北师大版八年级数学常见题型专练：实数全章复习与测试（解析版）

第2章实数全章复习与测试

d【知识梳理】

一、平方根和立方根

类型

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±4ay[a

一个正数有两个平方根，且互一个正数有一个正的立方

为相反数；根；

性质零的平方根为零；一个负数有一个负的立方

负数没有平方根；根；

零的立方根是零；

(右尸=a(a>0)(V^)3=a

重要结论77=|«|=|a(a-0)—a

[-a(a<0)\!~a二-y[a

二、实数

有理数和无理数统称为实数.

i.实数的分类

‘正有理数,

有理数0有限小数或无限循环小数

实数［负有理数

无理数建髭无限不循环小数

要点诠释：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限

循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如石，4历等；

②有特殊意义的数，如加

③有特定结构的数，如0.1010010001…

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点--对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

(1)任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|20；

(2)任何一个实数。的平方是非负数，即/2o；

(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即血'NO(«>0).

非负数具有以下性质：

(1)非负数有最小值零；

(2)有限个非负数之和仍是非负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数a的相反数是一a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是

0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如G(a20)的式子叫做二次根式，如6,出,回位,n等式子,都叫做二次根式.

要点诠释：二次根式&有意义的条件是a20,即只有被开方数时，式子G才是二次根式，

4a才有意义.

2.二次根式的性质

⑴>0(a>0)；

⑵(点)=a(a>0)；

a(a>0)

(3)=|a|='

-a(a<0)

要点诠释：(1)一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即。=(、后产(«>0)，如

2=(0)2;g=(Jg)2;x=(W)2(x>0).

(2)中。的取值范围可以是任意实数，即不论。取何值，一定有意义.

(3)化简时，先将它化成同，再根据绝对值的意义来进行化简.

(4)C与(&)2的异同

不同点：中。可以取任何实数，而(、7)2中的。必须取非负数；

=,(Va)2=a(a>0).

相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，J/=(G)2.

3.最简二次根式

1)被开方数是整数或整式；

2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如也,疯,3«,，4+加等都是最简二次根式.

要点诠释：最简二次根式有两个要求：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中每个因式的指数都小

于根指数2.

四、二次根式的运算

1.乘除法

(1)乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式:

二次根式的乘法yjax4b=y[ab(a>0,/?>0)

y[ab=4ax4b（a>0,/?>0）

_商的算术平方根化简公式：

二次根式的除法R=%aN0,b>0）gr

心网《喘（ao）

要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如

a4b-c4d^acyfbd.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如

J（T）义（-9）丰\/-4x.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类

二次根式.

要点诠释：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次

根式.如行+3后—5亚=（1+3—5）忘=—

【考点剖析】

一.平方根（共2小题）

1.（2023•常德三模）W5的平方根是（）

A.4B.+4C.±2D.2

【分析】根据平方根的定义，求数。的平方根，也就是求一个数x,使得了=。，则x就是。的平方根,

由此即可解决问题.

【解答】解：京=4,4的平方根是±2.

故选：C.

【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负

数没有平方根.

2.（2023春•滨城区期中）已知：2〃计1和相-4是正数。的两个平方根，则a-%的值是8.

【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，由此即可计算.

【解答】解：•:29+1和机-4是正数a的两个平方根,

2m+l+m-4=0,

••in1f

.*.2m+l=2X1+1=3,

.•・〃=9,

'.a-m=9-1=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查平方根的概念，关键是掌握平方根的定义.

二.算术平方根（共2小题）

3.（2023春•汉阳区期末）若3a-22和2a-3是实数机的平方根，则/I的值为（

A.工B.工C.—D.工

753519

【分析】根据平方根的性质可知，3a-22和2a-3互为相反数，即可求解.

【解答】解：根据平方根的性质可知，3a-22+2。-3=0,

解得4=5,

二.3〃-22=-7,

，，〃=（-7）2=49,

・噂号

故选：A.

【点评】本题考查了平方根的性质，解题的关键是掌握平方根的性质.

4.（2023•韩城市一模）9的算术平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.±73

【分析】根据算术平方根的定义求解即可.

【解答】解：9的算术平方根是3,

故选：A.

【点评】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.

三.非负数的性质：算术平方根（共3小题）

5.（2023春•常州期末）已知贝Ua+b的值是（）

A.1B.3C.5D.6

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a,6的值，进而得出答案.

【解答】解：：忑=0，

.*.a-3=0,2-b=O,

解得：a=3,b=2,

•・5.

