北师大版数学七年级上册专项训练：线段、角度、动角问题

线段、角度相关计算及动角问题

一、线段的计算（方程思想）

例1、如图，C,。是线段N8上的两点，已知四N分别为NC,如的中点，AB=18ca,且

AC：CD：DB=k2：3,求线段腑的长.

I_।_।____________I___________I___________।

AXfCD,VB

变式1-1、如图所示.点C,8是线段上的两点，AC,CB-.BD=3：1：4,点£,厂分别是

AB,5的中点，且即=14,求四，5的长.

ItillI

AECBFD

变式1-2、如图所示，线段很上有两点弘N,AM：W=5：11,AN：W=5：7,MN=\.5,

求加长度.

AB

二、线段的计算（分类讨论思想）

例1、在直线/上有4B、。三个点，已知比上3/8,点。是〃中点，鱼BD=6cm,求线段

理的长.

变式1T、画直线/,并在直线/上任取三个点4B、C,使48=10,BC=4,分别画线段

AB、理的中点区F,求线段用的长.

变式1-2、已知线段"=14,在N8上有四个点C,D,M,N,且力C：CD,DB=\-.2：4,

止/c,DN=[DB,计算线段椒的长.

三、线段的计算(含参问题)

例1、如图1,线段力。=6谶，线段6。=15颂，点〃是/。的中点，在％上取一点儿使得

CN-.NB=\：2,求腑的长.

(2)如图2,若。为线段N8上任意一点，满足力欣N分别为力。、欧的中

点，你能猜想掰V的长度吗？并说明理由；

(3)若。在线段四的延长线上的一点，且满足"-80=儿必，故N分别为〃、应'的中

点，你能猜想掰V的长度吗？并说明理由.

III।।1」iii

AMCNBAMCNB

图1图2

变式1-1、已知点C,线段HA

(1)如图，若点C在线段”上，且力C=12,BC=R,尽限N分别是NC、欧的中点，

则线段腑的长度是;

(2)若把(1)中点。在线段力6上，且HC=12,BC=8,改为点。是线段N6上任意一

点，且NC=a,BC=b,其他条件不变，请求出线段腑的长度(用含a、6的式子表

示)；

(3)若把(2)中点。是线段N6上任意一点，改为点。是直线N8上任意一点，其他条

件不变，则线段腑的长度会变化吗？若有变化，求出结果.

AMC"VB

变式1-2、已知线段9=/（r为常数），点C为直线四上一点，点R0分别在线段8C、AC

上，且满足&=240,CP=2BP.

.g.R.

A'C'_B

（1）如图，若AB=6,当点。恰好在线段N6中点时，则制=；

（2）若点。为直线”上任一点，则国长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不

是，请说明理由；

（3）若点。在点A左侧，同时点夕在线段AB上（不与端点重合），请判断2APVCQ-2PQ

与1的大小关系，并说明理由.

四、线段的计算（动点问题）

【例8】如图，AB=\Qcm,C是线段N8上一个动点，沿/一AN以2c以/s的速度往返运动一

次，。是线段血的中点，设点。的运动时间为亡秒（OWtWIO）.

（1）当t=2时，求线段切的长.

（2）当t=6时，求线段NC的长.

（3）求运动过程中线段/。的长.（用含力的代数式表示）

（4）在运动过程中，设NC的中点为£,线段座的长是否发生变化？若不变，直接写出

庞的长；若发生变化，请说明理由.

CDB

变式IT、（1）如图1,已知点。在线段N8上，线段4。=10厘米，6。=6厘米，点弘N分

别是NC,勿的中点，求线段腑的长度；

（2）已知点。在线段周的延长线上，点区N分别是力C,理的中点，设BC-AC=a,

请根据题意画出图形并求腑的长度；

（3）在（1）的条件下，动点R。分别从48同时出发，点夕以2cWs的速度沿N8向

右运动，终点为8点0以IcWs的速度沿N8向左运动，终点为4当一个点到达终

点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，。、R0三点有一点恰好是以另两点

为端点的线段的中点？

IIIII

AMCNB

变式1-2、如图，直线/上有4,8两点，力8=12颂，点。是线段相上的一点，0A=20B.

