北京市某中学2024届高三年级下册开学检测数学试题（解析版）

北京市东直门中学2023-2024学年度第二学期开学检测

局二数学

2024.2

考试时间：120分钟总分：150分

班级姓名学号

第一部分（选择题，共40分）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一

项）

1,已知全集°={-1°423},集合人满足令"={。/，3},则A=（）

A,{0,2}B.{-1,2}C.{-1,0,2}D.{0}

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集概念进行求解.

【详解】因为。={—1,0,1,2,3},又电4={0,1,3},所以A={-1,2}.

故选：B.

2.复数2i=a+3i,z2=-4+bi,其中。，6为实数，若z+z2为实数，z-z2为纯虚数，贝

（）

A.-7B.-6C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】由复数运算和分类可解.

【详解】由题意4+z2=a—4+（3+Z?）i,z1—z2=a+4+（3—Z?）i,

因为Z]+Z?为实数，Z]-Z2为纯虚数,

3+b=0rb=-3

所以a+43得

«=T

所以a+/?=—7.

故选：A.

3.已知二项式（2x-l）”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则”为（

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知，二项式的展开式共7项，即可求出”的值.

【详解】因为二项式（2%-1）"的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，

则二项式（2x—l）”的展开式共7项，即〃+1=7,解得”=6.

故选：A.

4.设。为.ABC所在平面内一点，AC=4,BC±AC,CD=^AC,则0A.A5=（）

A.20B.-20C.12D.-12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出D4=-°AC,AB=AC+CB^利用平面向量数量积的运算性质可求得

4

DAAB的值.

【详解】CD=^AC,，加=—BCLAC,则ACBC=0，

44

5（\5255,

因此，DAAB=--AC（AC+CB\=--AC--AC-CB=--x42=-20.

4'>444

故选：B.

47r

5.若a=1.1.力=logozO.B,c=tan^-,贝1J（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数函数，指数函数的单调性判断与0,1的大小关系，利用三角函数在各象限的符号依次判

断即得.

【详解】4=1.1°」>1.1°=1，

由y=log02x是减函数得log021<log020.3<log020.2,即0<)<1,

「、，兀4兀〜，，4兀八

因为一<—<71，所以c=tan—<0，

255

所以c<b<a.

故选:B.

6.如图，在棱长为2的正方体ABC。-44Gol中，点P在截面上（含边界），则线段AP的最小值

等于（）

A.-B.C.72D.显

333

【答案】B

【解析】

【分析】利用等体积法求得正确答案.

【详解】设A到平面的距离为〃，

^=^=^5=272,5^^=1x272x272xsin|=2^/3,

Ai-ABD=匕»8，?生2义2卜2=32品丸，

解得丸=冬8,所以线段钎的最小值等于友L

33

故选：B

7.已知，15C的内角A,B,C的对边分别为。，b,C,若a,b,C成等比数列，且。=则

2

cosA=(

,_3R5A/2„£n572

4828

【答案】B

【解析】

【分析】由题目条件可得y=一。2,再利用余弦定理代入求解即可.

2

1,1,

【详解】因为。b,c成等比数列，得尸="，且。=—c,得廿=—。2,由余弦定理,

22

17212

b1+C1-a12。+。一4。5四

COSA=-----------------------=------------7=---=----

2bcc68■

2x—c-c

2

故选：B

8.直线%+丁+人=。与圆。：（尤+1）2+（丁—1『=5有公共点的一个充分不必要条件是（）

A.回-厢，啊B.Z?e［-A^0,+oo］

C.be^-\/10,A/10^D.Z?e^-A/10,+coj

【答案】C

【解析】

【分析】先根据直线与圆有公共点求出6的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】C:（x+l『+（y—1『=5的圆心。（—1,1）,半径r=6.

I—1+1+Z?|\b\

圆心到直线1+y+Z?=O的距离d=

#+12V2

因为直线%+丁+6=0与圆有°：（%+1）2+（丁—1）2=5公共点，

所以dWr,即*《括，解得—记.

于是，区间［一厢,的任何一个真子集是直线x+y+6=0与圆C:（x+l『+（k1『=5有公共点的

一个充分不必要条件.

则四个选项只有C选项是区间［-瓦，布］的真子集，所以C正确.

故选：C.