故选：C.

【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出。，b的值是解题关键.

6.（2023春•雷州市校级期中）若|x-3I+Vy+4=0.则（x+y）2的值为（）

A.-1B.-2C.2D.1

【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加和为0,这两个非负数的值都为0"解出x、y的值，再把

x、y的值代入求解.

【解答】解：根据题意得：|xT=0,

ly+4=0

解得：fx=3,

ly=-4

贝!!（尤+y）2=（-1）2=1.

故选：D.

【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.

7.（2022秋•成都期末）若无，y为实数，且（尤-1）2与出厂6互为相反数,则/+F的平方根为（）

A.±弧B.V5C.±5D.土娓

【分析】直接利用非负数的性质得出尤，y的值，进而利用平方根的定义得出答案.

【解答】解：：（尤-1）2与也V-6互为相反数,

（x-1）2+V3y-6=0,

Ax-1=0,3y-6=0,

解得：x=l,y=2,

则/+/=12+22=5,

故/+/的平方根为：土通.

故选：D.

【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义，正确得出力y的值是解题关键.

四.立方根（共2小题）

8.（2023春•大兴区期末）如果力2.374.333,%23.742.872,那么%2370约等于（）

A.28.72B.0.2872C.13.33D.0.1333

【分析】根据立方根，即可解答.

【解答】解：：轲7方-1.333,

•••%2370=施.37X1000.1.333X10=13.33.

故选：C.

【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.

9.（2023•榆阳区二模）的立方根为（）

27

A.-LB.工C.--D.工

3399

【分析】直接根据立方根的定义解答即可.

【解答】解：•••（-工）3=-工，

327

-工的立方根为-1.

273

故选：A.

【点评】本题考查的是立方根，熟知立方根的定义是解题的关键.

五.计算器一数的开方（共1小题）

10.（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如y,有些数则不能

直接求得，如泥，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得,

请同学们观察表：

n0.00160.16161600160000・・・

Vn0.040.4440400・・・

（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小

数点就向向左或向右移动1位;

（2）运用你发现的规律，探究下列问题：

①若43.65公1.910,V36.5^6.042,则S6500Z604.2

②已知/心0.000365,则±0.0190.

【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；

（2）根据（1）中的规律解答即可.

【解答】解：（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左

或向右移动1位，

故答案为：向左或向右，1;

（2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位，

•.”36.5"6.042,

•*•7365000=604.2；

②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位，

•.”3.65日1.910,0.000365,

又•.•一个正数的平方根有两个，

.,.x=±Vo.000365=±0.0190.

故答案为：①604.2；②±0.0190.

【点评】本题考查了算术平方根，平方根以及规律型一数字的变化类，找出被开方数的小数点的移动规

律是解题的关键.

六.无理数（共2小题）

11.（2023春•梁平区期中）在下列各数：3.14,-it,娓,小、爷二加7中无理数的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有TT的数，找出无理数.

【解答】解：无理数有-IT,通,小共3个.

故选：B.

【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如

等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③字母，如IT等.

12.（2022秋•衡山县期末）在实数骂，-述，—,我，3.14中，无理数有（）

72"己

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案.

【解答】解:-娓,卫是无理数，

故选：B.

【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数.

七.实数（共2小题）

13.（2023春•东昌府区期中）在实数4,返，轲，0,二1中，有理数有（）

52

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据有理数的意义，即可解答.

【解答】解：在实数❷，遍，如，0,二1中，有理数有乡,£0,共有3个，

525

故选：C.

【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数的意义是解题的关键.

14.（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：

-2.4,TT,2.022,-0.15,0,-10,-1.1010010001-.

3

整数集合：｛0,-10）；负分数集合：｛-2.4,-改，-0.15）；

3

正实数集合：｛TT,2.022｝；无理数集合：｛TT,-1.1010010001…）.

【分析】实数包括有理数和无理数；整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数，据此进行分

类即可.

【解答】解：整数集合：0,-10；

负分数集合：-2.4,2，-0.15；

3

正实数集合:m2.022；

无理数集合：IT,-1.1010010001-；

故答案为：0,-10；-2.4,-辿，-0.15；TT,2.022；n,-1.1010010001-.

3

【点评】本题考查实数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

八.实数的性质（共2小题）

15.（2021秋•莱西市期末）已知正数a的两个平方根分别是2x-3和1-尤，正瓦■与加彘■互为相反

数.求°+26的算术平方根.

