初中数学《圆》重难点四大题型汇编（含答案解析）

圆的重难点模型汇编二

【题型点圆最值问题

【题型定弦定角

【题型圆

【题型瓜豆原理

【题型点圆最值问题

1.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为-4,-3,0A的半径为1,尸为x轴上一动点，PQ切0A

于点Q,则当PQ最小时，P点的坐标为（）

A.-4,0B.-5,0C.-4,0或一5,0D.-3,0

【答案】A

【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短

的性质进行分析求解.

【详解】解：如图所示，连於4Q,AP.

根据切线的性质定理，得AQXPQ;

根据勾股定理可得PQ=B42-12

二要使PQ最小，只需AP最小，

则根据垂线段最短，则作APLx轴于P,即为所求作的点尸；

此时P点的坐标是-4,0.

故选A.

【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线段最短的

性质进行分析是解题的关键.

2.如图，正方形A5CD的边长为4,E是边CD的中点，F是边AD上一动点，连接RF,将△AB尸沿5尸

翻折得到△GBF,连接GE.当GE的长最小时，DF的长为（）•••

A.2/5-2B.25-4C.45-6D.6-2-5

【答案】D

【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得3G的长，再由翻折知3G=&1=4,得去G在以3为圆心，4为

半径的圆上运动，可知当点G、E、B三点共线时，GE最小.

【详解】解：••・正方形ABCD的边长为4,

二Z_C=〃=90°,BC=CD=4,

:点、E是边CD的中点，

CE=DE=2,

BE=BC^+CE2=25,

■■将△ABF沿BF翻折得到△GBF,

•••BG=BA=4,

.•.点G在以3为圆心，4为半径的圆上运动，

当点G、E、B三点共线时,GE最小,

连接EF,iWF=x,

'''S梯形ABED=S&EDF+SAABF+S"EBF,

•••-(2+4)x4=-x2x%+-x4x[4-x)+-[4-x)x25

2222

睇导K=6-25,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了翻折的性质,正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点G、E、B三点共线时,

GE最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度.

【变式1-2】如图，在矩形纸片ABCD中，=2,=3,点E是AB的中点，点尸是边上的一个动

点，将△AE尸沿EF所在直线翻折，得到AA'EF,则4c的长的最小值是（）

4」B.3

2

【答案】D

【分析】以点E为圆心，TIE长度为半径作圆，连接CE,当点4在线段CE上时，4C的长取最小值，根据折

叠的性质可知AE=1,在R必BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-A'E即可求出结论.

【详解】以点E为圆心，他长度为半径作圆，连接CE,当点4在线段CE上时，HC的长取最小值，如图所

示,

D

根据折叠可知：A'E=AE=~AB=1.

2

在RtABCE中，BE=kAB^\,BC=3,NB=90。，

2

CE=BE2+BO=10,

•••AC的最小值=CE-A'E=10-1.

故选D.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A'C取最小值时点4的位置是解题

的关键.

3.如图，正方形ABCD的边长为8,点G是边CD的中点，点E是边上一动点，连接AE,将AABE

沿AE翻折得到△E4E,连接GF.当G尸最小时，BE的长是.

【答案】45-4/-4+45

【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A三点共线时，GF最小是

解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度.

由翻折知AF=R4=8,得点、尸在以3为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、尸、A三点共线时，GF

最小，连接GE,再勾股定理求出AG的长，然后利用等面积法即可求出BE.

【详解】解：•.•正方形ABCD的边长为8,

.­.^C=90°,AB=CD=BC=8,

•••将△ABE沿AE翻折得到AE,

AF=BA=8,

.•.点F在以3为圆心，8为半径的圆上运动，

.•・当点G、P、A三点共线时，GF最小，如图，连接GE

.•点G是边CD的中点，

DG=CG=、CD=4,

2

由勾股定理得，AG=AD2+DG2=82+4^=45,

+

・•,S正方形相8=S4AGD+S4缚E+S4AEGGCE

^ABAD=-ADDG+-ABBE+-AGBE+~GCCE

2222

3

Ill1

_-

•••8x8=-x8x4+x8BE+x45^BE+—xx8―BE

2222

解得BE=45-4.

