北师大版九年级数学上册压轴题：与根的判别式有关的两种考法（解析版）

专题05与根的判别式有关的两种考法

类型一、参数位置的问题

例1.（二次项含参）关于X的方程（，〃-1）*+2彳+m-1=0,只有一个实数解，则相的值等于（）

A.0,2B.1,2C.0,-2,1D.0,2,1

【答案】D

【分析】方程（机-l）f+2x+1=0,只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0,一次项系数不

为0；二次项系数不为0时，二次方程有两个相等的实数根.

【详解】方程（〃-1）/+2*+机-1=0,只有一个实数解，有两种情况：

①当机-1=0时，即机=1时，方程为2x=0,

x=0.

故机=1时，g（m-l）x2+2x+m-l=0,只有一个实数解.

②当m-1W0时，方程有一个实数解需满足：△=（）.

即22-4（/?Z-1）2=0.

解得：m=0或帆=2.

综上所述，机的值等于0,2,1时，方程（机-l）f+2x+7”-1=0,只有一个实数解.

故选：D.

【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论.

例2.（二次项不含参）关于尤的方程2d_〃a+机-3=0根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个不相等实数根

C.有两个相等实数根D.只有一个实数根

【答案】B

【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可.

【详解】解:根据题意得，A=;（-/n）2-4x2x（m-3）=（w-4）2+8>0,

则关于x的方程2/一如+小一3=0有两个不相等实数根，故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握A>0,一元二次方程有两个不相等的实数

根；A=0,一元二次方程有一个实数根；A<0,一元二次方程无实数根是解题的关键.

【变式训练1】若关于x的方程"2-x-l=0有实数根，则左的取值范围是（）

1111

A.kN—B.kN—且％W0C.k4—D.k4—且左wO

4444

【答案】A

【详解】解：当仁0时，方程化为解得元二-1；

当时0时，根据题意得/=(-1)2-4kx(-1)>0,解得整且时0,

4

综上所述，々的取值范围为之

4

故选：A.

【变式训练2】已知一元二次方程("3)/+23+1=0有两个相等的实数根，则上的值是

【答案】4

【分析】运用根的判别式求参数即可.

【详解】解：•••一元二次方程(％-3)f+2x+l=0有两个相等的实数根，

：.A=b2-4ac=22-4(k-3)=0,整理得，16-4左=0,解得，k=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的

关键.

【变式训练3】已知关于x的一元二次方程Y-2M+布-4=0.

(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)选择一个机的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根.

【答案】(1)证明见解析

(2)当〃?=0时，方程的根是占=2,%=-2(答案不唯一)

【分析】(1)根据根的判别式A>0即可证明；

(2)先根据方程至少有一个正整数根，求出机>Y,在此范围内取力=0,即可求出方程的根.

【详解】(1)A=(~2m)2-4xlx(；772-4)=-4m2+16=16>0,

.♦•该方程总有两个不相等的实数根.

(2),/A=(-2/ra)2-4x1x-4)=W-4m2+16=16,

.2m土\/l62m±4,

・・x=------------=---------=m±4.

22

・・•方程至少有一个正整数根,

m+4>0.

・,•根>T.

当m=0时，一元二次方程一一2如+〃/_4=0可化为三一4=0,

解得：玉=2,%=-2.

【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元

二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键.

【变式训练4】若方程》2-2》-加+1=0没有实数根，试判断方程产-(根+2■+2根+1=0根的情况并说明理

由.

【答案】方程*-(机+2)x+2a+l=0有两个不相等的实数根，理由见解析

【分析】由方程f—(〃z+2)龙+2机+1=0没有实数根，可求出〃?<0,进而可得出方程公一(〃1+2)龙+2机+1=0

的根的判别式A>0,然后根据判别式的意义得出结论.

【详解】解：方程/一(加+2)X+2加+1=0有两个不相等的实数根，

理由：•.•方程x2-2x-〃z+l=0没有实数根，

A=(-2)2-4xlx(-m+l)<0,

解得：m<0,

方程x?—("?+2)x+2"?+l=0的根的判别式A=[―(〃z+2)]-4xlx(2〃z+l)=nr—4m>0,

/.方程f—(加+2)x++1=0有两个不相等的实数根.

【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当A〉。时，方程有两个不相等的实数根；②当△=()时，

方程有两个相等的实数根；③当A<0时，方程无实数根”是解题的关键.