【分析】由正数的两个平方根互为相反数，得2x-3+l-尤=0,由孙石与印足有互为相反数，得1-

2Z?+（3b-5）=0,即可求解.

【解答】解・・・：正数a的两个平方根分别是2%-3和1-羽

2x-3+(1-x)=0,

••%--2,

'.a—(1-x)2=(1-2)2=1,

•••?l-2b与刃3b-5互为相反数，

Al-2b+(3b-5)=0,

.*.Z?=4,

/.a+2b=1+2X4=9,

：.a+2b的算术平方根是3.

【点评】本题考查平方根，算术平方根，相反数的概念，关键是掌握这些概念的性质.

16.(2021秋•射阳县校级期末)已知实数°、b互为相反数，c、d互为倒数，尤的绝对值为西,

求代数式(a+b+cd)x+7a+b-玉行的值.

【分析】根据题意可得a+b=0,cd=l,x=±7,然后代入代数式求值即可.

【解答】解：J而=7,

「a、6互为相反数，

/.。+6=0,

♦.7、d互为倒数，

••cd=1,

Vx的绝对值为西.

.*.%=±7,

当x=7时，

原式=(0+1)X7+V0-V1

=7-1

=6,

当x=-7时，

原式=(0+1)X(-7)+Vo-V1

=-7-1

=-8,

.••所求代数式的值为6或-8.

【点评】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0,倒数积为1.

九.实数与数轴（共1小题）

17.（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和、历的对应点分别为4、

8,点8到点A的距离与点C到点。的距离相等，设点C所表示的数为x.

（1）请你写出数尤的值；

（2）求（x-料）2的立方根.

---„I-----•C--------«A-----B•>

°142

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；

（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可.

【解答】解：（1）:点A、8分别表示1,近,

：.AB^yf2-1，即尤=&-1;

（2）Vx=V2-b

二原式=（x-&）2=（点-1"历）2=r

1的立方根为1.

【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键.

一十.实数大小比较（共2小题）

18.（2022秋•海口期末）比较2&,3,的大小，正确的是（）

A.V7<3<2A/2B.26<A/7<3C.W<2近<3D.2让<3<夜

【分析】分别算出2&,V7,3的平方，即可比较大小.

【解答】解：（W^）2=8,32=9,（V7）2=7-

V7<8<9,

-,.V7<2V2<3,

故选：C.

【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是先算出3个数的平方，即可比较大小.

19.（2023春•龙子湖区期中）比较大小：娟-1>工（填

33

【分析】首先确定通-1与1的大小，进行比较即可求解.

【解答】解：；4<5<9,

/.2<^5<3,

/.1<V5-1<2,

•遍-1、1

s-3,

故答案是：>.

【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比

较被减数的大小.分母相同时，分子大的大.

一十一.估算无理数的大小（共2小题）

20.（2023春•合江县期中）绝对值小于/所的所有正整数的和是10.

【分析】根据无理数的估算方法得到4<亚<5,即的整数部分是4,由此得到正整数值，得到

答案.

【解答】解：；16<21<25,

4<V21<5,

绝对值小于我I的所有正整数有1,2,3,4,

...和为10,

故答案为：10.

【点评】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键.

21.（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a,则。（a+4）=3.

【分析】先根据近的范围求出。的值，代入后进行计算即可.

【解答】解；：2<夜<3,

:.a=S-2,

.\a（a+4）

=（V7-2）（77-2+2）

=（V7-2）（V7+2）

=7-4

=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求

出a的值.

一十二.实数的运算（共3小题）

22.（2023春•东莞市期中）计算：74-（V3-2）+（-l）2023.

【分析】根据实数的混合运算法则计算即可.

【解答】解：V4-(V3-2)+(-l)2023

=2-^3+2-1

='3~\13•

【点评】本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌

握运算法则进行解题.

23.(2022秋•泰兴市期末)(1)计算：|3-冗|(-3)2；

(2)求3(x-1)3=81中的x的值.

【分析】(1)先计算二次根式与绝对值，再计算加减；

(2)通过变形后运用开立方进行求解.

【解答】解：(1)79+|3-兀|-V(-3)2

=3+n-3-3

=ir-3；

(2)两边都除以3,得

(x-1)3=27,

开立方，得x-1=3,

解得x=4.

【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算.

24.(2022秋•亭湖区期末)计算：洞

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

【解答】解：V27Wi6-V(-2)2

=-3+4-2

=-1.