故答案为：45-4.

4.如图，在0O中，直径AB=4,延长AB至C,使BC=OB,点□在。0上运动，连接CD,将CD绕点

C顺时针旋转90°得到CE,连接OE,则线段OE的最大为.

【答案】42+2

【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取CN=CO,连接DF,从而可证AOCE三△尸CD,进而得到OE

=FD,将求线段OE的最大值转化为求FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可.

【详解】解：如图，过点、。作人。的垂线，在垂线上截取CF=CO,连接DF,

^DCE=^OCF=90°,

乙OCE=乙FCD,

CD绕点D顺时针旋转90°得到CE,

•••CD=CE,

在△OCE和△FCD中，

CD=CE

/.OCE=/.FCD,

CF=CO

△OCE=AFCDSAS,

OE=FD,

连接尸O,并延长FO交圆于点H,TH即为ED最大值，

"AB=^,BC=OB,

•••CF=CO=4,

OF=42,

；.FH=OH+OF=42+2,

OE最大值=DF靠天住=FH=42+2,

故答案为：42+2.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将

OE转化为其他线段进而求最大值.

5.一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最

小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，445C=90。,点

N分别在射线BA,BC1.,MN长度始终保持不变，MN=5.2,E为MN的中点，点。到BA,的距

离分别为4和3.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为

【答案】2.4

【分析】连接BE,D3,根据勾股定理求出BD,根据直角三角形斜边中线的性质求出BE,根据点与圆的位

置关系得到点E落在线段上时，庞的值最小，计算即可.

【详解】：连接如图所示：

•・•点。到BA,3C的距离分别为4和3,由勾股定理得：BD=32+42=5,

在R3M3N中，点E是朋N的中点，

1

BE=~MN=2.6,

2

.•.点E的运动轨迹是以B为圆心，2.6为半径的弧上，

根据点圆模型的最值情况可知，当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

•••DE的最小值为：BD-BE^5-2.6^2A,

故答案为：2.4.

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及到点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定DE

最小时，点E的位置.

【题型定弦定角

6.【问题提出】

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦

所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？

【初步思考】

⑴如图LAB是0O的弦，〃08=100。，点分别是优弧45和劣弧上的点，则=

°,zARB=°.

(2)如图2,AB是0O的弦，圆心角4AoB=mmvl80。，点P是。0上不与重合的一点，求

弦所对的圆周角ZAPB的度数(用m的代数式表示).

【问题解决】

(3)如图3,已知线段45,点。在45所在直线的上方，且乙4cB=135。，用尺规作图的方法作出满足

条件的点C所组成的图形(不写作法，保留作图痕迹).

B

图3

【实际应用】

(4)如图4,在边长为12的等边三角形ABC中，点E、尸分别是边AC、上的动点，连接AF、BE,交

于点P,若始终保持AE=CF,当点E从点A运动到点。时,点尸运动的路径长是.

【答案】⑴50,130

(2)-或180°--

22

(3)见详解

「八83

⑷371

【分析】⑴根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案;

(2)根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案；

(3)根据圆内接四边形对角互补可得对角为45。，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为90。画出圆

心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案；

(4)根据题意易得AABEmACA尸，即可得到/APB=120。，即可得到答案.

【详解】(1)解：••・乙408=100。，

1

ZAPB=-AAOB=50°,

2

•••四边形APiBPz是圆内接四边形，

AA.P1B=180°-^ARB=130°,

故答案为:50,130;

(2)解：当点P在优弧AB上点为H,在劣弧AB上的点为

•••zAOB=m°m<180°,

■•.Z-AP\B=-Z/LAAOnBu=一,

22

•.•四边形APLBP2是圆内接四边形,

•••^APiB=180°-^ARB=180°-华，

综上所述：弦AB所对的圆周角ZAPB的度数为m或180°--;

22

(3)解：•••ZACB=135。，

-­,AB所在直线的下方点V,存在4AMB=180。-135°=45°,

即A、B、尸、"四点共圆，

作AB垂直平分线交AB于点N,

以点N为圆心AN为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点，

以0为圆心0A为半径画圆弧；

如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以。为圆心、OA为半径的AB.

