖南•高二统考学业考试）某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性

别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均

身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（）

A.162cmB.164cmC.166cmD.168cm

11.（2023•河北•高二统考学业考试）河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等；一系列工作，制

定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022

年底，累计开展各项职业培训16.8万人次.雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能

培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为

左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图.

这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（）

A.65B.75C.85D.95

12.（2023・河北•高三学业考试）甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲69686697810

乙8878787877

则下列说法正确的是（）

A.甲比乙射击的平均成绩高B.乙比甲射击的平均成绩高

C.甲比乙的射击成绩稳定D.乙比甲的射击成绩稳定

13.（2023•河北•高三学业考试）某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计

数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（）

甲乙

136

214

154

42167770

1421706

50181

7193

A.这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站

B.这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数

C.这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167

D.这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值

14.（2023・安徽•高二马鞍山二中校考学业考试）甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8,6,7,

7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成绩的平均数为8,方差为0.4,则下列说法不正确的是（）

A.甲的10次成绩的极差为4B.甲的10次成绩的75%分位数为8

C.甲和乙的20次成绩的平均数为8D.乙比甲的成绩更稳定

15.（2023春•浙江温州•高二统考学业考试）某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳

馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（）

A.估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14

B.估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18

C.已知天数在区间［15,20］锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人

D.估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255

16.（2023•天津•高二学业考试）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100

个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.

频率频率

组距组距

0.0400.040

0.0350.035

0.0300.030

0.0250.025

0.0200.020

0.0150.015

0.0100.010

0.0050.005

Ov405060708090100满意度评分60708090100满意度评分

甲地区乙地区

若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为m2,平均数分别为即，s2,则（）

A.mi>m2，Sj>s2B.m1>m2,Sj<s2C.mx<m2f<S2D.mx<m2,s1>s2

二、填空题

17.（2023春•天津南开•高一学业考试）某区45。三个学校共有高中学生2000人，其中A校高中学生700

人，现采用分层抽样的方法从这三个学校所有高中学生中抽取一个容量为60人的样本进行学习兴趣调查，

则A校应抽取人.

18.（2023春・浙江杭州•高二统考学业考试）为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童的身

高（cm）,将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为

cm.

19.（2023・广东•高三学业考试）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福

感的一种指数.某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6,8.5,

7.8,9.2,8.1,9,7,9,9.5,8.3,8.8,则这组数据的中位数是

20.（2023春•福建福州•高二福建省福州延安中学校考学业考试）某学校共有教职员工800人，其中不超过

45岁的有x人，超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽

取一个容量为50的样本,应抽取超过45岁的教职员工20人,抽取的不超过45岁的救职员工〉人，则》+>=

人.

21.（2023•上海•高三统考学业考试）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部

周长（单位：cm）,所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，

底部周长/cm

22.（2023•河北•高三学业考试）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了"疫情防护”网络知识竞

赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩

在80分（含80分）以上的人数为.

三、解答题

23.（2023・广东•高三学业考试）为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各

自进行了8组投篮，现得分情况如下：

甲108X87968

乙69857678

⑴求出乙的平均得分和方差;

（2）如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数是多少.

24.（2023•辽宁沈阳•高二学业考试）为了调查学生在一学期内参加物理实验的情况，从某校随机抽取100

名学生,经统计得到他们参加物理实验的次数均在区间［5,30］内，其数据分组依次为：［5,10）,