【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

一十三.二次根式的定义(共1小题)

25.(2023春•庐阳区校级期末)下列式子中，一定是二次根式的是()

A.V-2023B.我C.帆D.Va

【分析】形如心（。、0）的式子即为二次根式，据此进行判断即可.

【解答】解：--2023不符合二次根式定义,

则A不符合题意；

78=272，符合二次根式的定义，

则8符合题意；

我不符合二次根式定义，

则C不符合题意；

当a<0时，通不符合二次根式定义，

则。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

一十四.二次根式有意义的条件（共1小题）

26.（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式45x-2在实数范围内有意义,则无的取值范围是（

A.T上B.C.D.尤wZ

5L555

【分析】根据二次根式有意义的条件可得5x-220,再解不等式即可.

【解答】解：由题意得：5x-220,

解得：无

5

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

一十五.二次根式的性质与化简（共3小题）

27.（2023春•合肥期末）化简兀+兀2的结果是（）

A.3-HB.3+冗C.-3-nD.-3+n

【分析】先利用完全平方公式将原式变形，然后根据值=间=•:进行化简即可.

【解答】解：原式=d（3-兀产

=135

(3-71)

=-3+m

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的化简，先将原式化为J(3.兀)2是解题的关键.

28.(2022秋•开福区校级期末)在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定

义为“运算”和“X运算”.其中L(a)=aHa2-2021，X(a)=aWa2-2021•为了使二次根式有

意义，我们规定a为实数，且满足/N202L

(1)求证：L(a)・X(a)=2021；

(2)若实数x满足L(x)=43,求x的值；

(3)已知实数x,y满足乙(x)吆(y)=2021,f为任意实数,求代数式Y(2x-y+t)(x-2y+t)-t+2024

的最小值.

【分析】⑴只需要证明人“-2021)(a+“2-2021)=2021即可;

(2)根据题意可得方程x_43=dx2-2021，解方程即可得到答案；

(3)由⑴得L(x)X(x)=2021,L(y)X(y)=2021,再由L(x)L(y)=2021,得到L(y)

—X(x),L(x)—X(y),由此推出x-y=0,7=y=2021,进而得到J(2x-y+t)(x-2y+t)-t+2024

=J(t-y)+"学'由得至！J(tf)2+■早■据止匕求解即可.

【解答】解：⑴证明：,-，L(a)=a-Va2-2021'X(a)=a+7a2-20211

•••L(a)X(a)=(a-Va2-2021)(a+Va2-2021)

=a2-(“2_2021户

=a2-(a2-2021)

=a2-屋+2021

=2021；

⑵VL(X)=X-VX2-2021=43)

•••X-43=VX2-2021’

：.（X-43）2=7-2021,

Ax2-86x+1849=7-2021,

解得x=45；

(3)由(1)知L(x)X(无)=2021,L(y)X(y)=2021,

'：L(x)L(y)=2021,

:.L(y)—X(x),L(x)—X(y),

X+VX2-2021=y-Vy2-202rx-Vx2-2021=yWy2-202V

222

x-y=-Vy-2021-Jx2-2021，x-y=Vy-2021+^x-2021'

•・％-y=0,

•',Vy2-2021+4x2-2021=0，

vVy2-2021>0,VX2-2021>0)

AVy2-2021=0,7X2-2021=0'

/./-2021=0,x2-2021=0,

.•・/=y=2021,

/.V(2x-y+t)(x-2y+t)-t+2024

=V(2x-x+t)(x-2x+t)-t+2024

=V(x+t)(-x+t)-t+2024

=Vt2-x2-t+2024

=Vt2-t-2021+2024

=Vt2-t+3

V(2x-y+t)(x-2y+t)-t+2024~2,

N(2x-y+t)(x-2y+t)-t+2024的最小值为名L

【点评】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，解无理方程，非负数的性质，掌握相

应的运算方法是关键.

29.（2022秋•永定区期末）阅读下列例题.

在学习二次根式性质时我们知道（立）2=@（a>0）

例题求再乐'的值.

解：设x=V3+V5W3W5，两边平方得：X?=（V3+V5）2+（VsW5）2+2V（3+V5）（3-V5），

即x2=3+\/^+3f/^+4,7=10

.,.尸±Vi0.

V3W5+V3-V5>0,V3W5+V3W5=Vio.

请利用上述方法，求而万+V4-V7的值.

【分析】根据题意给出的解法即可求出答案.

【解答】解：根据题意，设尤=而万+、展万，

两边平方得：/=（VW7）2+（V4-V7）2+2（VW?xVW7）,

/=4+'万+4-'々+2XV16-7，

即?=4+77+4-、万+6,

/=14,

.*.x=±V14»

••,V4W7+V4-V7>0,

：,x=\14.