(4)解：由题意可，

•••三角形ABC是等边三角形，

•••Z.BAC=AACB=60°,AB=AC=BC,T

•••AE=CF,\

：.AABE=ACAFQSAS),：)

•••乙EBA=Z.FAC,

：.AAPB=180°-60°=120°,

.•.点尸的路径是以4B为弦的圆弧，图3

•••弦AB所对圆周角为60。，圆心角为120。,半径为一--=43,

.•.点P运动的路径长是：I2003

【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、一条弦所

对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图--作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，

确定动点轨迹.

7.如图，正方形A5CD的边长为4,点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D

电，点F从点。向点C遢J,点E运动到。点时，E、F停止运动.连接BE、AF相交于点G,整

CG.当线段DG最小时，△皮灯的面积S为()

ED

A.4+"B.8+-5C.6+=D.7+-5

55L55

【答案】A

【分析】首先证明RtAAD尸三Rt/^BAE[SAS),推出BE_LAF,得到G点轨迹为以AB中点O为圆心、AB

为直径的半圆弧，因此当G、O、。在一条直线上时线段DG最小，过G点作MN_LAD交AD于M点，

交于N点，根据RtAOAD〜RtAGM)求出皿G长度，进而求出NG的长度，利用三角形面积公式可解出

答案.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，

AA.DF=Z.BAE=90°,AB=AD.

又•••点E、F分别从点4点。以相同速度同时出发，

•••AE=DF,

Rt^ADF=Rt/\BAE[SAS),

•••Z-AFD-乙AEB.

•・•/-AFD+/-FAD=90°,

・••/-AEG+^GAE=90°,

'.zAGE=90°9

即BE_LAF,

・••^AGB=90°,

・•・G点轨迹为以AB中点。为圆心，为直径的半圆弧，当G、0、。在一条直线上时，线段DG最

小.如图所示：过G点作皿V_LAD交2。于M点，交于N点,

1

中，AD=4,AO=~AB=2f

2

..OD=AD2+AO2=25,

•・•OG=OA=2,

•••DG=OD-OG=25-2,

V/LOAD=乙GMD=90°,Z-ADO=Z-MDG,

・•・RtAOAD〜Rt^GMD,

.MGDG

“AO~OD9

即期G=

225'

解得：MG=2-^^,

5

；.GN=MN-MG=4-2-^-=—,

1

•••SABCG=~BC-GN=x4x10±25=4+卓.

2255

故答案为：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求动点轨迹、相似三角形的判定与性质等知识点，综

合性较强，正确判断动点G的轨迹是解题关键.

8.如图，在等边AABC中，点D为AC边上一动点，点E为BC上一点,且满足AD=CE,^AE,BD,

当线段CFF的值为

的长度最小时,

AB

c

【答案U

3

【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题,

解答即可.

【详解】解：•・・△A5C为等边三角形，

・・・AB=CAf^BAD=Z.ACE=60°,

AB=CA

•・•乙BAD=^ACE=60°,

AD=CE

・・・△BAD=△ACESAS

•••^LABD=乙CAE,

•・•Z.BFE=Z-ABD+Z.BAF,

・••Z.BFE=^BAE+乙CAE=Z.BAC=60°,

・•・4AFB=120°,

作AB的垂直平分线，作乙480=30。，与垂直平分线交于点O,

则点F的运动轨迹是以O为圆心，以80为半径的圆的三角形内部的一段弧,

连接CO与弧交于点H,

当F与点H重合时，CF最小，

•・•OA=OBtCA=CB9

・・・直线OC是线段28的垂直平分线，设二线的交点为Q,

则Z.HQB=9V/HBQ=30°,

22

设QH=x，则BH=2x,8Q=BH-QH=3xf

••-AB=2BQ=23x9

•••CQ=3x,

.A--"QH一QH=1

c

故答案为:1

3

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征,

定弦定角问题，熟练掌握三角形的全等的证明是解题的关键.