22

9.已知双曲线C:，-1=1（。>08>0）的右焦点为尸，过产且与一条渐近线平行的直线与。的右支及另

ab

一条渐近线分别交于瓦。两点，若FB=BD，则C的渐近线方程为（

A.y=±2xB.y=+y/3xC.y=±xD.y=±42x

【答案】c

【解析】

b

y=-（x-c）z、

【分析】设直线+（x—c）,5（%,%），■%,%），由a,得到D,再根据

b122aJ

y=——x

、a

（bc\22

条件得出同不，一丁，代入方程=-1=1,即可求出结果

22

【44a）ab

bb

【详解】易知C的渐近线方程为丁=±±工，不妨设直线BD：y二=-（x-c）,6（冷%）,£>（%2，%），

a

b

>=一（％一。）

联立方程得/7,，解得马=c上，％=—D竺C，所以。

（2?2a）

—X22a

、a

/_C=5_X]

—•-cbe得到《J,

又FB=BD，而FB=（X「GK），皿=丁斗，一五一弘）,be

yi=-^--%

[2a

解得玉=1c，x=_午，故代入：__斗=1「

22

44ak44aJab

9c2c2c2[，解得2=1，

得3-2=1，得到二=2,又02=1+32,得到2=1+

16a16aaaa

故所求C的渐近线方程为y=±*，

:

7K

故选：C.

10.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造,

可以不断形成新的数列.现对数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,

2；…依次构造，记第w（neN*）次得到的数列的所有项之和为北，则刀=（）

A.1095B.3282C.6294D.9843

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，得到第〃次构造后数列的和与第〃+1次构造后数列的和的关系，再求出数列

{1}的通项即可.

【详解】设第〃次构造后得的数列为1,和々，•••，/，2,则＜=3+%+々++々，

则第〃+1次构造后得到的数列为14+西,石,石+々,马，・+2,2,

于是＜+1=6+3（为+-+与）=6+3（〈一3）=3。一3,7]=6,

33339

显然&「5=3（1-”TO7；--=6--=-,

3Q39空+i4a

因此数列区―卞是以万为首项，3为公比的等比数列，则（―1=：X3"T,即＜=二^二，

38+3

所以7；=--------=3282.

72

故选：B

【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数

列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

2r-1

11.不等式——＜0的解集是.

%+4

【答案】[一4,g]

【解析】

【分析】利用分式不等式的解法列不等式组求解即可.

2y_1

【详解】‘一＜0等价于（2x—l）（x+4）＜0,

x+4

解得：—4＜%＜工，

2

所以不等式生。＜0的解集为|-4,^

x+4I2；

故答案为：

12.设尸为抛物线C：必=16＞的焦点，直线/：y=-l,点A为C上任意一点，过点A作AP，/于

p,则||4可一M曰=.

【答案】3.

【解析】

【分析】设点A坐标为(%，%)，利用抛物线的焦半径公式可得|AE|=%+4，由点到直线的距离公式可

得IAP|=%+1,代入卜丹—仙耳即可得解.

【详解】由必=16＞可得焦点坐标为/(0,4),准线方程为y=-4,设点A坐标为(毛,%),由抛物线的

定义可得|AE|=%+^=%+4，

因为过点A作AP，/于尸，可得|AP|=y0—(―1)=%+1,

所以MH—|A川=|%+1—(%+4)|=3.

故答案为：3.

13.将函数/(x)=cos0x-图象上所有点的横坐标缩短为原来的|,,纵坐标不变，再将所得图象向

左平移“个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(—x)—g(x)=0,则写出。的一个可能值为.

JT

【答案】—(答案不唯一)

16

【解析】

【分析】利用给定变换求出函数g(x)的解析式，再结合函数的奇偶性列式计算求出a的值，取其一即得.

【详解】将/(x)=cos[3x-图象上所有点横坐标缩短为原来的；，，纵坐标不变，得到函数

/(x)=cos[4x—：)勺图象，

JT

再将所得图象向左平移a个单位长度，得到函数g(x)=cos(4x+4a—-)的图象，

4

由8(-力一8(%)=。得函数且(£)为偶函数，

则4a—二=碗(左eZ),解得”=如+±(左eZ),令人=0,可得。的一个值为2.

41/416V716

jr

故答案为：—(答案不唯一).