（1）0A=cm,0B=cm；

（2）若点。是线段四上一点（点。不与点四重合），且满足求C的

长；

（3）若动点R0分别从48同时出发，向右运动，点。的速度为2颂/s,点0的速度

为1c%/5.设运动时间为大（s）,当点夕与点0重合时，P,0两点停止运动.求当力为

何值时，20P-00=4（腐）；

OB

五、钟面角的计算

分针：1小时转（）度1分钟转（）度

时针：1小时转（）度1分钟转（）度

例1、如图，八点三十分时针与分针所成的角是（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

变式1-1、11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）

A.140°B.130°C.120°D.110°

变式1-2、当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（）

A.115°B.120°C.105°D.90°

变式1-3、下列时刻中的时针与分针所成的角最大的是（）

A.1：00B.3：03C.5：05D.10：10

六、度分秒的换算

度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60',1分=60秒，即1'=60〃.

将高级单位转化为低级单位时，乘以60,

将低级单位转化为高级单位时，除以60.

例1、35.48°=度分秒.

变式1T、35.15°=°'"；12°15'36〃=°.

变式1-2、计算：65°19'48〃+35°1T6"=（将计算结果换算成度）.

变式1-3、计算：18°13'X5-49°28'52〃4-4

七、角度的计算（方程思想）

例1、如图，％平分如，/AOD：/B0D=3：5,已知NC〃〃=15°,求//仍的度数.

变式1T、如图所示，N8为一条直线，%是/力切的平分线，0E在/BOD内,/DOE：ZBOD

=2：5,ZC0E=8Q°,求/切苗的度数.

变式1-2、如图，A,0,8三点在一条直线上，/AOC="COD,㉘平分N加ft/COE：

80°,求切的度数.

OB

八、角度的计算(分类讨论思想)

例1、在直线力方上任取一点。，过点。作射线。C,0D,使NCW=90°,当/月。。=50°

时，N6如的度数是.

变式1T、平面内，已知NN加=90°,N8%=20°,OE平令/AOB,OF平分/BOC,则N

EOF=.

变式1-2、已知，在同一平面内，ZAOB=3Q°,射线%在NN/的外部，如平分NR0C,

若/BOD=40°,则度数为.

变式1-3、已知如=90。，射线%在如内部，且/43=20。，/COD=50°,射线

OE、OF分别平分N8OC、ACOD,则N且加的度数是.

九、角度的计算(旋转含参问题)

例1、如图1,已知NN如=150°,/COE与/EOD互余,OE平■分/AOD.

(1)在图1中，若/COE=32。,则；ZBOD=；

(2)在图1中，设NC〃£=a,/BOD=B,请探索a与B之间的数量关系；

(3)在已知条件不变的前提下，当N6W绕点。逆时针转动到如图2的位置时，(2)中

a与B的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出a与B

的数量关系.

变式IT、如图1直角三角板的直角顶点。在直线48上，0C,如是三角板的两条直角边，

射线0E平■分/AOD.

(1)若NC施=40。，则/8如=.

(2)若/COE=a,求/BOD(请用含a的代数式表示)；

(3)当三角板绕。逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测NC您与/9切

之间有怎样的数量关系？并说明理由.

图1图2

变式1-2已知：点。为直线N8上一点，/CW=90°,射线0E平分/AOD,设/COE=a,

图①

(1)如图①所示，若a=25°,则/8如=.

(2)若将N6W绕点。旋转至图②的位置，试用含a的代数式表示N8出的大小，并说

明理由；

(3)若将N6ZM绕点。旋转至图③的位置，则用含a的代数式表示N8切的大小，即/

BOD=.