9.如图在我必ABC中，ABJ_BC,AB=6,BC=4,点尸是△ABC内部的一个动点，连接PC,且满足

加过点尸作交于点O当线段CP最短时，△BCP的面积为.

【答案】上

5

【分析】由题意得，^APB=180°-^ABP+^PAB=90°,则点P在以AB为直径的圆上运动，如图，记

的中点为O,连接OC,交0O于P,此时线段CP最短，由题意知，OP=QB=-AB=3,由勾股定理

A21

得，OC=OB2+BC2^5,则PC=2,证明APCDsAOCD,可求PD=2,才蟠SAECP=1BC^PD,计

52

算求解即可.

【详解】解：由题意知，ZABP+^PBC=^ABC=90°,

•••/.PAB=Z-PBC,

AABP+/.PAB=90°,

AAPB=180°-ZABP+^PAB=90°,

.•.点尸在以AB为直径的圆上运动，

如图，记A3的中点为O,连接OC,交。。于P,此时线段CP最短,

由题意知，OP=OB=-AB=3,

2

由勾股定理得，00=032+30=5,

PC=2,

v乙PCD="CD,APDC=90°=，OBC,

△PCD~AOCB,

2

...a2=EC即蟹

OBOC35

解得，PD=6,

15A

S4BCP—~.BCXPD=x4X。_12

1一,

2255

故答案为：J12.

5

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理.确定点

P的运动轨迹是解题的关键.

10.如图，点D在半圆。上，半径06=5,40=4,点C在弧上移动，连接AC,作DH_LAC,垂足为

H,连接点C在移动的过程中，8H的最小值是.

1()

D

C

【答案】222-2

【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆

周角定理、线段的和差即可得.

【详解】如图，设AD的中点为点E,则EA=ED=~AD=1x4=2

22

由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上

由点与圆的位置关系得：连接BE,与圆E交于点H,贝”此时取得最小值，EH=2

•••AB为半圆O的直径

^ADB=90°

---BD=AB2-AD2^(5+5尸-42=221

•••BE=BD2+ED2=(221]2+22=222

•••BH=BE-EH=222-2

故答案为：222-2.

【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而

得出取最小值时，点H的位置是解题关键.

11.如图，抛物线y=o%2+bx-3交x轴于点。是抛物线的顶点，P是抛物线上的动

点点P的横坐标为皿0品6品3),心。。交直线/：〃=1x+2于点E,AP交DE于点尸，交y轴

2

于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设APZF的面积为Si,AAEF的面积为S2,当Si=S2时，求点P的坐标；

(3)连接8Q,点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且NBVQ=45。，在点尸从点8运动到点

。的过程中，点V也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围.

242

11

【分析】⑴运用待定系数法将4-1,0),6(3,0)代入^=52+我-3,即可求得答案；

(2)利用配方法可求得抛物线顶点坐标0(1,-4),^ijAEZJPD<△AEF-△PDF,再根据APDF与

△AE尸的面积相等，可得△AEF三△PDF,故点、P分别是AP.ED的中点，设Ee,1,P^m2_2m

e+2，

2

-3),结合中点坐标公式建立方程求解即可；

(3)根据题意，分别求出1的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，

如图2,以03为斜边在第一象限内作等腰直角AO'OJB,以O'为圆心，OO'为半径作0O',交抛物线对称

轴于点过点、O'作O'HLy轴于点H,运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与

点C重合，此时t的值最小，如图3,^BC,以O为圆心，为半径作0O交抛物线对称轴于点V,连

接。河，设抛物线对称轴交x轴于点E,运用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：⑴［抛物线y=a%2+bx-3交x轴于点

.将A§坐标分别代入抛物线解析式得：｛"6-3=0,

、9a+3b-3=0

解得%纥1,

・•・抛物线的表达式为：y=X2-2x-3;

(2)如图,

,・,_D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-

♦••ZE。。交直线Z:9=1%+2于点石，尸是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0<m<3),