类型二、分情况讨论(是否是二次方程)

例1J〃为何值时，关于x的方程s2+(2相+3)》+(m+5)=0有唯一的根，并求这个根.

597

【答案】当机=0时，兀=一£；当根=7时，％=一不

383

【详解】解：①当根=0时，原方程是一元一次方程，

3x+5=0,解得冗=-；；

②当加加时，原方程是一元二次方程，

9

由题意知，=(2m+3)9-4m(m+5)=0,解得机=7,

AO

Q914Q7

：.-x2+—x+—=0,解得％=——；

8483

57

综上所述，该方程的根为x=或》=-].

例2.(不需要讨论)关于的一元二次方程6^+云+°=0(°片0)：①若6=o+c,则方程必有两个不相等的

实数根；②若b=3a+2c,则方程必有两个不相等的实数根.正确的是()

【答案】②

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可.

222

【详解】解：©A=/7-4ac=(a+c)-4ac=(a-C)>0,则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误；

@A=b2-4ac=(3a+2c)2-4ac=9a2+4c2+8ac=4(a+c)2+5a2>0,则方程必有两个不相等的实数根，

故②正确.故答案为②.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于。时，有两个不同的实根；当判别式等

于0时，有两个相同的实根；当判别式小于。时，无实根.

【变式训练1】已知，关于x的一元二次方程-履2+©一2=0.

(1注取何值时，此方程有两个不相等的实数根？

(2)如果此方程的一个根为x=-l,求上的值和另一个根.

【答案】(1)左>2时，方程有两个不相等的实数根；(2)4=-6,另一个根为g

【解析】⑴解：：a=-左，6=4,c=-2,

/.6?—4ac=4?—4x(—左)x(-2)=16-8k.

16-8%〉0,解得%>2

所以，当左>2时，方程有两个不相等的实数根.

(2)解：把x=—1代入原方程得：—4—4—2=0,解得：k=—6.

设另一个根为巧，则-以马=亭-2=-：1，即1所以方程的另一个根为I：.

6333

【变式训练2]已知关于x的一元二次方程£-Qk+l)x+2左=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)记该方程的两个实数根为无1和%若以再，％，3为三边长的三角形是直角三角形，求左的值.

【答案】(1)见解析；(2)也或叵.

2

【解析】（1）证明：-.A=[-（2^+1）]2-4X2^=4左2+1+4左一8左=4左2—4左+1=（2左一Ip..。，

,无论左取何值，方程总有两个实数根.

（2）解：「公一（2左+l）x+2左=0,.1（x—2左）（x—1）=0.X[=2k,x2=1.

以再，%2,3为三边长的三角形是直角三角形，.•">（）.

当3为斜边时，则（2左y+F=32,解得左=a.

当然为斜边时，则（2左y=F+32,解得女=巫.

2

综上所述，%的值为血或半.

【变式训练3】已知关于x的方程/+2彳_“+1=0没有实数根，试判断关于>的方程/+砂+a=1实数根

的情况，并说明理由.

【答案】一定有两个不相等的实数根.理由见解析.

【分析】根据关于x的方程封+2工-。+1=0没有实数根，求出。的求值范围；再表示关于）的方程

222

y+ay+a=l,A2=a-4（a-l）=（a-2）,即可判断该方程根的情况.

【详解】解：•••方程/+2尤-q+l=0没有实数根，

A1=4—4（—a+1）=4av0,

/.a<0,对于关于>的方程：/+3+。=1,

A2=a2—4（a-1）=（Q-2）2,

a<0,

.•.（4-2）2>0,即4>o,

方程y2+做+a=I一定有两个不相等的实数根.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是

解题关键.

课后作业

1.关于龙的一元二次方程加2炉-4771X=T的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.根的情况与实数机的取值有关

【答案】B

【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答.

【详解】解：•••方程化为一般式为病尤2一4恤+4=0，

则A=（—4m）2—4x4xm2=16m2—16m2=0,

.♦•方程有两个相等的实数根.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键.

2.已知心》，c为常数，点尸（a,c）在第四象限，则关于尤的一元二次方程依?+法+。=（）的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

【答案】B

【分析】由点P（a,c）在第四象限，可得。>0,c<0,可得A=〃-4oc>0,从而可得答案.

【详解】解：：点尸（a,c）在第四象限，

<7>0,C<0,

二方程以2+法+C=0的判另U式A=/—4ac>0,

，方程加+6x+c=0有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点

为：（+,-）以及根的判别式的含义是解本题的关键.

