2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE5-第五章5.35.3.2请同学们仔细完成[练案18]A级基础巩固一、选择题1．打靶三次，事务Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示(B)A．全部击中 B．至少击中1发C．至少击中2发 D．以上均不正确[解析]由题意可得事务A1、A2、A3是彼此互斥的事务，且A0＋A1＋A2＋A3为必定事务，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发．2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参与竞赛，则下列各对事务中是互斥事务的有(AD)A．恰有一名男生和全是男生B．至少有一名男生和至少有一名女生C．至少有一名男生和全是男生D．至少有一名男生和全是女生[解析]A是互斥事务．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不行能同时发生；B不是互斥事务；C不是互斥事务；D是互斥事务．至少有一名男生与全是女生不行能同时发生．3．从一批羽毛球中任取一个，假如其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是(B)A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68[解析]利用对立事务的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38．4．假如事务A，B互斥，记eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))分别为事务A，B的对立事务，那么(B)A．A＋B是必定事务 B．eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必定事务C．eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定互斥 D．A与eq\o(A,\s\up6(－))不行能互斥[解析]用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必定事务，故选B．5．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事务A，“向上的点数是2或3”为事务B，则(C)A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3[解析]设A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3，故选C．二、填空题6．从4名男生和2名女生中任选3人去参与演讲竞赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为eq\f(4,5)，那么所选3人中都是男生的概率为__eq\f(1,5)__．[解析]设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事务，所以P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5)．7．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是__0.10__．[解析]设“射手命中圆面Ⅰ”为事务A，“命中圆环Ⅱ”为事务B，“命中圆环Ⅲ”为事务C，“不中靶”为事务D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事务，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.90＝0.10．8．在不透亮的盒子中有大小、形态相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率为__0.4__，摸出的球不是黄球的概率为__0.82__，摸出的球是黄球或黑球的概率为__0.6__．[解析]摸出白球的概率为1－0.42－0.18＝0.4；摸出的球不是黄球的概率为1－0.18＝0.82；摸出的球是黄球或黑球的概率为1－0.4＝0.6．三、解答题9．盒子里有6个红球，4个白球，从中任取4个球，设事务A＝{4个球中有1个红球，3个白球}，事务B＝{4个球中有3个红球，1个白球}，事务C＝{4个球中2个红球，2个白球}，事务D＝{4个球中至少有1个红球}，事务E＝{4个球中既有红球又有白球}．(1)事务E与事务A，B，C是什么样的运算关系？(2)事务D与事务A的交事务是什么事务？[解析](1)对事务E，可能的结果为1个红球3个白球或3个红球1个白球或2个红球2个白球，故E＝A∪B∪C．(2)对于事务D，可能的结果为1个红球3个白球或2个红球2个白球或3个红球1个白球或4个红球，故D∩A＝A．10．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率．[解析]记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)，[150,200)(mm)，[200,250)(mm)，[250,300)(mm)范围内分别为事务A，B，C，D，这四个事务是彼此互斥的．(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37．(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55．B级素养提升一、选择题1．(多选题)下列命题错误的是(BCD)A．对立事务肯定是互斥事务B．若A，B为两个事务，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)C．若事务A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．若事务A，B满意P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事务[解析]由互斥事务与对立事务的定义可知A正确；只有当事务A，B为两个互斥事务时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故B不正确；只有事务A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故C不正确；由对立事务的定义可知，只有事务A，B满意P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝∅时，A，B才互为对立事务，故D不正确．2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为eq\f(1,6).事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事务A＋eq\o(B,\s\up6(－))(eq\o(B,\s\up6(－))表示事务B的对立事务)发生的概率为(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)[解析]由题意知，eq\o(B,\s\up6(－))表示“大于或等于5的点数出现”，事务A与事务eq\o(B,\s\up6(－))互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(2,6)＋eq\f(2,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)．3．已知事务M“3粒种子全部发芽”，事务N“3粒种子都不发芽”，那么事务M和N(C)A．是互斥且对立事务 B．不是互斥事务C．是互斥但不对立事务 D．是对立事务[解析]事务M与事务N在任何一次试验中不会同时发生，故事务M和事务N互斥，而事务M“3粒种子全部发芽”的对立事务为“3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能3个不发芽，故事务M和事务N不对立，故事务M和事务N互斥不对立．故选C．4．抛掷一枚骰子，记事务A为“落地时向上的数是奇数”，事务B为“落地时向上的数为偶数”，事务C为“落地时向上的数是3的倍数”，事务D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事务是互斥事务但不是对立事务的是(C)A．A与B B．B与CC．A与D D．C与A[解析]理由：事务A“落地时向上的数字是奇数”包含三个基本领件数(即结果数)1,3,5；事务B“落地时向上的数是偶数”包含三个基本领件数2,4,6；事务C“落地时向上的数是3的倍数”包含两个基本领件数3,6；事务D“落地时向上的数是2或4”．这样依据互斥与对立事务的定义知：A与B互斥且对立；B与C不互斥(如都有6)；C与A不互斥(如都有3)；A与D互斥不对立，故选C．本题考查互斥与对立事务的定义，易混淆．二、填空题5．若A，B为互斥事务，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝__0.3__．[解析]因为A，B为互斥事务，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3．6．同时掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为eq\f(4,9)，则5点或6点至少出现一个概率是__eq\f(5,9)__．[解析]记既不出现5点也不出现6点的事务为A，则P(A)＝eq\f(4,9)，5点或6点至少有一个出现的事务为B．因为A∩B＝∅，A∪B为必定事务，所以A与B是对立事务，则P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)．故5点或6点至少有一个出现的概率为eq\f(5,9)．三、解答题7．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成果在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解析]记事务“射击一次，命中i环”为Ai(i∈N，i≤10)，则事务Ai之间彼此互斥．(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事务A，那么当A9，A10之一发生时，事务A发生，由互斥事务概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6．(2)设“射击一次，至少命中8环”为事务B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事务B发生，由互斥事务概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．(3)设“射击一次命中不足8环”为事务C，由于事务C与事务B互为对立事务，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率是eq\f(5,12)，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？[解析]从袋中任取一球，记事务“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“