16

2工^>0

14.已知函数/■(%)=〈；—’则行)的单调递增区间为_________；满足|/(%)|<4、1()4的整数解

[一%,x<0,

的个数为.(参考数据：1g2«0.30)

【答案】①.(―8,+8)②.215

【解析】

【分析】第一个空，作出了(%)的图象，由图可知“X)的单调递增区间；第二个空，分xNO和尤<0两种

情况解不等式.

【详解】作出/(力的图象，由图可知，/(%)的单调递增区间为

当无之0时，/(X)|=|21=2X<4XK)4,解得％<log2(4xl04),即》<2+蓝/15.3,

所以0Wx<15.3,

当x<0时，|/(刈=卜/卜尤2<4xl04,解得—200<x<0,

故满足I/(x)|<4xl04的整数解的个数为215.

故答案为：(一",+e)；215.

15.如图，3x3的正方形纸片，剪去对角的两个1x1的小正方形，然后沿虚线折起，分别粘合A2与

ED与EF,CB与CD,GF与GH,得到一几何体Q,记Q上的棱AC与EG的夹角为a,则下列说法正确

的是.

①几何体2中，CGXAE；

②几何体。是六面体；

2

③几何体a的体积为§；

c4

④COS«=

【答案】①③④.

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理可得CGL平面MVE,进而判定①正确；证得48,平面CBG,同理

平面C8G,从而判定该几何体为四面体，故②错误；看成以CBG为底面的两个棱锥的和，计算体积可判定

③正确；利用中位线找到异面直线所成的角，利用余弦定理计算，可判定④正确.

【详解】如图所示，取AG,CG,CE,EG的中点、M,N,O,P连接AN,EN,MN,ON,OB,MPQPQM.

由已知可得CE=CA=EG=AG=旧,

：.AN.LCG,NE±CG,

又,：ANCNE=N,

；.CG_L平面ANE,

J.CGLAE,故①正确；

•：AB±BC,AB±BG,CBG,同理2E_L平面CBG,

.,.面NC8与面C8E共面，面NG8与面G8E共面，AB马BE共线,

该几何体为四面体，故②错误；

,:BC=BG=l,CG=yli，

...△CBG为直角三角形，ZCBG=90°,

S——x1x1——

rCRBrG22

又平面CBG,AE=2AB=2BE=4,

112

该几何体的体积为V=—义一x4=—,故③正确；

323

MP=2,OP=-CG=—,

22

^：MP//AE,0P〃CG,CGL4E,

：.MP±OP,

工MO=y/MP2+PO2=叵,

2

ON=NM=LAC

2

5518

一-i------------

ON?+NM?-OM?4

cos/ONM=444

2ONxNMc5

2x—5

4

又〈AC〃MN,EG〃NO,.•./。加为异面直线/。,石6所成的角或其补角,

4

/.cosa=—.故④正确.

5

故答案为：①③④.

【点睛】本题综合考查线面垂直，几何体的体积，异面直线所成的角，属中高档题，关键是要结合原式图

形找到对应的几何体的各棱的长度，综合线面垂直的判定定理进行证明相关的垂直关系.

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16.在①+c?-4=2j§acsinB；②sin2_B+sin2C-sin2A=J§sinBsinC这两个条件中任选一"补

充在下面的问题中并作答.

在，ABC中，内角AB,C所对的边分别是",仇c,.

(1)求角A；

(2)若a=8,b+c=10,求_45。的面积.

7T

【答案】(1)A=—

6

(2)9(2-73)

【解析】

【分析】(1)选择①：利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得tanA的值，结合角A的取值范围可

求得角A的值；

选择②：由正弦定理、余弦定理可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；

(2)利用余弦定理可求得8c的值，结合三角形面积公式可得出.A5C的面积.

【小问1详解】

选择①：因为/+°?一/=2氐csinB，

由余弦定理可得2bccosA=26acsinB，

所以结合正弦定理可得sinBcosA=^sinAsinB.

因为Be(O,兀)，则sinB>0,

所以cosA=V3sinA，即tanA=，

3

因为Ae(O,7i),所以A=F；

6

选择②：因为siYB+sin?。—sin2A=^sinBsinC，

由正弦定理得/+,2—/=，

由余弦定理得cosA=厂=昱.