3.己知关于x的一元二次方程f-（机+3.+3〃?=0,若等腰三角形的其中一边为4,另两边是这个方程的

两根，则优的值为（）

A.3B.4C.3或4D,不能确定

【答案】C

【分析】分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论.

【详解】解：当腰为4时，

把x=4代入x?-（M+3）X+3〃Z=0得，

16—4,九一12+3/%=0,

解得m=4；

当底为4时，贝|方程*一（〃?+3）%+3m=0有两相等的实数根，

A=Z?2—4ac=（7〃+3）2—4x3m=0,

-3『=0,

解得m=3,

综上所述，力的值为4或3.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程

症+法+。=0（力0）的根与A=〃_4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，

方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.

4.在平面直角坐标系中，若直线丫=-》+左不经过第三象限，则关于x的方程1一彳一左=o的实数根的情况

为（）

A.无实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

【答案】C

【分析】由直线解析式求得詹0,然后确定/的符号即可.

【详解】解:直线y=-x+左不经过第三象限，

>0,

.­.A=（-1）2-4X（-^）=l+4k>l,

关于x的方程1-x-左=0的实数根的情况为有两个不相等的实数根，

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程分2+bx+c=0（aw。）的根与A=62-4OC

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当△<（）时，

方程无实数根.

5.已知关于x的一元二次方程无2+6x+c=0的一个根是x=l，则方程尤2+6尤-c=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.有一个根是x=l

【答案】C

【分析】先将尤=1代入—+6x+c=0中求出c=-7,贝U一元二次方程f+6尤一c=0化为X2+6X+7=0,然

后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况.

【详解】解：把x=l代入/+6x+c=0得l+6+c=0,解得c=—7,

则一元二次方程d+6x-c=0化为炉+6了+7=0，

«A=6'—4xlx7=8>0,

一元二次方程d+6x-c=0有两个不相等的实数根.

故选：C.

［点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax1+bx+c=0（a丰0）的根与A=/-4℃有如下关系：当A>0

时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当△<（）时，方程无实数根.

6.若x=l是一元二次方程62—汝+2=0（。*0）的一个根，那么方程办2+6x+2=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有一个根是尸-1

C.没有实数根D,有两个相等的实数根

【答案】B

【分析】先将x=l代入以2-服+2=0（。二0）中得到。-3+2=0,再根据一元二次方程根的判别式进行求解

即可得出结论.

【详解】解：；x=l是一元二次方程ox?-6尤+2=0（。*0）的一个根，

■■a-6+2=0,即Z?=a+2,

对于方程at?+6x+2=0，

A=Z?2-4ax2=（a+2）—8a=（a-2）NO,

方程ax2+6x+2=0有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；

当x=-l时，ax2+bx+2=a-b+2=0，即x=-l是方程ax?+法+2=0的一个根，故选项B正确，符合题

意，故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握

一元二次方程办2+云+C=0根的情况与根的判别式A=62_4m的关系：当A>0时，方程有两个不相等的

实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实数根.

7.关于x的方程/+（相_1口一根=。（其中册是实数）一定有实数根吗？为什么？

【答案】一定有；理由见解析

【分析】根据根的判别式进行判断即可.

【详解】解：关于X的方程*+(〃Ll)x-机=。中，

a=1,b—m—1,c=~m,

△=Zr2—4ac—(m—1)"—4x(—m)=(m+1)2>0,

.♦•方程一定有实数根.

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程加+云+°=0("0)的根与八=廿_4*有如下关系：当

A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程无实数根.

8.己知关于x的一元二次方程幺-(«-3)%-加=0.

(1)求证：无论加为何值，方程有两个不相等的实数根.

(2)如果方程有一个实数根为。，求另一个实数根.

【答案】(1)证明过程见详解

⑵方程的另一个实数根为x=-3

【分析】(1)运用根的判别式即可求解；

(2)把一个实数根为0代入方程，可求出优的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解.

【详解】(1)证明：关于x的一元二次方程公-(加一3)1一加=0中，。=1,6=-(九-3)=3-=,

：.A=b2-4ac=(3-m)2,整理得,A=-2m+9=(m-1)2+8>0,

.•.无论机为何值，方程有两个不相等的实数根.

(2)解：：方程有一个实数根为0,

02-(m-3)x0-m=0,解得，m=0,

原方程得，X2+3X=