北师大版八年级数学专项复习：实数（原卷版）

第06讲实数

学^目标彳

1.了解无理数的含义;

2.掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法

3.体会实数间关联.

［豳基础知.

---------------------llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllt-----------------------

知识点1:无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表

示成分数的形式

(2)常见的无理数有三种形式：①含门类.②看似循环而实质不循环的数，如：

1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如石.

知识点2：实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

、*」有理数：有限小数或无限循环小数

实数W

［无理数：无限不循环小数

按与o的大小关系分：

，正有理数

正数＜

、正无理数

实数0

'负有理数

负数＜

、负无理数

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对

应.

知识点3：实数运算

1.注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。

2.运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

I|G考点剖析

---------------------lllllllllllllilllllllllllllllllllllllllll-----------------------

考点一：无理数的概念

（2022秋•章丘区校级期末）在实数工、每、-3m47>1,4141441中，无

8

理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1］（2023春•长沙期中）下列各数中，无理数是（）

A.--RB.3.14C.-2D.1

7

【变式1-2］（2023•榆阳区校级一模）在实数2，m0,-3中，无理数是（）

6

A.1B.TTC.0D.-3

6

【变式1-3］（2022秋•涕水区期末）在V，兀，3.5,1,3,0.1010010001••中，无

理数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点二：实数的分类

2.（2022秋•苍南县期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①7^,②

一•,③兀，④+9,⑤-3.14,⑥加，⑦0,⑧2.828828882…（两个2之间依次多1

个8）.

整数：=

负分数:

无理数:

【变式2-1］（2023春•西湖区期中）在实数加，乡中有理数有（

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2]（2023•洛阳一模）下列各数为负数的是（）

A.V5B.-1C.0D.|-3|

【变式2-3］（2022秋•市北区月考）把下列各数分别填入相应的集合里.

0,-1,V4，--,-3/TT,3.14,A,V479,0.4343343334……（每2个4之间

2213

依次多一个3）

无理数集合：｛-｝；

分数集合：｛____

负实数集合：｛—

考点三：实数的性质

例3.（2023春•武汉期中）加的相反数是；3-7T的绝对值是

【变式3-1］（2023•玉州区一模）-2023的绝对值是（)

A.-2023B.一1C.2023D.42023

2023

【变式3-2］（2023春•南昌县期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（)

A.-2与7(-2)2B.-2和知两

C.工与2D.|2|和2

2

【变式3-3］（2023•凤阳县二模）式子返-2的倒数是（)

A.V5+2B.-yfs-2c.2V5+2D.V5+2V2

考点四：实数与数轴的关系

4.（2023春•思明区期中）如图,在数轴上点A表示的实数是（）

2

IIII』I>

-2-10123

A.MB.2.2C.2.3D.后

【变式4-1］（2023春•花都区期中）如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不可熊是（)

-1——।——।——

-10123

A.V3B.V5C.V6D.V7

【变式4-2］（2023春•普陀区期中）如图，在数轴上，点B与点C关于点A对称，4、B

两点对应的实数分别是病和-3,那么点C所对应的实数是（)

BAC

11>

-30底

A.V5+3B.V5-3C.275-3D.275+3

【变式4-3］（2023•北京一模）实数°,6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中

正确的是（)

।1gl।।illi>

-3-2-101234

A.a>-2B.b>3C.\a\>bD.a+b>0

考点五：利用数轴化简

例5.(2022秋•西安月考)如图，己知实数-神，-1,店3,其在数轴上所对

LJU应的点分别为点A,B,C,D.

(1)求点C与点。之间的距离；

(2)记点A与点8之间距离为a,点C与点。之间距离为6,求a-6的值.

ABCD

-I_»J——I------1---------1------------------------

-3-2-101234

【变式5-1](2022春•庐阳区校级期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位

长度到达点3,点A表示-'/L设点B所表示的数为机.

(1)实数m的值是；

(2)求的值;

(3)在数轴上还有C、。两点分别表示实数c和d,且有|2c+4|与互为相反数，求

2c+3d的平方根.

4।巴、

-2-1012

【变式5-2](2022秋•拱墅区期中)己知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且满足⑷

=也|=2|-c|=4.

(1)求a,b,c的值；

(2)求|a-24+|-b+c\+\c-3al的值.

।I：।,

a0cb

考点六：实数的运算

A1例6.(2023春•汕尾期中)计算：

(1)1;⑵IV3-2I+V(-4)2-

【变式6-1］（2023春•仁化县期中）计算：JR-狗7+匿+（-2）2.