【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键.

一十六.最简二次根式（共1小题）

30.（2023春•路北区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.患B.A/75C.V12D.725^

【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案.

【解答】解：A、患=与，故不是最简二次根式，不合题意；

B、J后，是最简二次根式，符合题意；

C、412=2\[3,故不是最简二次根式，不合题意；

D、425a=5底,故不是最简二次根式，不合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键.

一十七.二次根式的乘除法（共3小题）

31.（2023春•兴县期中）若后二成立，则（）

V6-xv6-x

A.x<6B.0WxW6C.GOD.0Wx<6

【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答即可.

【解答】解：要使皿==\二成立,

V6-x

则（x>\,

I6-x>0

解得：0Wx<6,故Z）正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数大

于等于0,分式的分母不等于0.

32.（2023春•密云区期末）计算：2立义^.如.

【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可.

【解答】解：原式=2加义百巨义返

23

=76x72x73

=6.

【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键.

33.（2022秋•零陵区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式

子的平方，如：3+2&=1+2&+2=（1+&）2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+b&=（m+n

A/2）2（其中a、b、m、〃均为整数），贝!]有.*.a=//72+2w2,b=2mn.这样小

明就找到了一种把部分a+b&的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、w均为正整数时，若a+bj^=（m+nyf^）2>用含机、w的式子分别表示。、6的值;

（2）试着把7+4，、旧化成一个完全平方式.

【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案；

（2）利用完全平方公式将原式变形得出答案.

【解答】解：（1）:a+bM=（m+〃«）2,

/.a+bj^=川+2mn+3n2,

（2）7+4'禽=4+4\巧+3=（2+Vs）2.

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除以及完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题关键.

一十八.二次根式的加减法（共2小题）

34.（2023春•吉林月考）计算：V4+V8-V2.

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：V4+V8-眄

=2+2V2-V2

=2-+V2.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式,

再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键.

35.（2023春•抚松县期中）计算：-y75-9^^W48,

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：原式=5«-3«+4«

=6正.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式,

再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键.

一十九.二次根式的混合运算（共2小题）

36.（2023春•宿城区期末）计算：）XV2

【分析】先进行乘法的运算，化简运算，再进行加减运算即可.

【解答】解：西函）X点-4^

=2&又如+'眄又如-4乂巫L

=4+遍-2A/6

=4-V6.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

37.（2023春•海林市校级期中）（1）观察下列各式的特点:

V2-1>V3-V2,

V3-V2>2-V3,

2-V3>V5-2,

V5-2>V6-V5,

…根据以上规律可知：V2021-72020^^72022-V2021（填“>”或“二"）.

（2）观察下列式子的化简过程:

万T=（加+1）（6-1）42-1'

1__________圾/历T%

风通:电啦）g-近尸弋，

__1______________________=V4-V3

V4W3-（V4W3）（V4-V3）77

根据观察，请写出式子（wN2,且〃是正整数）的化简过程.

（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式:

172+1-V3+V2"'V3+V2-V4+V3卜F+W代式"+l<100+V99W101+V1001-

【分析】（1）利用题目中的几个不等式的大小的规律求解;

（2）利用分母有理化进行化简；

（3）先分母有理化，再去绝对值，然后合并即可.

【解答】解：（1）vV2021-V2020>72022-V2021；

故答案为：>;

（2）=产__=4-布五（〃22,且“是正整数）;

Vn+Vn-1Wn+vn-1）（Vn-Vn-1）

（3）原式=iV^-1-（V3-V2）1+1V3-V2-（V4-l+lV4-Vs-（Vs-V4）|+,+lV100

-V99-（V101-V100）1

=（V2-1）-（V3-V2）+（V3-V2）-（A/4-V3）+（V4-V3）-（V5-V4）+•+（V100

-V99）-（V101-/ioo）

=M-1-Tiol+io

=V2+9-VToi.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和分母有理

化是解决问题的关键.

二十.二次根式的化简求值(共2小题)

38.(2023春•泰安期中)(1)当a=3-2加时，求代数式a+24a2-6a+9的值•

(2)当a=3+2加，b=3-2&，求代数式/-3"+户的值.

【分析】(1)先判断出。-3的符号，再把二次根式进行化简即可；

(2)把原式化为(a-b)2-g的形式，再把a,b的值代入进行计算即可.

