2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示习题含解析新人教A版必修第二册

.3.5平面对量数量积的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是()A.|a|=|b| B.a·b=C.a∥b D.a-b与b垂直解析A项,|a|=1,|b|=,故|a|≠|b|;B项,a·b=1×+0×;C项,1×≠0×;D项,a-b=,(a-b)·b==0,故a-b与b垂直.答案ABC2.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=()A.-3 B.-2 C.2 D.3解析由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.答案C3.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4 B.-4 C.2 D.-2解析如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案A4.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是()A.[2,14] B.[0,12]C.[0,6] D.[2,8]解析如图,A(0,0),E(2,1),设F(x,2)(0≤x≤2),所以=(2,1),=(x,2),因此=2x+2,设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].答案A5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A. B. C.2 D.10解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=,故选B.答案B6.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|=.

解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=.答案7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.

解析a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,∵a与b的夹角为45°,∴cos45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案28.已知平面对量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a∥b,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.综上,|a-b|=2或2.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1<x<3.又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3).又=1×(-3)+1×3=0,∴,∴AB⊥AD.(2)解∵,四边形ABCD为矩形,∴.设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).又=(1,1),∴解得∴点C的坐标为(0,5).∴=(-2,4),=(-4,2),∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cosθ=.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.实力提升练1.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满意=2,则=()A.- B.-1 C.-2 D.-2解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0),因为=2,所以2=(0,2)+(2,0)=(2,2),故=(1,1),故P(1,1),=(0,1),=(1,-1),所以=0×1+1×(-1)=-1.答案B2.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是()A.[0,1] B.[-1,1]C.[-] D.[0,]解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cosθ=cosθ,∵cosθ∈[-1,1],∴(a-b)·c的取值范围为[-].答案C3.(2024安徽合肥检测)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为()A.3 B.5 C.7 D.8解析如图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),所以|+3|=≥5,当且仅当x=a时,等号成立.故|+3|的最小值为5.答案B4.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=.

解析设b=(x,y).∵|b|==1,∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵(1,0)是与x轴平行的向量,舍去,∴b=.答案5.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的随意一点.(1)求的值;(2)推断的值是否为一个常数,并说明理由.解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,此时=(-10,0),所以=-×(-10)+×0=14.(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数.6.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),设m=a+tb(t∈R).(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当α=时,b=,a·b=,∴|m|=,∴当t=-时,|m|取得最小值.(2)存在.假设存在满意条件的实数t.由条件得cos,∵a⊥b,∴|a-b|=,|a+tb|=,(a-b)·(a+tb)=5-t,∴.∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.∴存在t=满意条件.素养培优练1.已知向量a,b满意|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.(1)求向量a的坐标;(2)求向量a与b的夹角.解(1)设a=(x,y),因为|a|=,则,①又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0,②由①②解得所以a=(1,2)或a=(-2,1).(2)设向量a与b的夹角为θ,所以cosθ==-或cosθ==-,因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.2.(2024天津高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(