【变式6-2］（2023春•宜都市期中）计算：^9+2（V2+2）-I1-V2I-

【变式6-31（2023春•海淀区校级期中）计算:

;

⑴I-3I-(-1)+V-27-V4⑵返-V3+(V5)2+I1W3I-

考点七：估算无理数范围

f例7.（2022秋•镇平县期中）估计/五-1的值介于（）

A.1与2之间B.2与3之间C.3与4之间D.4与5

之间

【变式7-1］（2022秋•余姚市月考）己知a是正整数，且满足倔＜a,则。的值

是（）

A.9B.8C.7D.6

【变式7-2］（2021秋•石家庄期末）遥介于整数〃和”+1之间，则〃的值是（）

A.4B.3C.2D.1

考点八：无理数的整数和小数部分问题

例8.（2023春•西城区校级期中）若2+77的整数部分为。，5-、/年的小数部分为

I--------1b,则〃=；\b-a\=.

【变式8-1］（2023春•洪山区期中）若的整数部分为a,述的小数部分为b,则a+b

【变式8-2］（2023春•蜀山区校级期中）已知丁行的整数部分是相，10八万5的小数部分

是n,则m+n=.

【变式8-3］（2023春•东莞市期中）若«的整数部分是a,小数部分是6,贝Ia+b=.

考点九：实数大小比较

例9（2023•河东区一模）比较大小：展+▲岳.（填“>”，“<

或“二”）.

【变式9-1］（2023•郑城县一模）比较大小」上巨.

22

【变式9-2］（2023春•大兴区期中）比较大小：275岳（填“>”，“V”

或“=”）.

考点十：实数的应用

f\一例10.（2023春•汕尾期中）如图，把两个面积均为18c/的小正方形纸片分别沿

对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片.

（1）求大正方形纸片的边长；

（2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之

比为3：1,且面积为24cm2?若能，请求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明

理由.

【变式10-1】（2023春•梁平区期中）列方程解应用题

小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2,纸片面积为294C%2.

（1）请你帮小明求出纸片的周长.

（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157c层的完整圆形纸片，他能够裁出想要的

圆形纸片吗？请说明理由.（IT取3.14）

【变式10-2］（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对

角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2）.

图⑴图(2)图（3）

（1）原小正方形的边长为cm；

（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1,

且面积为12c”，？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由.

（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大

正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由.

||西真题演练［|

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1.（2022•宁夏）已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，则丁二+丁匚■的值是（）

lailbI

-----11-----1-------->

a--------0b

A.-2B.-1C.0D.2

2.（2022•广州）实数a,6在数轴上的位置如图所示，则（）

―।~S~।------1—

-1012

A.a=bB.a>bC.|a|<|Z?|D.\a\>\b\

3.（2022•北京）实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

I____।।i।午।।a

-3-2-10123

A.a<-2B.Z?<1C.a>bD.-a>b

4.（2022•南京）估计12的算术平方根介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

5.（2022•湘西州）在实数-5,0,3,工中，最大的实数是（）

3

A.3B.0C.-5D.A

3

6.（2022•临沂）满足机II的整数机的值可能是（）

A.3B.2C.1D.0

7.（2021•绵阳）下列数中，在幅与我面之间的是（）

A.3B.4C.5D.6

8.（2023•香洲区校级一模）设技的整数部分为。，小数部分为6,则（行也）b的值

是（）

A.6B.2-V10C.-1D.1

9.（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数：.

10.（2022•西藏）比较大小：夜3.（选填“=”中的一个）

11.（2023春•西乡塘区校级期中）已知m是灰的整数部分，w是后的小数部分，则

mtn-的值为-

12.（2022•苏州模拟）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该

投资商为减少固定资产投资，将原来400帆2的正方形场地改建成315租2的长方形场地，

且其长、宽的比为5：3.

（1）求原来正方形场地的周长；

（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

|］总过关检测门I

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1.（2022秋•泰兴市期末）在-工骂，0,-1,0.4,n,2,-3,-6这些数中，无理数

37

有（）个

A.1B.2C.3D.4

2.（2023•合肥二模）下列各式运算结果是负数的是（）

A.（-1）「2023B.|-2023|C.｛（-1）2D.（-2023）°

3.（2023春•上海期中）下列说法正确的是（）

A.只有0的平方根是它本身

B.无限小数都是无理数

C.不带根号的数一定是有理数

D.任何数都有平方根

4.（2023春•安庆期中）面积是3的正方形的边长是（）

A.整数B.无理数C.有理数D.分数

5.（2023•金凤区校级一模）下列各组数中，互为相反数的是（）

A.-3和27B.3和J）2C.-（一3）和|-3|D.-3和一1

3

6.（2023•天桥区二模）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

-3-2-10123

A-包>0