【解答】解：(1)：a=3-2&,

：.a-3=3-2A/2-3=-2近＜0,

''a+sVa2-6a+9

=«+27(a-3)2

=a+2(3-。)

=〃+6-2a

=6-a,

=6-(3-272)

=6-3+2近

=3+2&；

(2)；a=3+2亚，b=3-2V2-

：.a-6=3+2近-3+2^2=4/2f(3+2扬(3-2&)=1

a2-3ab+b2

=(〃-Z?)2-ab

=(4V2)2-1

=32-1

=31.

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

39.(2023春•梁山县期中)阅读下面的文字，解答问题:

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此近的小数部分我们不可能全部写出来，于是

小明用&-1来表示的的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，

因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：•••«</?即

2<近<3.的整数部分为2,小数部分为（巾-2）.

请解答：

（1）行的整数部分是4,小数部分是

（2）如果的小数部分为°,百5的整数部分为6,求a+b-遥的值.

【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；

（2）估算无理数遥，，石的大小，确定°、6的值，再代入计算即可.

【解答】解：（1）vVi6<Vi7<V25.即4<近7<5,

•••的整数部分为4,小数部分为-4,

故答案为：4,V17-4；

（2）V2<V5<3,3<V13<4,

.,•遥的小数部分a-后-2，03的整数部分6=3,

a+b-V5=V5_2+3~V5=1，

答：a+b-J^的值为1•

【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解不等式的性质是

得出答案的关键.

V【过关检测】

一、单选题

1.下列各数中，是无理数的是（）

A.--B.J-C.2万D.0.232332333

3\4

【答案】C

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.

【详解】解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意；

B、、口是有理数，不是无理数，不符合题意；

V42

C、2%是无理数，符合题意；

D、0.232332333是有理数，不是无理数，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含万

类,如2万，?等；②开方开不尽的数，如企,狗等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如

0.1010010001...（两个。之间依次增加1个0）,0.212H21112…（两个2之间依次增加1个1）等.

2.估计⑺+4的值（）

A.在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间

【答案】B

【分析】利用逼近法先估算出旧位于哪两个整数之间，再利用不等式的性质确定将+4位于哪两个整数

之间即可.

【详解】解：〈币〈邪,

02<77<3,

B6<V7+4<7.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握逼近法是解题的关键.

3.如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）

B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可

得.

【详解】解：大正方形的边长为7^而=加，

­,•16<18<25,

V16<V18<V25,即4<屈<5,

X-1•5-VT8-(5/18-4)=5-718-718+4,

=9-2718,

=2x(4.5-718),

=2X(720.25-A/18)>0,

.-.5-A/18>V18-4,

••・与至最接近的整数是4,

即大正方形的边长最接近的整数是4,

故选：B.

【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键.

4.下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③任何实数都有立方

根；④J语的平方根是±4,其中正确的个数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】①根据无理数与数轴的关系即可判定；

②根据无理数的定义即可判定；

③根据立方根的定义即可判定；

④根据平方根的定义即可判定.

【详解】解：①所有无理数都能用数轴上的点表示是正确的；

②带根号的数不一定是无理数，如〃=2,原来的说法是错误的；

③任何实数都有立方根是正确的；

0716=4,4的平方根是±2,原来的说法是错误的.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了实数中无理数的概念，平方根，立方根的概念.有一定的综合性.

5.BABC的三边长a,b,c满足后二？+(b-12)2+|c-13|=0,则MBC的面积是()

A.65B.60C.30D.26

【答案】C

【分析】首先根据非负数的性质可得。5=0,6-12=0,c-13=0,进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆

定理证明AA8C是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可.

【详解】解:07^5+(^-12)2+|c-131=0,

0。-5=0,6-12=0,c-13=0,

Ekz=5,b=12,c=13,

052+122=132,

fflABC是直角三角形，

171

EISAABC=—a-b=一x5x12=30.

22

故选：c.

【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a,b,c满

足次+乂=/,那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出°、6、c的值是解题的关键.

6.若J^+|y+7|+(z-7)2=0,贝ijx-y+z的平方根为()

A.+2B.4C.2D.+4

【答案】D

【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x,y,z,算出代数式的值计算即可；

【详解】团Jx—2+|y+7]+(z—7)2=0,

%-2=0

团＜y+7=0,

z—7=0

'x=2

解得＜y=-7，

z=7

团x-y+z-2-(-7)+7=16,

田±后=±4;

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键.

7.已知/—1-1b+2=0,则ob—()

A.1B.-