(4)若将NC勿绕点。旋转至图④的位置，继续探究/灰切和的数量关系，则用

含a的代数式表示N6出的大小，即/8如=

十、角度的计算（旋转动态问题）

例1、如图1,点/、。、8依次在直线腑上，现将射线如绕点。沿顺时针方向以每秒4。

的速度旋转，同时射线如绕点。沿逆时针方向以每秒6。的速度旋转，直线腑保持不

动，如图2,设旋转时间为亡（0W方W60,单位秒）

图1图2

（1）当力=3时，求NN处的度数；

（2）在运动过程中，当仍第二次达到72°时，求大的值；

（3）在旋转过程中是否存在这样的3使得射线仍与射线如垂直？如果存在，请求出

t的值；如果不存在，请说明理由.

变式1-1、一副三角尺（分别含45°,45°,90°和30°,60°,90°）按如图所示摆放

在量角器上，边即与量角器0°刻度线重合，边加5与量角器180。刻度线重合，将三角

尺/以绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边期与0°刻度线重合时停

止运动，设三角尺/期的运动时间为t.

（1）当力=5时，边阳经过的量角器刻度线对应的度数是度；

（2）若在三角尺/即开始旋转的同时，三角尺/O也绕点P以每秒2。的速度逆时针旋

转，当三角尺/以停止旋转时，三角尺/O也停止旋转.

①当力为何值时，近PB平分/CPD；

②在旋转过程中，是否存在某一时刻使N“=2N"C,若存在，请直接写出力的值；若

不存在，请说明理由

变式1-2、【阅读理解】

射线%是/水省内部的一条射线，若/C0A=>B0C,则我们称射线%是射线物的伴

随线.例如，如图1,ZAOB=QO°,ZAOC=ZCOD=ZBOD=20°,则

称射线％是射线处的伴随线；同时，由于N8怯;N力如，称射线如是射线出的伴随

线.

BOA

图3备用图

【知识运用】

(1)如图2,ZAOB=120°,射线加是射线处的伴随线，则N/加=°,若N

/如的度数是a,射线阴是射线处的伴随线，射线%是/力加的平分线，则NW的

度数是—.(用含a的代数式表示)

(2)如图3,如/月加=180°,射线%与射线物重合，并绕点。以每秒3°的速度逆

时针旋转，射线如与射线加重合，并绕点。以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线如

与射线如重合时，运动停止.

①是否存在某个时刻力(秒)，使得N屐切的度数是20。，若存在，求出力的值，若不存

在，请说明理由.

②当大为多少秒时，射线OC、OD、物中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线.

综合练习

1、如图，线段止勾氏，点区尸分别是线段力反切的中点，EF=14cm,求线段/反

45

♦♦♦♦♦・

切的长..4E。5FC

2、已知：点〃是线段”上.

■I1II■■」

ACMDBAMB

图1图2

(1)如图1,点。在线段/〃上，且加/,点。在线段加上，旦BD^BM.若AB=

18m求力什切的值.

（2）如图2,若N生%8,点N是直线加上一点，且AN-BN=aMN,求翳的值.

3、已知线段"=勿（勿为常数），点。为直线四上一点（不与点力、8重合），点欣N分别

在线段式；AC1.,且满足234“CM=3BM.

（1）如图，当点。恰好在线段N8中点，且〃=8时，则”；

（2）若点。在点N左侧，同时点〃在线段四上（不与端点重合），请判断6M2/〃-2腑

的值是否与R有关？并说明理由.

（3）若点。是直线N8上一点（不与点/、8重合），同时点〃在线段N8上（不与端点重

合），求腑长度（用含力的代数式表示）.

NM

~-A—CB

B

备用国

4、如图1,点C在线段N8上，图中共有3条线段：AB、AC,和8C,若其中有一条线段的长

度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段47的“二倍点”.

ACBACB

I1I---------------------1------------------------1----------------------------------------------1-----------

-10020

图1图2

（1）一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）

【深入研究】

如图2,点/表示数-10,点刀表示数20,若点〃从点6,以每秒3谶的速度向点力运

动，当点〃到达点力时停止运动，设运动的时间为大秒.