2bc2

因为Ae(o,7i),所以A=B；

6

【小问2详解】

7T

由(1)知4=一，又已知Q=8,Z?+C=10,

由余弦定理得，/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2—(2+g)bc,

7”736

be,所以be=——,

||jr

所以_ABC的面积为一bcsinA=—besin—

226

17.为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与8小区各随机抽取300名社区居民

（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为

比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频

数分布表如下

分组A小区频数8小区频数

18-40岁人群6030

41-70岁人群8090

其他人群3050

假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响.

（1）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解概率；

（2）从A、8小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量

X,求X的分布列和数学期望.

17

【答案】（1）—

30

17

（2）分布列见解析，E（X）=—

'710

【解析】

【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算计算即可；

（2）首先求出A、3小区比较了解的概率，则X的可取取值为0,1,2,求出所对应的概率，即可得到

分布列与数学期望；

【小问1详解】

17017

设从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件C,则P（C）=——=—

'730030

【小问2详解】

8Q

依题意可知A小区比较了解的概率为历，B小区比较了解的概率为市,

则X的可取取值为o，1,2,

所以「（x=。）京哈$，P（X=1）福哈+木吟•

PC?）**吟

则X的分布列为

X012

11318

P

505025

1141Q

所以七（乂）=0*—+1义―+2><—=一

v750502510

18.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，AB=2,AD=272,ZABD=,矩形

5DEF所在平面与底面ABCD垂直，M为CE的中点.

（1）求证：平面平面AE户;

（2）若平面与平面6C尸夹角的余弦值为一，求CE与平面孙/所成角的正弦值.

5

【答案】（1）证明见解析

4

（2）-

5

【解析】

【分析】（1）根据平面与平面平行的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【小问1详解】

如图，连接AC交3。于点G,连接MG.

因为底面ABCD为平行四边形，

所以G为AC的中点.

因为M为CE的中点，所以

又因为MG<2平面AEF,EA<=平面AEF,

所以MG平面AM.

因为8DE尸为矩形，所以03所,80（2平面4£”£尸匚平面4£产，

所以BD平面AER.

因为MGcBD=G,MGu平面BDM,5Z）u平面BDM,

所以平面BDM平面AEF.

【小问2详解】

因为AB=2,AD=2A/I,/ABD=90,所以5。=2,AB，.

因为平面BDEF，平面ABCD,平面BDEFc平面ABCD=BD,DELBD,

所以QE1平面ABCD.

分别以DB,DC,DE为苍％z轴建立空间直角坐标系，

设DE=2心0),则5(2,0,0),C(0,2,0),£>(0,0,0),£(0,0,2/),

所以OM=(0/J),03=(2,0,0),3C=(—2,2,0),BE=(0,0,27),

m,DM—0,

设平面的法向量为机=(%,%,zj,贝卜0,

y.+tz.=0,、

_，令Zi=-1,则机

n-BC=0,

设平面BCF的法向量为〃=(/,%/2)，贝1b

n-BF=0,

—+2%=0/、

22

._n，令马=1,则”=(1,1,0),

所以|cos戊，用=

所以加=(O,2,-L),C£=(O,—2,4)

设CE与平面BQ拉所成的角为氏

.I「.I|2x(-2)+(-l)x4|4

nilsint)=1cosCE,m1=7.22+(-l=)2~.7.(-2)2+42=—5-

4

所以CE与平面所成的角的正弦值为g.

19.己知函数/(x)=\+a：e\

(1)当a=0时，求曲线y=/(同在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)当。=1时，求函数/(%)的单调递增区间；

(3)若函数/(力在区间(0,1)上只有一个极值点，求。取值范围.

【答案】(1)>=e

(3)(0,+oo)

【解析】

【分析】(1)当a=0时，求出/(1)、/'(1)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

(2)当。=1时，求出/'(%),利用函数的单调性与导数的关系可求得函数/(%)的单调递增区间；

⑶令g(x)=G：2+x-1,分析可知，函数g(x)在(0,1)上有且只有一个异号零点，对实数。的取值进

行分类讨论，结合题意可得出关于实数。的不等式，综合可得出实数。的取值范围.

【小问1详解】

解：当a=0时，/(%)=—,则/(x)=e'(：T),所以，/(i)=e,/'(1)=0,

故当a=0时，曲线y=/(力在点(1,/。))处的切线方程为y—e=0,即>=0.

