等式与不等式的性质（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第3讲等式与不等式的性质

知识梳理

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与。比较与1比较

a>ba-b>0@〉1(〃,Z?>0)或刊<l(a,b<0)

bb

a=ba—b-Gg=叱0)

b

a<ba—b-G@<1(〃,b>0)或刊>l(a,b<0)

bb

2、不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性a>b<=>b<a^a<b<=>b>a

传递性a>b,b>c^a>c；a<b,b<c=>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^>ac<bc

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>Q,c>d>0^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>U,neN*na">b"

【解题方法总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特

别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、

利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是塞或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

必考题型全归纳

题型一：不等式性质的应用

【解题方法总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数性质进行判断.

3、小题可以用特殊值法做快速判断.

例1.（多选题）（2024•重庆•统考模拟预测）已知a>b>c,ac>0,则下列关系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB./?c（<7-c）>0

cb一

C.ct+b>cD.-H—>2

bc

例2.（多选题）（2024•山东•校联考二模）已知实数。涉,c满足a>b>c,且

a+b+c^Q,则下列说法正确的是（）

A.------>-------B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

例3.（多选题）（2024•全国•校联考模拟预测）若a>O>b>c,则下列结论正确的是

（）

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a-cN2d（ac）

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

【解题方法总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利

用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是幕或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

hbb

若a>0,b>0,则一>10b>〃；一=；———a

aaa

bb7b

若av0,/?<0,则一>10b<〃；—<11b>a；—=1\<=>b7—a

aaa

例4.（2024•全国•高三专题练习）若0<a<6,a+b=l,则将4,6,工,2必/+/?2从小到大

2

排列为.

例5.（2024•全国•高三专题练习）如果a>6,给出下列不等式：

<4-；@a3>b3-,;@2ac2>2bc2^⑤£>1;⑥/+62+1>°6+。+匕.

ClDI）

其中一定成立的不等式的序号是.

ha

例6.（2024•高三课时练习）（1）已知。>办>0,c<d<0,求证：——<——；

a-cb-d

（2）设尤，yeR,比较卜之-丁丫与砂（尤-yf的大小.

例7.（2024•全国•高三专题练习）（1）试比较（x+l）（x+5）与（x+3）2的大小；

（2）已知—<7-,求证：ab>0.

ab

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【解题方法总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每

个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

例8.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知实数x,y满足

_3<x+2y<2,_]<2x_y<4,贝|（）

A.x的取值范围为（-1,2）B.丁的取值范围为（-2,1）

c.x+y的取值范围为（-3,3）D.X—V的取值范围为（-1,3）

例9.（2024•广东•高三校联考期末）已知14。一643,3<。+647,则5°+6的取值范

围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

例10.(2024•全国•高三专题练习)已知-l</?<4,则的取值范围是

()

A.—7<a—2b<4B.—6<a—2b<9

C.6<a—2b<9D.—2<«—2Z?<8

例IL（2024•全国•高三专题练习）已知三个实数服b、c,当c>0时，〃<2々+3。且

bc=a2,则巴3的取值范围是.

b

题型四：不等式的综合问题

【解题方法总结】

综合利用等式与不等式的性质

例12.（多选题）（2024•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）己知。>0,

4151

b>0,且满足aN—+7，b>^-+-.则的取值可以为（）

abba

A.10B.11C.12D.20

例13.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知/（丁+1）=1,贝IJ（）

1

A.xy<lB.x9y>~-

C.x+xy<lD.x2+xy<-1

例14.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知实数〃，/?满足4>3，则（）

A.log0.2023a<log0.2023"B./<尸

C.—D.ab-\■—的最小值为1

aa+lab+1

222

例15,（2024•全国•高三专题练习）已知实数〃，b,c满足〃+/?+c=0,a+b-^-c=lf则

。的最大值是一.

题型五：糖水不等式

【解题方法总结】

糖水不等式：若。>〃>o,m>0,则一定有小竺>2,或者”'<3.

a+mab+mb

例16.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知6g糖水中含有"g糖若

再添加〃2g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事

实,下列不等式中一定成立的有（）

aa+m「a+m〃+2"

A.—<------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.(a+2m)(Z?+m)<++D.―：---<----r

3i-l3°T

例17.（2024•