（2）点〃在运动过程中表示的数为（用含力的代数式表示）；

（3）求t为何值时，点〃是线段”的“二倍点”；

（4）同时点N从点/的位置开始，以每秒2腐的速度向点6运动，并与点〃同时停

止.请直接写出点〃是线段4V的“二倍点”时大的值.

5、如图，%是/4出的平分线，。£是/8出的平分线.

(1)若N力加=120°,则NCE是多少度？

(2)如果/BOC=3/AOD,ZEOD-ZCOD=30°,那么N8您'是多少度？

6、已知N/的=130°,Z<7(2Z?=80°,OM,屹分别是NN仍和NC〃〃的平分线.

(1)如果如，%重合，且如在N力处的内部，如图1,求/肱加的度数；

(2)如果将图1中的N6W绕点。点顺时针旋转〃。(0</7<155),如图2,

①/施加与旋转度数“°有怎样的数量关系？说明理由；

②当〃为多少时，N肱加为直角？

(3)如果N4仍的位置和大小不变，NCW的边切的位置不变，改变NO%的大小；将

图1中的%绕着。点顺时针旋转力。(0<«<100),如图3,N肱加与旋转度数加。有怎

样的数量关系？说明理由.

7、如图1,。为直线N8上一点，过点。作射线OC,ZAOC=30°,将一直角三角尺(N〃=

30°)的直角顶点放在点。处，一边加在射线如上，另一边加与%都在直线48的上

(1)若将图1中的三角尺绕点。以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转力秒，当加恰

好平分N8%时，如图2.

①求力值；

②试说明此时Q平分N力。C；

(2)将图1中的三角尺绕点。顺时针旋转，设/A0N=a,ZCOM=B,当ON在/AOC

内部时，试求a与B的数量关系；

(3)若将图1中的三角尺绕点。以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC

也绕点。以每秒8。的速度沿顺时针方向旋转，如图3,那么经过多长时间，射线%第

一次平分/肱加？请说明理由.

真题训练

1、(23年成都七中育才期末A卷8分)如图，已知NAOB内部有三条射线，若0E平分N

AOD,0C平分NBOD。

(1)若NAOB=100°,求NEOC的度数；

(2)若NAOB=70°,如果将题中的“平分”条件改为NEOA—NAOD,ZDOC=-ZDOB

43

且NDOE：ZDOC=3:2,求NEOC的度数。

第19题图

2、(23年成都七中育才B卷13分)平面内一定点A在直线CD的上方，点0为直线CD上一

动点，作射线OA,OE,OA,当点0在直线上运动时，始终保持NC0E=90°,NAOE=NA，OE,将

射线0A绕点0顺时针旋转75°得到射线0B

(1)如图1,当点0运动到使点A在射线0E的左侧时，若0B平分NA'OE,求NAOE的度

数；

(2)当点0运动到使点A在射线0E左侧时，且NAOC=4NA'0B时，求NAOE的度数；

(3)当点0运动到某一时刻时，满足NA'0B=120°,求出此时NBOE的度数。

CDC

备用图I3、-

第28题困

3、(23年绵阳东辰超越杯12分)如图1,点0为直线AB上一点，过0点作射线0C,使N

AOC：ZBOC=1:2,将三角板的直角顶点放在点0处、一边0M在射线0B上，另一边ON在直

线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点。按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线0B上，此

时三角板旋转的角度为()度；

(2)继续将图2中的三角板绕点0按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在NAOC的内

部.试探究NA0M与NN0C之间满足什么等量关系，并说明理由；

(3)在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点。按15°每秒的

速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分NAOC时，求此时三角板绕点0的

运动时间t的值。

第23题图

4、(23年成都嘉祥外国语学校A卷5分)如图：已知AB=27cm,在线段AB上有C、D、

N,且满足AC:CD:DB=2:3:4,且M是AC的中点，DN」DB,求线段MN的长度。

4

AMCNDB

第19题图

5、(23年成都嘉祥外国语学校A卷12分)已知NA0B=120°,NC0D=80°,OM,ON分别是N

AOB,NC