【小问2详解】

解：当a=l时，〃力=口+1卜=("+l)e,该函数的定义域为{小HO},

kXJJC

/⑴=a+2)%e：(x+l)e，=)+—

+Ab°'解得、<一1或X〉专

由/4%)>0,即尤2

因此，当。=1时，函数/(%)的单调递增区间为

【小问3详解】

解：因为/(x)=］：+a：e，,则/，(*)=［、+々_4］0£=(取+：—.e

令8(%)=加+%-1,因为函数/(X)在(0,1)上有且只有一个极值点,

则函数g(x)在(0,1)上有一个异号零点，

当a=0时，对任意的xe(O,l),g(x)=%-l<0,不合乎题意;

当a>0时，函数8(%)=加+%-1(0,1)上单调递增，

因为g(0)=—1<。，只需g(l)=a>0,合乎题意；

当a<0时，函数g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x=-工>0,

因为g(O)=—1<0,只需g(l)=a>0,不合乎题意，舍去.

综上所述，实数々的取值范围是(0,+").

V2

20.已知椭圆E：r+

a

(1)求椭圆石的方程；

(2)设斜率为g的直线/与E交于A,B两点(异于点P),直线E4,尸3分别与y轴交于点M,N,求

IPM|

的值.

i^vT

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)1

【解析】

【分析】(1)根据6a=2b，把点代入，即可求出椭圆方程.

(2)设直线/的方程为y=万x+根，代入椭圆方程，得/++m2—3=0>所以西+々—m,

王龙2=加2-3,计算直线P4的斜率与直线P3的斜率的和，即可根据对称求解.

【小问1详解】

_a22

由于后=26,设所求椭圆方程为含+方=1,

把点代入，得〃=3,片=4，

22

•••椭圆方程为工+匕=1.

43

【小问2详解】

设直线/的方程为y=；x+/n,

代入椭圆方程，整理得/+加;+加2—3=0，

设4（%,乂）,5（々,必），

222

x,+x2--m,xYx2=m-3,A=m-4（^m-3^）>0,所以一2<m<2,

_3

直线直线斜率为“_y'~2,

K

PA-1

X1-1

_3

直线PB直线斜率为“_y2~2,

KpB—1

%2T

_3_3

则”=/一/।必一2二（2y—3）（4—1）+（2为一3）（3—1）

PB

弘~^-1x2-l~2（X1-1）（X2-1）

(2%-3)(苍-1)+(2%-3)(%-1)

=(玉+2m—3)(々—1)+(入2+2m-3)(石-1)

=2菁%2+Q加一4)(菁+x2)+6—4m

二2(m2—3)+(2m-4)(-m)+6-4m=0

所以，kPA+kPB=0,即直线外的斜率与直线形的斜率互为相反数,

3

故直线与直线关于y=5对称，

因此|PM|=|PN|.

\PM\

故+h|PN|=1

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何

特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可

首先建立目标函数，再求这个函数的最值.

21.若无穷数列｛4｝满足：EmeN*-对于V（%eN*）,都有号=4（其中q为常数），则称

｛%,｝具有性质.

（1）若｛4｝具有性质“。（4,2,3）”，且为=1，%=2,ab+a9+an=20,求出；

（2）若无穷数列也｝是等差数列，无穷数列匕｝是公比为2的等比数列，d=0=4,bl+Cl=c2,

a„^bn+cn,判断｛4｝是否具有性质“Q（2,l,3）”，并说明理由；

（3）设｛4｝既具有性质，又具有性质，其中i，jeN*,i<j,求证：

'jT、

j

｛q,｝具有性质“Qj-i,i+l,q2”.

7

【答案】（1）-

3

(2)｛qJ不具有性质“Q(2,l,3)”，理由见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由｛4｝具有性质“。(4,2,3)”，可得当“22时，—=3,结合题意计算即可得；

an

(2)由题意计算出4通项公式后，检验4电是否恒等于3即可得；

(3)借助｛%｝既具有性质“。亿1,1)”，又具有性质，则当"21时，有也=/，

an

—=q2,则有〜义也义x2=/,><3=4,通过运算得到端=色,从而可验

an4。2ajqa2ai

j-i

证对任意的“Ni+1时，是否有他匚二%