2

1

2

.sAEFiPDF，i^Ee-,p(m,m-2m-3),

e+2

2

又•••△PDF的面积为Si,△AEF的面积为S2,Si=S2,

・•.△AEF=△PDF,

・・.AF=PF,EF=DF9即点尸分别是AP、ED的中点，

51vA(-l,0),P(m,m2-2m-3),Eeje+2,。(1,

由中点坐标公式得：“二1=旺1,

m2-2m-3+0=?+2-4

22

解得：mi=0(与'幺不符，应舍去)，加2=%

1

•.•e=一,

2

D57"19

二尸一,一-,E~;

2424

(3)①当点尸与点3重合时，点Q与点O重合，此时1的值最大，如图2,

以05为斜边在第一象限内作等腰直角△065,

则O'3,3,oo,=o，B=了，

222

以O为圆心，OO'为半径作0O',交抛物线对称轴于点”(1,。，

过点O'作O'HLy轴于点H,则NO'HM=90。，O'H=-,O'M=OO'=~,

22

MH=OM2-OH2=-2-12=与

12

22

・•・"3上=3+lZ

222

•••

②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3,

连接BC,以。为圆心，QB为半径作。0交抛物线对称轴于点M,

■.OB=OC=3,

.•・G)o经过点c,

连接0M,设抛物线对称轴交x轴于点E,

则OM=O_B=3,OE=1,

•••/.MEO=90°,

；.ME=OM2-OE2=32-y=22,

:.t=22,

综上所述，22MtM3:17.

【点睛】此题属于二^函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的

解及圆的相关知识，属于压轴题类型.

【题型圆

12.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分ZADC,AC_LCD,且乙4。氏

(1)证明：Z-BAD+/-BCD=180°；

⑵若^ADB=30°,AD+CD=4、求BD的长.

【答案】(1)见解析

[2)BD=4

【分析】⑴由题意推出Z.BCA=2LADB,从而得到A、3、C、D四点共圆，进而得出结论即可;

(2)首先根据已知信息求出AD,再结合四点共圆的结论，在RSABD中求解BO即可.

【详解】⑴证：-.AB=BC,

■■■^BAC=^BCA,

■■■^BAC=/.ADB,

■■^BCA=AADB,

；.A、B、C、O四点共圆，

•••^BAD+4BCD=180°;

(2)解：---AC.LCD,

乙48=90。，

ZADB=30°,BD平分ZADC,

ZAJDC=60°,Z.CAD=30°

•­.在Rt4ACD中，AD=2CD,

A

•・•AD+CD=43,

■■.AD=^-,8=彗，

C、。四点共圆，

•••zACD=AABD=90°,

.•.在正以ABD中，BD=AD-cosZ-ADB=—xcos30°=-x-3_A

332一’

3

■■BD=4.

【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解

直角三角形是解题关键.

13.如图，边长为1的小正方形网格中，点A,5C,E在格点上，翔A&BC,点D在BC上且满足

BC,贝!JtanzAE。的值是（）

A"B.2Dj2

【答案】。

【分析】证明A,D,BtE在以。为圆心，1为半径的同圆上，把求tanzAEO转化为求tan^ABD.

【详解】以O为圆心，1为半径作0O,连接OD.

vA,B,C,E在格点上.

••AC=OA=OE=OB=1

•.ABE在。0上

vAD_LBC

・•・zADB=90°

又・・・OO的直径是AB

•••AB=2

・・•OA=OB

••・OD=-AB=1

2

二点。在oo上

・•.Z-AED=/-ABD

二tanZ,A£jD=tan乙4BD=40=—

AB2

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接OD,谶I点、

15

在以0为圆心，1为半径的同圆上.

16

14.如图，已知AB=AC=AO,NC4D=20。,则NCBD的度数是()

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】A

【详解】

如图，AB=AC=AD

■■■乙CAD=20°

■■■ACBD=-Z-CAD=~x20°=10°,

22

故选A.

15.如图，等边△ABC中，D^BCAl,E&AC上，BD=CE,连BE、AD交于F,摊E尸上，且DT

=CE,AF=50,TE=16,则.

【答案】17

【分析】用"SAS”可判定△ABD三△BCE,得到ZAFE=60°,延长EE至点G,使得FG=FA,连AG,AT,

得到AAFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△E4T三AG4E(AS4),即可求得答案.

【详解】；△ABC为等边三■角形，

•••AB=AC=BC,^ABD=ABCE=60°,

在AABD和△BCE中，

AB=BC

AABD=^BCE=60°,

BD=CE

・•・△ABD=△BCEQSAS],

・•.乙BAD=乙CBE,

•・•zADC=乙CBE+乙BFD=2BAD+乙8,

•••Z-BFD=Z-B=Z-AFE-60°;

延长FE至点G,使得FG=E4,连AG,AT,

•・,Z.AFE=60°,

・•.△AFG是等边三角形，

・•・AG=AF=FG=50f^AGF=^FAG=60°,

•・•Z-BAF+^EAF=z.CAG+Z-EAF=60°,

・••^BAF=^LCAG9

•・•DT=CE,

/.Z-DBT=乙BTD,

•:乙BAD=LCBE,

/.BAD=Z.BTD,

・・・A、5、D、T四点共圆，

•••Z-BAD=ZJDAT9

^/LFAT=Z.GAE9

为以您喝佥GM中，

AF=AG,

zAFG=^AGF=60°

△FAT=△GAE{ASA)9

:・FT=GE,

vFG=50,TE=16,

i

・•.FT=~{FG-TE)=17.

2

故答案为：17.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出

△E4T三△GAE是解本题的关键.

【题型：瓜豆原理

16.如图所示，在等腰HSABC中，405。=22二点尸在以斜边48为直径的半圆上，皿为PC的中

点，当点尸沿半圆从点A运动至点8时，求点"运动的路径长.

【答案】点"运动的路径长为71.

18

【分析】取A3的中点0、AC的中点E、BC的中点F,连结0C、OP、0M、0E、OREF,如图，利用等腰

直角三角形的性质得到AB=23c=4,则OC=1A3=2,O尸=1AB=2,再根据等腰三角形的性质

22

得OMPC,则NCMO=90°,于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点

时，M点在E点；点P点在B点时，M点在尸点，则利用四边形CEO广为正方得到EF=OC=2,所以M点

的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点V运动的路径长.

【详解】解：如图所示，取的中点O,AC的中点E,BC的中点F,连接OC、OP、OM、OE、QF、EN,

•••在等腰RtAABC中，AC==22,

■■■AB=2BC=4.

：.OC=OP=~AB=2.

2

•••拉为PC的中点，

OM_LPC.

•••乙CMO=90°.

•••点M在以OC为直径的圆上,

当点P与点A重合时，点M与点E重合：当点P与点6重合时，点M与点F重合，易得四边形CEO尸为正

方形，EF=OC=2,

•••点M运动的路径为以E尸为直径的半圆.

••・点、M运动的路径长为1.2".1=冗

2,

【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等腰三角

形的性质和圆周角定理确定V点的轨迹为以EF为直径的半圆.

17.如图，A是08上任意一点，点C在08外，已知AB=2,BC=4,△ACD是等边三角形，则△BCD

的面积的最大值为（）

A.4/3+4B.4D.6

【答案】A

【分析】以BC为边向上作等边三角形BCM,^DM,证明△DCM三ZkACB得

到。M=AB=2,分析出点。的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，

在求出点D到线段BC的最大距离，即可求出面积的最大值.

【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM,连接DM,

■■^DCA=/.MCB=60°,

■­•ZDCA-AACM=zJV[CB-41CM,即乙DCM=AACB,

在ADCM和AACB中，

DC=AC

Z-DCM=^ACB,

MC=BC

/.△DCM=AACBSAS9

..DM=AB=29

・・・点D的运动轨迹是以点M为圆心，1M长为半径的圆，要使△BCD的面积最大，则求出点D到线段BC

的最大距离，

是边长为4的等边三角形，

・••点时到BC的距离为23,

••・点。到BC的最大距离为23+2,

△BCD的面积最大值是x4x23+2=43+4

2

故选A.

【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点。的轨迹圆，再求出

圆上一点到定线段距离的最大值.

18.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为45边上的一个动点，连接EF,以

E尸为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

£

【答案正

2

【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点